Tugas Ketidakpastian Estimasi

Tugas

Lakukan simulasi untuk mempelajari pengaruh ukuran sampel, variabilitas data (standar deviasi), dan pengetahuan tentang standar deviasi populasi (diketahui/tidak diketahui) terhadap lebar interval kepercayaan 95%, dengan informasi setiap faktor dan level sebagai berikut:

• Faktor 1: Ukuran Sampel (n), Level: 5, 30, 100
  
• Faktor 2: Variabilitas Data (Standar Deviasi, σ atau s), Level: 10, 50, 90
  

• Faktor 3: Pengetahuan Standar Deviasi Populasi, Level: Diketahui (σ), Tidak Diketahui (s)
  Interpretasikan hasilnya..

  # Parameter
  n_levels <- c(5, 30, 100)
  sd_levels <- c(10, 50, 90)
  alpha <- 0.05
  # Membuat tabel guna menyimpan hasil
  results <- expand.grid(n = n_levels, sd = sd_levels, status = c("Diketahui", "Tidak Diketahui"))
  results$width <- NA
  # Simulasi
  for(i in 1:nrow(results)) {
    n <- results$n[i]
    sigma <- results$sd[i]
    if(results$status[i] == "Diketahui") {
      z_val <- qnorm(1 - alpha/2)
      margin_of_error <- z_val * sigma / sqrt(n)
    } else {
      t_val <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1)
      margin_of_error <- t_val * sigma / sqrt(n) }
    results$width[i] <- 2 * margin_of_error}
  print(results)

  ##      n sd          status      width
  ## 1    5 10       Diketahui  17.530451
  ## 2   30 10       Diketahui   7.156777
  ## 3  100 10       Diketahui   3.919928
  ## 4    5 50       Diketahui  87.652254
  ## 5   30 50       Diketahui  35.783883
  ## 6  100 50       Diketahui  19.599640
  ## 7    5 90       Diketahui 157.774057
  ## 8   30 90       Diketahui  64.410989
  ## 9  100 90       Diketahui  35.279352
  ## 10   5 10 Tidak Diketahui  24.833280
  ## 11  30 10 Tidak Diketahui   7.468123
  ## 12 100 10 Tidak Diketahui   3.968434
  ## 13   5 50 Tidak Diketahui 124.166400
  ## 14  30 50 Tidak Diketahui  37.340614
  ## 15 100 50 Tidak Diketahui  19.842170
  ## 16   5 90 Tidak Diketahui 223.499520
  ## 17  30 90 Tidak Diketahui  67.213105
  ## 18 100 90 Tidak Diketahui  35.715905

  # Visualisasi
  library(ggplot2)
  
  results$n_num <- as.numeric(as.character(results$n))
  ggplot(results, aes(x = n_num, y = width, group = status, color = status)) +
    geom_line(linewidth = 1) + 
    geom_point(size = 3) +
    # scales = "free_y" agar setiap panel SD punya skala yang sesuai
    facet_wrap(~sd, labeller = label_both, scales = "free_y") + 
    labs(title = "Pengaruh Ukuran Sampel dan Variabilitas terhadap Lebar Selang",
         subtitle = "Perbandingan Distribusi Z (Diketahui σ) dan Distribusi t (Tidak Diketahui σ)",
         x = "Ukuran Sampel (n)",
         y = "Lebar Selang Kepercayaan (95%)",
         color = "Status Pengetahuan σ") +
    theme_minimal() +
    theme(legend.position = "bottom")

  ## Intepretasi Hasil Berdasarkan hasil simulasi di atas, berikut adalah analisis pengaruh setiap faktor terhadap lebar interval kepercayaan:
  • Ukuran Sampel (\(n\)): Semakin besar ukuran sampel, lebar interval semakin mengecil. Hal ini terjadi karena peningkatan informasi dari sampel yang lebih besar mengurangi ketidakpastian dalam estimasi parameter populasi.
    
  • Variabilitas Data (\(\sigma\) atau \(s\)): Semakin tinggi variabilitas data (standar deviasi yang lebih besar), lebar interval semakin besar. Data yang lebih tersebar memerlukan rentang yang lebih luas agar kita yakin dapat mencakup rata-rata populasi yang sebenarnya.
    

  • Pengetahuan Standar Deviasi Populasi: Menggunakan distribusi \(t\) (ketika standar deviasi populasi tidak diketahui) menghasilkan interval yang lebih lebar dibandingkan menggunakan distribusi \(Z\) (ketika standar deviasi populasi diketahui). Hal ini disebabkan adanya tambahan ketidakpastian saat kita harus mengestimasi variabilitas populasi dari sampel itu sendiri.