Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion \(h\) mit der Gleichung: \[h(x) = x^4 - 5x^2 + 4\]

a) Geben Sie möglichst viele Argumente an, warum der Graph der Funktion \(h\) nicht zu dem abgebildeten Graphen gehören kann.

b) Berechnen Sie die Nullstellen von \(h\).

Teil a) Warum passt der Graph nicht zur Funktion?

Um zu beweisen, dass der gezeigte Graph nicht zur Funktionsgleichung \(h(x) = x^4 - 5x^2 + 4\) passt, können wir verschiedene Eigenschaften untersuchen:

1. Symmetrie

  • Funktion: Die Funktion \(h(x)\) enthält nur gerade Exponenten (\(x^4, x^2\) und \(x^0\)). Daher ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Graph: Der abgebildete Graph ist offensichtlich nicht symmetrisch zur y-Achse. Die Hoch- und Tiefpunkte liegen links und rechts vom Ursprung auf unterschiedlichen Höhen bzw. Abständen.

2. Der y-Achsenabschnitt

  • Funktion: Setzen wir \(x = 0\) in die Gleichung ein: \(h(0) = 0^4 - 5 \cdot 0^2 + 4 = 4\). Der Graph müsste die y-Achse also bei \(y = 4\) schneiden.
  • Graph: Der abgebildete Graph verläuft direkt durch den Ursprung \((0|0)\). Das passt nicht zusammen.

3. Anzahl der Nullstellen / Globalverhalten

  • Funktion: Eine Funktion 4. Grades kann maximal 4 Nullstellen haben. Da der Leitkoeffizient positiv ist (\(+1 \cdot x^4\)), kommt der Graph von “oben links” (\(+\infty\)) und geht nach “oben rechts” (\(+\infty\)).
  • Graph: Der gezeigte Graph scheint von “unten links” zu kommen und nach “oben rechts” zu gehen. Dies deutet eher auf eine Funktion mit einem ungeraden Grad (z.B. Grad 5) hin.

Teil b) Berechnung der Nullstellen

Um die Nullstellen zu finden, setzen wir \(h(x) = 0\): \[x^4 - 5x^2 + 4 = 0\]

Dies ist eine biquadratische Gleichung. Wir lösen sie mithilfe der Substitution.

Schritt 1: Substitution

Wir ersetzen \(x^2\) durch eine neue Variable \(u\): \[u = x^2 \quad \text{(daraus folgt } u^2 = x^4\text{)}\]

Die neue Gleichung lautet: \[u^2 - 5u + 4 = 0\]

Schritt 2: Lösung der quadratischen Gleichung (pq-Formel)

Mit \(p = -5\) und \(q = 4\): \[u_{1,2} = -\frac{-5}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2 - 4}\] \[u_{1,2} = 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 4}\] \[u_{1,2} = 2,5 \pm \sqrt{2,25}\] \[u_{1,2} = 2,5 \pm 1,5\]

Daraus ergeben sich: * \(u_1 = 4\) * \(u_2 = 1\)

Schritt 3: Resubstitution

Jetzt machen wir die Ersetzung rückgängig (\(x^2 = u\)):

  1. Für \(u_1 = 4\): \[x^2 = 4 \implies \mathbf{x_1 = 2, \quad x_2 = -2}\]
  2. Für \(u_2 = 1\): \[x^2 = 1 \implies \mathbf{x_3 = 1, \quad x_4 = -1}\]

Ergebnis: Die Funktion \(h\) hat die Nullstellen bei \(x \in \{-2; -1; 1; 2\}\).

Visualisierung in R (Zusatz)

Hier ist ein kurzer Check, wie der echte Graph von \(h(x)\) aussieht:

h <- function(x) x^4 - 5*x^2 + 4
curve(h, from = -2.5, to = 2.5, main = "Echter Graph von h(x)", col = "blue", lwd = 2)
abline(h = 0, v = 0, lty = 2)