Aufgabenstellung

Eine Funktion \(f\) beschreibt die Höhe einer Sonnenblume (in Metern) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Wochen). Geben Sie zu folgendem Sachverhalt die mathematischen Beschreibungen an:

  1. Nach zwei Wochen ist die Sonnenblume 0,30 m hoch.
  2. Nach 20 Wochen wächst die Sonnenblume nicht mehr.
  3. In den ersten fünf Wochen wächst die Sonnenblume um 0,60 m.
  4. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist nach acht Wochen am höchsten.

Mathematische Grundlagen (für das Verständnis)

Bevor wir die Lösung in R notieren, hier die Übersetzungshilfe: * Bestand/Höhe: Wird durch die Funktion \(f(t)\) beschrieben. * Änderungsrate/Wachstum: Wird durch die 1. Ableitung \(f'(t)\) beschrieben. * Änderung der Wachstumsrate: Wird durch die 2. Ableitung \(f''(t)\) beschrieben.

Lösung der Teilaufgaben

a) Punktwert (Bestand)

  • Text: “Nach zwei Wochen ist die Sonnenblume 0,30 m hoch.”
  • Mathematisch: Zum Zeitpunkt \(t = 2\) ist der Funktionswert \(0,30\).
  • Gleichung: \(f(2) = 0,30\)

b) Extremstelle (Stillstand)

  • Text: “Nach 20 Wochen wächst die Sonnenblume nicht mehr.”
  • Mathematisch: Wenn etwas nicht mehr wächst, ist die Steigung (Wachstumsgeschwindigkeit) gleich Null.
  • Gleichung: \(f'(20) = 0\)

c) Differenz (Wachstumsbetrag)

  • Text: “In den ersten fünf Wochen wächst die Sonnenblume um 0,60 m.”
  • Mathematisch: Die Differenz zwischen der Höhe zum Zeitpunkt 5 und zum Zeitpunkt 0 beträgt 0,60.
  • Gleichung: \(f(5) - f(0) = 0,60\)

d) Wendestelle (Maximales Wachstum)

  • Text: “Die Wachstumsgeschwindigkeit ist nach acht Wochen am höchsten.”
  • Mathematisch: Ein Maximum der 1. Ableitung (\(f'\)) ist eine Wendestelle der Originalfunktion \(f\). An dieser Stelle muss die 2. Ableitung Null sein.
  • Gleichung: \(f''(8) = 0\)
    (Zusatzbedingung für ein Maximum: \(f'''(8) < 0\))

Visualisierung in R (Beispielhaft)

Da keine konkrete Funktionsgleichung gegeben ist, erstellen wir eine beispielhafte logistische Wachstumsfunktion, um die Punkte zu verdeutlichen.

# Definition einer beispielhaften Wachstumsfunktion (Sigmoid)
f <- function(t) { 2 / (1 + exp(-0.4 * (t - 8))) }

# Ableitungen (symbolisch oder numerisch)
f_prime <- function(t) { (0.8 * exp(-0.4 * (t - 8))) / (1 + exp(-0.4 * (t - 8)))^2 }

# Plotten
curve(f(x), from = 0, to = 25, col = "blue", lwd = 2, 
      main = "Wachstum einer Sonnenblume", xlab = "Wochen", ylab = "Höhe (m)")
curve(f_prime(x), add = TRUE, col = "red", lty = 2)

legend("topleft", legend = c("Höhe f(t)", "Wachstumsrate f'(t)"), 
       col = c("blue", "red"), lty = c(1, 2))