Lakukan simulasi untuk mempelajari pengaruh ukuran sampel, variabilitas data (standar deviasi), dan pengetahuan tentang standar deviasi populasi (diketahui/tidak diketahui) terhadap lebar interval kepercayaan 95%, dengan informasi setiap faktor dan level sebagai berikut: - Faktor 1: Ukuran Sampel (n), Level: 5, 30, 100 - Faktor 2: Variabilitas Data (Standar Deviasi, σ atau s), Level: 10, 50, 90 - Faktor 3: Pengetahuan Standar Deviasi Populasi, Level: Diketahui (σ), Tidak Diketahui (s)

Kasus 1: n = 5, sd = 10

σ diketahui

n <- 5
sd <- 10
alpha <- 0.05

z <- qnorm(1 - alpha/2)

lebar_CI_1 <- 2 * z * sd / sqrt(n)

lebar_CI_1
## [1] 17.53045

σ tidak diketahui

n <- 5
sd <- 10
alpha <- 0.05

t_val <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)

lebar_CI_2 <- 2 * t_val * sd / sqrt(n)

lebar_CI_2
## [1] 24.83328

Kasus 2: n = 5, sd = 50 σ diketahui

n <- 5
sd <- 50
alpha <- 0.05

z <- qnorm(1 - alpha/2)

lebar_CI_3 <- 2 * z * sd / sqrt(n)

lebar_CI_3
## [1] 87.65225

σ tidak diketahui

n <- 5
sd <- 50
alpha <- 0.05

t_val <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)

lebar_CI_4 <- 2 * t_val * sd / sqrt(n)

lebar_CI_4
## [1] 124.1664

Kasus 3: n = 5, sd = 90 σ diketahui

n <- 5
sd <- 90
alpha <- 0.05

z <- qnorm(1 - alpha/2)

lebar_CI_5 <- 2 * z * sd / sqrt(n)

lebar_CI_5
## [1] 157.7741

σ tidak diketahui

n <- 5
sd <- 90
alpha <- 0.05

t_val <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)

lebar_CI_6 <- 2 * t_val * sd / sqrt(n)

lebar_CI_6
## [1] 223.4995

Kasus 4: n = 30, sd = 10 σ diketahui

n <- 30
sd <- 10
alpha <- 0.05

z <- qnorm(1 - alpha/2)

lebar_CI_7 <- 2 * z * sd / sqrt(n)

lebar_CI_7
## [1] 7.156777

σ tidak diketahui

n <- 30
sd <- 10
alpha <- 0.05

t_val <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)

lebar_CI_8 <- 2 * t_val * sd / sqrt(n)

lebar_CI_8
## [1] 7.468123

Kasus 5: n = 30, sd = 50 σ diketahui

n <- 30
sd <- 50
alpha <- 0.05

z <- qnorm(1 - alpha/2)

lebar_CI_9 <- 2 * z * sd / sqrt(n)

lebar_CI_9
## [1] 35.78388

σ tidak diketahui

n <- 30
sd <- 50
alpha <- 0.05

t_val <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)

lebar_CI_10 <- 2 * t_val * sd / sqrt(n)

lebar_CI_10
## [1] 37.34061

Kasus 6: n = 30, sd = 90 σ diketahui

n <- 30
sd <- 90
alpha <- 0.05

z <- qnorm(1 - alpha/2)

lebar_CI_11 <- 2 * z * sd / sqrt(n)

lebar_CI_11
## [1] 64.41099

σ tidak diketahui

n <- 30
sd <- 90
alpha <- 0.05

t_val <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)

lebar_CI_12 <- 2 * t_val * sd / sqrt(n)

lebar_CI_12
## [1] 67.2131

Kasus 7: n = 100, sd = 10 σ diketahui

n <- 100
sd <- 10
alpha <- 0.05

z <- qnorm(1 - alpha/2)

lebar_CI_13 <- 2 * z * sd / sqrt(n)

lebar_CI_13
## [1] 3.919928

σ tidak diketahui

n <- 100
sd <- 10
alpha <- 0.05

t_val <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)

lebar_CI_14 <- 2 * t_val * sd / sqrt(n)

lebar_CI_14
## [1] 3.968434

Kasus 8: n = 100, sd = 50 σ diketahui

n <- 100
sd <- 50
alpha <- 0.05

z <- qnorm(1 - alpha/2)

lebar_CI_15 <- 2 * z * sd / sqrt(n)

lebar_CI_15
## [1] 19.59964

σ tidak diketahui

n <- 100
sd <- 50
alpha <- 0.05

t_val <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)

lebar_CI_16 <- 2 * t_val * sd / sqrt(n)

lebar_CI_16
## [1] 19.84217

Kasus 9: n = 100, sd = 90 σ diketahui

n <- 100
sd <- 90
alpha <- 0.05

z <- qnorm(1 - alpha/2)

lebar_CI_17 <- 2 * z * sd / sqrt(n)

lebar_CI_17
## [1] 35.27935

σ tidak diketahui

n <- 100
sd <- 90
alpha <- 0.05

t_val <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)

lebar_CI_18 <- 2 * t_val * sd / sqrt(n)

lebar_CI_18
## [1] 35.71591

Cara simulasi Monte Carlo

set.seed(123)

# Faktor
n_values <- c(5, 30, 100)
sd_values <- c(10, 50, 90)
rep <- 1000  # jumlah simulasi

# Fungsi hitung lebar CI
hitung_ci <- function(n, sd, known_sd = TRUE) {
  widths <- numeric(rep)
  
  for (i in 1:rep) {
    data <- rnorm(n, mean = 0, sd = sd)
    xbar <- mean(data)
    s <- sd(data)
    
    if (known_sd) {
      # Z interval
      z <- qnorm(0.975)
      margin <- z * sd / sqrt(n)
    } else {
      # t interval
      t_val <- qt(0.975, df = n - 1)
      margin <- t_val * s / sqrt(n)
    }
    
    widths[i] <- 2 * margin
  }
  
  return(mean(widths))
}

# Simpan hasil
hasil <- data.frame()

for (n in n_values) {
  for (sd in sd_values) {
    
    # σ diketahui
    w_known <- hitung_ci(n, sd, TRUE)
    
    # σ tidak diketahui
    w_unknown <- hitung_ci(n, sd, FALSE)
    
    hasil <- rbind(hasil, data.frame(
      n = n,
      sd = sd,
      kondisi = "Diketahui",
      lebar_CI = w_known
    ))
    
    hasil <- rbind(hasil, data.frame(
      n = n,
      sd = sd,
      kondisi = "Tidak Diketahui",
      lebar_CI = w_unknown
    ))
  }
}

print(hasil)
##      n sd         kondisi   lebar_CI
## 1    5 10       Diketahui  17.530451
## 2    5 10 Tidak Diketahui  23.540434
## 3    5 50       Diketahui  87.652254
## 4    5 50 Tidak Diketahui 116.929885
## 5    5 90       Diketahui 157.774057
## 6    5 90 Tidak Diketahui 209.936799
## 7   30 10       Diketahui   7.156777
## 8   30 10 Tidak Diketahui   7.396325
## 9   30 50       Diketahui  35.783883
## 10  30 50 Tidak Diketahui  37.361298
## 11  30 90       Diketahui  64.410989
## 12  30 90 Tidak Diketahui  66.922576
## 13 100 10       Diketahui   3.919928
## 14 100 10 Tidak Diketahui   3.961393
## 15 100 50       Diketahui  19.599640
## 16 100 50 Tidak Diketahui  19.744606
## 17 100 90       Diketahui  35.279352
## 18 100 90 Tidak Diketahui  35.657132

INTERPRETASI: Berdasarkan hasil output diatas diperoleh beberapa hasil yang terlihat: 1.) Semakin besar ukuran sampel (n), maka lebar interval kepercayaannya akan semakin kecil. 2.) Semakin besar standar deviasi (σ), maka lebar interval kepercayaannya akan semakin besar. 3.) interval dengan σ tidak diketahui selalu memiliki lebar interval kepercayaan yang lebih besar dibandingkan jika σ diketahui. 4.) Perbedaan lebar interval antara distribusi Z dan t akan semakin mengecil saat ukuran sampel (n) semakin besar.

Berdasarkan interpretasi yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa lebar interval kepercayaan 95% sangat dipengaruhi oleh ukuran sampel, variailitas data, dan pengetahuan terhadap standar deviasi populasi dalam konteks confident interval.