Modelos Estadísticos

Pontificia Universidad Javeriana Cali

Maestría en Ciencia de Datos

Estudiante: Edwin Silva Salas

Actividad: II

Fecha: 2026-03-08

1 Caso de Estudio: C&A (Casas y Apartamentos)

María comenzó como agente de bienes raíces en Cali hace 10 años. Después de laborar dos años para una empresa nacional, se trasladó a Bogotá y trabajó para otra agencia de bienes raíces. Sus amigos y familiares la convencieron de que con su experiencia y conocimientos del negocio debía abrir su propia agencia. Terminó por adquirir la licencia de intermediario y al poco tiempo fundó su propia compañía, C&A (Casas y Apartamentos) en Cali. Santiago y Lina, dos vendedores de la empresa anterior aceptaron trabajar en la nueva compañía. En la actualidad ocho agentes de bienes raíces colaboran con ella en C&A.

Actualmente las ventas de bienes raíces en Cali se han visto disminuidas de manera significativa en lo corrido del año. Durante este periodo muchas instituciones bancarias de ahorro y vivienda están prestando grandes sumas de dinero para la industria y la construcción comercial y residencial. Cuando el efecto producto de las tensiones políticas y sociales disminuya, se espera que la actividad económica de este sector se reactive.

Hace dos días, María recibió una carta solicitando asesoría para la compra de dos viviendas por parte de una compañía internacional que desea ubicar a dos de sus empleados con sus familias en la ciudad. Las solicitudes incluyen las siguientes condiciones:

Características Vivienda 1 Vivienda 2
Tipo Casa Apartamento
Área construida 200 300
Parqueaderos 1 3
Baños 2 3
Habitaciones 4 5
Estrato 4 o 5 5 o 6
Zona Norte Sur
Crédito preaprobado 350 millones 850 millones

1.1 Objetivo:

Ayudar a María a responder la solicitud, mediante técnicas modelación que usted conoce. Ella requiere le envíe un informe ejecutivo donde analice los dos casos y sus recomendaciones (Informe). Como soporte del informe debe anexar las estimaciones, validaciones y comparación de modelos requeridos (Anexos) .

2 Descarga de datos

Inicialmente se descargan las librerias:

Posteriormente utilizamos las librerias para consultar los datos (base de datos)

library(paqueteMODELOS)
library(tidyverse)
data("vivienda")
knitr::kable(head(vivienda), caption = "Tabla 2.1: Muestra de registros de la base completa de información 'vivienda'")
Tabla 2.1: Muestra de registros de la base completa de información ‘vivienda’
id zona piso estrato preciom areaconst parqueaderos banios habitaciones tipo barrio longitud latitud
1147 Zona Oriente NA 3 250 70 1 3 6 Casa 20 de julio -76.51168 3.43382
1169 Zona Oriente NA 3 320 120 1 2 3 Casa 20 de julio -76.51237 3.43369
1350 Zona Oriente NA 3 350 220 2 2 4 Casa 20 de julio -76.51537 3.43566
5992 Zona Sur 02 4 400 280 3 5 3 Casa 3 de julio -76.54000 3.43500
1212 Zona Norte 01 5 260 90 1 2 3 Apartamento acopi -76.51350 3.45891
1724 Zona Norte 01 5 240 87 1 3 3 Apartamento acopi -76.51700 3.36971

Se presenta el diccionario de variables del dataset vivienda, con su tipo de dato en R y una clasificación estadística:

Tabla 2.2: Diccionario de variables del dataset vivienda
Variable Tipo en R Tipo estadístico Rol en el análisis
id id numeric — —
zona zona character Categórica nominal Predictor potencial
piso piso character Categórica ordinal Descriptiva
estrato estrato numeric Categórica ordinal Predictor potencial
preciom preciom numeric Cuantitativa continua Variable respuesta (Y)
areaconst areaconst numeric Cuantitativa continua Predictor potencial
parqueaderos parqueaderos numeric Cuantitativa discreta Predictor potencial
banios banios numeric Cuantitativa discreta Predictor potencial
habitaciones habitaciones numeric Cuantitativa discreta Predictor potencial
tipo tipo character Categórica nominal Filtro / segmentación
barrio barrio character Categórica nominal Descriptiva
longitud longitud numeric Cuantitativa continua Georreferenciación
latitud latitud numeric Cuantitativa continua Georreferenciación

3 Análisis para la solicitud 2

Para el apartamento de 300 m² en zona Sur

3.1 Filtrado de datos para análisis

Se realiza un filtro a la base de datos para incluir solo las ofertas de apartamentos de la zona sur de la ciudad:

base2 <- vivienda %>%
  filter(tipo == "Apartamento", zona == "Zona Sur")

base2 %>% head(3) %>% knitr::kable(caption = "Tabla 3.1: Muestra de registros del filtro: Apartamentos de Zona Sur")
Tabla 3.1: Muestra de registros del filtro: Apartamentos de Zona Sur
id zona piso estrato preciom areaconst parqueaderos banios habitaciones tipo barrio longitud latitud
5098 Zona Sur 05 4 290 96 1 2 3 Apartamento acopi -76.53464 3.44987
698 Zona Sur 02 3 78 40 1 1 2 Apartamento aguablanca -76.50100 3.40000
8199 Zona Sur NA 6 875 194 2 5 3 Apartamento aguacatal -76.55700 3.45900

Verificacion del filtro objetivo para la solicitud 2, vivienda tipo apartamento de $ 850 millones.

Tabla 3.2: Total de apartamentos en la Zona Sur
Cantidad de registros
2787
Tabla 3.3: Valores únicos de tipo
Tipo
Apartamento
Tabla 3.4: Valores únicos de zona
Zona
Zona Sur
Tabla 3.5: Conteo en la base original
Tipo Zona Registros en vivienda
Apartamento Zona Sur 2787

Se grafican las coordenadas donde se encuentran ubicados los apartamentos de la Zona Sur

3.1.1 Discusión: ¿Todos los puntos se ubican en la Zona Sur?

Al observar el mapa se identifican puntos dispersos fuera del área geográfica que intuitivamente correspondería a la Zona Sur de Cali. Esto puede ocurrir por las siguientes razones:

  1. La variable zona es una etiqueta comercial, no geográfica: el campo zona del dataset es asignado por la agencia inmobiliaria según su propia clasificación de mercado, la cual no necesariamente coincide con los límites geográficos estrictos del sur de la ciudad.

  2. Errores de geocodificación: algunos registros pueden tener coordenadas longitud/latitud incorrectas o imprecisas, producto del proceso de captura o geocodificación de las direcciones.

El filtro zona == "Zona Sur" garantiza que todos los registros tengan la etiqueta correcta según la clasificación del dataset. La dispersión geográfica observada en el mapa es una característica de los datos.

Tabla 3.6: Rango de coordenadas de base2 – posibles valores atípicos
Registros Lat mín Lat máx Lon mín Lon máx
2787 3.33367 3.49684 -76.56525 -76.464

4 Análisis Exploratorio de Datos (EDA)

El siguiente análisis exploratorio examina la relación entre el precio de la vivienda (en millones de pesos) y cinco variables explicativas clave: área construida, estrato socioeconómico, número de baños, número de habitaciones y zona de ubicación. Se emplea el dataset filtrado filter(tipo == "Apartamento", zona == "Zona Sur") para enfocar el resultado a la solicitud 2.

Tabla 3.7: Muestra de la data base2 para su visualización
id zona piso estrato preciom areaconst parqueaderos banios habitaciones tipo barrio longitud latitud
5098 Zona Sur 05 4 290 96 1 2 3 Apartamento acopi -76.53464 3.44987
698 Zona Sur 02 3 78 40 1 1 2 Apartamento aguablanca -76.50100 3.40000
8199 Zona Sur NA 6 875 194 2 5 3 Apartamento aguacatal -76.55700 3.45900
1241 Zona Sur NA 3 135 117 NA 2 3 Apartamento alameda -76.51400 3.44100
5370 Zona Sur NA 3 135 78 NA 1 3 Apartamento alameda -76.53600 3.43600

4.1 Distribución del precio por zona

Interpretación: El gráfico muestra la distribución del precio para los apartamentos de la Zona Sur. La mediana del precio es de $245 millones, con un rango intercuartílico entre $175 y $335 millones. Se identifican valores atípicos por encima de $575 millones (umbral de Tukey), alcanzando hasta $1750 millones, lo que refleja la existencia de propiedades premium con características superiores al segmento típico. Esta distribución establece la línea base para evaluar la viabilidad de la solicitud del cliente, cuyo crédito preaprobado es de $850 millones. El crédito se ubica por encima de la mediana, lo que sugiere altas posibilidades de adquirir un apartamento en esta zona cumpliendo la solicitud del cliente.

4.2 Distribución del precio (histograma y densidad)

Interpretación: El histograma (normalizado a densidad) junto con la curva KDE muestra que la distribución del precio tiene un sesgo positivo (asimetría hacia la derecha): la mayor concentración se ubica entre $175 y $335 millones, con una cola larga hacia valores altos por propiedades premium. La línea verde punteada marca la mediana ($245 M) y la amarilla el crédito preaprobado ($850 M). Este sesgo es un indicador clave para los supuestos del modelo lineal: si el residual hereda esta asimetría, podría justificarse una transformación logarítmica de preciom antes de ajustar el modelo de regresión múltiple.

4.3 Precio vs. Área construida

cor_area <- cor(base2$preciom, base2$areaconst, use = "complete.obs")
sprintf("Correlación Precio ~ Área construida: r = %.4f", cor_area) %>% 
knitr::kable(col.names = c(" "))
Correlación Precio ~ Área construida: r = 0.7580

Interpretación: En los apartamentos de la Zona Sur existe una tendencia positiva clara entre el área construida y el precio: a mayor área, mayor precio. La correlación de Pearson para este segmento es r = 0.758, lo que indica una asociación lineal fuerte entre ambas variables. Para el área objetivo de 300 m², el modelo lineal simple estima un precio de $856.7 millones, valor que se ubica por encima del crédito preaprobado de $850 millones. La dispersión creciente a medida que aumenta el área sugiere heterocedasticidad, lo que deberá tenerse en cuenta en el ajuste del modelo final.

4.4 Precio por estrato socioeconómico

Interpretación: El gráfico de violín muestra la distribución del precio para los apartamentos de la Zona Sur según estrato socioeconómico. En este segmento se identifican estratos del 3 al 6. La tendencia es positiva y progresiva: la mediana del estrato 6 alcanza $580 millones, frente a $128 millones del estrato 3.

Los estratos menores presentan distribuciones más compactas con menor dispersión, mientras que los estratos superiores exhiben colas más amplias hacia valores altos, reflejando mayor heterogeneidad en el precio. Esto confirma que el estrato es una variable fuertemente asociada al precio incluso dentro del segmento de apartamentos de la Zona Sur, y respalda su inclusión como predictor en el modelo.

Considerando el crédito preaprobado de $850 millones, y que la solicitud especifica estrato 5 o 6, se observan las medianas por estrato en la tabla siguiente para evaluar la viabilidad.

Tabla 4.3.1: Mediana por Estrato
Estrato Mediana Cantidad
3 128 201
4 188 1091
5 280 1033
6 580 462

4.5 Precio por número de baños

cor_banos <- cor(base2$preciom, base2$banios, use = "complete.obs")
sprintf("Correlación Precio ~ Número de baños: r = %.4f", cor_banos) %>%
knitr::kable(col.names = c(" "))
Correlación Precio ~ Número de baños: r = 0.7197

Interpretación: En los apartamentos de la Zona Sur, el precio muestra una tendencia positiva y progresiva con el número de baños. La correlación de Pearson en este segmento es r = 0.72, lo que indica una asociación moderada entre precio y número de baños. Para la solicitud del cliente (3 baños, crédito de $850 millones), se observa que el grupo correspondiente presenta medianas compatibles con el presupuesto disponible.

4.6 Precio por número de habitaciones

cor_hab <- cor(base2$preciom, base2$habitaciones, use = "complete.obs")
sprintf("Correlación Precio ~ Número de habitaciones: r = %.4f", cor_hab) %>%
knitr::kable(col.names = c(" "))
Correlación Precio ~ Número de habitaciones: r = 0.3318

Interpretación: En los apartamentos de la Zona Sur, el precio muestra una tendencia positiva con el número de habitaciones, aunque menos pronunciada que con el área o los baños. La correlación de Pearson en este segmento es r = 0.332, lo que indica una asociación moderada-baja entre precio y número de habitaciones. La variabilidad dentro de cada grupo es elevada, lo que sugiere que esta variable puede estar correlacionada con otros predictores como el área y los baños — deberá evaluarse mediante el VIF (Variance Inflation Factor) en el modelo. Para la solicitud del cliente (5 habitaciones, crédito de $850 millones), se evalúa la mediana del grupo correspondiente frente al presupuesto disponible.

4.7 Mapa de correlaciones (variables numéricas)

Interpretación: El mapa de calor muestra las correlaciones de Pearson entre el precio y las variables explicativas para los apartamentos de la Zona Sur (base2). Las correlaciones entre predictores sugieren la necesidad de evaluar el riesgo de multicolinealidad al incluir todas las variables simultáneamente, lo cual se verifica formalmente a continuación mediante el VIF.

4.8 Diagnóstico de multicolinealidad (VIF)

El VIF (Variance Inflation Factor) cuantifica cuánto se infla la varianza de un coeficiente estimado \(\hat{\beta}_j\) debido a la correlación lineal entre los predictores. Se calcula ajustando una regresión auxiliar de cada predictor \(X_j\) contra los demás, obteniendo su \(R^2_j\):

\[VIF_j = \frac{1}{1 - R^2_j}\]

VIF Diagnóstico
1 Sin multicolinealidad
1 – 5 Moderada; generalmente aceptable
5 – 10 Alta; los coeficientes pueden ser inestables
> 10 Severa; los estimadores pierden confiabilidad

¿Por qué calcular VIF antes de estimar el modelo? Porque la multicolinealidad no se corrige ajustando el modelo; se previene antes de ajustarlo. Si se detecta un VIF alto en esta etapa, se puede decidir:

  • Eliminar una variable redundante
  • Combinar predictores
  • Aplicar Análisis de componentes principales (PCA)
  • Utilizar técnicas de regularización (Ridge, Lasso)
  • Utilizar Validación Cruzada
  • Aplicar transformación de variables
  • y entre otras

Estimar el modelo sin este diagnóstico previo podría producir coeficientes con signos contrarios a lo esperado, intervalos de confianza excesivamente amplios y pruebas de significancia engañosas — problemas que ya no se resuelven simplemente reinterpretando la salida del modelo.

A continuación se calcula el VIF sobre las variables que entrarán al modelo: preciom ~ areaconst + estrato + habitaciones + parqueaderos + banios.

Tabla 4.8.1: Factor de Inflación de la Varianza (VIF)
Variable VIF Diagnóstico
areaconst areaconst 2.067 Aceptable
estrato estrato 1.545 Aceptable
habitaciones habitaciones 1.429 Aceptable
parqueaderos parqueaderos 1.738 Aceptable
banios banios 2.529 Aceptable

Interpretación: Todos los valores de VIF son menores a 5, por debajo del umbral conservador de 5 y del umbral crítico de 10. Esto confirma que no existe multicolinealidad problemática entre los predictores del modelo. En consecuencia, no es necesario aplicar ninguna de las alternativas correctivas (eliminación de variables, transformaciones, PCA, regularización Ridge/Lasso, ni creación de índices): las cinco variables pueden incluirse simultáneamente en el modelo de regresión lineal múltiple con plena confianza en la estabilidad de sus coeficientes.

4.9 Verificacion de valores faltantes (NA)

Tabla 4.9.1 Valores faltantes en las variables del modelo
Variable Valores NA Registros validos % completo
preciom 0 2787 100.0
areaconst 0 2787 100.0
estrato 0 2787 100.0
habitaciones 0 2787 100.0
parqueaderos 406 2381 85.4
banios 0 2787 100.0
Tabla 4.9.2 Registros efectivos para la estimacion
Total registros Registros completos Excluidos % usado en modelo
2787 2381 406 85.4

Se detectaron 406 registros con al menos un NA en las variables del modelo. A continuacion se aplica imputacion sobre la variable parqueaderos.

4.10 Imputacion de valores faltantes en parqueaderos

La variable parqueaderos puede presentar valores faltantes no porque el dato sea desconocido, sino porque la propiedad no cuenta con parqueadero. Imputar con la media introduciria un valor sin fundamento real en el dominio del problema; eliminar el registro perderia informacion util. La decision mas coherente es imputar con 0, interpretando el NA como ausencia de parqueadero.

Tabla 4.9.3 Imputacion de parqueaderos (NA -> 0)
Momento NA en parqueaderos Total registros
Antes de imputar 406 2787
Despues de imputar 0 2787

4.11 Tratamiento de la variable estrato

La variable estrato es ordinalmente categórica por naturaleza, pero puede modelarse de dos formas:

Enfoque Codigo en lm() Supuesto Coeficientes
Numerico + estrato Efecto lineal y uniforme entre niveles 1
Factor / dummies + factor(estrato) Cada nivel tiene su propio intercepto k - 1

Decision: tratar estrato como variable numerica continua. Las razones son:

  1. El grafico de violin mostro una progresion monotona y aproximadamente proporcional entre estratos — cada nivel adicional se asocia con un incremento similar en el precio, lo que valida el supuesto de linealidad.
  2. Parsimonia: un unico coeficiente \(\hat{\beta}_{estrato}\) captura el efecto con menos grados de libertad que k-1 dummies, lo que mejora la precision de los demas estimadores.
  3. Prediccion directa: la solicitud 2 especifica estrato 5 o 6 — con tratamiento numerico se puede sustituir directamente ese valor en el modelo sin necesidad de construir variables dummy adicionales.
  4. El VIF calculado previamente fue aceptable usando estrato como numerico, confirmando que no genera multicolinealidad problematica con los demas predictores.
Tabla 4.10.1 Progresion del precio por estrato — validacion del supuesto lineal
Estrato n Mediana (M COP) Media (M COP) Incremento vs estrato anterior
3 201 128 141.1 NA
4 1091 188 203.6 60
5 1033 280 293.7 92
6 462 580 594.5 300

La tabla confirma que los incrementos de mediana entre estratos son positivos y relativamente uniformes, lo que respalda el tratamiento numerico. Se usara estrato como variable numerica en el modelo.

4.12 Transformar preciom antes de estimar?

El histograma (sección 4.1) mostró sesgo positivo en la distribución de preciom. La práctica estándar ante esta situación es:

  1. Estimar primero el modelo sin transformar y obtener los residuales.
  2. Revisar los residuales mediante Q-Q plot y gráfico de residuales vs. valores ajustados.
  3. Si los residuales heredan el sesgo (cola derecha en Q-Q, patrón en residuales vs. fitted) → aplicar log(preciom) y reestimar.

No se recomienda transformar preventivamente porque cambiar la variable respuesta modifica la interpretación de todos los coeficientes: pasan de ser efectos aditivos en millones COP a efectos multiplicativos (semi-elasticidades), lo que complica directamente la predicción final para el cliente (el resultado de predict() quedaría en escala logarítmica y requeriría retransformación con corrección de sesgo de retransformación).

Decisión: se estima primero el modelo en escala original (preciom en millones COP). La necesidad de transformación se evaluará en una sesion posterior.

5 Estimación del modelo de regresión lineal múltiple

5.1 Ajuste del modelo

Se estima el modelo:

\[\text{preciom} = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{areaconst} + \beta_2 \cdot \text{estrato} + \beta_3 \cdot \text{habitaciones} + \beta_4 \cdot \text{parqueaderos} + \beta_5 \cdot \text{banios} + \varepsilon\]

library(pander)

modelo1 <- lm(preciom ~ areaconst + estrato + habitaciones + parqueaderos + banios,
              data = base2)

resumen <- summary(modelo1)

resumen
## 
## Call:
## lm(formula = preciom ~ areaconst + estrato + habitaciones + parqueaderos + 
##     banios, data = base2)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1252.31   -42.15    -2.06    36.32   934.06 
## 
## Coefficients:
##                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  -221.04614   13.47771 -16.401  < 2e-16 ***
## areaconst       1.46061    0.04876  29.956  < 2e-16 ***
## estrato        57.00608    2.79648  20.385  < 2e-16 ***
## habitaciones  -22.71789    3.39549  -6.691 2.68e-11 ***
## parqueaderos   48.36353    3.02343  15.996  < 2e-16 ***
## banios         48.60871    3.04050  15.987  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 95.17 on 2781 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7536, Adjusted R-squared:  0.7531 
## F-statistic:  1701 on 5 and 2781 DF,  p-value: < 2.2e-16

5.2 Tabla de coeficientes

Tabla 5.2.1 Coeficientes del modelo de regresión lineal múltiple
Término Estimación Error Std. t p-valor IC 95% inf. IC 95% sup. Signif.
(Intercept) -221.0461 13.4777 -16.4009 0 -247.4735 -194.6188 ***
areaconst 1.4606 0.0488 29.9560 0 1.3650 1.5562 ***
estrato 57.0061 2.7965 20.3849 0 51.5227 62.4895 ***
habitaciones -22.7179 3.3955 -6.6906 0 -29.3758 -16.0600 ***
parqueaderos 48.3635 3.0234 15.9963 0 42.4351 54.2919 ***
banios 48.6087 3.0405 15.9871 0 42.6469 54.5706 ***

Códigos de significancia: *** p < 0.001   ** p < 0.01   * p < 0.05   . p < 0.1   ns: no significativo

5.3 Interpretacion de los coeficientes

5.3.1 Intercepto

El intercepto es -221.05 millones COP (p = 0.0000, significativo). Representa el precio estimado de un apartamento con area construida = 0 m2, estrato = 0, 0 habitaciones, 0 parqueaderos y 0 banios. Este valor no tiene interpretacion practica porque las condiciones son irreales, pero es necesario matematicamente para definir el plano de regresion.

5.3.2 Area construida (areaconst)

Por cada metro cuadrado adicional de area construida, el precio del apartamento aumenta en promedio 1.46 millones COP, manteniendo constantes las demas variables (estrato, habitaciones, parqueaderos y banios). (p = 0.0000, significativo). Este resultado es logico: una mayor superficie implica mas material de construccion, mas terreno y mas espacio habitable, lo que se traduce en un mayor valor de mercado.

5.3.3 Estrato (estrato)

Por cada unidad adicional de estrato, el precio aumenta en promedio 57.01 millones COP, controlando por las demas variables. (p = 0.0000, significativo). Este resultado es coherente con el mercado inmobiliario colombiano: el estrato socioeconomico refleja la calidad de la ubicacion, la infraestructura del barrio, los servicios publicos y el nivel de valorizacion, todos factores que incrementan el precio.

5.3.4 Habitaciones (habitaciones)

Cada habitacion adicional esta asociada a un cambio de -22.72 millones COP en el precio, manteniendo constantes las demas variables. (p = 0.0000, significativo). El signo negativo puede parecer contraintuitivo, pero tiene una explicacion logica: a igualdad de area construida, mas habitaciones implican cuartos mas pequenios, lo que puede indicar una distribucion del espacio menos eficiente o una construccion de menor calidad, reduciendo el valor percibido de la propiedad.

5.3.5 Parqueaderos (parqueaderos)

Cada parqueadero adicional esta asociado a un cambio de 48.36 millones COP en el precio, controlando por las demas variables. (p = 0.0000, significativo). El signo positivo es logico: un parqueadero es una amenidad valorada, especialmente en zonas urbanas donde el estacionamiento es limitado.

5.3.6 Banios (banios)

Cada banio adicional esta asociado a un cambio de 48.61 millones COP en el precio, manteniendo constantes las demas variables. (p = 0.0000, significativo). El signo positivo es esperado: los banios representan un acabado costoso (plomeria, enchape, sanitarios) y son indicadores de confort y calidad de la vivienda.

5.4 Bondad de ajuste: \(R^2\) y \(R^2\) ajustado

Tabla 5.4.1 Métricas de bondad de ajuste del modelo
Métrica Valor
R² 0.7536
R² ajustado 0.7531
Estadístico F 1700.86
p-valor (F) 0.00e+00
Observaciones 2787
Predictores 5

5.5 Interpretacion del R cuadrado

El modelo explica el 75.4% de la variabilidad total del precio de los apartamentos en Zona Sur (R2 ajustado = 75.3%, que penaliza por el numero de predictores incluidos).

Este nivel de explicacion es bueno para un modelo de valoracion inmobiliaria. Las cinco variables incluidas (area, estrato, habitaciones, parqueaderos y banios) capturan una porcion sustancial de los factores que determinan el precio de una vivienda.

La prueba F global (F = 1700.86, p = 0.00e+00) es significativa, lo que indica que al menos uno de los predictores tiene una relacion lineal estadisticamente significativa con el precio. El modelo en su conjunto es util para predecir.

5.6 Discusion del ajuste e implicaciones

El 24.6% de variabilidad no explicada por el modelo puede atribuirse a factores como:

  • Ubicacion especifica (barrio, cercania a vias principales, centros comerciales, colegios): el modelo usa ‘Zona Sur’ como filtro pero no diferencia entre barrios.
  • Edad y estado de la vivienda: un apartamento nuevo vs. uno de 30 anios tienen precios muy distintos, y esta variable no esta disponible en el dataset.
  • Acabados y calidad de la construccion: pisos en marmol vs. ceramica, cocina integral, etc.
  • Condiciones del mercado: oferta y demanda local, momento economico.
  • Amenidades adicionales: piscina, jardin, terraza, vigilancia privada.

5.7 Posibles mejoras al modelo

Para mejorar el ajuste del modelo se podria considerar:

  1. Incluir la variable barrio como predictor categorico, lo que capturaria las diferencias de precio por ubicacion especifica dentro de la Zona Sur.
  2. Incluir la variable piso (numero de pisos del apartamento), que esta disponible en el dataset y podria aportar informacion adicional.
  3. Transformaciones no lineales: si los diagnosticos de residuales muestran no linealidad, se podria considerar incluir terminos cuadraticos (ej. areaconst^2) o interacciones (ej. areaconst:estrato).
  4. Transformacion logaritmica de preciom si los residuales muestran sesgo pronunciado (se evaluara en la seccion de diagnosticos).
  5. Recopilar variables adicionales no disponibles en el dataset actual: anio de construccion, tipo de acabados, disponibilidad de amenidades.

6 Validación de supuestos del modelo

El modelo de regresión lineal múltiple se basa en cuatro supuestos fundamentales sobre los residuales \(e_i = y_i - \hat{y}_i\). A continuación se evalúa cada uno de ellos gráfica y formalmente.

6.1 Supuesto 1: Linealidad

El modelo asume una relación lineal entre los predictores y la variable respuesta. Se evalúa mediante el gráfico de residuales vs. valores ajustados: si la relación es lineal, los residuales deben distribuirse aleatoriamente alrededor de cero sin mostrar patrones sistemáticos (curvas, formas de U, abanico).

Interpretación: Si la curva LOESS (naranja) se mantiene cercana a la línea horizontal en cero, el supuesto de linealidad se cumple razonablemente. Si se observa una curvatura pronunciada, esto indicaría que la relación no es puramente lineal y se podría considerar:

  • Incluir términos cuadráticos (ej. areaconst^2)
  • Incluir interacciones entre predictores (ej. areaconst:estrato)
  • Aplicar una transformación a la variable respuesta (ej. log(preciom))

6.2 Supuesto 2: Normalidad de los residuales

El modelo asume que los errores siguen una distribución normal: \(\varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2)\). Se evalúa mediante el Q-Q plot (los puntos deben alinearse sobre la diagonal) y la prueba de Shapiro-Wilk (formalmente).

Tabla 6.2.1 Prueba formal de normalidad de los residuales
Prueba Estadístico p-valor Decisión
W Shapiro-Wilk 0.7723 2.21e-52 Se rechaza normalidad (p < 0.05)

Interpretación: La prueba de Shapiro-Wilk rechaza la hipótesis de normalidad de los residuales. El Q-Q plot probablemente muestra desviaciones en las colas (puntos alejados de la diagonal), lo cual es consistente con la asimetría positiva observada en la distribución del precio.

Sugerencias:

  • Transformación logarítmica: aplicar log(preciom) como variable respuesta, lo que tiende a simetrizar distribuciones con sesgo positivo y estabilizar la varianza.
  • Modelos robustos: utilizar errores estándar robustos (HC) que no requieren el supuesto de normalidad.
  • Bootstrap: estimar los intervalos de confianza mediante remuestreo, sin depender de la distribución de los residuales.
  • Nota: con muestras grandes (n > 30), el Teorema Central del Límite garantiza que los estimadores OLS siguen siendo aproximadamente normales, por lo que la inferencia sigue siendo válida aunque los residuales no sean perfectamente normales.

6.3 Supuesto 3: Homocedasticidad (varianza constante)

El modelo asume que la varianza de los errores es constante para todos los niveles de los predictores: \(Var(\varepsilon_i) = \sigma^2\). Si la varianza cambia (heterocedasticidad), los errores estándar de los coeficientes son incorrectos y las pruebas t y los intervalos de confianza pierden validez. Se evalúa con el gráfico Scale-Location y la prueba de Breusch-Pagan.

Tabla 6.3.1 Prueba formal de homocedasticidad
Prueba Estadístico GL p-valor Decisión
BP Breusch-Pagan 956.8303 5 1.33e-204 Se rechaza homocedasticidad (p < 0.05)

Interpretación: La prueba de Breusch-Pagan rechaza la hipótesis de varianza constante — se detecta heterocedasticidad. Esto significa que la dispersión de los residuales no es uniforme: probablemente aumenta con los valores ajustados (apartamentos más caros tienen residuales más dispersos).

Sugerencias:

  • Errores estándar robustos (HC): usar coeftest(modelo1, vcov = vcovHC(modelo1, type = 'HC3')) del paquete sandwich. Esto corrige los errores estándar sin cambiar los coeficientes.
  • Transformación logarítmica: log(preciom) tiende a estabilizar la varianza en datos de precios.
  • Mínimos Cuadrados Ponderados (WLS): asignar menor peso a las observaciones con mayor varianza.
  • Modelos lineales generalizados (GLM): usar una familia Gamma con enlace logarítmico, que maneja naturalmente la heterocedasticidad en datos positivos y asimétricos.

6.4 Supuesto 4: Independencia de los residuales

El modelo asume que los errores no están correlacionados entre sí: \(Cov(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0\) para \(i \neq j\). En datos transversales (como este dataset inmobiliario) la autocorrelación es menos frecuente que en series de tiempo, pero puede ocurrir si los datos tienen un orden espacial o temporal implícito. Se evalúa con la prueba de Durbin-Watson.

Tabla 6.4.1 Prueba de independencia de los residuales
Prueba Estadístico DW p-valor Decisión
DW Durbin-Watson 1.5041 1.27e-39 Se detecta autocorrelación (p < 0.05)

Interpretación: El estadístico de Durbin-Watson es DW = 1.5041. Los valores de referencia son:

DW Interpretación
≈ 2 Sin autocorrelación
< 1.5 Posible autocorrelación positiva
> 2.5 Posible autocorrelación negativa

La prueba indica autocorrelación significativa en los residuales.

Sugerencias:

  • Revisar el orden de los datos: verificar si existe un ordenamiento temporal o espacial que introduzca dependencia.
  • Incluir variables omitidas: la autocorrelación puede ser síntoma de un predictor relevante no incluido (ej. barrio, antigüedad).
  • Modelos con estructura de correlación: ajustar un modelo GLS (nlme::gls) que permita especificar la estructura de correlación de los errores.

6.5 Resumen de la validación de supuestos

Tabla 6.5.1 Resumen de validación de supuestos del modelo
Supuesto Método de evaluación Resultado
Linealidad Residuales vs. Ajustados + LOESS Ver gráfico — evaluar curvatura LOESS
Normalidad Q-Q Plot + Shapiro-Wilk No se cumple (Shapiro-Wilk p < 0.05)
Homocedasticidad Scale-Location + Breusch-Pagan No se cumple (Breusch-Pagan p < 0.05)
Independencia Durbin-Watson No se cumple (Durbin-Watson p < 0.05)

Conclusión general: Se detectaron 3 violación(es) a los supuestos del modelo. Aunque el modelo sigue siendo útil para obtener estimaciones puntuales, las siguientes acciones podrían mejorar la validez de la inferencia:

  1. Transformación logarítmica de preciom: aborda simultáneamente problemas de normalidad y heterocedasticidad.
  2. Errores estándar robustos (HC3): corrigen la heterocedasticidad sin cambiar el modelo, manteniendo los coeficientes iguales.
  3. Inclusión de variables omitidas (barrio, antigüedad, piso): puede reducir la autocorrelación y mejorar el ajuste.
  4. Modelo GLM Gamma con enlace log: alternativa que no requiere los supuestos de normalidad ni homocedasticidad.

Estas mejoras se podrían implementar en una iteración posterior del modelo.

7 Predicción para la Solicitud 2

Con el modelo estimado en la Sección 5, se procede a predecir el precio de la vivienda solicitada por el segundo cliente. Las características de la Solicitud 2 son:

Variable Valor solicitado
Tipo Apartamento
Área construida 300 m²
Estrato 5 o 6
Habitaciones 5
Parqueaderos 3
Baños 3
Zona Sur
Crédito preaprobado $850 millones

Dado que el cliente acepta estrato 5 o 6, se calculan ambas predicciones con sus respectivos intervalos de confianza (95%) e intervalos de predicción (95%).

Tabla 7.1 Predicción del precio (millones $) para la Solicitud 2
Escenario Precio estimado IC 95% inf IC 95% sup IP 95% inf IP 95% sup Crédito Diferencia
Estrato 5 679.5 659.36 699.63 491.79 867.20 850 170.5
Estrato 6 736.5 716.23 756.78 548.78 924.22 850 113.5

7.1 Interpretación de la predicción

El modelo estima que un apartamento en la Zona Sur con 300 m², 5 habitaciones, 3 parqueaderos y 3 baños tendría un precio de:

  • Estrato 5: $679.5 millones (intervalo de predicción: $491.8 — $867.2 millones)
  • Estrato 6: $736.5 millones (intervalo de predicción: $548.8 — $924.2 millones)

El crédito preaprobado del cliente es de $850 millones.

Estrato 5: El precio estimado ($679.5M) es inferior al crédito disponible, con un margen de $170.5 millones. Sin embargo, el límite superior del intervalo de predicción ($867.2M) excede el crédito, por lo que existe un riesgo de que el precio real supere el presupuesto. Se recomienda buscar propiedades por debajo del precio estimado para mayor seguridad.

Estrato 6: El precio estimado ($736.5M) es inferior al crédito disponible, con un margen de $113.5 millones. No obstante, el intervalo de predicción alcanza hasta $924.2M, lo que supera el crédito. Se sugiere negociar con cautela y priorizar propiedades en el rango inferior de precios del estrato 6.

7.2 Recomendación para María (C&A)

Ambos estratos presentan precios estimados dentro del crédito preaprobado. Se recomienda explorar ambas opciones y comparar disponibilidad y calidad de las propiedades.

8 Ofertas potenciales para la Solicitud 2

A partir del modelo estimado, se identifican propiedades reales del dataset que se ajusten a las características de la Solicitud 2 y cuyo precio se encuentre dentro del crédito preaprobado de $850 millones. Se aplican los siguientes criterios de búsqueda:

Adicionalmente, se calcula el precio predicho por el modelo para cada propiedad y se seleccionan las 5 ofertas cuyas características sean más cercanas a lo solicitado.

Tabla 8.1 Cinco ofertas potenciales para la Solicitud 2 (crédito ≤ $850M)
Oferta Barrio Estrato Área (m²) Habit. Baños Parq. Piso Precio real (\(M) | Precio modelo (\)M) Margen vs crédito ($M)
Oferta 1 capri 5 270.00 4 3 3 05 350 658.4 500
Oferta 2 San Fernando 5 258.00 5 4 2 04 350 618.4 500
Oferta 3 el ingenio 6 250.00 5 4 2 05 700 663.7 150
Oferta 4 cuarto de legua 5 295.55 4 4 2 02 410 696.0 440
Oferta 5 cuarto de legua 5 320.00 4 4 2 06 520 731.7 330

8.1 Análisis de las ofertas

Se identificaron 5 ofertas que cumplen con los criterios de la Solicitud 2 dentro del crédito preaprobado.

Oferta 1 — Barrio capri (Estrato 5)

  • Área: 270 m² | 4 hab. | 3 baños | 3 parq.
  • Precio real: $350 millones | Precio modelo: $658.4 millones
  • El modelo predice un valor superior al precio de lista, lo que sugiere que esta propiedad podría estar subvalorada — buena oportunidad de compra.
  • Margen respecto al crédito: $500.0 millones

Oferta 2 — Barrio San Fernando (Estrato 5)

  • Área: 258 m² | 5 hab. | 4 baños | 2 parq.
  • Precio real: $350 millones | Precio modelo: $618.4 millones
  • El modelo predice un valor superior al precio de lista, lo que sugiere que esta propiedad podría estar subvalorada — buena oportunidad de compra.
  • Margen respecto al crédito: $500.0 millones

Oferta 3 — Barrio el ingenio (Estrato 6)

  • Área: 250 m² | 5 hab. | 4 baños | 2 parq.
  • Precio real: $700 millones | Precio modelo: $663.7 millones
  • El modelo predice un valor inferior al precio de lista ($663.7M vs $700M), lo que sugiere que la propiedad podría estar sobrevalorada — se recomienda negociar.
  • Margen respecto al crédito: $150.0 millones

Oferta 4 — Barrio cuarto de legua (Estrato 5)

  • Área: 296 m² | 4 hab. | 4 baños | 2 parq.
  • Precio real: $410 millones | Precio modelo: $696.0 millones
  • El modelo predice un valor superior al precio de lista, lo que sugiere que esta propiedad podría estar subvalorada — buena oportunidad de compra.
  • Margen respecto al crédito: $440.0 millones

Oferta 5 — Barrio cuarto de legua (Estrato 5)

  • Área: 320 m² | 4 hab. | 4 baños | 2 parq.
  • Precio real: $520 millones | Precio modelo: $731.7 millones
  • El modelo predice un valor superior al precio de lista, lo que sugiere que esta propiedad podría estar subvalorada — buena oportunidad de compra.
  • Margen respecto al crédito: $330.0 millones

8.2 Recomendación para María (C&A)

Se sugiere presentar estas cinco opciones al cliente para discusión, destacando:

  1. Propiedades subvaloradas (precio real < precio modelo): representan oportunidades de compra donde el precio de mercado está por debajo de lo que el modelo estima para sus características.
  2. Margen disponible: las propiedades con mayor margen respecto al crédito de $850M permiten cubrir costos adicionales (escrituración, impuestos, remodelación).
  3. Ubicación: revisar en el mapa la accesibilidad y cercanía a servicios de cada oferta.

Se recomienda agendar visitas a las propiedades y validar las condiciones físicas antes de tomar una decisión final.