• Conceitos básicos
• Notações e estrutura comum para os dados.
• Distribuição de frequência de variáveis.
• Tabelas para apresentação de distribuições de frequências de variáveis.
• Gráficos para apresentação de distribuição de frequências de variáveis.

Considere que o interesse seja a investigação do número de focos do mosquito Aedes aegypti por bairro na cidade de Russas. Neste caso:

População:

Amostra:

Variável:

Dados:

Censo:

Dados amostrais:

Unidades amostrais:

Considere que o interesse seja a investigação do número de focos do mosquito Aedes aegypti por bairro na cidade de Russas. Neste caso:

População: conjunto formando pelos bairros;

Amostra: conjunto que não contém todos os bairros, mas parte deles;

variável: quantidade de focos (um número inteiro positivo);

Dados: resultados de observações de focos por bairro;

Censo: resultado de observações de focos de todos os bairros;

Dados amostrais: resultados de observações de focos por bairro, considerando apenas os bairros que compõem a amostra;

Unidades amostrais: bairros que serão efetivamente observados.

Uma variável é uma quantidade ou atributo, cujo valor observado pode variar de uma unidade investigada para outra.

Obs: veja exercícios na página 11 da apostila.

• Em geral, dados são dispostos em tabelas ou planilhas, de modo que em cada coluna podem ser observados os valores assumidos pelas variáveis.

• Dependendo do objetivo, ou ferramenta a ser utilizada para a análise, outras estruturas podem ser requeridas.

• \(X\), \(Y\), etc,maiúsculas, representa variáveis;

• \(x\) representa um valor observado de \(X\) e

• \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) representam uma sequência de tamanho \(n\) de valores observados de \(X\);

• \(n\) representa a quantidade de elementos na amostra usada para obter os valores observados e

• \(N\) representa a quantidade de elementos na população de onde vem os dados observados.

Aqui, o interesse é investigar o comportamento da variável em estudo, em termos de sua variabilidade entre as unidades amostrais (as vezes dentro dessas).

• Unidades amostrais: elementos que fornecem as observações.

• Assim é importante resumir os dados a fim de evidênciar essa variabilidade.

• Ou seja, deseja-se estudar a distribuição de frequência das variáveis em estudo, no conjunto de observações (ou dados).

• Para isso fazemos uso de ferramentas como: tabelas, gráficos e medidas de resumo.

• Nota: Esse tipo de tabela é apropriado para variáveis qualitativas ou quantitativas discretas com poucos valores possíveis.

Para a variável “Sexo”, pode-se também usar o gráfico em setores, comumente utilizado para representar parte de um todo.

Apropriado para mostrar frequências de ocorrências de variáveis qualitativas.

• \(k\) sendo o número de classes da tabela, que neste caso é a quantidade de valores distíntos no conjunto de dados;

• \(n_i\) a frequência absoluta;

• \(f_i\) a frequência relativa;

• \(F_{ac}\) a frequência relativa acumulada;

• \(n\) total de elementos da amostra, se as medições são feitas em todos os elementos da população, tem-se \(N\) maiúsculo em vez de minúsculo.

##   [1] 1,49 1,49 1,50 1,50 1,51 1,52 1,53 1,53 1,53 1,53 1,53 1,53 1,54 1,54 1,55
##  [16] 1,55 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,57 1,57 1,57 1,57 1,57 1,58
##  [31] 1,58 1,58 1,58 1,59 1,59 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60
##  [46] 1,60 1,60 1,61 1,61 1,61 1,61 1,62 1,62 1,62 1,62 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63
##  [61] 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,65 1,65 1,65
##  [76] 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,66 1,66 1,66 1,66
##  [91] 1,66 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,68 1,68 1,68 1,69 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70
## [106] 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70
## [121] 1,70 1,70 1,70 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72
## [136] 1,72 1,72 1,72 1,72 1,73 1,73 1,73 1,73 1,73 1,73 1,73 1,73 1,73 1,73 1,74
## [151] 1,74 1,74 1,74 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,76
## [166] 1,76 1,76 1,76 1,76 1,77 1,78 1,78 1,78 1,78 1,78 1,78 1,78 1,78 1,78 1,78
## [181] 1,78 1,79 1,79 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,81 1,81 1,82 1,82
## [196] 1,83 1,83 1,83 1,84 1,84 1,85 1,85 1,85 1,85 1,87 1,93 1,93 1,93 1,94

• A escolha do número de classe é feita pelo anista, mas algumas regras podem ser usadas para se ter um valor de \(k\) a partir do range dos dados.\ Algumas regras que podem ser adotadas são:
  • \(k\approx1+ \log_{2}(n),\)
  • \(k\approx \log(n),\)
  • \(k\approx 1+ 3.3 \times \log(n),\)

• É importante obter o valor máximo e o valor mínimo do conjunto de dados para decidir:
  • \(L_{inf}\) um valor menor ou igual ao valor mínimo;
  • \(L_{sup}\) um valor maior o igual ao valor máximo; que irão nortear a construção dos intervalos.

Com isso tem-se a amplitude total de um intervalo que irá conter todas as observações:

\[AT=L_{sup}-L_{inf}\ \mbox{ (Amplitude Total)}\]

• obtém-se a amplitude para cada classe fazendo: \[\delta=AT/k.\]

• Para os dados da variável Altura, vamos fixar:
  • \(L_{inf}=1,48\)
  • \(L_{sup}=1,94\)
  • \(AT=L_{sup}-L_{inf}=1,94-1,48=0,46.\)
• Como \(n=209\),
  • \(k\approx 1+log_{2}(209)\approx 8,71\approx 9\),
• \(k=9\) fornece:

\[\delta=0,46/9 = 0,0511...\approx 0,051\]

que é a amplitude dos intervalos das classes da tabela.

• \(1,48+0,0512=1,53\) \(\Rightarrow\) \((1,48; 1,53]\)
  
• \(1,53 +0,0512=1,58\) \(\Rightarrow\) \((1,53; 1,58]\)
  
• \(1,58 +0,0512=1,63\) \(\Rightarrow\) \((1,58; 1,63]\)
  
• \(1,63+0,0512=1,68\) \(\Rightarrow\) \((1,63; 1,68]\)
  
• \(1,68+0,0512=1,74\) \(\Rightarrow\) \((1,68; 1,74]\)
  
• \(1,73+0,0512=1,79\) \(\Rightarrow\) \((1,74; 1,79]\)
  
• \(1,79+0,0512=1,84\) \(\Rightarrow\) \((1,79; 1,84]\)
  
• \(1,84+0,0512=1,89\) \(\Rightarrow\) \((1,84; 1,89]\)
  
• \(1,89+0,0512=1,94\) \(\Rightarrow\) \((1,89; 1,94]\)

• Um dos gráficos mais importantes para exibir distribuição de frequência de variáveis quantitativas é o histograma.

• Vamos considerar a variável “Nota do Enem” que diz respeito ao desempenho dos entrevistados na seleção antes do ingresso na universidade.

• Para os dados da variável “Nota do ENEM”, vamos fixar \(L_{sup}=766\) e \(L_{inf}=450\)

\[AT=L_{sup}-L_{inf}=766-450=316.\]

• Com \(n=157\), tem-se \(k\approx 1+log_{2}157\approx 8,29\approx 8\),

• assim \(k=8\) que fornece \(\delta=316/8 \approx 40\).

• Logo, tem-se:

• \(450+40=490\) \(\Rightarrow\) \([450; 490)\)

• \(450+40=490\) \(\Rightarrow\) \([450; 490)\)
  
• \(490+40=530\) \(\Rightarrow\) \([490; 530)\)

• \(450+40=490\) \(\Rightarrow\) \([450; 490)\)
  
• \(490+40=530\) \(\Rightarrow\) \([490; 530)\)
  
• \(530+40=570\) \(\Rightarrow\) \([530; 570)\)

• \(450+40=490\) \(\Rightarrow\) \([450; 490)\)
  
• \(490+40=530\) \(\Rightarrow\) \([490; 530)\)
  
• \(530+40=570\) \(\Rightarrow\) \([530; 570)\)
  
• \(570+40=610\) \(\Rightarrow\) \([570; 610)\)

• \(450+40=490\) \(\Rightarrow\) \([450; 490)\)
  
• \(490+40=530\) \(\Rightarrow\) \([490; 530)\)
  
• \(530+40=570\) \(\Rightarrow\) \([530; 570)\)
  
• \(570+40=610\) \(\Rightarrow\) \([570; 610)\)
  
• \(610+40=650\) \(\Rightarrow\) \([610; 650)\)
  
• \(650+40=690\) \(\Rightarrow\) \([650; 690)\)
  
• \(690+40=730\) \(\Rightarrow\) \([690; 730)\)
  
• \(730+40=770\) \(\Rightarrow\) \([730; 770)\)

\([450; 490)\): \(f_1=1/157\approx 0,006\),

• a primeira barra tem área 0,006, a altura (\(h\)) deve ser obtida como:

\[\delta \times h=0,006\]

em que \(\delta=490-450=40\) é a amplitude do intervalo em cada classe, então:

\[40\times h_1=0,006 \Rightarrow h_1=0,000159 \]

\[ h_1=0,000159 \Rightarrow \delta \times h_1 = f_1 \approx 0,006\]

• Obtém-se a segunda frequência relativa do intervalo \([490; 530)\);

• calcula-se a altura da barra dividindo essa frequência pela amplitudoe da classe:

-\[f_2=2/157 = 0,01273885 \Rightarrow h_2=\frac{f_2}{40}=0,00032.\]

• Logo a altura da segunda barra é \(\approx 0.000318\),

• \([530; 570)\): \(f_3=8/157 = 0,05095541 \Rightarrow h_3=\frac{f_3}{40}= 0,00127.\)

• \([570; 610)\):\(f_4=27/157 = 0,1719745 \Rightarrow h_4=\frac{f_4}{40}= 0,00429.\)

• \([610; 650)\): \(f_5=51/157=0,32484\) \(\Rightarrow h_5=\frac{f_5}{40}=0,00812\)

• \([650; 690)\): \(f_6=52/157=033121\) \(\Rightarrow h_5=\frac{f_6}{40}=0,00828\)

• \([690; 730)\): $f_7=13/157 =0,08280 $ \(\Rightarrow h_5=\frac{f_6}{40}=0,00207\)

• \([730; 770)\): \(f_8=3/157=0,191\) \(\Rightarrow h_5=\frac{f_8}{40}=0,00048.\)

Deste modo, têm-se os seguinte valores de alturas para as barras:

• \(h_1= 0,00016 =1,6\mbox{ e}^{-4}\)
• \(h_2= 0,00032 =3,2 \mbox{ e}^{-4}\)
• \(h_3= 0,00127 =12,7\mbox{ e}^{-4}\)
• \(h_4= 0,00429 =42,9 \mbox{ e}^{-4}\)
• \(h_5= 0,00812 = 81,2 \mbox{ e}^{-4}\)
• \(h_6= 0,00828 = 82,8 \mbox{ e}^{-4}\)
• \(h_7= 0,00207 = 20,7\mbox{ e}^{-4}\)
• \(h_8= 0,00048 = 4,8 \mbox{ e}^{-4}\)

Mostra a distribuição de frequência conjunta de duas variáveis.

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