En esta guía se explicará cómo generar la matriz \(\mathbf{A}\), la matriz \(\mathbf{P}\) y la matriz \(\mathbf{M}\) a partir de un modelo de regresión lineal múltiple. Para esto, se utilizará un conjunto de datos de ejemplo que contiene una variable dependiente \(Y\) y dos variables independientes \(X_1\) y \(X_2\).
# Cargar datos de documento .csv
library(readr)
ejemplo_regresion <- read_csv("D:/harold/Descargas/ejemplo_regresion.csv")# Generar el modelo de regresión lineal múltiple
Modelo_clase <- lm(Y ~ X1 + X2, data = ejemplo_regresion)
summary(Modelo_clase)##
## Call:
## lm(formula = Y ~ X1 + X2, data = ejemplo_regresion)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.085090 -0.039102 -0.003341 0.030236 0.105692
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 1.564e+00 7.940e-02 19.705 1.82e-15 ***
## X1 2.372e-01 5.556e-02 4.269 0.000313 ***
## X2 -2.491e-04 3.205e-05 -7.772 9.51e-08 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.0533 on 22 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8653, Adjusted R-squared: 0.8531
## F-statistic: 70.66 on 2 and 22 DF, p-value: 2.65e-10Para generar las matrices \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{P}\) y \(\mathbf{M}\), primero necesitamos la matriz
de diseño \(\mathbf{X}\), que incluye a
las variables independientes \(X_1\) y
\(X_2\) y una columna para el
intercepto (\(B_0\)).
La primera
columna de la matriz \(\mathbf{X}\)
siempre sera un vector columna lleno de unos (1); las siguientes
columnas corresponden a las variables independientes \(X_1\) y \(X_2\).
# Crear la matriz de diseño X
Mat_X <- model.matrix(Modelo_clase) |> print()## (Intercept) X1 X2
## 1 1 3.92 7298
## 2 1 3.61 6855
## 3 1 3.32 6636
## 4 1 3.07 6506
## 5 1 3.06 6450
## 6 1 3.11 6402
## 7 1 3.21 6368
## 8 1 3.26 6340
## 9 1 3.42 6349
## 10 1 3.42 6352
## 11 1 3.45 6361
## 12 1 3.58 6369
## 13 1 3.66 6546
## 14 1 3.78 6672
## 15 1 3.82 6890
## 16 1 3.97 7115
## 17 1 4.07 7327
## 18 1 4.25 7546
## 19 1 4.41 7931
## 20 1 4.49 8097
## 21 1 4.70 8468
## 22 1 4.58 8717
## 23 1 4.69 8991
## 24 1 4.71 9179
## 25 1 4.78 9318
## attr(,"assign")
## [1] 0 1 2La matriz \(\mathbf{A}\) se obtiene
a partir de la matriz de diseño \(\mathbf{X}\), se calcula usando la fórmula
\(\mathbf{A} =
(\mathbf{X^T}\cdot\mathbf{X})^{-1}\cdot\mathbf{X^T}\).
Como
ya tenemos la matriz de diseño \(\mathbf{X}_{\space25\times3}\), crearemos
su transpuesta \(\mathbf{X^T}\space_{3\times25}\).
Posteriormente se obtendrá el producto escalar de las dos matrices, la
matriz \(\mathbf{X^T}\cdot\mathbf{X}\space_{3\times3}\),
el producto escalar de la inversa de esta matriz (\((\mathbf{X^T}\cdot\mathbf{X})^{-1}\), de
misma dimensión) con la matriz \(\mathbf{X^T}\space_{3\times25}\) será
finalmente la matriz \(\mathbf{A}\space_{3\times25}\).
# Transpuesta de la matriz de diseño X
Mat_Xt <- t(Mat_X) |> print()## 1 2 3 4 5 6 7 8
## (Intercept) 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
## X1 3.92 3.61 3.32 3.07 3.06 3.11 3.21 3.26
## X2 7298.00 6855.00 6636.00 6506.00 6450.00 6402.00 6368.00 6340.00
## 9 10 11 12 13 14 15 16
## (Intercept) 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
## X1 3.42 3.42 3.45 3.58 3.66 3.78 3.82 3.97
## X2 6349.00 6352.00 6361.00 6369.00 6546.00 6672.00 6890.00 7115.00
## 17 18 19 20 21 22 23 24
## (Intercept) 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0 1.00 1.00 1.00
## X1 4.07 4.25 4.41 4.49 4.7 4.58 4.69 4.71
## X2 7327.00 7546.00 7931.00 8097.00 8468.0 8717.00 8991.00 9179.00
## 25
## (Intercept) 1.00
## X1 4.78
## X2 9318.00
## attr(,"assign")
## [1] 0 1 2# Producto escalar de X^T y X
Mat_Xt_X <- Mat_Xt %*% Mat_X |> print()## (Intercept) X1 X2
## (Intercept) 25.00 96.3400 181083.0
## X1 96.34 379.2928 710932.3
## X2 181083.00 710932.3200 1335796275.0# Inversa de la matriz X^T * X
Mat_Xt_X_inv <- solve(Mat_Xt_X) |> print()## (Intercept) X1 X2
## (Intercept) 2.2187404161 0.0848242578 -3.459214e-04
## X1 0.0848242578 1.0864857135 -5.897442e-04
## X2 -0.0003459214 -0.0005897442 3.615137e-07# Producto escalar de la inversa de X^T * X y X^T para obtener la matriz A
Mat_A <- Mat_Xt_X_inv %*% Mat_Xt |> print()## 1 2 3 4
## (Intercept) 2.671735e-02 1.536650e-01 2.048227e-01 0.2285864559
## X1 3.989544e-02 -3.565847e-02 -2.215854e-01 -0.4165400478
## X2 -1.939144e-05 3.278674e-06 9.513298e-05 0.0001955722
## 5 6 7 8
## (Intercept) 0.2471098101 0.267955249 2.881990e-01 3.021260e-01
## X1 -0.3943792324 -0.311747228 -1.830474e-01 -1.122102e-01
## X2 0.0001812249 0.000134385 6.311916e-05 2.350957e-05
## 9 10 11 12
## (Intercept) 3.125846e-01 3.115468e-01 3.109783e-01 0.3192380551
## X1 5.631978e-02 5.455055e-02 8.183743e-02 0.2183626148
## X2 -6.759587e-05 -6.651133e-05 -8.095003e-05 -0.0001547247
## 13 14 15 16
## (Intercept) 0.2647959132 0.2313887316 0.1593708433 0.0942621738
## X1 0.2008967572 0.2569672798 0.1718624834 0.2021429065
## X2 -0.0001379163 -0.0001631348 -0.0001079146 -0.0001150357
## 17 18 19 20
## (Intercept) 2.940927e-02 -0.0310791444 -0.1506869905 -2.013240e-01
## X1 1.857657e-01 0.2521791772 0.1989653933 1.879867e-01
## X2 -9.736917e-05 -0.0001243516 -0.0000795279 -6.669616e-05
## 21 22 23 24
## (Intercept) -3.118477e-01 -0.4081610633 -0.4936128503 -0.556949583
## X1 1.973536e-01 -0.0798709381 -0.1219474069 -0.211089593
## X2 -5.642085e-05 0.0001043654 0.0001385483 0.000194718
## 25
## (Intercept) -0.5990949550
## X1 -0.2170100301
## X2 0.0002036863La matriz de proyección \(\mathbf{P}\) se calcula usando la fórmula
\(\mathbf{P} =
\mathbf{X}\cdot\mathbf{A}\).
Dado que ya tenemos la matriz
\(\mathbf{A}\space_{3\times25}\) y la
matriz de diseño \(\mathbf{X}\space_{25\times3}\), solo
tenemos que obtener el producto escalar de estas dos matrices para
obtener la matriz \(\mathbf{P}\space_{25\times25}\).
# Producto escalar de X y A para obtener la matriz P
Mat_P <- Mat_X %*% Mat_A |> print()## 1 2 3 4 5 6
## 1 0.04158873 0.03781156 3.048860e-02 0.02303563 0.02372260 0.026648158
## 2 0.03781156 0.04741323 5.703616e-02 0.06552455 0.06569752 0.063757225
## 3 0.03048860 0.05703616 1.004618e-01 0.14349084 0.14037925 0.124733596
## 4 0.02303563 0.06552455 1.434908e-01 0.22220146 0.21541482 0.185200348
## 5 0.02372260 0.06569752 1.403792e-01 0.21541482 0.20921001 0.180792258
## 6 0.02664816 0.06375722 1.247336e-01 0.18520035 0.18079226 0.158754414
## 7 0.03129701 0.06007990 9.934054e-02 0.13689689 0.13519269 0.123010600
## 8 0.03383474 0.05820518 8.559755e-02 0.11059386 0.11039943 0.103660458
## 9 0.04004349 0.05252933 5.100009e-02 0.04570760 0.04892978 0.054990366
## 10 0.03998532 0.05253917 5.128549e-02 0.04629432 0.04947345 0.055393522
## 11 0.04100766 0.05149892 4.549412e-02 0.03555827 0.03927310 0.047250570
## 12 0.04603893 0.04688955 1.744909e-02 -0.01702736 -0.01054640 0.007798511
## 13 0.04579828 0.04461719 1.656080e-02 -0.01573428 -0.01001993 0.006644885
## 14 0.04814241 0.04075129 1.957310e-03 -0.04107698 -0.03451110 -0.013832267
## 15 0.04551090 0.04003970 1.383288e-02 -0.01510384 -0.01077924 0.002993784
## 16 0.04713214 0.03542863 2.000001e-03 -0.03358109 -0.02916052 -0.013531666
## 17 0.04701070 0.03255787 9.655854e-06 -0.03377378 -0.03017877 -0.016216760
## 18 0.04994515 0.02685737 -1.904159e-02 -0.06592067 -0.06147877 -0.042900936
## 19 0.04886272 0.02241431 -1.786905e-02 -0.05727177 -0.05480786 -0.041042251
## 20 0.04883537 0.02010589 -1.980380e-02 -0.05812998 -0.05627486 -0.043674112
## 21 0.05001919 0.01383400 -3.104239e-02 -0.07304609 -0.07186006 -0.059284179
## 22 0.04040327 0.01892940 1.923596e-02 0.02563620 0.02059045 0.011587364
## 23 0.03947851 0.01590533 2.092801e-02 0.03340359 0.02686436 0.014116670
## 24 0.03663083 0.01580855 3.438130e-02 0.06184036 0.05304706 0.033146114
## 25 0.03672810 0.01376819 3.209381e-02 0.05986710 0.05063077 0.030003329
## 7 8 9 10 11
## 1 3.129701e-02 0.033834744 0.040043491 0.039985317 0.04100766
## 2 6.007990e-02 0.058205176 0.052529329 0.052539165 0.05149892
## 3 9.934054e-02 0.085597548 0.051000087 0.051285486 0.04549412
## 4 1.368969e-01 0.110593862 0.045707605 0.046294321 0.03555827
## 5 1.351927e-01 0.110399429 0.048929776 0.049473450 0.03927310
## 6 1.230106e-01 0.103660458 0.054990366 0.055393522 0.04725057
## 7 1.025598e-01 0.091640109 0.062920604 0.063109962 0.05818661
## 8 9.164011e-02 0.085371329 0.067629278 0.067699807 0.06454509
## 9 6.292060e-02 0.067629278 0.076032081 0.075829293 0.07691052
## 10 6.310996e-02 0.067699807 0.075829293 0.075629759 0.07666767
## 11 5.818661e-02 0.064545086 0.076910524 0.076667674 0.07839425
## 12 3.489541e-02 0.050145832 0.083691329 0.083227155 0.08838551
## 13 3.142371e-02 0.045330207 0.076232442 0.075818693 0.08060435
## 14 1.741105e-02 0.034827185 0.074473737 0.073984332 0.08022514
## 15 2.384913e-02 0.035463862 0.061990628 0.061666884 0.06585153
## 16 1.059384e-02 0.023921981 0.055229525 0.054884418 0.05991338
## 17 5.670364e-03 0.017684986 0.046531179 0.046239071 0.05093572
## 18 -1.345506e-02 0.002635740 0.041865244 0.041492189 0.04793840
## 19 -1.844176e-02 -0.006266712 0.024852000 0.024613416 0.02986663
## 20 -2.260777e-02 -0.011340942 0.018136668 0.017936579 0.02297592
## 21 -3.763051e-02 -0.026183041 0.004885754 0.004716492 0.01012931
## 22 5.184751e-05 -0.006863930 -0.018703991 -0.018390895 -0.01984774
## 23 -2.788711e-03 -0.012765433 -0.031030084 -0.030614439 -0.03302593
## 24 5.416744e-03 -0.010589838 -0.042611712 -0.042027558 -0.04660778
## 25 1.376993e-03 -0.015176724 -0.048065153 -0.047454094 -0.05213122
## 12 13 14 15 16
## 1 0.046038933 0.045798283 0.04814241 0.045510898 0.047132139
## 2 0.046889547 0.044617195 0.04075129 0.040039703 0.035428634
## 3 0.017449090 0.016560798 0.00195731 0.013832885 0.002000001
## 4 -0.017027358 -0.015734277 -0.04107698 -0.015103836 -0.033581091
## 5 -0.010546403 -0.010019933 -0.03451110 -0.010779242 -0.029160523
## 6 0.007798511 0.006644885 -0.01383227 0.002993784 -0.013531666
## 7 0.034895411 0.031423714 0.01741105 0.023849129 0.010593837
## 8 0.050145832 0.045330207 0.03482719 0.035463862 0.023921981
## 9 0.083691329 0.076232442 0.07447374 0.061990628 0.055229525
## 10 0.083227155 0.075818693 0.07398433 0.061666884 0.054884418
## 11 0.088385511 0.080604350 0.08022514 0.065851527 0.059913384
## 12 0.115534854 0.105617598 0.11232580 0.087330333 0.085271677
## 13 0.105617598 0.097278159 0.10400832 0.081978444 0.081081798
## 14 0.112325805 0.104008320 0.11428940 0.089004701 0.090844454
## 15 0.087330333 0.081978444 0.08900470 0.072353813 0.073852397
## 16 0.085271677 0.081081798 0.09084445 0.073852397 0.078290810
## 17 0.074306310 0.071933225 0.08195660 0.068160746 0.074117541
## 18 0.079726880 0.077890979 0.09248418 0.075462692 0.085310455
## 19 0.055095904 0.056936697 0.07079203 0.061413561 0.073364592
## 20 0.046880620 0.050114337 0.06426903 0.057248734 0.070440106
## 21 0.035333920 0.041135721 0.05770913 0.053303532 0.070211887
## 22 -0.029396034 -0.017313040 -0.01374752 0.005809294 0.017310860
## 23 -0.047770704 -0.033003454 -0.03018006 -0.004854438 0.008026809
## 24 -0.072491687 -0.054913777 -0.05571007 -0.021705137 -0.009557036
## 25 -0.078713032 -0.060021365 -0.06039810 -0.024674895 -0.011396989
## 17 18 19 20 21
## 1 4.701070e-02 0.04994515 0.048862716 0.04883537 0.050019190
## 2 3.255787e-02 0.02685737 0.022414305 0.02010589 0.013833997
## 3 9.655854e-06 -0.01904159 -0.017869048 -0.01980380 -0.031042393
## 4 -3.377378e-02 -0.06592067 -0.057271769 -0.05812998 -0.073046093
## 5 -3.017877e-02 -0.06147877 -0.054807860 -0.05627486 -0.071860062
## 6 -1.621676e-02 -0.04290094 -0.041042251 -0.04367411 -0.059284179
## 7 5.670364e-03 -0.01345506 -0.018441763 -0.02260777 -0.037630506
## 8 1.768499e-02 0.00263574 -0.006266712 -0.01134094 -0.026183041
## 9 4.653118e-02 0.04186524 0.024852000 0.01813667 0.004885754
## 10 4.623907e-02 0.04149219 0.024613416 0.01793658 0.004716492
## 11 5.093572e-02 0.04793840 0.029866626 0.02297592 0.010129313
## 12 7.430631e-02 0.07972688 0.055095904 0.04688062 0.035333920
## 13 7.193323e-02 0.07789098 0.056936697 0.05011434 0.041135721
## 14 8.195660e-02 0.09248418 0.070792028 0.06426903 0.057709131
## 15 6.816075e-02 0.07546269 0.061413561 0.05724873 0.053303532
## 16 7.411754e-02 0.08531046 0.073364592 0.07044011 0.070211887
## 17 7.205185e-02 0.08416583 0.076401216 0.07509919 0.077986031
## 18 8.416583e-02 0.10232508 0.094798376 0.09433034 0.101153521
## 19 7.640122e-02 0.09479838 0.096014597 0.09873020 0.111008077
## 20 7.509919e-02 0.09433034 0.098730196 0.10269757 0.117430507
## 21 7.798603e-02 0.10115352 0.111008077 0.11743051 0.137942637
## 22 3.144922e-02 0.03992847 0.067329782 0.07826476 0.100211409
## 23 2.520430e-02 0.03359584 0.067425330 0.08066855 0.106460997
## 24 1.061421e-02 0.01526132 0.056453392 0.07188940 0.099800950
## 25 1.008350e-02 0.01562898 0.059326591 0.07577771 0.105773207
## 22 23 24 25
## 1 4.040327e-02 0.039478511 0.036630829 0.036728099
## 2 1.892940e-02 0.015905328 0.015808550 0.013768192
## 3 1.923596e-02 0.020928007 0.034381300 0.032093809
## 4 2.563620e-02 0.033403586 0.061840365 0.059867102
## 5 2.059045e-02 0.026864357 0.053047055 0.050630771
## 6 1.158736e-02 0.014116670 0.033146114 0.030003329
## 7 5.184751e-05 -0.002788711 0.005416744 0.001376993
## 8 -6.863930e-03 -0.012765433 -0.010589838 -0.015176724
## 9 -1.870399e-02 -0.031030084 -0.042611712 -0.048065153
## 10 -1.839090e-02 -0.030614439 -0.042027558 -0.047454094
## 11 -1.984774e-02 -0.033025927 -0.046607784 -0.052131218
## 12 -2.939603e-02 -0.047770704 -0.072491687 -0.078713032
## 13 -1.731304e-02 -0.033003454 -0.054913777 -0.060021365
## 14 -1.374752e-02 -0.030180062 -0.055710066 -0.060398099
## 15 5.809294e-03 -0.004854438 -0.021705137 -0.024674895
## 16 1.731086e-02 0.008026809 -0.009557036 -0.011396989
## 17 3.144922e-02 0.025204299 0.010614210 0.010083496
## 18 3.992847e-02 0.033595835 0.015261315 0.015628983
## 19 6.732978e-02 0.067425330 0.056453392 0.059326591
## 20 7.826476e-02 0.080668548 0.071889405 0.075777709
## 21 1.002114e-01 0.106460997 0.099800950 0.105773207
## 22 1.357829e-01 0.155593202 0.173616472 0.182532291
## 23 1.555932e-01 0.180141211 0.203749335 0.214471225
## 24 1.736165e-01 0.203749335 0.236134518 0.248424042
## 25 1.825323e-01 0.214471225 0.248424042 0.261545731La matriz de residuos \(\mathbf{M}\)
se calcula usando la fórmula \(\mathbf{M} =
\mathbf{I} - \mathbf{P}\), donde \(\mathbf{I}\) es la matriz identidad de
tamaño \(n\times n\) (en este caso,
\(25\times 25\)).
Primero,
creamos la matriz identidad \(\mathbf{I}\space_{25\times25}\) y luego
restamos la matriz de proyección \(\mathbf{P}\space_{25\times25}\) para
obtener la matriz de residuos \(\mathbf{M}\space_{25\times25}\).
# Crear la matriz identidad I de tamaño 25x25
Mat_I <- diag(nrow(Mat_P)) |> print()## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
## [1,] 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [2,] 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [3,] 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [4,] 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [5,] 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
## [6,] 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
## [7,] 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
## [8,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
## [9,] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
## [10,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
## [11,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
## [12,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
## [13,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
## [14,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [15,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [16,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [17,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [18,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [19,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [20,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [21,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [22,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [23,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [24,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [25,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25]
## [1,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [2,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [3,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [4,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [5,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [6,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [7,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [8,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [9,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [10,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [11,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [12,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [13,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [14,] 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [15,] 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [16,] 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [17,] 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
## [18,] 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
## [19,] 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
## [20,] 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
## [21,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
## [22,] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
## [23,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
## [24,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
## [25,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1# Calcular la matriz de residuos M
Mat_M <- Mat_I - Mat_P |> print()## 1 2 3 4 5 6
## 1 0.04158873 0.03781156 3.048860e-02 0.02303563 0.02372260 0.026648158
## 2 0.03781156 0.04741323 5.703616e-02 0.06552455 0.06569752 0.063757225
## 3 0.03048860 0.05703616 1.004618e-01 0.14349084 0.14037925 0.124733596
## 4 0.02303563 0.06552455 1.434908e-01 0.22220146 0.21541482 0.185200348
## 5 0.02372260 0.06569752 1.403792e-01 0.21541482 0.20921001 0.180792258
## 6 0.02664816 0.06375722 1.247336e-01 0.18520035 0.18079226 0.158754414
## 7 0.03129701 0.06007990 9.934054e-02 0.13689689 0.13519269 0.123010600
## 8 0.03383474 0.05820518 8.559755e-02 0.11059386 0.11039943 0.103660458
## 9 0.04004349 0.05252933 5.100009e-02 0.04570760 0.04892978 0.054990366
## 10 0.03998532 0.05253917 5.128549e-02 0.04629432 0.04947345 0.055393522
## 11 0.04100766 0.05149892 4.549412e-02 0.03555827 0.03927310 0.047250570
## 12 0.04603893 0.04688955 1.744909e-02 -0.01702736 -0.01054640 0.007798511
## 13 0.04579828 0.04461719 1.656080e-02 -0.01573428 -0.01001993 0.006644885
## 14 0.04814241 0.04075129 1.957310e-03 -0.04107698 -0.03451110 -0.013832267
## 15 0.04551090 0.04003970 1.383288e-02 -0.01510384 -0.01077924 0.002993784
## 16 0.04713214 0.03542863 2.000001e-03 -0.03358109 -0.02916052 -0.013531666
## 17 0.04701070 0.03255787 9.655854e-06 -0.03377378 -0.03017877 -0.016216760
## 18 0.04994515 0.02685737 -1.904159e-02 -0.06592067 -0.06147877 -0.042900936
## 19 0.04886272 0.02241431 -1.786905e-02 -0.05727177 -0.05480786 -0.041042251
## 20 0.04883537 0.02010589 -1.980380e-02 -0.05812998 -0.05627486 -0.043674112
## 21 0.05001919 0.01383400 -3.104239e-02 -0.07304609 -0.07186006 -0.059284179
## 22 0.04040327 0.01892940 1.923596e-02 0.02563620 0.02059045 0.011587364
## 23 0.03947851 0.01590533 2.092801e-02 0.03340359 0.02686436 0.014116670
## 24 0.03663083 0.01580855 3.438130e-02 0.06184036 0.05304706 0.033146114
## 25 0.03672810 0.01376819 3.209381e-02 0.05986710 0.05063077 0.030003329
## 7 8 9 10 11
## 1 3.129701e-02 0.033834744 0.040043491 0.039985317 0.04100766
## 2 6.007990e-02 0.058205176 0.052529329 0.052539165 0.05149892
## 3 9.934054e-02 0.085597548 0.051000087 0.051285486 0.04549412
## 4 1.368969e-01 0.110593862 0.045707605 0.046294321 0.03555827
## 5 1.351927e-01 0.110399429 0.048929776 0.049473450 0.03927310
## 6 1.230106e-01 0.103660458 0.054990366 0.055393522 0.04725057
## 7 1.025598e-01 0.091640109 0.062920604 0.063109962 0.05818661
## 8 9.164011e-02 0.085371329 0.067629278 0.067699807 0.06454509
## 9 6.292060e-02 0.067629278 0.076032081 0.075829293 0.07691052
## 10 6.310996e-02 0.067699807 0.075829293 0.075629759 0.07666767
## 11 5.818661e-02 0.064545086 0.076910524 0.076667674 0.07839425
## 12 3.489541e-02 0.050145832 0.083691329 0.083227155 0.08838551
## 13 3.142371e-02 0.045330207 0.076232442 0.075818693 0.08060435
## 14 1.741105e-02 0.034827185 0.074473737 0.073984332 0.08022514
## 15 2.384913e-02 0.035463862 0.061990628 0.061666884 0.06585153
## 16 1.059384e-02 0.023921981 0.055229525 0.054884418 0.05991338
## 17 5.670364e-03 0.017684986 0.046531179 0.046239071 0.05093572
## 18 -1.345506e-02 0.002635740 0.041865244 0.041492189 0.04793840
## 19 -1.844176e-02 -0.006266712 0.024852000 0.024613416 0.02986663
## 20 -2.260777e-02 -0.011340942 0.018136668 0.017936579 0.02297592
## 21 -3.763051e-02 -0.026183041 0.004885754 0.004716492 0.01012931
## 22 5.184751e-05 -0.006863930 -0.018703991 -0.018390895 -0.01984774
## 23 -2.788711e-03 -0.012765433 -0.031030084 -0.030614439 -0.03302593
## 24 5.416744e-03 -0.010589838 -0.042611712 -0.042027558 -0.04660778
## 25 1.376993e-03 -0.015176724 -0.048065153 -0.047454094 -0.05213122
## 12 13 14 15 16
## 1 0.046038933 0.045798283 0.04814241 0.045510898 0.047132139
## 2 0.046889547 0.044617195 0.04075129 0.040039703 0.035428634
## 3 0.017449090 0.016560798 0.00195731 0.013832885 0.002000001
## 4 -0.017027358 -0.015734277 -0.04107698 -0.015103836 -0.033581091
## 5 -0.010546403 -0.010019933 -0.03451110 -0.010779242 -0.029160523
## 6 0.007798511 0.006644885 -0.01383227 0.002993784 -0.013531666
## 7 0.034895411 0.031423714 0.01741105 0.023849129 0.010593837
## 8 0.050145832 0.045330207 0.03482719 0.035463862 0.023921981
## 9 0.083691329 0.076232442 0.07447374 0.061990628 0.055229525
## 10 0.083227155 0.075818693 0.07398433 0.061666884 0.054884418
## 11 0.088385511 0.080604350 0.08022514 0.065851527 0.059913384
## 12 0.115534854 0.105617598 0.11232580 0.087330333 0.085271677
## 13 0.105617598 0.097278159 0.10400832 0.081978444 0.081081798
## 14 0.112325805 0.104008320 0.11428940 0.089004701 0.090844454
## 15 0.087330333 0.081978444 0.08900470 0.072353813 0.073852397
## 16 0.085271677 0.081081798 0.09084445 0.073852397 0.078290810
## 17 0.074306310 0.071933225 0.08195660 0.068160746 0.074117541
## 18 0.079726880 0.077890979 0.09248418 0.075462692 0.085310455
## 19 0.055095904 0.056936697 0.07079203 0.061413561 0.073364592
## 20 0.046880620 0.050114337 0.06426903 0.057248734 0.070440106
## 21 0.035333920 0.041135721 0.05770913 0.053303532 0.070211887
## 22 -0.029396034 -0.017313040 -0.01374752 0.005809294 0.017310860
## 23 -0.047770704 -0.033003454 -0.03018006 -0.004854438 0.008026809
## 24 -0.072491687 -0.054913777 -0.05571007 -0.021705137 -0.009557036
## 25 -0.078713032 -0.060021365 -0.06039810 -0.024674895 -0.011396989
## 17 18 19 20 21
## 1 4.701070e-02 0.04994515 0.048862716 0.04883537 0.050019190
## 2 3.255787e-02 0.02685737 0.022414305 0.02010589 0.013833997
## 3 9.655854e-06 -0.01904159 -0.017869048 -0.01980380 -0.031042393
## 4 -3.377378e-02 -0.06592067 -0.057271769 -0.05812998 -0.073046093
## 5 -3.017877e-02 -0.06147877 -0.054807860 -0.05627486 -0.071860062
## 6 -1.621676e-02 -0.04290094 -0.041042251 -0.04367411 -0.059284179
## 7 5.670364e-03 -0.01345506 -0.018441763 -0.02260777 -0.037630506
## 8 1.768499e-02 0.00263574 -0.006266712 -0.01134094 -0.026183041
## 9 4.653118e-02 0.04186524 0.024852000 0.01813667 0.004885754
## 10 4.623907e-02 0.04149219 0.024613416 0.01793658 0.004716492
## 11 5.093572e-02 0.04793840 0.029866626 0.02297592 0.010129313
## 12 7.430631e-02 0.07972688 0.055095904 0.04688062 0.035333920
## 13 7.193323e-02 0.07789098 0.056936697 0.05011434 0.041135721
## 14 8.195660e-02 0.09248418 0.070792028 0.06426903 0.057709131
## 15 6.816075e-02 0.07546269 0.061413561 0.05724873 0.053303532
## 16 7.411754e-02 0.08531046 0.073364592 0.07044011 0.070211887
## 17 7.205185e-02 0.08416583 0.076401216 0.07509919 0.077986031
## 18 8.416583e-02 0.10232508 0.094798376 0.09433034 0.101153521
## 19 7.640122e-02 0.09479838 0.096014597 0.09873020 0.111008077
## 20 7.509919e-02 0.09433034 0.098730196 0.10269757 0.117430507
## 21 7.798603e-02 0.10115352 0.111008077 0.11743051 0.137942637
## 22 3.144922e-02 0.03992847 0.067329782 0.07826476 0.100211409
## 23 2.520430e-02 0.03359584 0.067425330 0.08066855 0.106460997
## 24 1.061421e-02 0.01526132 0.056453392 0.07188940 0.099800950
## 25 1.008350e-02 0.01562898 0.059326591 0.07577771 0.105773207
## 22 23 24 25
## 1 4.040327e-02 0.039478511 0.036630829 0.036728099
## 2 1.892940e-02 0.015905328 0.015808550 0.013768192
## 3 1.923596e-02 0.020928007 0.034381300 0.032093809
## 4 2.563620e-02 0.033403586 0.061840365 0.059867102
## 5 2.059045e-02 0.026864357 0.053047055 0.050630771
## 6 1.158736e-02 0.014116670 0.033146114 0.030003329
## 7 5.184751e-05 -0.002788711 0.005416744 0.001376993
## 8 -6.863930e-03 -0.012765433 -0.010589838 -0.015176724
## 9 -1.870399e-02 -0.031030084 -0.042611712 -0.048065153
## 10 -1.839090e-02 -0.030614439 -0.042027558 -0.047454094
## 11 -1.984774e-02 -0.033025927 -0.046607784 -0.052131218
## 12 -2.939603e-02 -0.047770704 -0.072491687 -0.078713032
## 13 -1.731304e-02 -0.033003454 -0.054913777 -0.060021365
## 14 -1.374752e-02 -0.030180062 -0.055710066 -0.060398099
## 15 5.809294e-03 -0.004854438 -0.021705137 -0.024674895
## 16 1.731086e-02 0.008026809 -0.009557036 -0.011396989
## 17 3.144922e-02 0.025204299 0.010614210 0.010083496
## 18 3.992847e-02 0.033595835 0.015261315 0.015628983
## 19 6.732978e-02 0.067425330 0.056453392 0.059326591
## 20 7.826476e-02 0.080668548 0.071889405 0.075777709
## 21 1.002114e-01 0.106460997 0.099800950 0.105773207
## 22 1.357829e-01 0.155593202 0.173616472 0.182532291
## 23 1.555932e-01 0.180141211 0.203749335 0.214471225
## 24 1.736165e-01 0.203749335 0.236134518 0.248424042
## 25 1.825323e-01 0.214471225 0.248424042 0.261545731Para verificar que las matrices \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{P}\) y \(\mathbf{M}\) se han calculado correctamente, podemos realizar algunas comprobaciones.
La matriz \(\mathbf{A}\) El objetivo final de la matriz \(\mathbf{A}\) es calcular los los estimadores \(\beta\), multiplicándola por el vector de valores observados de la variable dependiente \(Y\). Por lo tanto, podemos verificar que \(\mathbf{A}\cdot\mathbf{Y}\) nos da los mismos resultados que los coeficientes estimados del modelo de regresión lineal múltiple.
# Calcular los estimadores beta usando la matriz A y el vector de valores observados de Y
Mat_Y <- ejemplo_regresion$Y
Estimadores_beta <- Mat_A %*% Mat_Y |> print()## [,1]
## (Intercept) 1.5644967711
## X1 0.2371974748
## X2 -0.0002490793La matriz \(\mathbf{P}\) es una
matriz de proyección, lo que significa que al multiplicarla por el
vector de valores observados de la variable dependiente \(Y\), deberemos obtener los mismos valores
que los generados por R al usar el explorador de sub-objetos del modelo
de regresión lineal múltiple:
Modelo_clase$fitted.values.
# Calcular los Valores Ajustados usando el explorador de sub-objetos del modelo de regresión lineal múltiple
Valores_Ajustados <- as.matrix(Modelo_clase$fitted.values) |> print()## [,1]
## 1 0.6765303
## 2 0.7133412
## 3 0.6991023
## 4 0.6721832
## 5 0.6837597
## 6 0.7075753
## 7 0.7397638
## 8 0.7585979
## 9 0.7943078
## 10 0.7935605
## 11 0.7984347
## 12 0.8272778
## 13 0.8021665
## 14 0.7992462
## 15 0.7544349
## 16 0.7339716
## 17 0.7048866
## 18 0.6930338
## 19 0.6350898
## 20 0.6127185
## 21 0.5701215
## 22 0.4796371
## 23 0.4374811
## 24 0.3953981
## 25 0.3773799# Calcular los Valores Ajustados usando la matriz P y el vector de valores observados de Y
Valores_Ajustados_P <- Mat_P %*% Mat_Y |> print()## [,1]
## 1 0.6765303
## 2 0.7133412
## 3 0.6991023
## 4 0.6721832
## 5 0.6837597
## 6 0.7075753
## 7 0.7397638
## 8 0.7585979
## 9 0.7943078
## 10 0.7935605
## 11 0.7984347
## 12 0.8272778
## 13 0.8021665
## 14 0.7992462
## 15 0.7544349
## 16 0.7339716
## 17 0.7048866
## 18 0.6930338
## 19 0.6350898
## 20 0.6127185
## 21 0.5701215
## 22 0.4796371
## 23 0.4374811
## 24 0.3953981
## 25 0.3773799La matriz \(\mathbf{M}\) es una
matriz de residuos, lo que significa que al realizar el producto escalar
con la matriz de valores observados de la variable dependiente \(Y\), deberemos obtener los mismos valores
que los generados por R al utilizar el explorador de objetos del modelo
de regresión lineal múltiple: Modelo_clase$residuals.
# Calcular los Residuos usando el explorador de sub-objetos del modelo de regresión lineal múltiple
Residuos <- as.matrix(Modelo_clase$residuals) |> print()## [,1]
## 1 0.073469743
## 2 -0.003341163
## 3 -0.039102258
## 4 -0.062183196
## 5 0.016240338
## 6 0.012424659
## 7 0.030236216
## 8 -0.018597878
## 9 0.105692240
## 10 0.026439478
## 11 -0.048434733
## 12 -0.057277771
## 13 -0.022166535
## 14 0.040753758
## 15 0.035565142
## 16 -0.033971640
## 17 -0.024886579
## 18 0.026966239
## 19 -0.085089833
## 20 0.017281530
## 21 -0.010121525
## 22 -0.069637086
## 23 0.072518915
## 24 0.074601871
## 25 -0.057379932# Calcular los Residuos usando la matriz M y el vector de valores observados de Y
Residuos_M <- Mat_M %*% Mat_Y |> print()## [,1]
## 1 0.073469743
## 2 -0.003341163
## 3 -0.039102258
## 4 -0.062183196
## 5 0.016240338
## 6 0.012424659
## 7 0.030236216
## 8 -0.018597878
## 9 0.105692240
## 10 0.026439478
## 11 -0.048434733
## 12 -0.057277771
## 13 -0.022166535
## 14 0.040753758
## 15 0.035565142
## 16 -0.033971640
## 17 -0.024886579
## 18 0.026966239
## 19 -0.085089833
## 20 0.017281530
## 21 -0.010121525
## 22 -0.069637086
## 23 0.072518915
## 24 0.074601871
## 25 -0.057379932