Modelapproximatie in transportdynamica
Begeleider: Dr. Sander Hille
16 maart 2026
Transportdynamica
Hoe kunnen we de beweging van deeltjes in tijd en ruimte beschrijven?
- Huidige staat (positie en snelheid)
- Beperkingen voor mogelijke bewegingsrichtingen
- Regels voor veranderingen van de huidige staat
Master transport equation
\[\frac{\partial p}{\partial t} = -\text{div}(J(p))\] \(J(p) \quad\): flux van deeltjesdichtheid \(p\)
Voorbeeld: velocity-jump
- Huidige staat (positie en snelheid)
- Positie \(\mathbf{x} \in \Omega \subseteq \mathbb{R}^n\)
- Snelheidsvector \(\mathbf{v}\)
- Beperkingen voor mogelijke bewegingsrichtingen
Gebied \(V \subseteq \mathbb{R}^n\) symmetrisch
- Regels voor veranderingen van de huidige staat
Poisson proces met parameter \(\lambda\)
Velocity-jump model
Velocity-jump model
- \(p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)\): dichtheid van deeltjes op positie \(\mathbf{x}\), snelheid \(\mathbf{v}\), tijdstip \(t\)
\[ \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{verandering in tijd}} \;+\; \underbrace{\mathbf{v} \cdot \nabla_x p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{ruimtelijk transport}} \class{mj-dim}{ =-\lambda\, p(\mathbf{x},\mathbf{v},t) + \int_V \lambda\, T(\mathbf{v},\mathbf{v}')\, p(\mathbf{x},\mathbf{v}',t)\, d\mathbf{v}' } \]
- \(T(\mathbf{v},\mathbf{v}')\): turning kernel (kans op sprong van \(\mathbf{v}'\) naar \(\mathbf{v}\))
Velocity-jump model
- \(p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)\): dichtheid van deeltjes op positie \(\mathbf{x}\), snelheid \(\mathbf{v}\), tijdstip \(t\)
\[ \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{verandering in tijd}} \;+\; \underbrace{\mathbf{v} \cdot \nabla_x p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{ruimtelijk transport}} = \underbrace{ -\lambda\, p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{sprong vanaf } \mathbf{v}} + \underbrace{\int_V \lambda\, T(\mathbf{v},\mathbf{v}')\, p(\mathbf{x},\mathbf{v}',t)\, d\mathbf{v}'}_{\text{sprongen naar }\mathbf{v}} \]
- \(T(\mathbf{v},\mathbf{v}')\): turning kernel (kans op sprong van \(\mathbf{v}'\) naar \(\mathbf{v}\))
Velocity-jump op macroschaal
Velocity-jump op macroschaal
\[ \frac{\partial}{\partial t}p(\mathbf{x},\mathbf{v},t) = \text{div}(D\nabla_x p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)) \]
- \(D\): diffusiecoëfficiënt
Onderzoeksvraag
- Macroschaal: meetbaar
- Microschaal: informatie over proces
Onderzoeksvraag
Hoe kunnen stochastische transportmodellen voor velocity-jump processen formeel gerelateerd worden aan deterministische PDE modellen?
Methode: schalingen
\[ \tau_{{\scriptscriptstyle \text{DIFF}}} \sim \mathcal{O}(1), \quad \tau_{{\scriptscriptstyle \text{DRIFT}}} \sim \mathcal{O}\!\left(\frac{1}{\varepsilon}\right), \quad \tau_{{\scriptscriptstyle \text{RUN}}} \sim \mathcal{O}\!\left(\frac{1}{\varepsilon^2}\right) \] \(\varepsilon:\) karakteristieke bewegingssnelheid
Methode: schalingen
\[ \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{verandering in tijd}} \;+\; \underbrace{\mathbf{v} \cdot \nabla_x p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{ruimtelijk transport}} = \underbrace{ -\lambda\, p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{sprong vanaf } \mathbf{v}} + \underbrace{\int_V \lambda\, T(\mathbf{v},\mathbf{v}')\, p(\mathbf{x},\mathbf{v}',t)\, d\mathbf{v}'}_{\text{sprongen naar }\mathbf{v}} \]
\[ \mathcal{L}p(\mathbf{v}):=-\lambda p(\mathbf{v}) + \int_V \lambda T(\mathbf{v},\mathbf{v}')p(\mathbf{v}) d\mathbf{v}' \]
\[ \tau_{{\scriptscriptstyle \text{DIFF}}} \sim \mathcal{O}(1), \quad \tau_{{\scriptscriptstyle \text{DRIFT}}} \sim \mathcal{O}\!\left(\frac{1}{\varepsilon}\right), \quad \tau_{{\scriptscriptstyle \text{RUN}}} \sim \mathcal{O}\!\left(\frac{1}{\varepsilon^2}\right) \]
\[ \huge \Downarrow \]
\[ \varepsilon^2\frac{\partial}{\partial t}p(\mathbf{x},\mathbf{v},t) + \varepsilon \mathbf{v}\cdot \nabla_x p(\mathbf{x},\mathbf{v},t) = \mathcal{L}p \]
Methode: perturbatie-expansie
Ansatz:
\[p(\mathbf{x},\mathbf{v},t) = \sum_{i=0}^{k} p_i(\mathbf{x},\mathbf{v},t)\varepsilon^i + \varepsilon^{k+1}p_{k+1}(\mathbf{x},\mathbf{v},t)\]
Vul in bij:
\[ \varepsilon^2\frac{\partial}{\partial t}p(\mathbf{x},\mathbf{v},t) + \varepsilon \mathbf{v}\cdot \nabla_x p(\mathbf{x},\mathbf{v},t) = \mathcal{L}p \]
Methode: perturbatie-expansie
\[\begin{align} \varepsilon^0: &\quad \mathcal{L}p_0 = 0\\ \varepsilon^1: &\quad \mathcal{L}p_1 = \mathbf{v}\cdot \nabla p_0\\ \varepsilon^2: &\quad \mathcal{L}p_2 = \frac{\partial p_0}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla p_1\\ &\quad \vdots\\ \varepsilon^i: &\quad \mathcal{L}p_i = \frac{\partial p_{i-2}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla p_{i-1},\quad 3 \le i \le k+1 \end{align}\]
Laat \(\mathcal{F}: = (\mathcal{L}_{|\langle 1\rangle^\top})^{-1}\)
\[\frac{\partial p_0}{\partial t} = \nabla_x\cdot(D\nabla_x p_0(\mathbf{x},\mathbf{v},t))\]
\[D = -\frac{1}{|V|}\int_V \mathbf{v} \mathcal{F} \mathbf{v} ~ d\mathbf{v}\]
Biologische contexten
Beperkingen bij modeluitbreidingen
Onrealistische aannames:
- Poissonverdeling voor jumps
- Markoviaanse dynamiek (geen geheugen)
- Symmetrisch gebied \(V\)
- Deeltjes bewegen altijd
- Diffusietensor niet altijd berekenbaar of interpreteerbaar
Hitchhikers model
Twee toestanden
- Bewegingstoestand: \(p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)\) dichtheid van individuen die bewegen met snelheid \(\mathbf{v} \in V\)
- Rusttoestand: \(r(\mathbf{x},\mathbf{v},t)\) dichtheid van individuen in pauze na een jump van snelheid \(\mathbf{v}\in V\)
Parameterverdelingen
- Bewegingstijd verdeling : \(f_\tau(t)\) (voorheen \(\tau \sim \text{Exp}(\lambda)\))
- Rusttijd verdeling : \(f_\omega(t)\)
- Turning kernel : \(T(v, v')\)
\(\Phi_i, i \in \{\tau,\omega\}: ~\)Delay kernel
Hitchhikers model
\[ \left\{ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} p(x,v,t) {v \cdot \nabla_x p(x,v,t)} &= -\int_0^t \Phi_\tau(t-s)\, p( x-(t-s)v, v,s)\, ds \\ &\quad + \int_0^t \Phi_\omega(t-s) \int_V T(v,v')\, r(x,v',s)\, dv'\, ds \\ \class{mj-dim}{\frac{\partial}{\partial t} r(x,v,t)} &= \class{mj-dim}{-\int_0^t \Phi_\omega(t-s)\, r(x,v,s)\, ds} \\ &\quad \class{mj-dim}{+ \int_0^t \Phi_\tau(t-s)\, p(x-(t-s)v, v,s)\, ds} \end{aligned} \right. \] \(\Phi_i, i \in \{\tau,\omega\}:\quad\) Delay kernel
Hitchhikers model
\[ \left\{ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} p(\mathbf{x},\mathbf{v},t) \mathbf{v} \cdot \nabla_x p(\mathbf{x},\mathbf{v},t) &= -\int_0^t \Phi_\tau(t-s)\, p( \mathbf{x}-(t-s)\mathbf{v}, \mathbf{v},s)\, ds \\ &\quad + \int_0^t \Phi_\omega(t-s) \int_V T(\mathbf{v},\mathbf{v}')\, r(\mathbf{x},\mathbf{v}',s)\, d\mathbf{v}'\, ds \\ \frac{\partial}{\partial t} r(\mathbf{x},\mathbf{v},t) &= {-\int_0^t \Phi_\omega(t-s)\, r(\mathbf{x},\mathbf{v},s)\, ds} \\ &\quad {+ \int_0^t \Phi_\tau(t-s)\, p(\mathbf{x}-(t-s)\mathbf{v}, \mathbf{v},s)\, ds} \end{aligned} \right. \] \(\Phi_i, i \in \{\tau,\omega\}:\quad\) Delay kernel
Eerdere toepassing
Vervolgstappen
- Formele diffusie-afleiding begrijpen
- Gegeneraliseerd velocity-jump model begrijpen
- Twee-populatie model met interacties
Bedankt voor de aandacht!
Vragen?
References
