Aufgabe 1

Aufgabenstellung: Gegeben sind der Scheitelpunkt \(SP(3|4)\) und eine Nullstelle \(NS_1(-1|0)\). Stellen Sie die Funktionsgleichung auf und geben Sie die zweite Nullstelle an.

1. Schritt: Die zweite Nullstelle (Symmetrie nutzen)

Parabeln sind achsensymmetrisch zu einer senkrechten Geraden, die durch den Scheitelpunkt geht. Der x-Wert des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

  • Abstand von \(NS_1\) (\(x = -1\)) zum Scheitelpunkt (\(x = 3\)): \(3 - (-1) = 4\) Einheiten.
  • Die zweite Nullstelle \(NS_2\) muss also 4 Einheiten rechts vom Scheitelpunkt liegen: \(3 + 4 = 7\).

Ergebnis: Die zweite Nullstelle liegt bei \(NS_2(7|0)\).

2. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen

Wir nutzen die Scheitelpunktform: \(f(x) = a \cdot (x - x_s)^2 + y_s\) Mit \(SP(3|4)\) folgt: \[f(x) = a \cdot (x - 3)^2 + 4\]

Um den Streckfaktor \(a\) zu finden, setzen wir die Nullstelle \(NS_1(-1|0)\) ein: \[0 = a \cdot (-1 - 3)^2 + 4\] \[0 = a \cdot (-4)^2 + 4\] \[0 = 16a + 4 \quad | -4\] \[-4 = 16a \quad | :16\] \[a = -\frac{4}{16} = -0,25\]

Endgültige Funktionsgleichung: \[f(x) = -0,25 \cdot (x - 3)^2 + 4\]

Aufgabe 2: Der Holbeinsteg in Frankfurt

Aufgabenstellung: Stellen Sie die Funktionsgleichung auf, durch die der Verlauf der Seile der Hängebrücke beschrieben wird. * Die Pfeiler der Brücke sind \(32\,\text{m}\) hoch. * Sie stehen \(142\,\text{m}\) auseinander. * Der tiefste Punkt der gespannten Seile liegt \(9,5\,\text{m}\) über dem Wasser.

1. Schritt: Koordinatensystem festlegen

Für eine einfache Rechnung legen wir den Ursprung auf die Wasseroberfläche, genau in die Mitte zwischen die Pfeiler. * Der tiefste Punkt (Scheitelpunkt) liegt dann bei \(SP(0 | 9,5)\). * Die Pfeiler stehen bei \(x = -71\) und \(x = 71\) (da \(142 : 2 = 71\)). * Die Höhe der Pfeiler ergibt die Punkte \(P_1(-71 | 32)\) und \(P_2(71 | 32)\).

2. Schritt: Funktionsgleichung berechnen

Da der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt (\(x_s = 0\)), vereinfacht sich die Formel zu: \[f(x) = a \cdot x^2 + 9,5\]

Wir setzen den Punkt \(P_2(71 | 32)\) ein, um \(a\) zu bestimmen: \[32 = a \cdot 71^2 + 9,5 \quad | -9,5\] \[22,5 = a \cdot 5041 \quad | : 5041\] \[a = \frac{22,5}{5041} \approx 0,004463\]

Ergebnis: Die Funktionsgleichung für das Brückenseil lautet: \[f(x) \approx 0,00446 \cdot x^2 + 9,5\]

Visualisierung in R

Hier lassen wir R die Brückenparabel zeichnen, um das Ergebnis zu prüfen.

# Definition der Funktion
f_seil <- function(x) { (22.5/5041) * x^2 + 9.5 }

# Zeichnen im Bereich der Pfeiler (-71 bis 71 Meter)
curve(f_seil, from = -71, to = 71, 
      main = "Verlauf der Brückenseile (Holbeinsteg)",
      xlab = "Entfernung von der Mitte (m)", 
      ylab = "Höhe über Wasser (m)",
      col = "darkred", lwd = 3)

# Markierung der Pfeiler und des tiefsten Punktes
abline(v = c(-71, 71), lty = 2, col = "gray") # Pfeiler-Positionen
points(x = c(-71, 0, 71), y = c(32, 9.5, 32), col = "blue", pch = 19)
text(0, 12, "Scheitelpunkt (9,5m)", col = "blue")
grid()