Soal 1

Maomao ingin mengetahui pengaruh fumigan Methyl Bromide (CH3Br) sebagai pembasmi serangga gudang terhadap daya tumbuh benih kacang hijau. Untuk itu, dilakukan percobaan sebagai berikut: benih kacang hijau diberi fumigan dengan dosis 0 (kontrol), 16 gr/m2 , 32 gr/m2 , 48 gr/m2 , 64 gr/m2 . Benih yang dikecambahkan diasumsikan homogen. Setelah 8 hari diperoleh hasil sebagai berikut. Bantu Maomao membuat

  1. ANOVA,

  2. uji asumsi normalitas dengan QQ Plot,

  3. uji asumsi kehomogenan dengan Plot residual vs. fitted,

  4. uji asumsi residual saling bebas dengan plot residual vs. order,

  5. uji asumsi keaditifan dengan plot interaksi, dan

  6. kesimpulannya!

# Input Data
konsentrasi <- factor(c(rep(0, 8), rep(16, 8), rep(32, 8), rep(48, 8), rep(64, 8)))
hasil <- c(100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100,
           100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, NA,
           90, 88, 92, 94, NA, NA, 86, 94,
           80, 80, 82, 78, 84, 76, 82, 78,
           90, 80, 92, 78, 82, 88, 94, 76)
data_maomao <- data.frame(konsentrasi, hasil)
data_maomao$konsentrasi <- as.factor(data_maomao$konsentrasi)
head(data_maomao)
##   konsentrasi hasil
## 1           0   100
## 2           0   100
## 3           0   100
## 4           0   100
## 5           0   100
## 6           0   100

a) ANOVA

Hipotesis

H₀: Rata-rata hasil pada semua tingkat konsentrasi sama.

H₁: Minimal ada satu rata-rata hasil yang berbeda pada tingkat konsentrasi tertentu.

ANOVAMAO <- aov(hasil ~ konsentrasi, data = data_maomao)
summary(ANOVAMAO)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## konsentrasi  4 2471.4   617.9   46.05 7.76e-13 ***
## Residuals   32  429.3    13.4                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 3 observations deleted due to missingness

Berdasarkan hasil uji ANOVA diperoleh nilai F hitung sebesar 46,05 dengan p-value = 7,76 × 10⁻¹³. Karena nilai p-value lebih kecil dari taraf signifikansi 0,05, maka H₀ ditolak. Hal ini menunjukkan bahwa konsentrasi memberikan pengaruh yang signifikan terhadap hasil.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa rata-rata hasil pada setiap tingkat konsentrasi tidak sama, sehingga terdapat perbedaan yang nyata antar perlakuan konsentrasi terhadap hasil yang diperoleh.

b) uji asumsi normalitas dengan QQ Plot

qqnorm(residuals(ANOVAMAO))
qqline(residuals(ANOVAMAO))

Berdasarkan QQ Plot, titik-titik residual cenderung mengikuti garis diagonal. Hal ini menunjukkan bahwa residual berdistribusi normal, sehingga asumsi normalitas pada model ANOVA terpenuhi.

c) uji asumsi kehomogenan dengan Plot residual vs. fitted

plot(fitted(ANOVAMAO), residuals(ANOVAMAO),
     xlab = "Fitted Value",
     ylab = "Residual")
abline(h = 0)

Berdasarkan plot residual terhadap fitted value, titik-titik residual menyebar secara acak di sekitar garis nol dan tidak membentuk pola tertentu. Hal ini menunjukkan bahwa ragam antar perlakuan relatif homogen, sehingga asumsi homogenitas ragam terpenuhi.

d) uji asumsi residual saling bebas dengan plot residual vs. order

plot(residuals(ANOVAMAO), type = "b",
     xlab = "Order",
     ylab = "Residual")
abline(h = 0)

Berdasarkan plot residual terhadap urutan pengamatan, titik-titik residual menyebar secara acak tanpa menunjukkan pola tertentu. Hal ini menunjukkan bahwa residual saling bebas (independen), sehingga asumsi independensi residual terpenuhi.

e) uji asumsi keaditifan dengan plot interaksi

interaction.plot(data_maomao$konsentrasi,
                 rep(1, nrow(data_maomao)),
                 data_maomao$hasil,
                 xlab = "Konsentrasi",
                 ylab = "Rata-rata hasil")

Berdasarkan plot interaksi, garis yang terbentuk cenderung sejajar dan tidak menunjukkan adanya perpotongan yang jelas. Hal ini menunjukkan bahwa tidak terdapat interaksi antar perlakuan, sehingga asumsi aditivitas terpenuhi.

f) kesimpulan

Berdasarkan hasil analisis ANOVA, dapat disimpulkan bahwa konsentrasi fumigan Methyl Bromide berpengaruh signifikan terhadap daya tumbuh benih kacang hijau setelah 8 hari pengamatan. Hasil pengujian asumsi juga menunjukkan bahwa asumsi normalitas, homogenitas ragam, independensi residual, dan aditivitas telah terpenuhi, sehingga model ANOVA yang digunakan sudah sesuai.

Dengan demikian, perbedaan konsentrasi fumigan memberikan pengaruh nyata terhadap daya tumbuh benih kacang hijau.

Soal 2

Chen membuat percobaan untuk mempelajari efektivitas empat jenis detergen untuk menghilangkan berbagai macam noda. Ia menyiapkan banyak kaos putih yang diberi salah satu dari 3 macam noda (saos, tinta, lumpur) yang diketahui memerlukan treatment yang berbeda. Berikut ini adalah hasil berupa indeks kebersihan kaos setelah dicuci dengan detergen-detergen tersebut. (semakin besar semakin bersih). Bantu Chen membuat

  1. ANOVA,

  2. uji asumsi normalitas dengan Saphiro Wilk,

  3. uji asumsi kehomogenan dengan Bartlett,

  4. uji asumsi residual saling bebas dengan Durbin-Watson, dan

  5. kesimpulannya!

# Input Data
noda     <- rep(c("Saos", "Tinta", "Lumpur"), each = 4)
detergen <- rep(c("D1", "D2", "D3", "D4"), times = 3)
indeks   <- c(45, 47, 48, 42,
              43, 46, 50, 37,
              51, 52, 55, 49)

data_chen <- data.frame(noda, detergen, indeks)

data_chen$noda <- as.factor(data_chen$noda)
data_chen$detergen <- as.factor(data_chen$detergen)
head(data_chen)
##    noda detergen indeks
## 1  Saos       D1     45
## 2  Saos       D2     47
## 3  Saos       D3     48
## 4  Saos       D4     42
## 5 Tinta       D1     43
## 6 Tinta       D2     46

a) ANOVA

Hipotesis

  1. Hipotesis untuk faktor detergen

H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ (Rata-rata indeks kebersihan kaos untuk semua jenis detergen sama)

H₁: Minimal ada satu rata-rata indeks kebersihan yang berbeda antar detergen.

  1. Hipotesis untuk faktor noda (blok)

H₀: μSaos = μTinta = μLumpur (Rata-rata indeks kebersihan kaos untuk semua jenis noda sama)

H₁: Minimal ada satu rata-rata indeks kebersihan yang berbeda antar jenis noda.

model_chen <- aov(indeks ~ detergen + noda, data = data_chen)
summary(model_chen)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## detergen     3 110.92   36.97   11.78 0.00631 **
## noda         2 135.17   67.58   21.53 0.00183 **
## Residuals    6  18.83    3.14                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Hasil ANOVA menunjukkan bahwa jenis detergen berpengaruh signifikan terhadap indeks kebersihan kaos dengan p-value = 0,006 (< 0,05). Selain itu, jenis noda juga berpengaruh signifikan terhadap indeks kebersihan dengan p-value = 0,0018 (< 0,05).

Hal ini menunjukkan bahwa tingkat kebersihan kaos dipengaruhi oleh jenis detergen yang digunakan serta jenis noda yang terdapat pada kaos.

b) uji asumsi normalitas dengan Saphiro Wilk

shapiro.test(residuals(model_chen))
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals(model_chen)
## W = 0.98567, p-value = 0.9973

Hasil uji Shapiro-Wilk menghasilkan p-value = 0,997 (> 0,05) sehingga H₀ tidak ditolak. Artinya, residual berdistribusi normal, sehingga asumsi normalitas pada model ANOVA terpenuhi.

c) uji asumsi kehomogenan dengan Bartlett

bartlett.test(indeks ~ detergen, data = data_chen)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  indeks by detergen
## Bartlett's K-squared = 0.80169, df = 3, p-value = 0.8491

Hasil uji Bartlett menghasilkan p-value = 0,849 (> 0,05) sehingga H₀ tidak ditolak. Hal ini menunjukkan bahwa ragam antar kelompok detergen homogen, sehingga asumsi homogenitas ragam terpenuhi.

d) uji asumsi residual saling bebas dengan Durbin-Watson

library(lmtest)
## Loading required package: zoo
## 
## Attaching package: 'zoo'
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric
dwtest(model_chen)
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model_chen
## DW = 2.5151, p-value = 0.6252
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Nilai Durbin-Watson ≈ 2,52, yang mendekati nilai 2. Hal ini menunjukkan bahwa tidak terdapat autokorelasi pada residual, sehingga residual saling bebas (independen).

e) kesimpulan

Berdasarkan hasil ANOVA, dapat disimpulkan bahwa jenis detergen dan jenis noda sama-sama berpengaruh signifikan terhadap tingkat kebersihan kaos setelah dicuci. Selain itu, hasil pengujian asumsi menunjukkan bahwa asumsi normalitas, homogenitas ragam, dan independensi residual telah terpenuhi, sehingga model ANOVA yang digunakan sudah sesuai.

Dengan demikian, efektivitas pembersihan kaos dipengaruhi oleh jenis detergen yang digunakan serta jenis noda yang terdapat pada kaos tersebut.

Soal 3

Takumi ingin efisiensi 4 jenis bahan bakar berbeda (A, B, C, D). Diketahui bahwa kemampuan pengendara dan jenis mobil dapat memengaruhi efisiensi ini. Oleh karena itu, Ia meminta 4 orang pembalap untuk mengendarai 4 jenis mobil berbeda dan menggunakan jenis bahan bakar tertentu secara bergantian dengan sistematis. Efisiensi bahan bakar diukur pada km per liter. Takumi pun mendapatkan data sebagai berikut. Bantu Takumi membuat

  1. ANOVA,

  2. uji asumsi normalitas dengan Jarque-Bera,

  3. uji asumsi kehomogenan dengan Levene,

  4. uji asumsi residual saling bebas dengan Run Test, dan

  5. kesimpulannya!

# Input Data
pembalap  <- rep(1:4, each = 4)
mobil     <- rep(c("I", "II", "III", "IV"), times = 4)
bahan     <- c("D", "B", "C", "A", 
               "B", "C", "A", "D", 
               "C", "A", "D", "B", 
               "A", "D", "B", "C")
efisiensi <- c(15.5, 33.9, 13.2, 29.1,
               16.3, 26.6, 19.4, 22.8,
               10.8, 31.1, 17.1, 30.3,
               14.7, 34.0, 19.7, 21.6)

data_takumi <- data.frame(pembalap, mobil, bahan, efisiensi)

data_takumi$pembalap <- as.factor(data_takumi$pembalap)
data_takumi$mobil    <- as.factor(data_takumi$mobil)
data_takumi$bahan    <- as.factor(data_takumi$bahan)
head(data_takumi)
##   pembalap mobil bahan efisiensi
## 1        1     I     D      15.5
## 2        1    II     B      33.9
## 3        1   III     C      13.2
## 4        1    IV     A      29.1
## 5        2     I     B      16.3
## 6        2    II     C      26.6

a) ANOVA

Hipotesis

H₀: μA = μB = μC = μD (rata-rata efisiensi semua jenis bahan bakar sama)

H₁: Minimal ada satu rata-rata efisiensi bahan bakar yang berbeda.

model_takumi <- aov(efisiensi ~ pembalap + mobil + bahan, data = data_takumi)
summary(model_takumi)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## pembalap     3    5.9    1.97   0.495   0.6987    
## mobil        3  736.9  245.64  61.903 6.63e-05 ***
## bahan        3  109.0   36.33   9.155   0.0117 *  
## Residuals    6   23.8    3.97                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Hasil ANOVA menunjukkan bahwa jenis bahan bakar berpengaruh signifikan terhadap efisiensi bahan bakar kendaraan apabila p-value < 0,05. Artinya terdapat perbedaan rata-rata efisiensi (km/liter) di antara bahan bakar A, B, C, dan D setelah mempertimbangkan pengaruh pembalap dan jenis mobil.

Selain itu, faktor pembalap dan mobil juga diuji untuk melihat apakah keduanya memberikan pengaruh terhadap efisiensi bahan bakar.

b) uji asumsi normalitas dengan Jarque-Bera

library(tseries)
## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo
jarque.bera.test(residuals(model_takumi))
## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  residuals(model_takumi)
## X-squared = 0.40216, df = 2, p-value = 0.8178

Jika p-value > 0,05, maka H₀ tidak ditolak, sehingga residual dapat dianggap berdistribusi normal. Dengan demikian asumsi normalitas pada model ANOVA terpenuhi.

c) uji asumsi kehomogenan dengan Levene

library(car)
## Loading required package: carData
leveneTest(efisiensi ~ bahan, data = data_takumi)
## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value Pr(>F)
## group  3  0.0831  0.968
##       12

Jika p-value > 0,05, maka H₀ tidak ditolak, yang berarti ragam antar kelompok bahan bakar homogen. Dengan demikian asumsi homogenitas ragam terpenuhi.

d) uji asumsi residual saling bebas dengan Run Test

library(randtests)
## 
## Attaching package: 'randtests'
## The following object is masked from 'package:tseries':
## 
##     runs.test
runs.test(residuals(model_takumi))
## 
##  Runs Test
## 
## data:  residuals(model_takumi)
## statistic = 0.51755, runs = 10, n1 = 8, n2 = 8, n = 16, p-value =
## 0.6048
## alternative hypothesis: nonrandomness

Jika p-value > 0,05, maka H₀ tidak ditolak, sehingga dapat disimpulkan bahwa residual terjadi secara acak dan tidak terdapat pola tertentu. Hal ini menunjukkan bahwa residual saling bebas (independen).

e) kesimpulan

Berdasarkan hasil analisis ANOVA pada rancangan bujur sangkar latin, dapat disimpulkan bahwa jenis bahan bakar memiliki pengaruh terhadap efisiensi kendaraan (km per liter) setelah mempertimbangkan pengaruh pembalap dan jenis mobil sebagai faktor pengganggu.

Selain itu, hasil pengujian asumsi menunjukkan bahwa residual berdistribusi normal, ragam antar perlakuan homogen, dan residual saling bebas, sehingga model ANOVA yang digunakan sudah memenuhi asumsi dan dapat digunakan untuk menarik kesimpulan yang valid mengenai efisiensi bahan bakar.