suppressMessages(library(knitr, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(stringr, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(DescTools, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(units, warn.conflicts=FALSE))

1 Legenda

As respostas das questões podem apresentar uma ou mais soluções em:

	\(~~~\)	Algébrica
	\(~~~\)	WolframAlpha
	\(~~~\)	R
	\(~~~\)	R com força bruta
	\(~~~\)	Scilab
	\(~~~\)	ref. APEx

Código R

2 Material

HTML de Rmarkdown em RPubs

3 1.3.2 - Superfície cultivável da Terra

(ref. APEx 14756)

A superfície terrestre é constituída por água (71%) e terra (land) (29%). Dois quintos da terra (land) são desertos ou cobertos de gelo, e um terço é pasto, floresta ou montanha; o resto é cultivado. Que porcentagem da superfície total da Terra (Earth) é cultivada?

Solução:

(1-(2/5+1/3))*0.29

[1] 0.07733333

q1.3.2_14756.R

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

agua <- 0.71
terra <- 0.29
part.terra.deserto <- 2/5
part.terra.pasto <- 1/3

part.terra.cultivado <- (1-part.terra.deserto-part.terra.pasto)
cat("Parte da terra (land) que é cultivada: ",
    part.terra.cultivado,"\n",sep="")

part.global.cultivado <- part.terra.cultivado*terra 
cat("Superfície da Terra (Earth) que é cultivada: ",
    part.global.cultivado,"\n",sep="")

nomes.areas <- c("agua","deserto","pasto","cultivo")
areas <- c(0.71, 
           0.29*part.terra.deserto, 
           0.29*part.terra.pasto, 
           part.global.cultivado)
# http://www.stat.columbia.edu/~tzheng/files/Rcolor.pdf
cores.areas <- c("lightblue", "chocolate", "darkseagreen4", "chartreuse4")
pie(areas, 
   main="Distribuição das áreas globais",
   labels=nomes.areas, col=cores.areas)

Parte da terra (land) que é cultivada: 0.2666667
Superfície da Terra (Earth) que é cultivada: 0.07733333

4 1.3.4 - População do México

(ref. APEx 14758)

O México tinha uma população de 58.4 milhões de pessoas em 1974. A cada mês a população aumentava em 175.000. Calcule o aumento percentual anual.

Solução:

12*175000/58400000

[1] 0.0359589

q1.3.4_14758.R

invisible(Sys.setlocale("LC_CTYPE", "pt_BR.UTF-8"))
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

inicial <- 58.4e6
aumentomes <- 175000

# crescimento em um ano
populacao <- inicial
pops <- c(inicial)
cat("\nInicial: \t",populacao," pessoas",sep="")
for (t in 1:12)
{
  populacao <- populacao + aumentomes
  pops <- c(pops,populacao)
  cat("\nApós ",t," meses \t",populacao,sep="")
}
cat("\n")

aumentoporcento <- (populacao-inicial)/inicial*100
cat("\nCrescimento anual ",round(aumentoporcento,2)," %",sep="")

plot(0:12,pops,type="p", 
     main="População do México",
     xlab="meses",ylab="população")


Inicial:    58400000 pessoas
Após 1 meses    58575000
Após 2 meses    58750000
Após 3 meses    58925000
Após 4 meses    59100000
Após 5 meses    59275000
Após 6 meses    59450000
Após 7 meses    59625000
Após 8 meses    59800000
Após 9 meses    59975000
Após 10 meses   60150000
Após 11 meses   60325000
Após 12 meses   60500000

Crescimento anual 3.6 %

5 1.3.6 - Decaimento do isótopo ⁴²K

(ref. APEx 14757)

Em um determinado método de rastreamento, o isótopo de potássio ⁴²K é usado. Ele perde 5.4% de sua intensidade a cada hora. Que porcentagem ele perde em três horas?

Solução:

(1-((1-0.054)-(1-0.054)*0.054-((1-0.054)-(1-0.054)*0.054)*0.054))*100

[1] 15.34095

(1-(1-0.054)^3)*100

[1] 15.34095

q1.3.6_14757.R

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

inicial <- 1
perdahora <- 0.054

# decaimento
Krestante <- inicial
Ks <- c(inicial)
t <- 0
while (Krestante>0.01)
{
  Krestante <- Krestante - perdahora*Krestante
  t <- t+1
  Ks <- c(Ks,Krestante)
  if(t <= 10)
  {
    cat("\nApós ",t," horas resta ",round(Krestante*100,2),"%",
        " do total (perdeu-se ",round((1-Krestante)*100,2),"%)",
        sep="")
  }
  if(t==11)
  {
    cat("\netc.")
  }
}
cat("\n")

tempo <- 0:(length(Ks)-1)
plot(tempo,Ks,type="l", xlab="horas",ylab="⁴²K")
points(tempo,Ks,pch=21,col="black",bg="white")
x <- tempo[which(tempo==3)]
y <- Ks[which(tempo==3)]
points(x,y,pch=21,col="black",bg="black")


Após 1 horas resta 94.6% do total (perdeu-se 5.4%)
Após 2 horas resta 89.49% do total (perdeu-se 10.51%)
Após 3 horas resta 84.66% do total (perdeu-se 15.34%)
Após 4 horas resta 80.09% do total (perdeu-se 19.91%)
Após 5 horas resta 75.76% do total (perdeu-se 24.24%)
Após 6 horas resta 71.67% do total (perdeu-se 28.33%)
Após 7 horas resta 67.8% do total (perdeu-se 32.2%)
Após 8 horas resta 64.14% do total (perdeu-se 35.86%)
Após 9 horas resta 60.68% do total (perdeu-se 39.32%)
Após 10 horas resta 57.4% do total (perdeu-se 42.6%)
etc.

6 1.3.8 - Proporção de diabete

(ref. APEx 14759)

Em uma amostra da população adulta, os geneticistas encontraram 219 pessoas com diabetes mellitus, 380 pessoas com uma forma leve de diabetes e 3.050 pessoas sem indicação de diabetes. Encontre as proporções de cada grupo.

Solução:

219/(219+380+3050)

[1] 0.06001644

380/(219+380+3050)

[1] 0.1041381

3050/(219+380+3050)

[1] 0.8358454

q1.3.8_14759.R

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

diabete <- 219
prediabete <- 380
naodiabete <- 3050

dados <- matrix(data=c(diabete,prediabete,naodiabete), nrow=3, ncol=1)
rownames(dados) <- c("diabete","pré-diabete","não diabete")
dados <- cbind(dados,dados[,1]/sum(dados[,1]))
colnames(dados) <- c("pessoas","proporção")

pie(dados[,2], 
    main="Proporção de diabete\n(população adulta)",
    labels=paste0(rownames(dados),": ",round(dados[,2],3)))

7 1.3.10 - Proporção de premiados

(ref. APEx 14760)

Em um concurso, 22% dos competidores ganharam um prêmio. Dos vencedores 3% receberam uma distinção especial. Calcule a porcentagem do último grupo em relação ao número total de competidores.

Solução:

0.22*0.03*100

[1] 0.66

q1.3.10_14760.R

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

totalconcorrentes <- 1
premiados <- 0.22

# distincao dos premiados
distincao.premiados <- 0.03 # de premiados

# em relacao ao total
distincao.do.total <- distincao.premiados*premiados
cat("\nDistinção especial concedida a ",
    round(distincao.do.total*100,5),"%",
    " do total de concorrentes\n",sep="")


Distinção especial concedida a 0.66% do total de concorrentes

8 1.4.2 - Revolução verde

(ref. APEx 14761)

Devido à “revolução verde” um agricultor conseguiu aumentar a safra de trigo em 45%. Com base no novo valor, a próxima safra foi 20% menor. O resultado seria o mesmo se ele primeiro perdesse 20% e depois ganhasse 45%?

Solução:

(1+0.45)-(1+0.45)*0.2

[1] 1.16

(1+0.45)*(1-0.2)

[1] 1.16

(1-0.2)+(1-0.2)*0.45

[1] 1.16

(1-0.2)*(1+0.45)

[1] 1.16

q1.4.2_14761.R

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

cat("\n")
cat("\n1. A primeira safra foi 45% maior que a inicial, e a segunda teve redução de 20%:")
inicial <- 1
primeira <- 1+0.45
segunda <- primeira-0.20*primeira
ordem1 <- c(inicial, primeira, segunda)*100
cat("\n\tA segunda safra foi ",(segunda-inicial)*100,"% maior que a inicial.",sep="")

cat("\n")
cat("\n2. A primeira safra teve perda de 20% da inicial, e a segunda teve aumento de 45%:")
inicial <- 1
primeira <- 1-0.20
segunda <- primeira+0.45*primeira
ordem2 <- c(inicial, primeira, segunda)*100
cat("\n\tA segunda safra foi ",(segunda-inicial)*100,"% maior que a inicial.",sep="")

# trajetórias
plot(NA, xlim=c(0,3), ylim=c(0,max(c(ordem1,ordem2))), 
     xlab="Safra", ylab="Porcentagem em relação à inicial", axes=FALSE)
axis(1, at=1:3, labels=c("inicial", "primeira", "segunda"))
axis(2)
lines(1:3,ordem1, lty=1)
points(1:3,ordem1,pch=21,col="black",bg="black")
lines(1:3,ordem2, lty=2)
points(1:3,ordem2,pch=21,col="black",bg="white")
legend("bottomleft",
       c("+45% e -20%","-20% e +45%"),
       lty=c(1,2),
       pch=c(21,21),
       col=c("black","black"),
       pt.bg=c("black","white"),
       box.lwd=0,
       bg="transparent",border="transparent", bty="n")

cat("\n")



1. A primeira safra foi 45% maior que a inicial, e a segunda teve redução de 20%:
    A segunda safra foi 16% maior que a inicial.

2. A primeira safra teve perda de 20% da inicial, e a segunda teve aumento de 45%:
    A segunda safra foi 16% maior que a inicial.

9 1.10.6 - Halemaumau

(ref. APEx 14811)

A erupção do ano de 1967/68 do vulcão Halemaumau no Havaí produziu \(84\text{x}10^6 m^3\) de lava em 8.2 meses. Qual é a produção mensal média?

Solução:

84e6/8.2

[1] 10243902

Durante os 8 meses de erupção, cerca de 10 milhões de metros cúbicos foram ejetados do vulcão a cada mês.

10 1.10.8 - Civilização espaçosa

(ref. APEx 14788)

Em nossa civilização, cada pessoa precisa de 60 m² para moradia, 40 m² para seu trabalho, 50 m² para prédios públicos e instalações esportivas, 90 m² para tráfego e 4.000 m² para produção de alimentos na média. Algumas nações são superpovoadas. Tome por exemplo Suíça com seus 6.4 milhões de habitantes. A área arável e habitável totaliza 11.000 km². Para quantas pessoas a Suíça poderia fornecer espaço adequado?

Solução:

hab <- 60+40+50+90
ara <- 4000
suporte <- 11000000000/(hab+ara)
cat("\nA Suíça deveria comportar, no máximo,\n",
    suporte, " habitantes em seu território.",sep="")


A Suíça deveria comportar, no máximo,
2594340 habitantes em seu território.

11 1.10.12 - Volume de células esféricas

(ref. APEx 14789)

As células no tecido vivo são notavelmente uniformes em tamanho. O comprimento de uma célula típica é de cerca de 3 \(\mu\)m (micrômetro). Calcule o volume (em \(\mu\)m³) assumindo que a forma é esférica.

Solução:

Consulte a Web para encontrar a fórmula do volume de uma esfera. Por exemplo, na Wikipedia encontrará \(V = \dfrac{4}{3} \pi r^3\).

r <- 3/2
v <- (4/3)*pi*r^3
cat("O volume de uma célula esférica com raio ",r," é ",v,
    " micrômetros cúbicos.", sep="")

O volume de uma célula esférica com raio 1.5 é 14.13717 micrômetros cúbicos.

Note que, em R, pi não é uma variável: é uma constante pronta para uso na linguagem.

print(pi)

[1] 3.141593

12 1.10.16 - Óleo mineiral poluente

(ref. APEx 14790)

Um milhão de litros de água fresca misturados com um litro de óleo mineral é intragável. Que quantidade de óleo mineral infiltrado seria suficiente para destruir os 1.5 x 10¹⁰ litros de água subterrânea que servem de abastecimento de água a uma cidade com 100000 habitantes durante um ano?

Solução:

cat("Para comprometer 1.5e10 litros de água fresca\n",
    "são necessários ",1.5e10/1e6,
    " litros de óleo mineiral.", sep="")

Para comprometer 1.5e10 litros de água fresca
são necessários 15000 litros de óleo mineiral.

Note que as quebras de linha dependem de \n, e não de como você digita o código em R.

13 1.10.18 - Herbicida em Iowa

(ref. APEx 14791)

Quando os cereais são semeados, 5 kg de herbicidas são distribuídos por hectare para suprimir o crescimento de ervas daninhas. Quantas toneladas métricas de herbicida seriam necessárias para cobrir uma área tão grande quanto o estado de Iowa (146 x 10³ km²). (Observe que 1 ha = 10.000 m².)

Solução:

Cuidado com as unidades de medida.

Como a quantidade de herbicida é medida por hectare, converte-se a área de Iowa de quilômetros quadrados para hectares.

Como \(1e4~\dfrac{m^2}{ha} = \dfrac{1e4}{1e6}~\dfrac{km^2}{ha} = 1e-2~\dfrac{km^2}{ha}\),

\(~~~~\text{Área de Iowa} = \dfrac{146e3}{1e-2}~\dfrac{km^2}{\frac{km^2}{ha}} = 146e5~ha = 1.46e7~ha\)

Consome-se \(5~kg/ha\) de herbicida. Portanto, aA quantidade de herbicida necessária é dada por:

\(5~\dfrac{kg}{ha} \cdot 1.46e7~ha = 7.3e7~kg = 73000000\)

Que, em toneladas métricas, é

\(\dfrac{7.30e7}{1e3}~t=7.3e4~t=73000~t\)

Portanto, são necessários 73000000 kg (73 mil toneladas métricas) de herbicida para cobrir a área de Iowa.

Em um único passo: 5 kg vezes a área de Iowa convertida de \(km^2\) para hectare por 1e6/1e4 (1e6 é \(m^2\) para \(km^2\) e 1e4 por conta de 10000 \(m^2\) correspondendo a 1 hectare), dividindo por 1000 para converter de quilograma para toneladas:

(5*146e3*1e6/1e4)/1e3

[1] 73000

Passo a passo:

q1.10.18_14791.R

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# Quando os cereais são semeados, 5 kg de herbicidas são distribuídos
# por hectare para suprimir o crescimento de ervas daninhas. 
# Quantas toneladas métricas de herbicida seriam necessárias para cobrir 
# uma área tão grande quanto o estado de Iowa (146 x 10<sup>3</sup> km<sup>2</sup>).
# (Observe que 1 ha = 10.000 m<sup>2</sup>.)

# Iowa de m2 para ha
#             area(km2) ... area(ha) 
# 1e4(m2) ... 1e-2(km2)... 1(ha)
area <- 146e3/1e-2 # km2 -> ha
cat("\nÁrea de Iowa = ",area," ha", sep="")

# Herbicida
# 1ha ... 5 kg
# area ... herbicida (incognita)
herbicida <- 5*area # kg
cat("\nHerbicida = ",herbicida," kg", sep="")
cat("\nHerbicida = ",herbicida/1e3," ton", sep="")


Área de Iowa = 14600000 ha
Herbicida = 7.3e+07 kg
Herbicida = 73000 ton

14 1.10.20 - Particulado em Chicago

(ref. APEx 14792)

Medições ao longo de 1970 mostraram que as partículas suspensas no ar de Chicago têm uma massa média de 0.45 x 10^-6 \(\mu\)g (\(\mu\)g = micrograma). A densidade média dessas partículas foi de 86 \(\mu\)g/m³. Se todas as partículas fossem do mesmo tamanho, quantas delas estariam em um metro cúbico de ar?

Solução:

86/0.45e-6

[1] 191111111

15 1.10.22 - Esporos de samambaia de cabra

(ref. APEx 14886)

Esporos de samambaias de cabra na atmosfera e são distribuídos por toda a terra pelos ventos. Eles retornam à terra apenas pela chuva. Que massa tem um esporo esférico de diâmetro 30 \(\mu\)m, se a densidade for assumida como 1.0 g cm^-3?

Volume da esfera = \(\dfrac{4}{3} \pi r^3\)

Solução:

A resposta é direta, com o devido cuidado a tomar ao converter unidades de medida, especialmente quando há medidas quadradas ou cúbicas, para não errar nas casas decimais.

Dados:

Diâmetro de esporo esférico: 30 micrômetros
Densidade: 1 g/cm³
Pede-se a massa de um esporo

converter o diâmetro em cm: 30 micrômetros = 0.003 cm
calcular o volume do esporo: \(\dfrac{4}{3} \pi(0.003/2)^3 = 1.41372\text{e}-8\) cm³
densidade é massa/volume, então: 1.41372e-8 cm³ esetá para a massa do esporo, assim como 1 cm³ está para 1 g

Resposta:

massa do esporo = 1.41372e-8 g

Existe o pacote units que incorpora as unidades de medida nos valores e facilita lidar com unidades de medida diversas. Este é um exemplo:

q1.10.22_14793.R

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# cria o raio em micrometro
r <- 30/2
r <- units::set_units(r, micrometer)
cat("\nRaio de um esporo: ")
print(r)

vol_esporo <- (4/3)*pi*r^3
cat("\nVolume de um esporo: ")
print(vol_esporo)

# outra forma de criar e incorporar unidade simultaneamente
cat("\nDensidade de um esporo: ")
print(densidade_esporo <- 1 * units::make_units(gram/centimeter^3))

cat("\nMassa de um esporo: ")
print(vol_esporo*densidade_esporo)


Raio de um esporo: 15 [micrometer]

Volume de um esporo: 14137.17 [micrometer^3]

Densidade de um esporo: 1 [g/centimeter^3]

Massa de um esporo: 1.413717e-08 [g]

Note que na última multiplicação, o volume está em \(\mu\)m³ e a densidade em g/cm³.

16 1.10.24 - Trabalho sistólico

(ref. APEx 14795)

O trabalho mecânico realizado quando um volume sistólico de cerca de 100 ml de sangue é bombeado através da árvore vascular contra uma pressão de cerca de 100 mm Hg é de 1.32 J. Essa energia é transformada em calor por fricção. Encontre o aumento da temperatura para o bombeamento de 1 litro de sangue (Dica: Com a energia de 4200 J, um litro de água ou sangue pode ser aquecido em 1°C.).

Solução por regra de 3:

Energia para bombear 100 ml: 1.32 J
Então, para bombear 1 litro: 13.2 J

Aumento de 1\(^\circ\)C requer 4200 J

Então, 13.2 J leva aumento de temperatura, \(\Delta T\):

4200 J …… 1\(^\circ\)C

13.2 J …….. \(\Delta T\)

Calcula-se:

\[ \Delta T = (13.2 \times 1) / 4200 = 0.003142857 \]

((1e3/1e2)*1.32)/4.2e3

[1] 0.003142857

17 PP.p645 - Everest

(ref. APEx 14780)

Suponha que o Monte Everest consista inteiramente de granito com densidade uniforme de 165 lb/ft³. A resistência ao esmagamento (limiar de pressão) do granito é 4 × 10^6 lb/ft². O Monte Everest é modelado por um cone de diâmetro e altura iguais a 6 mi. A massa é igual o produto da densidade pelo volume. A pressão é igual à massa dividida pela área da base. De acordo com este modelo, o granito é suficiente para suportar a pressão exercida pelo Monte Everest? Qual é esta pressão?

Nota. Segundo a https://en.wikipedia.org/wiki/Mount_Everest, o Monte Everest (aceito na forma portuguesa também como Evereste), tem altura de 8848.86 m (não exatamente o que é proposto neste modelo). Seus nomes originais, escritos em várias línguas locais (Nepali: Sagarmāthā; Tibetan: Chomolungma; Chinese: Zhūmùlǎngmǎ Fēng ou Shèngmǔ Fēng), significando Mãe Sagrada ou Montanha Sagrada, foram substituídos pelo Inspetor Geral da Índia, Sir Andrew Waugh, quando a Índia estava sob o domínio inglês, em homenagem ao seu predescessor, Sir George Everest. Curiosamente, Everest opôs-se à ideia procurando respeitar os nomes locais, mas foi voto vencido pela Royal Geographical Society, que oficializou o nome ocidental em 1865.

Dica:

dicaEverest.R

# usando o pacote units:
h <- 8848.86 * units::make_units(m)
cat("Altura do Everest: "); print(h)
h <- units::set_units(h, mi)
cat("... convertida para: "); print(h)

Altura do Everest: 8848.86 [m]
... convertida para: 5.498427 [mi]

Solução:

h = 6 mi

r = 6/2 mi

Volume = (1/3) × π × r² × h = 57 mi³ = 8.6 × 10¹² ft³

Massa = 165 lb/ft³ × 8.6 x 10¹² ft³ = 1.4 × 10¹⁵ lb

Área = π × r² = 28 mi² = 8 × 10⁸ ft²

Pressão = massa/área da base = 1.4 × 10¹⁵ lb/ 8 × 10⁸ ft² = 1.8 × 10⁶ lb/ft².

qPP.p645_14780.R

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# Volume do Everest com diâmetro = altura = 6 milhas
# volume de um cone (https://pt.wikipedia.org/wiki/Cone)
h <- 6
r <- h/2
v <- (1/3)*pi*(r^2)*h # milhas cúbicas

# 1 mi^3 = 147197952008.78 ft^3
v <- v*147197952008.78 # pés cúbicos
cat("\nVolume do Everest = ",sprintf("%.2e",v)," ft³",sep="")

# área da base do Everest
# área de um círculo (https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo)
a <- pi*(r^2) # milhas quadradas
# conversão em pés # 27878400 ft²
a <- a * 27878400
cat("\nÁrea da base do Everest = ",sprintf("%.2e",a)," ft²",sep="")

# massa = densidade*volume
d <- 165 # libras / pé cúbico
m <- d * v  # libras
cat("\nMassa do Everest = ",sprintf("%.2e",m)," lb",sep="")

# pressão exercida = massa / área
pressao <- m / a # libras / pés quadrados
cat("\nPressão exercida pelo Everest = ",sprintf("%.2e",pressao)," libras/ft²",sep="")

# resistência ao esmagamento do granito (dado)
resistencia <- 4e6 # lb/ft^2
cat("\nLimiar de pressão do granito = ",sprintf("%.2e",resistencia)," libras/ft²",sep="")

# comparativo
if (resistencia >= pressao)
{
  cat("\n\nO granito suporta a pressão exercida pelo Everest.\n",sep="")
} else
{
  cat("\n\nO granito não pode suportar a pressão exercida pelo Everest.\n",sep="")
}


Volume do Everest = 8.32e+12 ft³
Área da base do Everest = 7.88e+08 ft²
Massa do Everest = 1.37e+15 lb
Pressão exercida pelo Everest = 1.74e+06 libras/ft²
Limiar de pressão do granito = 4.00e+06 libras/ft²

O granito suporta a pressão exercida pelo Everest.

A pressão exercida pelo Monte Everest (1.74 × 10⁶ lb/ft²) é menor do que a resistência ao esmagamento do granito (4 × 10⁶ lb/ft²) e, portanto, o granito é capaz de suportar esta pressão.

Uma alternativa ainda mais funcional, usando o pacote units que evita que tenhamos que pensar nas conversões destas unidades de medida: qPP.p645_14780b.R

invisible(Sys.setlocale("LC_CTYPE", "pt_BR.UTF-8"))
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

cat("\n")
# massa = densidade*volume
d <- units::set_units(165, lb/ft^3)
cat("Densidade do Everest = ")
print(d)

resistencia <- units::set_units(4e6, lb/ft^2)
cat("Limiar de pressão do granito = ")
print(resistencia)

# Volume do Everest com diâmetro = altura = 6 milhas
# volume de um cone (https://pt.wikipedia.org/wiki/Cone)
h <- units::set_units(6, mi)
r <- h/2
v <- (1/3)*pi*(r^2)*h # milhas cúbicas
cat("Volume do Everest = ")
print(v)

# área da base do Everest
# área de um círculo (https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo)
a <- pi*(r^2) # milhas quadradas
cat("Área da base do Everest = ")
print(a)

m <- d * v  # libras
cat("Massa do Everest = ")
print(m)

# pressão exercida = massa / área
pressao <- m / a # libras / pés quadrados
cat("Pressão exercida pelo Everest = ")
print(pressao)

# comparativo
if (resistencia >= pressao)
{
  cat("\nO granito suporta a pressão exercida pelo Everest.\n",sep="")
  cat("\nA resistência do granito é ",resistencia/pressao, 
      " vezes maior que a pressão exercida.")
} else
{
  cat("\n\nO granito não pode suportar a pressão exercida pelo Everest.\n",sep="")
}


Densidade do Everest = 165 [lb/ft^3]
Limiar de pressão do granito = 4e+06 [lb/ft^2]
Volume do Everest = 56.54867 [mi^3]
Área da base do Everest = 28.27433 [mi^2]
Massa do Everest = 1.373435e+15 [lb]
Pressão exercida pelo Everest = 4.857532e+13 [lb/mi^2]

O granito suporta a pressão exercida pelo Everest.

A resistência do granito é  2.295684  vezes maior que a pressão exercida.

18 ARb.p61 - As vacas no prado

(ref. APEx 14783)

A erva de um prado cresce em todo ele com rapidez e espessura constantes. Sabe-se que 70 vacas comeriam a erva em 24 dias e 30 em 60 dias. Quantas vacas comeriam a erva em 96 dias?

Solução:

A cada dia a erva cresce em uma quantidade \(d\).
Cada vaca ingere, diariamente, \(c\).
Quando 70 vacas estão no prado, a erva acaba em 24 dias.

Portanto, a cada dia, \(\dfrac{1}{24}\) do prado é consumido:

\[d-70c=\dfrac{1}{24}\]

Da mesma forma, quando 30 vacas estão no prado:

\[d-30c=\dfrac{1}{60}\]

Queremos saber quantas vacas (\(v\)) consomem o prado em 96 dias: \[d-vc=\dfrac{1}{96} \Rightarrow v=\dfrac{d-\dfrac{1}{96}}{c}\] Das primeiras duas equações, encontramos os valores de \(d\) e \(c\):

\[\left\{\begin{matrix} d-70c=\dfrac{1}{24}~~~~(1)\\ d-30c=\dfrac{1}{60}~~~~(2) \end{matrix}\right.\]

De \((2)\): \[c=\dfrac{d-\dfrac{1}{60}}{30}~~~~(3)\] Substituindo em \((1)\): \[d = \dfrac{1}{24}+70c = \dfrac{1}{24}+70\dfrac{d-\dfrac{1}{60}}{30} = -\dfrac{1}{480}\] Voltando a \((3)\) \[c=\dfrac{d-\dfrac{1}{60}}{30}=\dfrac{-\dfrac{1}{480}-\dfrac{1}{60}}{30}=-\dfrac{1}{1600}\] Com os valores de \(c\) e \(d\) localizados, obtém-se: \[v=\dfrac{d-\dfrac{1}{96}}{c} = \dfrac{-\dfrac{1}{480}-\dfrac{1}{96}}{-\dfrac{1}{1600}} = 20\]

Resposta:

20 vacas consumem o pasto em 96 dias.

Com as mesmas três equações elaboradas, é só transferi-las na notação adequada:

d-70c=1/24 and d-30c=1/60 and d-vc=1/96

Para aqueles familiarizados, o WolframAlpha também aceita expressões matemáticas em \(\LaTeX\):

d-70c=\frac{1}{24} and d-30c=\frac{1}{60} and d-vc=\frac{1}{96}

Em R não apresentamos uma solução. Apenas um gráfico representando a solução encontrada:

qArb.p61_14783.R

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

d <- -1/480 # quanto o prado cresce e é consumido por dia
c <- -1/1600 # quanto uma vaca tira do prado em um dia

# x é o número de dias para consumir o prado completamente
# variando de 10 a 100, para vermos o comportamento da função
x <- 10:100
v <- (d - 1/x)/c

plot(x,v,
     xlab="Dias para consumir todo o prado",
     ylab="Quantidade de vacas necessárias",
     ylim=c(0,max(v)),
     type="l")
# prado consumido em 24, 60 e 90 dias
ptos <- c(24,60,96)
for (p in ptos)
{
  p2 <- which(x==p) # posicao do vetor
  points(x[p2],v[p2], pch=21, col="black", bg="black")
  lines(c(-10,x[p2],x[p2]), c(v[p2],v[p2],-10), lty=2)
  text(15,v[p2],paste0(v[p2]," vacas"))
  text(x[p2],0,paste0(x[p2]," dias"))
}

19 ARb.p239 - A mais antiga progressão: cem medidas

(ref. APEx 14799)

Cinco pessoas repartiram entre si cem medidas de trigo de tal modo que a segunda recebeu mais do que a primeira tanto quanto coube à terceira mais do que à segunda, a terceira mais que a segunda, a quarta mais do que a terceira e a quinta mais do que a quarta. Além disso, as duas primeiras receberam sete vezes menos do que as três restantes. Quanto recebeu cada uma?

Solução:

\[ \begin{align} x+(x+y)+(x+2y)+(x+3y)+(x+4y)&=100 \\ 7(x+(x+y))&=(x+2y)+(x+3y)+(x+4y) \end{align} \]

Portanto, \(x = 5/3\), \(y = 55/6\).

O trigo deve ser repartido do seguinte modo, respetivamente, \(1\frac{2}{3}\), \(10\frac{5}{6}\), \(20\), \(29\frac{1}{6}\), \(38\frac{1}{3}\).

Definindo \(q_i,~i=1,2,3,4,5\) como a quantia recebida pelas cinco pessoas.

A primeira recebe certa quantidade (ainda) desconhecida \(Q\):

\[q_1 = Q\]

A segunda recebeu mais do que a primeira tanto quanto coube à terceira mais do que à segunda, a terceira mais que a segunda, a quarta mais do que a terceira e a quinta mais do que a quarta. Este “tanto quanto” é uma outra quantidade (ainda) desconhecida, de tal forma que

\[ \begin{align} q_2 &= q_1+s = Q+s \\ q_3 &= q_2+s = Q+2s \\ q_4 &= q_3+s = Q+3s \\ q_5 &= q_4+s = Q+4s \end{align} \]

Como sabemos que, no total, repartiram 100 medidas de trigo

\[q_1+q_2+q_3+q_4+q_5=5Q + 10s=100~~~~~(1)\]

Temos uma equação com duas incógnitas. Precisamos de mais uma, o que sabemos da segunda parte do enunciado: “as duas primeiras receberam sete vezes menos do que as três restantes”:

\[ \begin{align} 7(q_1+q_2) &= q_3 + q_4 + q_5 \\ 7(Q+Q+s) &= Q+2s + Q+3s + Q+4s \\ 11Q - 2s &= 0 \\ s&=\dfrac{11}{2}Q~~~~(2) \\ \end{align} \]

Substituindo (2) em (1):

\[ \begin{align} Q &= \dfrac{5}{3} \\ s &= \dfrac{55}{6} \end{align} \]

Portanto as cinco pessoas repartiram as 100 medidas de trigo assim:

\[ \begin{align} q_1 &= Q = \dfrac{5}{3} \\ q_2 &= Q+s = \dfrac{65}{6} \\ q_3 &= Q+2s = 20 \\ q_4 &= Q+3s = \dfrac{175}{6} \\ q_5 &= Q+4s = \dfrac{115}{3} \end{align} \]

Toda a álgebra acima é resumida em um único passo:

5Q+10s=100,11Q-2s=0,q_1=Q,q_2=Q+s,q_3=Q+2s,q_4=Q+3s,q_5=Q+4s

Estas frações são ruins de ler, pouco naturais para o problema de saber quantas medidas de trigo cada pessoa recebeu. Em inglês as frações que destacam os inteiros são chamadas de números mistos ou frações mistas, literalmente traduzidas em inglês como mixed numbers ou mixed fractions. O Wolfram|Alpha entende comandos em linguagem natural. Então:

para \(q_1\) use convert to mixed number 5/3 resulta em \(1\frac{2}{3}\)
para \(q_2\) use convert to mixed number 65/6 resulta em \(10\frac{5}{6}\)
para \(q_3\) não precisa, já é inteiro, \(20\)
para \(q_4\) use convert to mixed number 175/6 resulta em \(29\frac{1}{6}\)
para \(q_5\) use convert to mixed number 115/3 resulta em \(38\frac{1}{3}\)

Também pode conferir suas respostas:

(1+2/3)+(10+5/6)+20+(29+1/6)+(38+1/3) tem que totalizar 100
(os parênteses são desnecessários, escritos aqui só para enfatizar o que veio de cada uma das cinco pessoas).

(1+2/3)+(10+5/6) = (20+(29+1/6)+(38+1/3))/7 tem que resultar True porque “as duas primeiras pessoas receberam sete vezes menos do que as três restantes”.

20 ARb.p245 - A comida para as galinhas

(ref. APEx 14784)

Para 31 galinhas foi preparada uma certa reserva de comida à base de um decalitro semanal para cada uma. Isto foi feito supondo que o número de galinhas permanecia constante. Mas como em cada semana o número de aves diminuia em uma unidade, a comida preparada durou o dobro do tempo previsto.

Que quantidade de comida prepararam e para quanto tempo foi planejada?

Solução:

Método 1: Solução rápida

A reserva era de \(x\) decalitros de comida para \(y\) semanas.

\[x = 31y = 31+30+29+\cdots+(31-(2y-1))=(63-2y)y\]

x=31y and 31y=(63-2y)y

Resposta:

\(x = 496\) decalitros e \(y = 16\) semanas. Portanto, a reserva foi de 496 decalitros, planejada para 16 semanas. A comida durou 32 semanas.

Método 2: Solução menos rápida

Obrigado pelo esclarecimento. Vamos refazer usando \(y\) como o número de semanas planejadas e \(x\) como a reserva total de comida (em decalitros):

Como havia 31 galinhas e o consumo planejado era de 1 decalitro por galinha por semana:

\[ \begin{align} x = 31y \end{align} \]

Como o número de galinhas diminui em 1 a cada semana, o número de galinhas em cada semana ao longo de \(2y\) semanas é:

\[ \begin{align} \text{Semana 1: } &\,31 \\ \text{Semana 2: } &\,30 \\ \text{Semana 3: } &\,29 \\ &\vdots \\ \text{Semana } 2y: &\;31 - (2y - 1) = 32 - 2y \end{align} \]

O consumo total de comida em \(2y\) semanas é:

\[ \begin{align} x &= \sum_{k=0}^{2y-1} (31 - k) \\ &= \sum_{k=1}^{2y} (32 - k) \\ &= 32 \times 2y - \sum_{k=1}^{2y} k \\ x &= 64y - \dfrac{2y(2y + 1)}{2} \end{align} \]

Igualando as expressões para \(x\):

\[ \begin{align} 31y &= 64y - \dfrac{2y(2y + 1)}{2} \\ 31y &= 64y - y(2y + 1) \\ 31y &= 64y - 2y^2 - y \\ 31y &= 63y - 2y^2 \\ 2y^2 &= 32y \\ y &= 16 \end{align} \]

Substituindo o valor de \(y\) na fórmula de \(x\):

\[ \begin{align} x = 31 \times 16 = 496 \end{align} \]

Resposta:

A reserva foi de 496 decalitros, planejada para 16 semanas. A comida durou 32 semanas.

qARb.p245_14784.R

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

o.galinhas <- 31 # número original de galinhas
  
# precisamos acumular a comida consumida
semanas <- 1 # começa na primeira semana
galinhas <- o.galinhas # com todas as galinhas vivas
comida <- 0 # decalitros
while(galinhas > 0)
{
  # nesta semana, cada galinha viva consume 1 decalitro
  comida <- comida+galinhas
  # para a proxima semana, morre uma galinha
  semanas <- semanas+1
  galinhas <- galinhas-1
}
# a última semana (incrementada) não chegou a acontecer,
# pois teria zero galinhas: volto a decrementar o contador
semanas <- semanas-1
cat("\nAté morrer a última galinha, ",
    "em ",semanas," semanas, foram consumidos os ",
    comida," decalitros preparados.",sep="")
tempo <- comida/o.galinhas
cat("\nO tempo previsto para durar o alimento era de ",
    comida,"/",o.galinhas,"=",tempo," semanas para ",
    o.galinhas," galinhas vivas.",sep="")


Até morrer a última galinha, em 31 semanas, foram consumidos os 496 decalitros preparados.
O tempo previsto para durar o alimento era de 496/31=16 semanas para 31 galinhas vivas.

21 FpC.01 - Contando números por meses

(ref. APEx 14812)

Quanto tempo uma pessoa despende para contar inteiros de (i) 1 até 1 milhão e (ii) de 1 a 1 bilhão? Considere que cada número demora 1 segundo para ser pronunciado.

Resposta:

12 dias; (ii) 32 anos.

qFpC.01_14762.R

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

tempo.milhao <- 1e6
tempo.bilhao <- 1e9

tempos <- c("seconds","minutes","hours","days","months","years")
divisoes <- c(1,60,60*60,60*60*24,(60*60*24)*(365/12),(60*60*24)*365)

cat("\nSão contados os números até 1 milhão em:")
for (t in 1:length(tempos))
{
  cat("\n\t", tempo.milhao/divisoes[t], tempos[t])
}

cat("\nSão contados os números até 1 bilhão em:")
for (t in 1:length(tempos))
{
  cat("\n\t", tempo.bilhao/divisoes[t], tempos[t])
}


São contados os números até 1 milhão em:
     1e+06 seconds
     16666.67 minutes
     277.7778 hours
     11.57407 days
     0.3805175 months
     0.03170979 years
São contados os números até 1 bilhão em:
     1e+09 seconds
     16666667 minutes
     277777.8 hours
     11574.07 days
     380.5175 months
     31.70979 years

Alternativamente (e mais simples), usando o pacote units:

qFpC.01_14762b.R

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

tempo.milhao <- units::set_units(1e6, s) # 1 milhao de segundos
tempo.bilhao <- units::set_units(1e9, s) # 1 bilhao de segundos
tempos <- c("s","min","h","d","month","year")

cat("\nSão contados os números até 1 milhão em:\n")
for (t in tempos)
{
  print(units::set_units(tempo.milhao, t, mode="standard"))
}

cat("\nSão contados os números até 1 bilhão em:")
for (t in tempos)
{
  print(units::set_units(tempo.bilhao, t, mode="standard"))
}


São contados os números até 1 milhão em:
1e+06 [s]
16666.67 [min]
277.7778 [h]
11.57407 [d]
0.3802652 [month]
0.03168876 [year]

São contados os números até 1 bilhão em:1e+09 [s]
16666667 [min]
277777.8 [h]
11574.07 [d]
380.2652 [month]
31.68876 [year]

22 SL.16 - Cães e Gatos de Itapipoca

(ref. APEx 14804)

Na cidade de Itapipoca, alguns animais são realmente estranhos. 10% dos cães pensam que são gatos e 10% dos gatos pensam que são cães. Todos os outros cães e gatos são perfeitamente normais. Certo dia todos os cães e gatos de Itapipoca foram testados por um psicólogo, verificando-se então que 20% deles pensam que são gatos. Que porcentagem de animais são gatos?

Resposta:

12.5% da população é constituída por gatos.

Solução:

\[ \begin{align} P_t &\ldots \text{população total}\\ P_g &\ldots \text{população total de gatos (a ser encontrada)}\\ P_g &\ldots \text{população total de cães}\\ G_g &\ldots \text{gatos que pensam que são gatos}\\ G_c &\ldots \text{gatos que pensam que são cães}\\ C_c &\ldots \text{cães que pensam que são cães}\\ C_g &\ldots \text{cães que pensam que são gatos}\\ X_g &\ldots \text{cães e gatos que pensam que são gatos} \end{align} \]

A primeira equação básica é:

\[P_g = G_g + G_c\]

“10% dos gatos pensam que são cães”:

\[G_g = 9G_c\]

então:

\[P_g = G_g + \dfrac{G_g}{9} = \dfrac{10G_g}{9}\]

Similarmente, “10% dos cães pensam que são gatos”, então:

\[P_c = C_c + C_g \Rightarrow P_c = \dfrac{10}{9}C_c\]

Encontra-se que:

\[P_t = P_g + P_c = \dfrac{10}{9}G_g + \dfrac{10}{9}C_c = 1\]

pois estamos lidando com proporções e a totalidade da população é 1, levando a:

\[10G_g + 10C_c = 9 ~~~\text{(1)}\]

Sabemos, ainda, que de “todos os cães e gatos […] testados […] 20% deles pensam que são gatos”:

\[X_g = 0.2 P_t = 0.2 = G_g + C_g\]

Dado que \(C_c=9C_g \Rightarrow C_g = \dfrac{C_c}{9}\) \[G_g + \dfrac{C_c}{9} = 0.2 \Rightarrow 9G_g + C_c = 1.8 ~~~\text{(2)}\]

Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

\[\left\{\begin{matrix} 10G_g + 10C_c = 9\\ 9G_g + C_c = 1.8 \end{matrix}\right.\]

Resolve-se o sistema:

\[ \begin{align} C_c &= 1.8 - 9G_g \Rightarrow 10G_g + 10(1.8 - 9G_g) = 9 \Rightarrow G_g = 0.1125 \\ G_c &= \frac{G_g}{9} = 0.0125 \Rightarrow P_g = 0.1250\\\\ C_c &= \frac{9-10G_g}{10} = 0.7875\\ C_g &= \frac{C_c}{9} = 0.0875 \Rightarrow P_c = 0.8750 \end{align} \]

Nesta população, 87.5% dos animais são cães (78.75% sabem que são cães e 8.75% pensam que são gatos), e 12.5% dos animais são gatos (o que é nossa resposta, sendo que 11.25% deles sabem que são gatos, enquanto 1.25% pensa que é cão).

Tendo conseguido encontrar um sistema de equações adequado, a solução pode ser processada com:

10G + 10C = 9, 9G + C = 1.8, G=9H, R=G+H

Obs. 1: para o WolframAlpha convém que as variáveis sejam de uma letra apenas, então substituímos:

\(P_g\) … R (total de gatos) - a resposta que procuramos descobrir
\(G_g\) … G (gatos que pensam ser gatos)
\(G_c\) … H (gatos que pensam ser cães)
\(C_c\) … C (cães que pensam ser cães)

Obs. 2: além das duas equações que utilizamos na solução algébrica (\(10G_g + 10C_c = 9\) e \(9G_g + C_c = 1.8\)), para podermos encontrar o total de gatos, precisamos de mais duas variáveis e, portanto, duas equações: \(G_c=9G_g\) e \(P_g=G_g+G_c\).

23 Referências

[MD] Andrade, N (2010) Matemática descomplicada. Volume 1. Rio de Janeiro: Editora Ferreira.
Batschelet, E (1979) Introduction to mathematics for life scientists. 3rd ed. NY: Springer.
[RL] Cabral, LM & Nunes, MC (2008) Raciocínio lógico e matemática para concursos. 6a ed. Série Questões. Rio de Janeiro: Elsevier/Campus.
[PP] Consortium for Mathematics and its Applications - COMAP (2003) For all practical purposes: Mathematical literacy in today´s world. 6th ed. USA: WH Freeman.
[AR] Perelman, YI (1966a) Álgebra recreativa. São Paulo: Fulgor.
[ARb] Perelman, YI (1989b) Álgebra recreativa. Moscou: MIR.
[SL] Silva, J & Lopes, L (2000) É divertido resolver problemas. Rio de Janeiro.
[FpC] Siqueira, JO (2011) Fundamentos para cálculo: usando WolframAlpha. São Paulo: Saraiva. Soluções dos exercícios podem ser encontradas em https://www.researchgate.net/publication/326533655_Fundamentos_para_Calculo_-_Solucoes
[MA] Trota, F; Imenes, LMP & Jakubovic, J (1979) Matemática aplicada. São Paulo: Moderna.

Questões: Aula 1: Número Real
Soluções

MSP4092: Biomatemática: aspectos quantitativos da vida

José Siqueira (siqueira@usp.br)
Paulo Silveira (silveira@usp.br)

11 março 2026 19:40h

1 Legenda

2 Material

3 1.3.2 - Superfície cultivável da Terra

4 1.3.4 - População do México

5 1.3.6 - Decaimento do isótopo ⁴²K

6 1.3.8 - Proporção de diabete

7 1.3.10 - Proporção de premiados

8 1.4.2 - Revolução verde

9 1.10.6 - Halemaumau

10 1.10.8 - Civilização espaçosa

11 1.10.12 - Volume de células esféricas

12 1.10.16 - Óleo mineiral poluente

13 1.10.18 - Herbicida em Iowa

14 1.10.20 - Particulado em Chicago

15 1.10.22 - Esporos de samambaia de cabra

16 1.10.24 - Trabalho sistólico

17 PP.p645 - Everest

18 ARb.p61 - As vacas no prado

19 ARb.p239 - A mais antiga progressão: cem medidas

20 ARb.p245 - A comida para as galinhas

21 FpC.01 - Contando números por meses

22 SL.16 - Cães e Gatos de Itapipoca

23 Referências

Questões: Aula 1: Número RealSoluções

MSP4092: Biomatemática: aspectos quantitativos da vida

José Siqueira (siqueira@usp.br) Paulo Silveira (silveira@usp.br)

11 março 2026 19:40h

1 Legenda

2 Material

3 1.3.2 - Superfície cultivável da Terra

4 1.3.4 - População do México

5 1.3.6 - Decaimento do isótopo 42K

6 1.3.8 - Proporção de diabete

7 1.3.10 - Proporção de premiados

8 1.4.2 - Revolução verde

9 1.10.6 - Halemaumau

10 1.10.8 - Civilização espaçosa

11 1.10.12 - Volume de células esféricas

12 1.10.16 - Óleo mineiral poluente

13 1.10.18 - Herbicida em Iowa

14 1.10.20 - Particulado em Chicago

15 1.10.22 - Esporos de samambaia de cabra

16 1.10.24 - Trabalho sistólico

17 PP.p645 - Everest

18 ARb.p61 - As vacas no prado

19 ARb.p239 - A mais antiga progressão: cem medidas

20 ARb.p245 - A comida para as galinhas

21 FpC.01 - Contando números por meses

22 SL.16 - Cães e Gatos de Itapipoca

23 Referências

Questões: Aula 1: Número Real
Soluções

José Siqueira (siqueira@usp.br)
Paulo Silveira (silveira@usp.br)

5 1.3.6 - Decaimento do isótopo ⁴²K