Simulación en la reproducción de bacterias
Se sabe que una farmacéutica desea estudiar la reproducción de bacterias de Salmonella con el fin de crear vacunas para prevenir la fiebre tifoidea, es así, que se desea ver su comportamiento con un modelado estocástico.
Conocemos que la bacteria Salmonella se reproduce asexualmente mediante un proceso rápido y eficiente llamado fisión binaria, inicialmente, la población inicial de bacterias es de 10, y se desea ver la evolución en su reproducción luego de 20 periodos suponiendo que la probabilidad de reproducción de cada bacteria es de 0.4.
Se simuló considerando para cada bacteria en cada periodo un número pseudoaleatorio entre 0 y 1, utilizando generadores congruenciales. De esta manera, en el primer grafico animado se muestra el comparativo de los resultados, en donde, para los generadores lineal y combinado, la población de bacterias Salmonella se reproduce de 10 a 9,600 bacterias en 20 periodos, aproximadamente. Y considerando el generador congruencial multiplicativo, la población parece crecer de 10 a más de 10,000 bacterias luego de 20 periodos. Sin embargo, las tres simulaciones parecen tener un crecimiento exponencial, con intensidades ligeramente diferentes.
Como información adicional, la farmacéutica hizo un estudio de control en dónde observaron que sin medicamentos, las bacterias morían naturalmente con probabilidad de 0.2. Posteriormente, se realizó la simulación considerando que las bacterias pueden morir, sobrevivir y reproducirse.
En el siguiente grafico, se muestran las simulaciones con los generadores congruenciales, ahora considerando que parte de la población de bacterias va a morir de forma natural, la cual, en comparación con el crecimiento sin considerar muertes parece decrecer considerablemente, pues ya no parece haber un crecimiento exponencial. Así, se obtiene que con el generador congruencial combinado, la población de bacterias evoluciona de 10 a poco más de 100 en 20 periodos de tiempo; y utilizando los generadores congruenciales lineal y multiplicativo, la población de bacterias evoluciona de 10 a 70-80 bacterias luego de 20 periodos.
Considerando que los primeros 20 periodos de tiempo, sin haber aplicado la vacuna, las bacterias se reprodujeron con probabilidad 0.4 y se morían naturalmente con probabilidad 0.2. Ahora, la farmacéutica propone aplicar vacunas que dado un experimento controlado, se afirma que puede matar a las bacterias con 0.5 de efectividad, e inhibirlas con 0.3 de probabilidad, es así, que nos interesa ver la continuidad del experimento 20 periodos posteriores a la aplicación de la vacuna.
De esta manera, se observa en el último gráfico que luego de aplicar la vacuna en el periodo 20, la población disminuye drasticamente, reduciendo la población de bacterias Salmonella a la mitad uno o dos periodos luego de haber aplicado la vacuna. Los resultados de esta última simulación usando los tres generadores difieren en escala, sin embargo, parecen tener un comportamiento muy similar, ya que sin importar el generador utilizado, la población de bacterias se alcanza a erradicar por completo 9 o 10 periodos posteriores a la vacuna.
