Analisis data kategori adalah metode statistik yang digunakan untuk menganalisis data yang berbentuk kategori atau klasifikasi. Berbeda dengan data numerik yang dianalisis menggunakan metode seperti regresi, data kategori biasanya dianalisis menggunakan pendekatan berbasis frekuensi. Analisis data kategori sering menggunakan alat seperti tabel kontingensi, uji chi-square, odds ratio, dan relative risk untuk memahami hubungan antar variabel.
Variabel kategori memiliki beberapa karakteristik utama:
Contoh variabel kategori antara lain:
Misalnya dalam penelitian kesehatan, peneliti sering ingin mengetahui apakah terdapat hubungan antara kebiasaan merokok dan kejadian kanker paru. Dalam penelitian pendidikan, peneliti mungkin ingin mengetahui hubungan antara metode pembelajaran dengan tingkat kelulusan mahasiswa.
Tabel kontingensi adalah tabel yang digunakan untuk menyajikan distribusi frekuensi dari dua atau lebih variabel kategori secara bersamaan. Tabel ini memungkinkan peneliti melihat hubungan antara kategori dari dua variabel.
Contoh tabel kontingensi 2 × 2 ditunjukkan sebagai berikut.
| Penyakit | Tidak Penyakit | |
|---|---|---|
| Merokok | a | b |
| Tidak Merokok | c | d |
Nilai a, b, c, dan d menunjukkan jumlah observasi pada masing-masing kombinasi kategori.
Joint distribution adalah distribusi peluang bersama dari dua variabel kategori. Dalam konteks tabel kontingensi, joint distribution diperoleh dengan membagi setiap sel dengan total observasi.
\[ P(X=i, Y=j) = \frac{n_{ij}}{n} \]
di mana \(n_{ij}\) adalah frekuensi pada sel ke-i dan ke-j, serta \(n\) adalah total observasi.
Contohnya: \[ n=a+b+c+d \] \[ P(Merokok, Penyakit) = \frac{a}{n} \\ P(Merokok, Tidak\:Penyakit) = \frac{b}{n} \\ P(Tidak\:Merokok, Penyakit) = \frac{c}{n} \\ P(Tidak\:Merokok, Tidak\:Penyakit) = \frac{d}{n} \]
Marginal distribution merupakan distribusi peluang dari satu variabel tanpa memperhatikan variabel lainnya. Nilai ini diperoleh dengan menjumlahkan frekuensi pada baris atau kolom tertentu.
\[ P(X=i) = \sum_j P(X=i,Y=j) \]
Sebagai contoh untuk variabel status merokok, peluangnya adalah: \[ P(Merokok) = \frac{a+b}{n} \\ P(Tidak\:Merokok) = \frac{c+d}{n} \]
Sebagai contoh untuk variabel status penyakit, peluangnya adalah: \[ P(Penyakit) = \frac{a+c}{n} \\ P(Tidak\:Penyakit) = \frac{b+d}{n} \]
Conditional probability adalah peluang suatu kejadian dengan syarat kejadian lain telah terjadi.
\[ P(Y=j|X=i) = \frac{P(X=i,Y=j)}{P(X=i)} \]
Konsep ini sangat penting untuk memahami hubungan antara dua variabel kategori.
Contohnya, peluang seseorang mengalami penyakit dengan syarat ia merokok adalah: \[ P(Penyakit|Merokok) = \frac{a}{a+b} \]
Sedangkan, peluang seseorang mengalami penyakit dengan syarat ia tidak merokok adalah: \[ P(Penyakit|Tidak\:Merokok) = \frac{c}{c+d} \]
Dalam tabel kontingensi, hubungan antara dua variabel kategori dapat diukur menggunakan beberapa ukuran asosiasi.
Odds adalah perbandingan antara peluang terjadinya suatu kejadian dengan peluang tidak terjadinya kejadian tersebut.
\[ Odds = \frac{P}{1-P} \]
Dalam tabel kontingensi 2×2, odds kejadian penyakit pada kelompok merokok adalah:
\[ Odds_{merokok} = \frac{a}{b} \]
Odds Ratio (OR) adalah rasio antara dua odds.
\[ OR = \frac{ad}{bc} \]
Interpretasi Odds Ratio:
*dalam contoh, kelompok terpapar merupakan orang yang merokok
Relative Risk (RR) membandingkan peluang kejadian pada dua kelompok.
\[ RR = \frac{a/(a+b)}{c/(c+d)} \]
Interpretasi Relative Risk (RR):
Misalkan dilakukan penelitian sederhana mengenai hubungan antara kebiasaan olahraga dan penyakit jantung.
Data simulasi diperoleh sebagai berikut.
| Penyakit Jantung | Tidak | |
|---|---|---|
| Jarang Olahraga | 40 | 60 |
| Rutin Olahraga | 20 | 80 |
Total observasi adalah:
\[ n = 40 + 60 + 20 + 80 = 200 \]
Peluang penyakit jantung pada kelompok jarang olahraga:
\[ P(Penyakit|Jarang) = \frac{40}{100} = 0.4 \]
Peluang penyakit pada kelompok rutin olahraga:
\[ P(Penyakit|Rutin) = \frac{20}{100} = 0.2 \]
Odds penyakit pada kelompok jarang olahraga:
\[ Odds_{jarang} = \frac{40}{60} = 0.667 \]
Odds pada kelompok rutin olahraga:
\[ Odds_{rutin} = \frac{20}{80} = 0.25 \]
\[ OR = \frac{40 \times 80}{60 \times 20} \]
\[ OR = \frac{3200}{1200} = 2.67 \]
Artinya peluang terkena penyakit jantung pada kelompok yang jarang olahraga sekitar 2.67 kali lebih besar dibandingkan kelompok yang rutin berolahraga.
Berikut contoh analisis menggunakan perangkat lunak R.
# Membuat data simulasi
data <- matrix(c(40,60,20,80),
nrow=2,
byrow=TRUE)
rownames(data) <- c("Jarang_Olahraga","Rutin_Olahraga")
colnames(data) <- c("Penyakit","Tidak")
data## Penyakit Tidak
## Jarang_Olahraga 40 60
## Rutin_Olahraga 20 80Menghitung odds ratio secara manual.
a <- data[1,1]
b <- data[1,2]
c <- data[2,1]
d <- data[2,2]
OR <- (a*d)/(b*c)
OR## [1] 2.666667Melakukan uji chi-square untuk mengetahui apakah terdapat hubungan antara olahraga dan penyakit jantung.
chisq.test(data)##
## Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
##
## data: data
## X-squared = 8.5952, df = 1, p-value = 0.00337Uji chi-square digunakan untuk menguji hipotesis nol bahwa kedua variabel bersifat independen.
Berdasarkan perhitungan manual diperoleh nilai Odds Ratio sebesar 2.67. Hal ini menunjukkan bahwa individu yang jarang berolahraga memiliki peluang sekitar 2.67 kali lebih besar untuk mengalami penyakit jantung dibandingkan individu yang rutin berolahraga.
hasil uji chi-square menunjukkan nilai p-value sebesar 0.00337 yang lebih kecil dari tingkat signifikansi 0.05, maka dapat disimpulkan bahwa terdapat hubungan yang signifikan antara kebiasaan olahraga dan penyakit jantung.
Hasil ini menunjukkan bahwa aktivitas fisik memiliki peran penting dalam menjaga kesehatan jantung. Individu yang rutin berolahraga cenderung memiliki risiko penyakit jantung yang lebih rendah dibandingkan mereka yang jarang berolahraga.
Tabel kontingensi adalah penyajian data kategorik dalam bentuk baris dan kolom yang digunakan untuk melihat distribusi frekuensi serta hubungan antara dua variabel. Pada tabel kontingensi 2x2, masing-masing variabel memiliki dua kategori, sedangkan pada tabel kontingensi 2x3, salah satu variabel memiliki dua kategori dan variabel lainnya memiliki tiga kategori. Melalui tabel ini, data dapat disusun secara lebih sistematis sehingga memudahkan peneliti dalam membaca pola, membandingkan antar kategori, dan menjadi dasar untuk analisis statistik lebih lanjut, seperti pengujian hubungan antar variabel.
| Status Merokok | Cancer (+) | Control (−) | Total |
|---|---|---|---|
| Smoker | 688 | 650 | 1338 |
| Non-Smoker | 21 | 59 | 80 |
| Total | 709 | 709 | 1418 |
Data disajikan dalam tabel kontingensi 2 x 2 untuk melihat hubungan antara status merokok dan kejadian kanker paru.
#Data
a <- 688 # Smoker, Cancer(+)
b <- 650 # Smoker, Control(-)
c <- 21 # Non-Smoker, Cancer(+)
d <- 59 # Non-Smoker, Control(-)
tab <- matrix(c(a, b, c, d), nrow = 2, byrow = TRUE)
rownames(tab) <- c("Smoker", "Non-Smoker")
colnames(tab) <- c("Cancer(+)", "Control(-)")
tab## Cancer(+) Control(-)
## Smoker 688 650
## Non-Smoker 21 59addmargins(tab)## Cancer(+) Control(-) Sum
## Smoker 688 650 1338
## Non-Smoker 21 59 80
## Sum 709 709 1418Tabel kontingensi menunjukkan distribusi kejadian kanker paru berdasarkan status merokok. Dari total 1338 individu pada kelompok smoker, terdapat 688 kasus kanker paru, sedangkan pada kelompok non-smoker hanya terdapat 21 kasus dari total 80 individu. Secara deskriptif, jumlah kasus kanker paru jauh lebih besar pada kelompok smoker dibandingkan non-smoker.
Estimasi titik proporsi kejadian kanker paru pada masing-masing kelompok adalah:
\[ \hat{p}_1 = \frac{a}{a+b} \]
\[ \hat{p}_2 = \frac{c}{c+d} \]
n1 <- a + b
n2 <- c + d
p_smoker <- a / n1
p_nonsmoker <- c / n2
p_smoker## [1] 0.5142003p_nonsmoker## [1] 0.2625Proporsi kejadian kanker paru pada kelompok smoker adalah sekitar 0.514, sedangkan pada kelompok non-smoker sekitar 0.263. Hal ini menunjukkan bahwa secara relatif, kejadian kanker paru pada kelompok smoker hampir dua kali lebih tinggi dibandingkan kelompok non-smoker.
Interval kepercayaan 95% untuk proporsi suatu kelompok dapat dituliskan secara umum sebagai:
Untuk kelompok smoker:
\[ \hat{p}_1 \pm z_{0.025}\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}} \]
Untuk kelompok non-smoker:
\[ \hat{p}_2 \pm z_{0.025}\sqrt{\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}} \]
# Smoker
prop.test(a, n1, correct = FALSE)##
## 1-sample proportions test without continuity correction
##
## data: a out of n1, null probability 0.5
## X-squared = 1.0792, df = 1, p-value = 0.2989
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
## 0.4874177 0.5409016
## sample estimates:
## p
## 0.5142003# Non-Smoker
prop.test(c, n2, correct = FALSE)##
## 1-sample proportions test without continuity correction
##
## data: c out of n2, null probability 0.5
## X-squared = 18.05, df = 1, p-value = 2.152e-05
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
## 0.1785740 0.3681896
## sample estimates:
## p
## 0.2625Interval kepercayaan 95% untuk proporsi pada kelompok smoker berada pada rentang yang relatif tinggi dan sempit, hal tersebut menunjukkan estimasi yang cukup presisi. Sebaliknya, interval pada kelompok non-smoker lebih lebar karena ukuran sampel lebih kecil. Perbedaan interval ini juga mengindikasikan adanya perbedaan nyata antara kedua kelompok.
Risk Difference didefinisikan sebagai:
\[ RD = \hat{p}_1 - \hat{p}_2 \]
Standar error untuk \(RD\) adalah:
\[ SE(RD) = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}} \]
Sehingga interval kepercayaan 95% untuk \(RD\) adalah:
\[ RD \pm z_{0.025}\,SE(RD) \]
RD <- p_smoker - p_nonsmoker
SE_RD <- sqrt((p_smoker * (1 - p_smoker) / n1) +
(p_nonsmoker * (1 - p_nonsmoker) / n2))
CI_RD <- RD + c(-1, 1) * qnorm(0.975) * SE_RD
RD## [1] 0.2517003CI_RD## [1] 0.1516343 0.3517663Nilai Risk Difference sekitar 0.25 menunjukkan bahwa terdapat peningkatan risiko absolut sebesar 25% kejadian kanker paru pada kelompok smoker dibandingkan non-smoker. Karena interval kepercayaan tidak mencakup nol, perbedaan ini bersifat signifikan secara statistik.
Relative Risk didefinisikan sebagai:
\[ RR = \frac{\hat{p}_1}{\hat{p}_2} \]
Untuk interval kepercayaan, digunakan transformasi logaritma:
\[ \ln(RR) = \ln\left(\frac{\hat{p}_1}{\hat{p}_2}\right) \]
Standar error untuk \(\ln(RR)\) adalah:
\[ SE\bigl(\ln(RR)\bigr)=\sqrt{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{c+d}\right)} \]
Maka interval kepercayaan 95% untuk \(RR\) adalah:
\[ \exp\left[\ln(RR)\pm z_{0.025}\,SE\bigl(\ln(RR)\bigr)\right] \]
RR <- p_smoker / p_nonsmoker
SE_logRR <- sqrt((1/a) - (1/n1) + (1/c) - (1/n2))
CI_RR <- exp(log(RR) + c(-1, 1) * qnorm(0.975) * SE_logRR)
RR## [1] 1.958858CI_RR## [1] 1.351735 2.838667Nilai Relative Risk sekitar 1.95 menunjukkan bahwa individu yang merokok memiliki risiko hampir 2 kali lipat untuk mengalami kanker paru dibandingkan individu yang tidak merokok. Interval kepercayaan yang tidak mencakup nilai 1 menunjukkan bahwa peningkatan risiko ini signifikan.
Odds Ratio didefinisikan sebagai:
\[ OR = \frac{ad}{bc} \]
Untuk interval kepercayaan, digunakan transformasi logaritma:
\[ \ln(OR)=\ln\left(\frac{ad}{bc}\right) \]
Standar error untuk \(\ln(OR)\) adalah:
\[ SE\bigl(\ln(OR)\bigr)=\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}} \]
Maka interval kepercayaan 95% untuk \(OR\) adalah:
\[ \exp\left[\ln(OR)\pm z_{0.025}\,SE\bigl(\ln(OR)\bigr)\right] \]
OR <- (a * d) / (b * c)
SE_logOR <- sqrt(1/a + 1/b + 1/c + 1/d)
CI_OR <- exp(log(OR) + c(-1, 1) * qnorm(0.975) * SE_logOR)
OR## [1] 2.973773CI_OR## [1] 1.786737 4.949427Nilai Odds Ratio sekitar 2.98 menunjukkan bahwa odds (peluang relatif) kejadian kanker paru pada kelompok smoker hampir 3 kali dibandingkan kelompok non-smoker. Hal ini memperkuat adanya hubungan yang kuat antara merokok dan kanker paru.
uji_2prop <- prop.test(x = c(a, c),
n = c(n1, n2),
correct = FALSE)
uji_2prop##
## 2-sample test for equality of proportions without continuity correction
##
## data: c(a, c) out of c(n1, n2)
## X-squared = 19.129, df = 1, p-value = 1.222e-05
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
## 0.1516343 0.3517663
## sample estimates:
## prop 1 prop 2
## 0.5142003 0.2625000Hasil uji dua proporsi menghasilkan p-value yang sangat kecil yaitu 1.222e-05 < 0.05 sehingga hipotesis nol yang menyatakan bahwa kedua proporsi sama ditolak. Artinya, terdapat perbedaan yang signifikan antara proporsi kejadian kanker paru pada kelompok smoker dan non-smoker.
Hipotesis yang diuji adalah:
\[ H_0 : \text{Status merokok dan kejadian kanker paru saling independen} \]
\[ H_1 : \text{Status merokok dan kejadian kanker paru tidak saling independen} \] Statistik uji chi-square independensi adalah:
\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} \]
uji_chi <- chisq.test(tab, correct = FALSE)
uji_chi##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: tab
## X-squared = 19.129, df = 1, p-value = 1.222e-05Hasil uji chi-square menunjukkan p-value yang sangat kecil yaitu 1.222e-05 < 0.05 sehingga hipotesis nol ditolak. Ini berarti terdapat hubungan yang signifikan antara status merokok dan kejadian kanker paru. Dengan kata lain, kedua variabel tidak saling independen.
Hipotesis yang diuji adalah:
\[ H_0 : \text{Status merokok dan kejadian kanker paru saling independen} \]
\[ H_1 : \text{Status merokok dan kejadian kanker paru tidak saling independen} \] Statistik likelihood ratio didefinisikan sebagai:
\[ G^2 = 2\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} O_{ij}\ln\left(\frac{O_{ij}}{E_{ij}}\right) \]
# Frekuensi harapan
E <- outer(rowSums(tab), colSums(tab)) / sum(tab)
# Statistik G^2
G2 <- 2 * sum(tab * log(tab / E))
df <- (nrow(tab) - 1) * (ncol(tab) - 1)
p_value_G2 <- 1 - pchisq(G2, df)
G2## [1] 19.87802df## [1] 1p_value_G2## [1] 8.25441e-06Uji likelihood ratio juga menghasilkan p-value yang sangat kecil yaitu 8.25441e-06 < 0.05, sehingga hipotesis nol ditolak. Hasil ini konsisten dengan uji chi-square, menunjukkan bahwa terdapat hubungan yang signifikan antara status merokok dan kanker paru.
Hipotesis yang diuji adalah:
\[ H_0 : \text{Tidak terdapat asosiasi antara status merokok dan kejadian kanker paru} \]
\[ H_1 : \text{Terdapat asosiasi antara status merokok dan kejadian kanker paru} \] Statistik uji Fisher Exact didefinisikan sebagai:
\[ P(X=a)=\frac{\binom{a+b}{a}\binom{c+d}{c}}{\binom{n}{a+c}} \]
uji_fisher <- fisher.test(tab)
uji_fisher##
## Fisher's Exact Test for Count Data
##
## data: tab
## p-value = 1.476e-05
## alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
## 1.755611 5.210711
## sample estimates:
## odds ratio
## 2.971634Hasil uji Fisher exact memberikan p-value yang sangat kecil yaitu 1.476e-05 < 0.05 sehingga hipotesis nol ditolak. Uji ini memperkuat hasil sebelumnya dan sangat sesuai digunakan pada data dengan ukuran sampel kecil seperti kelompok non-smoker.
hasil_uji <- data.frame(
Metode = c("Uji dua proporsi", "Chi-square independensi", "Likelihood ratio (G^2)", "Fisher exact"),
Statistik = c(
unname(uji_2prop$statistic),
unname(uji_chi$statistic),
G2,
NA
),
df = c(
unname(uji_2prop$parameter),
unname(uji_chi$parameter),
df,
NA
),
p_value = c(
uji_2prop$p.value,
uji_chi$p.value,
p_value_G2,
uji_fisher$p.value
)
)
hasil_uji## Metode Statistik df p_value
## 1 Uji dua proporsi 19.12922 1 1.221601e-05
## 2 Chi-square independensi 19.12922 1 1.221601e-05
## 3 Likelihood ratio (G^2) 19.87802 1 8.254410e-06
## 4 Fisher exact NA NA 1.476303e-05Keputusan uji pada alpha = 0,05
hasil_uji$Keputusan <- ifelse(hasil_uji$p_value < 0.05,
"Tolak H0",
"Gagal tolak H0")
hasil_uji## Metode Statistik df p_value Keputusan
## 1 Uji dua proporsi 19.12922 1 1.221601e-05 Tolak H0
## 2 Chi-square independensi 19.12922 1 1.221601e-05 Tolak H0
## 3 Likelihood ratio (G^2) 19.87802 1 8.254410e-06 Tolak H0
## 4 Fisher exact NA NA 1.476303e-05 Tolak H0Keempat metode pengujian (uji dua proporsi, chi-square, likelihood ratio, dan Fisher exact test) memberikan hasil yang konsisten, yaitu menolak hipotesis nol. Hal ini menunjukkan bahwa kesimpulan yang diperoleh stabil dan tidak bergantung pada metode uji yang digunakan.
Berdasarkan analisis deskriptif dan inferensial, terdapat bukti yang kuat bahwa status merokok berhubungan dengan kejadian kanker paru. Individu yang merokok memiliki risiko dan peluang yang secara signifikan lebih tinggi untuk mengalami kanker paru dibandingkan individu yang tidak merokok.
| Gender | Democrat | Republican | Independent | Total |
|---|---|---|---|---|
| Female | 495 | 272 | 590 | 1357 |
| Male | 330 | 265 | 498 | 1093 |
| Total | 825 | 537 | 1088 | 2450 |
# Data
tab2 <- matrix(c(495, 272, 590,
330, 265, 498),
nrow = 2,
byrow = TRUE)
rownames(tab2) <- c("Female", "Male")
colnames(tab2) <- c("Democrat", "Republican", "Independent")
tab2## Democrat Republican Independent
## Female 495 272 590
## Male 330 265 498addmargins(tab2)## Democrat Republican Independent Sum
## Female 495 272 590 1357
## Male 330 265 498 1093
## Sum 825 537 1088 2450Tabel kontingensi menunjukkan distribusi identifikasi partai politik berdasarkan gender. Kelompok female memiliki jumlah terbesar pada kategori Independent, sedangkan pada kelompok male juga didominasi oleh Independent, namun dengan jumlah yang lebih kecil dibanding female. Secara umum, terdapat perbedaan distribusi preferensi politik antara gender.
Frekuensi harapan menunjukkan jumlah yang diharapkan pada tiap sel jika tidak terdapat hubungan antara gender dan identifikasi partai politik. Perbedaan antara frekuensi observasi dan frekuensi harapan akan menjadi dasar dalam pengujian chi-square. Frekuensi harapan untuk setiap sel dihitung dengan rumus:
\[ E_{ij} = \frac{(\text{total baris ke-}i)(\text{total kolom ke-}j)}{n} \]
atau dapat ditulis sebagai:
\[ E_{ij} = \frac{n_{i.} \, n_{.j}}{n} \]
E2 <- outer(rowSums(tab2), colSums(tab2)) / sum(tab2)
E2## Democrat Republican Independent
## Female 456.949 297.4322 602.6188
## Male 368.051 239.5678 485.3812Berdasarkan hasil perhitungan, untuk kategori Democrat, jumlah perempuan yang diharapkan adalah sekitar 456.95, sedangkan jumlah observasi sebenarnya adalah 495 sehingga lebih tinggi dari yang diharapkan. Sebaliknya, pada kelompok laki-laki, frekuensi harapan adalah sekitar 368.05, sedangkan observasinya hanya 330 sehingga lebih rendah dari yang diharapkan.
Pada kategori Republican, jumlah perempuan yang diharapkan adalah sekitar 297.43, namun observasinya hanya 272 (lebih rendah dari harapan), sedangkan pada laki-laki diharapkan sekitar 239.57 tetapi observasinya 265 (lebih tinggi dari harapan).
Untuk kategori Independent, jumlah perempuan yang diharapkan adalah sekitar 602.62, sedangkan observasinya 590 (sedikit lebih rendah), dan pada laki-laki diharapkan sekitar 485.38 dengan observasi sebesar 498 (sedikit lebih tinggi).
Perbedaan antara frekuensi observasi dan frekuensi harapan terlihat cukup jelas terutama pada kategori Democrat dan Republican. Hal ini mengindikasikan adanya penyimpangan dari kondisi independensi, sehingga terdapat kemungkinan hubungan antara gender dan identifikasi partai politik yang akan diuji lebih lanjut menggunakan uji chi-square.
Hipotesis yang diuji adalah:
\[ H_0 : \text{Gender dan identifikasi partai politik saling independen} \]
\[ H_1 : \text{Gender dan identifikasi partai politik tidak saling independen} \] Untuk tabel 2 x 3, statistik uji dihitung dengan:
\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} \]
uji_chi2 <- chisq.test(tab2, correct = FALSE)
uji_chi2##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: tab2
## X-squared = 12.569, df = 2, p-value = 0.001865Hasil uji chi-square menghasilkan p-value yang sangat kecil yaitu 0.001865 < 0.05, sehingga hipotesis nol ditolak. Artinya, terdapat hubungan yang signifikan antara gender dan identifikasi partai politik. Dengan kata lain, distribusi preferensi partai tidak sama antara laki-laki dan perempuan.
Residual menunjukkan kontribusi masing-masing sel terhadap statistik chi-square. Nilai residual dengan nilai absolut lebih dari sekitar 2 mengindikasikan kontribusi yang signifikan. Residual Pearson untuk setiap sel dihitung dengan rumus:
\[ r_{ij} = \frac{O_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}} \]
# Residual Pearson
residual_pearson <- (tab2 - E2) / sqrt(E2)
residual_pearson## Democrat Republican Independent
## Female 1.780051 -1.474656 -0.5140388
## Male -1.983409 1.643125 0.5727640Standardized residual dihitung dengan rumus:
\[ r_{ij}^{(std)} = \frac{O_{ij}-E_{ij}} {\sqrt{E_{ij}(1-\frac{n_{i.}}{n})(1-\frac{n_{.j}}{n})}} \]
# Standardized residual dari R
uji_chi2$stdres## Democrat Republican Independent
## Female 3.272365 -2.498557 -1.032199
## Male -3.272365 2.498557 1.032199Berdasarkan hasil standardized residual, nilai terbesar secara absolut adalah 3.27, yang terdapat pada kategori Democrat, baik pada perempuan (positif) maupun laki-laki (negatif). Residual positif pada sel Female–Democrat menunjukkan bahwa jumlah perempuan yang memilih Democrat lebih besar dari yang diharapkan jika tidak terdapat hubungan antara gender dan identifikasi partai politik. Sebaliknya, residual negatif pada sel Male–Democrat menunjukkan bahwa jumlah laki-laki yang memilih Democrat lebih kecil dari yang diharapkan.
Pada kategori Republican, nilai residual sekitar 2.50 juga menunjukkan adanya kontribusi yang cukup besar, di mana perempuan cenderung lebih sedikit memilih Republican dibandingkan yang diharapkan, sedangkan laki-laki lebih banyak. Sementara itu, pada kategori Independent, nilai residual relatif kecil (sekitar 1.03) sehingga kontribusinya terhadap statistik chi-square tidak signifikan.
Karena nilai standardized residual pada kategori Democrat dan Republican memiliki nilai absolut lebih besar dari 2, maka kedua kategori tersebut memberikan kontribusi signifikan terhadap hubungan antara gender dan identifikasi partai politik, dengan kontribusi terbesar berasal dari kategori Democrat.
Uji pada kategori Democrat vs Republican menunjukkan apakah terdapat perbedaan distribusi antara kedua partai tersebut berdasarkan gender. Hipotesis:
\[ H_0 : \text{Gender independen terhadap pilihan Democrat vs Republican} \]
\[ H_1 : \text{Gender tidak independen terhadap pilihan Democrat vs Republican} \] Untuk Democrat vs Republican, statistik uji chi-square dihitung dengan:
\[ \chi^2_{(D,R)} = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} \]
tab_DR <- tab2[, 1:2]
chisq.test(tab_DR, correct = FALSE)##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: tab_DR
## X-squared = 11.555, df = 1, p-value = 0.0006758Karena p-value = 0.0006758 < 0.05 sehingga H0 ditolak yang artinya terdapat perbedaan preferensi antara laki-laki dan perempuan dalam memilih antara partai Democrat dan Republican.
Hasil uji menunjukkan apakah terdapat perbedaan antara kelompok yang memilih partai utama (Democrat + Republican) dengan Independent berdasarkan gender. Hipotesis yang diuji:
\[ H_0 : \text{Gender independen terhadap pilihan (Democrat + Republican) vs Independent} \]
\[ H_1 : \text{Gender tidak independen terhadap pilihan (Democrat + Republican) vs Independent} \] Untuk Democrat dan Republican digabung menjadi satu kelompok, lalu dibandingkan dengan Independen, statistik uji chi-square dihitung dengan:
\[ \chi^2_{(D+R,I)} = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} \]
tab_DI <- cbind(
Dem_Rep = tab2[,1] + tab2[,2],
Independent = tab2[,3]
)
chisq.test(tab_DI, correct = FALSE)##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: tab_DI
## X-squared = 1.0654, df = 1, p-value = 0.302Berdasarkan hasil perhitungan, p-value = 0.302 sehingga H0 gagal ditolak yang menunjukkan bahwa gender tidak mempengaruhi kecenderungan memilih Independent dibandingkan partai utama.
Perbandingan dilakukan dengan melihat kontribusi masing-masing partisi terhadap statistik uji keseluruhan, yaitu:
\[ \chi^2_{\text{total}} \approx \chi^2_{(D,R)} + \chi^2_{(D+R,I)} \] Nilai statistik chi-square keseluruhan sebesar 12.569 dapat didekomposisi menjadi kontribusi dari dua partisi, yaitu perbandingan Democrat vs Republican sebesar 11.555 dan (Democrat + Republican) vs Independent sebesar 1.0654. Jumlah kedua nilai tersebut mendekati nilai chi-square total. Dari hasil tersebut, terlihat bahwa sebagian besar kontribusi berasal dari perbandingan antara Democrat dan Republican.
Kategori yang paling berkontribusi terhadap hubungan antara gender dan identifikasi partai politik ditentukan dari nilai residual Pearson atau standardized residual terbesar secara absolut, yaitu:
\[ \max |r_{ij}| \]
atau
\[ \max |r_{ij}^{(std)}| \\ \max |r_{ij}^{(std)}| = 3.27 \] Berdasarkan nilai standardized residual, kategori yang paling berkontribusi terhadap hubungan antara gender dan identifikasi partai politik adalah kategori Democrat dengan nilai standardized residual sebesar 3.27.
Agresti,A. (2007). An Introduction to Categorical Data Analysis (2nd ed.).New York: Wiley.