Aufgabenstellung

Skizzieren Sie einen passenden Graphen und geben Sie einen Funktionsterm von \(f\) an.

  1. Der Graph von \(f\) ist rechtsgekrümmt und besitzt keinen Wendepunkt.
  2. Der Graph von \(f\) hat genau zwei Wendepunkte und verläuft oberhalb der x-Achse.
  3. Der Graph von \(f\) hat einen Wendepunkt im Ursprung, einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt.
  4. \(f'\) und \(f''\) haben nur negative Funktionswerte.

Lösungen und Erklärungen

Um diese Aufgaben zu lösen, betrachten wir die Ableitungen: * \(f'(x)\) beschreibt die Steigung (positiv = steigend, negativ = fallend). * \(f''(x)\) beschreibt die Krümmung (positiv = linkskurve, negativ = rechtskurve).

a) Rechtsgekrümmt ohne Wendepunkt

Bedingung: Rechtsgekrümmt bedeutet, dass die zweite Ableitung überall negativ sein muss (\(f''(x) < 0\)). Da es keinen Wendepunkt gibt, darf \(f''(x)\) niemals Null werden oder das Vorzeichen wechseln.

  • Logik: Eine nach unten geöffnete Parabel erfüllt genau das.
  • Beispiel-Funktion: \(f(x) = -x^2\)
  • Check: \(f'(x) = -2x\), \(f''(x) = -2\). Da \(-2\) immer kleiner als \(0\) ist, ist der Graph überall rechtsgekrümmt.
ggplot(data.frame(x = c(-3, 3)), aes(x = x)) +
  stat_function(fun = function(x) -x^2, color = "blue", size = 1) +
  ggtitle("a) f(x) = -x^2") +
  theme_minimal() +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed")
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

b) Zwei Wendepunkte, oberhalb der x-Achse

Bedingung: Zwei Wendepunkte bedeuten, dass die Krümmung zweimal wechseln muss. Zudem muss der gesamte Graph über der x-Achse liegen (\(f(x) > 0\)).

  • Logik: Eine Glockenkurve (wie die Normalverteilung) hat zwei Wendepunkte und nähert sich der x-Achse nur an, ohne sie zu berühren. Alternativ eignet sich eine Funktion 4. Grades (“W-Form”), die nach oben verschoben ist.
  • Beispiel-Funktion: \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\)
  • Check: Diese Funktion ist immer positiv. Sie hat Wendepunkte dort, wo die Krümmung von einer Linkskurve in eine Rechtskurve (und zurück) übergeht.
ggplot(data.frame(x = c(-4, 4)), aes(x = x)) +
  stat_function(fun = function(x) 4/(x^2 + 1), color = "darkgreen", size = 1) +
  ggtitle("b) f(x) = 4 / (x^2 + 1)") +
  theme_minimal() +
  ylim(0, 5)

c) Wendepunkt im Ursprung, HP und TP

Bedingung: Ein Wendepunkt bei \((0|0)\) bedeutet \(f(0)=0\) und \(f''(0)=0\). Hoch- und Tiefpunkte erfordern eine Funktion höheren Grades, meist Grad 3.

  • Logik: Eine klassische kubische Funktion \(f(x) = x^3\) hat zwar einen Wendepunkt bei \((0|0)\), aber keine Extrema (nur einen Sattelpunkt). Wir brauchen also einen “Hügel” und ein “Tal”. Damit der Wendepunkt genau in der Mitte (Ursprung) bleibt, muss die Funktion ungerade sein.
  • Beispiel-Funktion: \(f(x) = x^3 - 3x\)
  • Check: * \(f(0) = 0\) (Punkt im Ursprung)
    • \(f'(x) = 3x^2 - 3 \rightarrow\) Nullstellen bei \(x = 1\) (TP) und \(x = -1\) (HP).
    • \(f''(x) = 6x \rightarrow f''(0) = 0\) (Wendepunkt im Ursprung).
ggplot(data.frame(x = c(-2.5, 2.5)), aes(x = x)) +
  stat_function(fun = function(x) x^3 - 3*x, color = "red", size = 1) +
  geom_point(aes(x = 0, y = 0), color = "black", size = 3) + # Wendepunkt
  ggtitle("c) f(x) = x^3 - 3x") +
  theme_minimal() +
  geom_vline(xintercept = 0, alpha = 0.3) +
  geom_hline(yintercept = 0, alpha = 0.3)
## Warning in geom_point(aes(x = 0, y = 0), color = "black", size = 3): All aesthetics have length 1, but the data has 2 rows.
## ℹ Please consider using `annotate()` or provide this layer with data containing
##   a single row.

d) f’ und f’’ sind nur negativ

Bedingung: 1. \(f'(x) < 0\): Die Funktion muss streng monoton fallend sein. 2. \(f''(x) < 0\): Die Funktion muss rechtsgekrümmt sein.

  • Logik: Wir suchen eine Kurve, die immer steiler nach unten geht.
  • Beispiel-Funktion: \(f(x) = -e^x\)
  • Check:
    • \(f'(x) = -e^x\): Da \(e^x\) immer positiv ist, ist \(-e^x\) immer negativ (Graph fällt).
    • \(f''(x) = -e^x\): Ebenfalls immer negativ (Rechtskrümmung).
ggplot(data.frame(x = c(-2, 2)), aes(x = x)) +
  stat_function(fun = function(x) -exp(x), color = "purple", size = 1) +
  ggtitle("d) f(x) = -e^x") +
  theme_minimal()