Lista 1: Regime de Capitalização de Juro
Simples
Soluções
MSP4111: Matemática Financeira Aplicada à Medicina
11 março 2026 19:54h
Bastão de Asclépio & Símbolo do Dinheiro
suppressMessages(library(FinCal, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(knitr, warn.conflicts=FALSE))1 APEx 15865: Lucro
- Ayres, 1981, p. 27
Um lucro de 40% sobre o preço de venda \(S\) de um artigo é equivalente a um lucro de \(X\%\) sobre o custo \(C\) para o comerciante. Qual é o valor de \(X\)?
A. \(2/3\)
B. \(1/3\)
C. \(5/3\)
D. \(200/3\)
E. \(100/3\)
F. \(500/3\)
G. Impossível calcular
Explicações e comentários:
Alternativa correta: D.
Se o lucro é de 40% sobre o preço de venda \(S\), então o custo é
\[ C = S - 0.40\,S = 0.60\,S = \frac{3}{5}S \]
Logo,
\[ S = \frac{5}{3}C \]
O lucro em termos do custo é
\[ L = S - C = \frac{5}{3}C - C = \frac{2}{3}C \]
Portanto, o lucro corresponde a
\[ \frac{2}{3} = 66\frac{2}{3}\% \text{ do custo} \]
Em porcentagem,
\[ 66\frac{2}{3}\% = \frac{200}{3}\% \]
2 APEx 15456: Juro
Juro é:
A. Montante + Principal
B. Montante − Principal
C. Montante × Principal
D. Montante / Principal
E. Montante ^ Principal
Explicações e comentários:
Alternativa correta: B.
Por definição, o juro é a diferença entre o montante e o principal. Assim, \(J = M - P\).
3 APEx 15458: RCJS
No regime de capitalização de juro simples, o _____ é capitalizado:
A. Principal
B. Montante
C. Juro
D. Principal + Juro
E. Montante − Principal
Explicações e comentários:
Alternativa correta: A.
No regime de capitalização de juro simples, os juros são calculados sempre sobre o capital inicial, que permanece constante ao longo do tempo. Assim, apenas o principal (capital inicial) é capitalizado.
4 APEx 15459: RCJC
No regime de capitalização de juro composto, o _____ é capitalizado:
A. Principal
B. Juro
C. Principal + Juro
D. Montante − Juro
E. Nenhuma das alternativas anteriores
Explicações e comentários:
Alternativa correta: C.
No regime de capitalização de juro composto, o montante é capitalizado, isto é, o capital acumulado ao final de cada período passa a ser a base de cálculo do período seguinte. Como o montante é formado pelo principal acrescido dos juros, tem-se que o que é capitalizado é
\[ \text{Principal} + \text{Juro} \]
5 APEx 15460: Valorização Dólar x Real
- Jr & Lima, 2011, p. 742
Num determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período.
Assim, com relação a este período, pode-se afirmar que:
A. O dólar se desvalorizou 25% em relação ao real.
B. O real se valorizou 20% em relação ao dólar.
C. O real se valorizou 25% em relação ao dólar.
D. O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar.
E. O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar.
Explicações e comentários:
Alternativa correta: C.
No início do período, a cotação era de R$ 2,50 por dólar. Logo,
\[ 1 \text{ real} = \frac{1}{2.50} = 0.40 \text{ dólar} \]
No fim do período, a cotação passou a R$ 2,00 por dólar, de modo que
\[ 1 \text{ real} = \frac{1}{2.00} = 0.50 \text{ dólar} \]
A valorização do real em relação ao dólar é
\[ \frac{0.50 - 0.40}{0.40} = \frac{0.10}{0.40} = 0.25 = 25\% \]
Por outro lado, a desvalorização do dólar em relação ao real é
\[ \frac{2.50 - 2.00}{2.50} = \frac{0.50}{2.50} = 0.20 = 20\% \]
Portanto, a afirmação correta é que o real se valorizou 25% em relação ao dólar.
6 APEx 15461: Ganho real
- Jr. & Lima, 2011, 743
Considere a relação entre taxas nominal, real e inflação:
\[ 1+i_R = \frac{1+i_N}{1+i_I} \]
sendo que \(i_R\) é a taxa de juro real, \(i_N\) a taxa de juro nominal e \(i_I\) a taxa de inflação.
Uma aplicação foi feita a uma taxa nominal de \(81.80\%\) ao período. Sabendo que a inflação no período foi de \(1\%\), a taxa de juro real é:
A. 80,08%
B. 80,80%
C. 80,00%
D. 82,80%
E. 81,00%
Explicações e comentários:
Alternativa correta: C.
Aplicando a fórmula,
\[ i_R = \frac{1+i_N}{1+i_I} - 1 \]
Substituindo os valores,
\[ \begin{align} i_R &= \frac{1+0.818}{1+0.01} - 1 \\ &= \frac{1.818}{1.01} - 1 \\ i_R &= 0.8 \end{align} \]
Logo, a taxa de juro real é \(80.00\%\) a.p.
7 APEx 15478: Dívida do João
- Tudo sobre o ENEM 2009, p. 97
João deve doze parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso ele quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, i.e., quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. Ele também poderia renegociar duas dívidas em dezoito parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, seu amigo José ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de dezoito meses, com juro de 25% sobre o total emprestado.
A opção que dá a João o menor gasto é:
A. Renegociar suas dívidas com o banco.
B. Pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas
dívidas.
C. Recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos
devidos prazos.
D. Pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque
especial e pagar as parcelas do cartão de crédito.
E. Pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de
crédito e pagar as parcelas do cheque especial.
Explicações e comentários:
Alternativa correta: E.
O total devido no cheque especial é
\[ 12 \times 150 = 1800 \]
O total devido no cartão é
\[ 5 \times 80 = 400 \]
Se quitar imediatamente o cheque especial, ganha duas parcelas de desconto, então paga
\[ (12-2) \times 150 = 10 \times 150 = 1500 \]
Se quitar imediatamente o cartão, ganha 25% de desconto, então paga
\[ (1-0.25)\times 400 = 0.75 \times 400 = 300 \]
O empréstimo de José cobra 25% sobre o total emprestado, logo, se João tomar emprestado \(P\), devolverá
\[ 1.25 \times P \]
Comparando as opções pelo gasto total:
\[ \begin{align} A &: 18 \times 125 = 2250 \\ B &: 1.25 \times (1500 + 300) = 1.25 \times 1800 = 2250\\ C &: 1800 + 400 = 2200 \\ D &: 1.25 \times 1500 + 400 = 1875 + 400 = 2275 \\ E &: 1.25 \times 300 + 1800 = 375 + 1800 = 2175 \end{align} \]
O menor gasto é \(2175\), correspondente à opção E.
8 APEx 15479: Descontos
- Guia do Estudante: ENEM 2010, p. 115
Numa loja de informática, Sílvia comprou um monitor e um teclado por R$ 800,00 e uma impressora por R$ 250,00. Ao encerrar a compra, o vendedor deu um desconto de R$ 50,00 no valor da impressora e fechou o pedido. No caixa, Sílvia viu o cartaz: Só hoje! 10% de desconto nas compras até R$ 1.000,00; 18% de desconto nas compras acima de R$ 1.000,00.
Diante dessa situação, o melhor para Sílvia é:
A. Permanecer com o desconto dado pelo vendedor e ainda receber o
desconto de 10% no caixa, pois economizará R$ 50,00.
B. Permanecer com o desconto dado pelo vendedor, reconhecendo que ele a
favoreceu fazendo com que ela economizasse R$ 150,00.
C. Optar por qualquer das propostas, pois o total de pagamento é o mesmo
tanto com o desconto dado pelo vendedor como com o desconto dado pelo
caixa.
D. Desistir do desconto na impressora, para não perder R$ 39,00 de
desconto dado pelo caixa.
E. Desistir do desconto dado pelo vendedor, pois ela gastará R$ 139,00
acima do valor da melhor oferta.
Explicações e comentários:
Alternativa correta: D.
Se Sílvia mantiver o desconto dado pelo vendedor, o valor da compra será
\[ 800 + (250 - 50) = 1000 \]
Nesse caso, ela recebe 10% de desconto no caixa, isto é,
\[ 0.10 \times 1000 = 100 \]
O desconto total será
\[ 50 + 100 = 150 \]
Se Sílvia desistir do desconto dado pelo vendedor, o valor da compra será
\[ 800 + 250 = 1050 \]
Como o total ultrapassa R$ 1.000,00, ela terá direito a 18% de desconto no caixa:
\[ 0.18 \times 1050 = 189 \]
Comparando os descontos,
\[ 189 - 150 = 39 \]
Logo, é melhor para Sílvia desistir do desconto na impressora, pois assim ela obtém R$ 39,00 a mais de desconto.
9 APEx 15480: Aplicação em ação
- Intensivão ENEM 2009, p. 263, questão 160
Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu retirar o montante de R$ 3.800,00 gerado pela aplicação.
A quantia inicial aplicada corresponde a:
A. R$ 4.222,22
B. R$ 4.523,80
C. R$ 5.000,00
D. R$ 13.300,00
E. R$ 17.100,00
Explicações e comentários:
Alternativa correta: C.
Seja \(X\) a quantia inicialmente aplicada. Após a perda de 30% no primeiro mês, o valor passa a ser \(0.7X\). No segundo mês, recupera-se 20% do que foi perdido, isto é, \(0.2 \times 0.3X = 0.06X\).
Assim, o montante final é
\[ \begin{align} X - 0.3 \times X + 0.2 \times 0.3 \times X &= 3800 \\ 0.76X &= 3800 \\ X &= 5000 \end{align} \]
Logo, a quantia inicial aplicada foi de R$ 5.000,00.
10 APEx 15481: Custo da raquete
- Concursos & Vestibular: Exatas, p. 65
Uma raquete custa, na loja A, R$ 15,00 mais caro do que na loja B. O proprietário da loja A, percebendo essa diferença, lança uma promoção oferecendo um desconto de 10% para que o preço de sua mercadoria se torne o mesmo da loja B.
Quanto custa a raquete na loja B?
A. R$ 135,00
B. R$ 150,00
C. R$ 165,00
D. R$ 1.485,00
E. Impossível determinar
Explicações e comentários:
Alternativa correta: A.
Seja \(B\) o preço da raquete na loja B. Então, o preço na loja A é \(B + 15\). Aplicando o desconto de 10% na loja A, tem-se
\[ (B + 15) - 0.1 \times (B + 15) = B \]
Equivalentemente,
\[ \begin{align} 0.90(B + 15) &= B \\ 0.90B + 13.5 &= B \\ B &= 135 \end{align} \]
Logo, o preço da raquete na loja B é R$ 135,00.
11 APEx 15863: RCJS
- Carvalho, 1975, p. 27
Um médico empregou seu capital à taxa de 5% a.a. Retirou, no fim de 6 meses, capital e juro e colocou-os à taxa de 6% a.a. durante 4 meses, recebendo no fim desse prazo o montante de R$ 20.910,00. O capital primitivo é:
A. R$ 21.000,00
B. R$ 19.000,00
C. R$ 20.000,00
D. R$ 20.500,00
E. Impossível calcular
Explicações e comentários:
Alternativa correta: C.
Seja \(C\) o capital inicial.
Primeira aplicação: taxa de 5% a.a. por 6 meses (\(0.5\) ano), em regime de juros simples:
\[ M_1 = C(1 + 0.05 \times 0.5) = C(1.025) \]
Segunda aplicação: taxa de 6% a.a. por 4 meses (\(\frac{4}{12}\) ano), também em juros simples:
\[ \begin{align} M_2 &= M_1 \left(1 + 0.06 \times \frac{4}{12}\right)\\ &= C(1.025)\left(1 + 0.02\right)\\ M_2 &= C(1.025 \times 1.02) \end{align} \]
Como o montante final é R$ 20.910,00,
\[ C(1.025 \times 1.02) = 20910 \]
Logo,
\[ \begin{align} C &= \frac{20910}{1.025 \times 1.02} \\ &= \frac{20910}{1.0455} \\ C &= 20000 \end{align} \]
Portanto, o capital primitivo é R$ 20.000,00.
12 APEx 15463: RCJS: taxa de juro
- Jr. & Lima, 2011, p. 751
Um capital unitário aplicado a juro simples gerou um montante de \(1.1\) u.m. ao fim de dois meses e meio. Qual é a taxa de juro simples anual de aplicação deste capital?
A. 4%
B. 10%
C. 12%
D. 48%
E. 84%
Explicações e comentários:
Alternativa correta: D.
No regime de juros simples, o montante é dado por
\[ M = C(1 + i \times n) \]
sendo que \(C\) é o capital inicial, \(i\) é a taxa de juro simples e \(n\) é o tempo.
Como o capital é unitário, \(C = 1\), o montante é \(M = 1.1\) e o tempo é \(n = 2.5\) meses. Logo,
\[ 1.1 = 1(1 + i_m \times 2.5) \]
sendo que \(i_m\) é a taxa mensal simples.
Isolando \(i_m\),
\[ \begin{align} 1.1 &= 1 + 2.5\,i_m \\ 2.5\,i_m &= 0.1 \\ i_m &= 0.04 \end{align} \]
Assim, a taxa mensal simples é \(4\%\) a.m. Como a taxa pedida é anual simples,
\[ i_a = 12 \times 4\% = 48\% \text{ a.a.} \]
13 APEx 15464: SCJS: juro comercial
- Jr. & Lima, 2011, p. 753
Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano (200 dias comerciais) a uma taxa de juro comercial de 36% a.a., produzindo um montante de R$ 4.800,00.
Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos.
A. R$ 3.941,00
B. R$ 3.986,00
C. R$ 3.996,00
D. R$ 4.000,00
E. R$ 4.067,00
Explicações e comentários:
Alternativa correta: D.
No regime de juros simples (juro comercial), vale
\[ M = C(1 + i \times n) \]
sendo que \(i\) é a taxa anual e \(n\) é o tempo em anos comerciais. Como o período é de 200 dias comerciais,
\[ n = \frac{200}{360} \]
Substituindo os valores,
\[ 4800 = C\left(1 + 0.36 \times \frac{200}{360}\right) \]
Logo,
\[ \begin{align} 4800 &= C(1 + 0.20) \\ 4800 &= 1.20\,C \\ C &= \frac{4800}{1.20} = 4000 \end{align} \]
Portanto, o capital aplicado foi R$ 4.000,00.
14 APEx 15465: RCJS: computador à vista ou parcelado
- Jr. & Lima, 2011, p. 771
Manuel pretende comprar um computador numa loja em que o preço de tabela é R$ 2.000,00. O vendedor lhe fez duas propostas de pagamento: uma, à vista, com desconto de \(D\%\) sobre o preço de tabela; outra em duas parcelas de R$ 1.000,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda um mês após a compra. Mesmo dispondo do dinheiro para a compra à vista, Manuel pensou na opção da compra a prazo, que lhe permitiria aplicar a diferença entre o preço à vista e o valor da primeira parcela, a uma taxa de 10% a.m.
Nessas condições, o menor número inteiro \(D\%\), que tornaria a proposta de compra à vista mais vantajosa para Manuel, é:
A. 3%
B. 4%
C. 5%
D. 6%
E. 7%
Explicações e comentários:
Alternativa correta: C.
O preço à vista com desconto \(D\%\) é \(2000(1-D)\).
Se Manuel optar pelo parcelamento, ele paga R$ 1.000,00 hoje e R$ 1.000,00 em 1 mês. Como ele pode aplicar dinheiro a 10% a.m., o valor presente da segunda parcela é \(\frac{1000}{1.1}\).
Logo, o valor presente do pagamento parcelado é \(1000 + \frac{1000}{1.1}\).
A condição de indiferença entre pagar à vista e parcelar é
\[ 2000(1-D) = 1000 + \frac{1000}{1.1} \]
Resolvendo para \(D\),
\[ \begin{align} 2000(1-D) &= 1000 + \frac{1000}{1.1} \\ 1-D &= \frac{1000}{2000} + \frac{1000}{2000}\frac{1}{1.1} \\ 1-D &= \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{1.1}\right) \\ D &= 1 - \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{1.1}\right) \end{align} \]
Calculando,
\[ D = 1 - \frac{1}{2}\left(1+0.9090909\right) \approx 0.04545 \]
isto é,
\[ D \approx 4.545\% \]
Para tornar a compra à vista mais vantajosa (desconto estritamente maior do que o ponto de indiferença), o menor inteiro é
\[ D = 5\% \]
15 APEx 15482: RCJS: Diferença de capitais
- Curso Preparatório ENEM 2011: Matemática I, p. 108
Um capital de R$ 30.000,00 foi dividido em duas aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juro anual; a outra, aplicação de risco, pagou uma taxa de 12% de juro anual. Ao término de um ano, observou-se que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram iguais.
Assim sendo, a diferença dos capitais aplicados foi de:
A. R$ 4.000,00
B. R$ 6.000,00
C. R$ 8.000,00
D. R$ 10.000,00
E. R$ 12.000,00
Explicações e comentários:
Alternativa correta: B.
Sejam \(A\) e \(B\) os capitais aplicados, respectivamente, às taxas de 8% a.a. e 12% a.a. Como o total investido foi R$ 30.000,00,
\[ A + B = 30000 \]
Os lucros ao final de um ano, em regime de juro simples, são
\[ L_A = 0.08 \times A \quad\text{e}\quad L_B = 0.12 \times B \]
Como os lucros foram iguais,
\[ 0.08 \times A = 0.12 \times B \]
Daí,
\[ B = \frac{2}{3}A \]
Substituindo na equação do total investido,
\[ \begin{align} A + \frac{2}{3}A &= 30000 \\ \frac{5}{3}A &= 30000 \\ A &= 18000 \end{align} \]
Logo,
\[ B = 12000 \]
A diferença entre os capitais aplicados é
\[ A - B = 18000 - 12000 = 6000 \]
16 APEx 15483: RCJS: dois empréstimos
- Curso Preparatório ENEM 2011: Matemática I, p. 108, questão 7
Vidal fez um empréstimo de certo valor, para ser quitado ao final de quatro meses, em parcela única. A taxa de juro negociada com o gerente do banco foi de 5% a.m. Exatamente um mês depois, sua namorada Madalena fez um empréstimo, do mesmo banco, de um valor para ser pago ao final de três meses, também em parcela única, ou seja, ambos os empréstimos vencem no mesmo dia. Sabe-se que o valor emprestado por Vidal é superior a dois salários mínimos. Considerar regime de juro simples.
Assinalar a alternativa correta:
A. Se o casal fez empréstimos de valores iguais, ainda que Madalena
pague uma taxa de juro 30% maior do que a taxa devida por Vidal, seu
saldo devedor será menor do que o de seu namorado.
B. Se Madalena fez empréstimo de um valor 10% superior àquele realizado
por Vidal, a uma taxa de 3% a.m., seu saldo devedor no vencimento será
igual ao de Vidal.
C. Suponha que eles realizaram empréstimos de valores iguais. Para que o
saldo devedor de ambos coincida, a taxa de juro paga por Madalena deverá
ser 40% superior à taxa paga por Vidal.
D. Se Madalena fez empréstimo 10% a menos que Vidal, a uma taxa de juro
equivalente ao dobro daquela devida por ele, eles terão saldos devedores
iguais na data de vencimento.
E. Sem conhecer o valor absoluto de cada empréstimo, ou o valor exato do
salário mínimo, é impossível fazer qualquer avaliação.
Explicações e comentários:
Alternativa correta: A.
Seja \(X\) o principal emprestado por Vidal. Como a taxa é 5% a.m. e o prazo é 4 meses (juro simples), o saldo devedor no vencimento é
\[ V = X\left(1+4\times 0.05\right)=1.2X \]
Se os valores emprestados forem iguais e Madalena pagar uma taxa 30% maior, então sua taxa é \(0.05\times 1.3=0.065\) a.m. e o prazo é 3 meses, logo
\[ M = X\left(1+3\times 0.065\right)=X(1+0.195)=1.195X \]
Como \(1.195X < 1.2X\), o saldo devedor de Madalena é menor do que o de Vidal.
17 APEx 15487: Matemática Comercial
- Iezzi et al., 2004, p. 21
Dois supermercados (X e Y) vendem leite em pó, de uma mesma marca, ao preço de R$ 4,00 a lata. Numa promoção, o supermercado X oferece 4 latas pelo preço de 3, e o supermercado Y dá um desconto de 20% em cada lata adquirida.
Em qual destas promoções você economizaria mais, se comprasse 11 ou 12 latas, respectivamente?
A. X, Y
B. Y, X
C. X, X
D. Y, Y
E. Impossível determinar
Explicações e comentários:
Alternativa correta: B.
Preço unitário: R$ 4,00.
Promoção X: a cada 4 latas, paga-se 3. Para \(q\) latas, \[ \text{pagas} = 3\left\lfloor\frac{q}{4}\right\rfloor + (q \bmod 4) \qquad C_X(q)=4\left[3\left\lfloor\frac{q}{4}\right\rfloor + (q \bmod 4)\right] \]
Promoção Y: desconto de 20% por lata, logo preço unitário é \[ 4(1-0.20)=3.2 \qquad C_Y(q)=3.2q \]
Para \(q=11\): \[ C_X(11)=4\,[3\cdot 2 + 3]=4\cdot 9=36.0 \qquad C_Y(11)=3.2\cdot 11=35.2 \] Logo, para 11 latas, economiza-se mais em Y.
Para \(q=12\): \[ C_X(12)=4\,[3\cdot 3 + 0]=4\cdot 9=36.0 \qquad C_Y(12)=3.2\cdot 12=38.4 \] Logo, para 12 latas, economiza-se mais em X.