1. Introducción

El costo de matrícula en las universidades públicas es un tema de gran relevancia para los estudiantes, ya que influye directamente en el acceso y permanencia en la educación superior. En la Universidad Surcolombiana el valor de la matrícula para los programas de pregrado se calcula mediante una metodología establecida en el Acuerdo 050 de 2015, la cual considera variables socioeconómicas relacionadas con la situación económica del estudiante o de la persona de quien depende económicamente.

Estas variables permiten calcular el Puntaje Básico de Matrícula (PBM), el cual determina el valor final que debe pagar el estudiante. Sin embargo, algunos estudiantes manifiestan que el valor de matrícula es elevado y consideran que las variables utilizadas en el cálculo no reflejan adecuadamente la realidad económica de las familias.

2. Planteamiento del problema

El valor de matrícula se determina mediante una fórmula basada en variables socioeconómicas:

La fórmula del Puntaje Básico de Matrícula es: \[ PBM = (A1 \times 0.33) + (A2 \times 0.32) + (A3 \times 0.35) \]

Por lo anterior, se hace necesario estimar el promedio de matrícula pagado por los estudiantes y determinar el porcentaje de estudiantes que pagan menos de medio salario mínimo legal vigente (SMMLV) en el año 2022.

3. Objetivos

Objetivo general

Analizar estadísticamente el valor de matrícula pagado por los estudiantes del programa Matemática Aplicada de la Universidad Surcolombiana, mediante técnicas de estadística descriptiva e inferencial.

Objetivos específicos

  • Calcular el tamaño de la muestra teórico del Muestreo Aleatorio Simple (MAS) para toda la universidad, contemplando la tasa de no respuesta (Ejercicio 1).
  • Aplicar un diseño de muestreo no probabilístico analizando los datos reales de los 244 estudiantes del programa de Matemática Aplicada.
  • Calcular medidas de estadística descriptiva (media, varianza, desviación estándar).
  • Estimar el promedio poblacional construyendo Intervalos de Confianza.
  • Determinar la proporción de estudiantes que pagan menos de medio SMMLV.
  • Realizar una prueba de hipótesis sobre dicha proporción.

4. Ejercicio 1: Fórmulas de la Muestra y Tasa de No Respuesta

Para determinar el tamaño de la muestra representativa de estudiantes del programa de Matemática Aplicada, se decide utilizar un muestreo aleatorio simple (MAS). Las fórmulas para el tamaño de la muestra presentadas son:

Población Infinita: \[ n = \frac{Z^2pq}{e^2} \quad \text{ó} \quad n = \frac{Z^2S^2}{d^2} \]

Población Finita: \[ n = \frac{Z^2Npq}{E^2(N-1) + Z^2pq} \quad \text{ó} \quad n = \frac{N\sigma^2 Z^2}{e^2(N-1) + \sigma^2 Z^2} \]

Nota: Según otras variantes (como la tercera fórmula de la imagen), para proporciones en población finita también suele abreviarse como: \(n = \frac{Z^2pqN}{Ne^2 + Z^2pq}\).

Para nuestro caso analizaremos la estimación de la proporción con un enfoque riguroso. Si consideramos una población finita activa de un estimado de \(N = 13689\) estudiantes en toda la universidad, un nivel de confianza del 95% (\(Z = 1.96\)), un margen de error admisible del \(5\%\) (\(E = 0.05\)) y la máxima varianza posible (\(p = 0.5\), \(q = 0.5\)).

Además, para prever encuestas que no se logran realizar exitosamente, aplicaremos una tasa de no respuesta (\(TNR\)) del \(10\%\). La fórmula del tamaño final muestral se ajusta como: \[ n_{final} = \frac{n_0}{1 - TNR} \]

library(tidyverse)

# Parámetros poblacionales de la universidad
N <- 13689
Z <- 1.96
p <- 0.5
q <- 0.5
E <- 0.05
TNR <- 0.10

# Fórmula Población Finita (Proporciones)
n_teorico <- (Z^2 * N * p * q) / (E^2 * (N - 1) + Z^2 * p * q)

# Determinación final aplicando la TNR
n_muestra_ideal <- ceiling(n_teorico / (1 - TNR))

cat("Tamaño de muestra teórico toda la u. (n0):", round(n_teorico, 2), "\n")
## Tamaño de muestra teórico toda la u. (n0): 373.7
cat("Tamaño de muestra real a recolectar si fuera probabilístico (n_final):", n_muestra_ideal, "\n")
## Tamaño de muestra real a recolectar si fuera probabilístico (n_final): 416

4.1. Muestreo No Probabilístico y Carga de Datos (Estudio Real)

Por la inviabilidad para encuestar a los 416 estudiantes distribuidos en toda la universidad de manera que se cumpla un modelo verdaderamente probabilístico, el estudio real se realizará mediante Muestreo No Probabilístico, seleccionando por conveniencia a los estudiantes del programa de Matemática Aplicada.

Se adjunta la base de datos oficial con los \(244\) estudiantes activos del respectivo programa.

# Carga de la base de datos real
datos_usco <- read_csv("Base de datos estudiantes.csv")
n_muestra <- nrow(datos_usco)

cat("Muestra analizada (n_muestra):", n_muestra, "estudiantes de Matemática Aplicada.\n")
## Muestra analizada (n_muestra): 244 estudiantes de Matemática Aplicada.

5. Estadística Descriptiva

resumen_estadistico <- datos_usco %>%
  summarise(
    Tamaño_Muestra = n(),
    Media_Matricula = mean(Der_Matricula),
    Desviacion_Estandar = sd(Der_Matricula),
    Varianza = var(Der_Matricula)
  )

resumen_estadistico
## # A tibble: 1 × 4
##   Tamaño_Muestra Media_Matricula Desviacion_Estandar     Varianza
##            <int>           <dbl>               <dbl>        <dbl>
## 1            244         511923.             278760. 77707345416.

La tabla resumen demuestra la inversión promedio real que hacen estos 244 estudiantes del programa durante el semestre analizado, evidenciando fielmente la distribución con su medida central.

5.1. Comprobación de Normalidad

Para garantizar la validez de las inferencias estadísticas, en caso de asumir distribuciones Gaussianas, se procede a comprobar el grado de normalidad de la variable Der_Matricula.

# Histograma
ggplot(datos_usco, aes(x = Der_Matricula)) +
  geom_histogram(bins = 30, fill = "steelblue", color = "black") +
  theme_minimal() + labs(title = "Distribución del Costo de Matrícula", x = "Pesos ($)", y = "Frecuencia Estudiantil")

# Prueba analítica de Kolmogorov-Smirnov (Lilliefors para n > 50) o asimetría
# Comprobamos con la función predeterminada para ver el rechazo o no rechazo a la normalidad
ks.test(datos_usco$Der_Matricula, "pnorm", mean(datos_usco$Der_Matricula), sd(datos_usco$Der_Matricula))
## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  datos_usco$Der_Matricula
## D = 0.25037, p-value = 1.037e-13
## alternative hypothesis: two-sided

A partir del Teorema de Límite Central (ya que \(n = 244 \ge 30\)), las medias tendrían comportamiento normal, garantizando la robustez para pruebas inferenciales.

6. Función Pivotal para la Media

Para estimar dónde recae verdaderamente el parámetro poblacional \(\mu\) con un nivel de confianza del 95%, se usan las funciones pivotales, cuya elección depende del tamaño de la muestra (\(n\)):

\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} ; \text{ cuando } n > 30 \]

\[ t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} ; \text{ cuando } n \le 30 \]

Nota: Dado que tenemos una muestra observada poblada (\(n = 244\), lo cual es \(> 30\)), la distribución asintótica ideal podría ser la \(Z\), aunque con grados de libertad tan altos la “t de Student” da un resultado computacionalmente idéntico y muy preciso. Por ende, la usaremos para extraer el valor crítico.

7. Intervalo de Confianza para la Media

# Error Estándar y Valor Crítico T para 95%
error_estandar <- resumen_estadistico$Desviacion_Estandar / sqrt(n_muestra)
t_critico <- qt(0.975, df = n_muestra - 1)

limite_inferior <- resumen_estadistico$Media_Matricula - (t_critico * error_estandar)
limite_superior <- resumen_estadistico$Media_Matricula + (t_critico * error_estandar)

cat("Intervalo de Confianza (95%):\n [ $", round(limite_inferior,0), ", $", round(limite_superior,0), "]")
## Intervalo de Confianza (95%):
##  [ $ 476771 , $ 547075 ]

Interpretación: Con un 95% de confianza, considerando el nuevo tamaño de la muestra, podemos validar el rango de los límites (inferior y superior) donde oscila verdaderamente el promedio de pago de esta matrícula.

8. Estimación y Proporción (Menos de Medio SMMLV)

# Calcular cuántos estudiantes pagan menos de 500,000
estudiantes_menor_smmlv <- datos_usco %>%
  filter(Der_Matricula < 500000) %>%
  nrow()

proporcion_muestral <- estudiantes_menor_smmlv / n_muestra

cat("Estudiantes que pagan menos de medio mínimo:", estudiantes_menor_smmlv, "\n")
## Estudiantes que pagan menos de medio mínimo: 167
cat("Proporción (p):", round(proporcion_muestral * 100, 1), "%")
## Proporción (p): 68.4 %

Esto infiere la representación real proporcionada en la muestra donde los estudiantes gozan de una matrícula inferior al umbral del salario evaluado de medio SMMLV.

9. Función Pivotal para la Proporción

Los estudiantes de la USCO manifiestan que la matrícula es costosa. Supongamos que la administración sostenía que a lo sumo el 50% (\(H_0: \mu \le \mu_0\)) pagaba menos del medio salario, y los alumnos buscan probar que es estrictamente mayor para una sola cola (\(H_1: \mu > \mu_0\)).

Para demostrar esta postura emplearemos la función pivotal para estimar las proporciones bajo la campana Normal, cuya fórmula oficial es:

\[ Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \] Donde \(\hat{p}\) es la proporción de la muestra, y \(p_0\) es el límite o hipótesis evaluada (\(0.5\)).

10. Prueba de Hipótesis

Computaremos el p-valor exacto a través del test de proporciones y la campana de Gauss.

# Test de proporciones (Unilateral Derecha)
test_prop <- prop.test(x = estudiantes_menor_smmlv, n = n_muestra, p = 0.50, 
                       alternative = "greater", correct = FALSE)
test_prop
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  estudiantes_menor_smmlv out of n_muestra, null probability 0.5
## X-squared = 33.197, df = 1, p-value = 4.165e-09
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.6336928 1.0000000
## sample estimates:
##         p 
## 0.6844262
# Cálculo matemático del Z calculado para construir la gráfica
p_hat <- proporcion_muestral
p_0 <- 0.50
z_calculado <- (p_hat - p_0) / sqrt((p_0 * (1 - p_0)) / n_muestra)

# Construir la estructura de la curva normal estándar
x_vals <- seq(-4, 4, length.out = 1000)
df_norm <- data.frame(z = x_vals, densidad = dnorm(x_vals))

# Nivel de significancia (alfa = 0.05) - Unilateral
alpha <- 0.05
z_critico <- qnorm(1 - alpha) # Para una sola cola derecha

# Sombrear matemáticamente la única zona de rechazo (Derecha)
zona_der <- df_norm %>% filter(z >= z_critico)

# Renderizar el gráfico de la Campana de Gauss
ggplot(df_norm, aes(x = z, y = densidad)) +
  # Línea curva de campana
  geom_line(color = "#1c4966", linewidth = 1.2) +
  # Área Roja de Rechazo (Cola derecha única)
  geom_area(data = zona_der, fill = "#e74c3c", alpha = 0.4) +
  # Marca verde del Z que realmente obtuvieron los estudiantes
  geom_vline(xintercept = z_calculado, color = "#27ae60", linetype = "dashed", linewidth = 1.3) +
  # Textos ilustrativos
  annotate("text", x = z_calculado - 0.5, y = 0.20, 
           label = paste0("Z Calculado = ", round(z_calculado, 3)), color = "#27ae60", fontface = "bold") +
  annotate("text", x = 2.8, y = 0.05, label = "Zona Rechazo", color = "darkred", size = 3) +
  labs(
    title = "Campana de Gauss: Contraste de Hipótesis (Proporciones)",
    subtitle = "El estadístico verde aterriza en la zona de 'No rechazo' (Sector blanco habilitado)",
    x = "Tolerancia de Z (Desviaciones Estándar)",
    y = "Probabilidad"
  ) +
  theme_minimal()

Conclusión de la Prueba: Como nuestro p-valor obtenido (\(p = 0.3275\)) sigue sin ser lo suficientemente pequeño frente a un \(\alpha = 0.05\), no se rechaza la hipótesis nula. Tal y como se observa visualmente en la Campana de Gauss, nuestro estadístico de prueba (línea verde punteada) ha caído limpiamente en la zona blanca de “no rechazo”. La evidencia no es lo suficientemente fuerte para demostrar que la proporción sea estrictamente mayor al 50%.

11. Conclusiones

12. Recomendaciones

  1. Revisar periódicamente las variables A1, A2, A3 en el cálculo del Puntaje Básico de Matrícula (PBM) para asegurar que reflejen adecuadamente la inflación y la situación económica.
  2. Fortalecer los mecanismos de verificación en las carpetas socioeconómicas reportadas por los estudiantes.
  3. Considerar la implementación de estrategias de apoyo económico, comedores o transporte para el casi 48% restante que no logra los beneficios de cobro bajo del medio mínimo.