1 REGRESI LINEAR BERGANDA

1.1 Regresi Linear Berganda

Analisis regresi linear berganda merupakan analasis yang digunakan untuk mengetahui ada tidaknya pengaruh signifikan antara dua atau lebih variabel bebas (independen) terhadap variabel terikat (dependen). Analisis regresi linier berganda menggunakan satu variabel dependen (Y) dan lebih dari 1 variabel independen (X). Model regresi linier berganda disajikan dalam persamaan berikut. \[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_k X_k + \epsilon \] dengan: \[ \begin{aligned} Y & = \text{Variabel dependen} \\ X_k & = \text{Variabel independen ke-}k \\ \beta_0 & = \text{Konstanta} \\ \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_k & = \text{Nilai parameter variabel independen ke-}k \\ \varepsilon & = \text{Variabel error} \end{aligned} \] Mode Regresi yang baik adalah model regresi yang semua variabel independennya (X) berpengaruh signifikan dan memenuhi semua uji asumsi (normalitas, linearitas, homoskedastisitas, autokorelasi, dan multikolinieritas).

1.2 Uji Asumsi Klasik

Uji asumsi klasik pada model regresi linier digunakan untuk mengetahui apakah model regresi memiliki ketepatan dalam estimasi, tidak bias, dan konsisten. Uji asumsi klasik yang dilakukan meliputi uji normalitas residual, uji linearitas, uji homoskedastisitas, ui autokorelasi, dan uji multikolinearitas.

  1. Uji Normalitas
    Uji Normalitas digunakan dalam model regresi untuk menguji apakah residual yang dihasilkan terdistribusi secara normal atau tidak. Model regresi yang baik adalah model regresi yang memiliki nilai residual yang terdistribusi secara normal. Secara visual, uji normalitas residual dapat dideteksi menggunakan Q-Q Residuals Plot atau dengan histogram. Secara formal, salah satu cara untuk menguji normalitas residual yaitu dengan menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov. Statistik uji pada uji normalitas yaitu sebagai berikut.
    \[ \begin{aligned} D = max(|F_n(x_i)-F(x_i)|) \end{aligned} \]

    dengan:

\[ \begin{aligned} D &:\ \text{statistik uji Kolmogorov-Smirnov} \\ F_n(x_i) &:\ \text{fungsi distribusi kumulatif empiris} \\ F(x_i) &:\ \text{fungsi distribusi kumulatif teoritis} \\ x_i &:\ \text{data pengamatan ke-}i \\ n &:\ \text{jumlah data} \end{aligned} \]

  1. Uji Linearitas
    Uji Linieairtas digunakan dalam model regresi digunakan untuk mengetahui apakah hubungan linear antara variabel bebas (X) dan variabel terikat (Y) dalam suatu model regresi. Uji linearitas dapat dideteksi dengan melihat pola penyebaran Residual pada Plot Residual vs Fitted Value. Jika titik residual tersebar tanpa pola yang jelas, maka asumsi linearitas terpenuhi.

  2. Uji Homoskedastisitas
    Uji Homoskedastisitas digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya penyimpangan asumsi klasik heteroskedastisitas yaitu adanya ketidaksamaan varian dari residual untuk semua pengamatan pada model regresi. Salah satu cara untuk mendeteksiadanya heteroskedastisitas dapat dilakukan dengan menghitung statistik uji Breusch-Pagan. Uji homoskedastisitas juga dapat dideteksi dengan melihat pola penyebaran Residual pada Plot Residual vs Fitted Value. Jika titik residual tersebar tanpa pola yang jelas, maka asumsi homoskedastisitas terpenuhi. Statistik uji pada uji homoskedastisitas yaitu sebagai berikut. \[ \begin{equation} BP = \frac{1}{2} f' Z (Z'Z)^{-1} Z' f \end{equation} \] \[ \begin{equation} f_i = \left(\frac{e_i^2}{\hat{\sigma}^2}\right) - 1 \end{equation} \] dengan: \[ \begin{align*} e_i &= \text{Residual untuk pengamatan ke-}i \\ \hat{\sigma}^2 &= \text{Penduga variansi galat} \\ Z &= \text{Elemen dari matriks } X \end{align*} \]

  3. Uji Non-Autokorelasi
    Uji Non-Autokorelasi digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya penyimpangan asumsi klasik autokorelasi yaitu korelasi yang terjadi antara residual pada satu pengamatan dengan pengamatan lain pada model regresi. Salah satu uji yang dapat dilakukan adalah uji Durbin Watson. Statistik uji pada Uji Durbin Watson yaitu sebagai berikut. \[ \begin{equation} DW = \frac{\sum_{i=2}^{n}(e_i - e_{i-1})^2} {\sum_{i=1}^{n} e_i^2} \end{equation} \]

    dengan:

\[ \begin{align*} DW &= \text{Nilai uji Durbin Watson} \\ e_i &= \text{Residual pada pengamatan ke-i} \\ d_L &= \text{Batas bawah pada tabel Durbin Watson} \\ d_U &= \text{Batas atas pada tabel Durbin Watson} \end{align*} \] Adapun kriteria pengujian yang digunakan dalam Uji Non-Autokorelasi menggunakan Uji Durbin Watson adalah sebagai berikut.

Daerah Kritis Keputusan Keterangan
0 < DW < dL H0 ditolak Terdapat autokorelasi positif
dL < DW < dU Tidak ada kesimpulan Daerah ragu-ragu
dU < DW < 4 - dU H0 diterima Tidak ada autokorelasi
4 - dU < DW < 4 - dL Tidak ada kesimpulan Daerah ragu-ragu
4 - dL < DW < 4 H0 ditolak Terdapat autokorelasi negatif

  1. Uji Multikolinearitas
    Uji Multikolinearitas bertujuan untuk menguji apakah pada model regresi ditemukan adanya korelasi antar variabel bebas (independen). Model regresi yang baik seharusnya tidak terjadi korelasi antar variabel independen. Salah satu cara untuk menguji Multikoliniearitas yaitu dengan melihat nilai Variance Inflation Factor (VIF). Jika nilai VIF < 10 maka dapatdinyatakan tidak terjadi multikolinearitas. Adapun statistik uji pada Uji Multikolinearitas yaitu sebagai berikut. \[ VIF_k = \frac{1}{1 - R_k^2} \]

    dengan: \[ \begin{aligned} VIF_k &= \text{Variance Inflation Factor untuk variabel independen ke-}k \\ R_k^2 &= \text{Koefisien determinasi dari hasil regresi variabel independen ke-}k \\ &\quad \text{terhadap variabel independen lainnya} \end{aligned} \]

1.3 Uji Signifikansi Parameter

Uji signifikansi parameter dilakukan untuk melihat apakah ada pengaruh variabel independen terhadap variabel dependen. Uji signifikansi parameter pada analisis regresi linear berganda yaitu dengan Uji F (uji simultan) dan Uji t (uji parsial).

  1. Uji F (Uji Simulatan)
    Uji F digunakan untuk melakukan uji hipotesis koefisien (slope) regresi secara bersamaan dan memastikan bahwa model yang dipilih layak atau tidak untuk mengintepretasikan pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat. Uji ini sangat penting karena jika tidak lolus uji F maka hasil uji t tidak relevan. Statistik uji yang digunakan dalam uji F adalah sebagai berikut.

\[ F = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i - \bar{Y})^2 / k} {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2 / (n - k - 1)} > F_{\alpha,(k,n-k-1)} \]

dengan:

\[ \begin{aligned} \hat{y}_i &= \text{Nilai prediksi dari variabel dependen} \\ \bar{Y} &= \text{Rata-rata dari variabel dependen} \\ k &= \text{Jumlah variabel independen} \\ y_i &= \text{Nilai dari variabel dependen} \\ n &= \text{Jumlah observasi pada baris} \\ F_{\alpha,(k,n-k-1)} &= \text{Nilai } F_{\text{tabel}} \end{aligned} \]

  1. Uji t (Uji Parsial)
    Uji t digunakan untuk menguji koefisien regresi secara individu. Uji t menunjukkan seberapa jauh pengaruh variabel independen (X) secara parsial terhadap variabel dependen (Y). Statistik uji yang digunakan dalam uji t adalah sebagai berikut. \[ t = \frac{\hat{\beta}_i}{se(\hat{\beta}_i)} > t_{\alpha/2,\,n-k-1} \]

    dengan: \[ \begin{array}{lll} \hat{\beta}_i & = & \text{Parameter terhadap variabel dependen} \\ se(\hat{\beta}_i) & = & \text{Standar error dari koefisien } \hat{\beta} \\ t_{\alpha/2,\,n-k-1} & = & \text{Nilai } t_{\text{tabel}} \end{array} \]

1.4 Koefisien Determinasi

Koefisien determinasi pada regresi linear sering diartikan sebagai seberapa besar kemampuan semua variabel bebas dalam menjelaskan variabel terikatnya. Koefisien determinasi digunakan untuk mempertimbangkan ketepatan model regresi. Nilai koefisien determinasi yang kecil memiliki arti bahwa kemampuan variabel – variabel independen dalam menjelaskan variabel dependen sangat terbatas, Sebaliknya jika nilai mendekati 1 (satu) dan menjauhi 0 (nol) memiliki arti bahwa variabel – variabel independen memiliki kemampuan memberikan semua informasi yang dibutuhkan untuk memprediksi variabel dependen. Sehingga, batas besaran \(R^2\) adalah \(0 \le R^2 \le 1\), artinya jika \(R^2=1\) berarti variabel independen menjelaskan 100% variasi dependen. Rumus Koefisien Determinasi \(R^2\) yaitu sebagai berikut.

\[ R^2 = \frac{JKR}{JKT} \]

2 DATASET

Dataset yang digunakan pada analisis ini merupakan data sekunder sebanyak 55 observasi yang diperoleh dari website World Population Review (2022). Data tersebut memuat informasi mengenai Environmental Performance Index (EPI), tingkat polusi udara (Air Pollution), dan Natural Disasters Risk Index pada berbagai negara di dunia pada tahun 2022.

Dataset ini bersifat data cross-section, yaitu data yang dikumpulkan pada satu periode waktu tertentu (tahun 2022) untuk banyak unit observasi. Setiap baris data merepresentasikan satu negara, sedangkan setiap kolom menunjukkan nilai dari variabel yang digunakan dalam penelitian. Variabel dependen dalam penelitian ini adalah Environmental Performance Index (EPI) yang menggambarkan tingkat kinerja lingkungan suatu negara. Sementara itu, variabel independen yang digunakan adalah Air Pollution yang mencerminkan tingkat polusi udara suatu negara, serta Natural Disasters Risk Index yang menunjukkan tingkat risiko suatu negara terhadap bencana alam.

Environmental Performance Index (EPI) merupakan indikator yang digunakan untuk mengukur kinerja lingkungan suatu negara berdasarkan berbagai aspek. Indeks ini memberikan gambaran tentang seberapa baik negara-negara menangani isu lingkungan, termasuk pengelolaan sumber daya alam, pengurangan polusi, dan penanganan resiko bencana alam. Nilai EPI biasanya dinyatakan dalam skala 0–100, di mana semakin tinggi nilai EPI maka semakin baik kinerja lingkungan suatu negara.

Variabel Air Pollution dalam dataset ini menggambarkan tingkat pencemaran udara yang terjadi di suatu negara. Indikator ini berkaitan dengan paparan polutan berbahaya di udara, seperti partikel halus (PM2.5), SO2, dan NO2 yang dapat menyebabkan berbagai masalah kesehatan. Tingginya tingkat polusi udara dapat berdampak pada kesehatan masyarakat serta menurunkan kualitas lingkungan suatu negara.

Sementara itu, Natural Disasters Risk Index menunjukkan tingkat kerentanan atau risiko suatu negara terhadap berbagai jenis bencana alam, seperti banjir, gempa bumi, badai, maupun kebakaran hutan. Negara dengan nilai indeks risiko bencana yang tinggi cenderung memiliki potensi dampak lingkungan yang lebih besar akibat kerusakan ekosistem dan gangguan terhadap aktivitas sosial serta ekonomi.

Secara keseluruhan, dataset ini digunakan untuk menganalisis hubungan antara tingkat polusi udara (Air Pollution) dan risiko bencana alam (Natural Disasters Risk Index) terhadap kinerja lingkungan suatu negara yang diukur melalui Environmental Performance Index (EPI). Analisis dilakukan menggunakan metode regresi linier berganda untuk mengetahui apakah kedua variabel independen tersebut memiliki pengaruh yang signifikan terhadap nilai EPI pada negara-negara di dunia pada tahun 2022.

Data Variabel Lingkungan
EPI API NDRI
18.9 53.3 42.31
28.4 30.6 28.70
51.1 8.9 22.73
24.6 70.9 26.75
43.6 12.2 12.15
23.1 65.8 27.90
37.5 11.2 26.54
45.5 19.5 37.55
57.2 9.1 17.03
35.5 46.5 20.65
28.9 14.9 46.82
20.1 27.2 25.85
34.5 32.5 18.48
26.3 21.1 16.23
62.4 11.0 3.92
38.1 18.1 20.91
77.7 8.9 5.78
62.5 11.5 6.67
37.2 23.4 9.42
57.7 18.9 9.37
42.4 15.7 38.37
46.9 18.3 10.51
56.6 10.9 9.68
29.6 17.8 9.58
27.8 80.1 8.65
41.1 7.7 15.61
50.0 7.4 18.99
50.6 16.3 4.63
49.6 9.7 3.89
38.2 33.5 1.74
35.0 17.7 14.36
39.8 23.5 25.41
37.9 41.5 9.64
60.1 4.2 21.36
34.7 20.7 5.93
40.9 23.0 2.18
46.7 22.2 13.84
58.2 10.8 4.16
52.4 45.9 6.52
59.9 13.4 1.00
72.7 6.2 2.06
50.4 8.1 5.08
38.6 18.9 2.20
56.2 19.0 8.55
55.1 12.6 0.97
66.5 10.6 1.14
65.9 10.0 1.03
37.0 21.6 1.29
50.9 13.3 0.81
76.5 5.0 1.30
59.3 7.0 3.16
56.7 4.8 13.05
42.4 55.8 2.56
33.0 42.5 1.17
47.8 5.1 2.93

3 ANALISIS REGRESI LINEAR BERGANDA

3.1 Call Library

library(lmtest)   
library(readxl) 
library(nortest)
library(car)

Dalam anaisis regrsi linear berganda digunakan beberapa paket (library) pada perangkat lunak R untuk mendukung proses analisis data. Library yang digunakan dalam analisis data adalah sebagai berikut:

  1. readxl
    Library readxl digunakan untuk mengimpor atau membaca data dari file Microsoft Excel ke dalam software R sehingga data dapat diolah dan dianalisis lebih lanjut.

  2. lmtest
    Library lmtest digunakan untuk melakukan pengujian pada model regresi linier. Package ini menyediakan beberapa pengujian, seperti uji Breusch–Pagan dan uji Durbin-Watson.

  3. nortest
    Library nortest digunakan untuk melakukan uji normalitas data atau residual model regresi. Package ini menyediakan beberapa metode pengujian normalitas, salah satunya adalah uji Kolmogorov–Smirnov.

  4. car
    Library car (Companion to Applied Regression) digunakan untuk analisis diagnostik pada model regresi, seperti mendeteksi multikolinearitas antar variabel independen menggunakan nilai Variance Inflation Factor (VIF) serta memeriksa asumsi linearitas melalui grafik diagnostik regresi.

3.2 Overview Data Enviromental

data_env <- read_excel("D:\\KULIAH\\S6\\Komlan b\\Tugas1_Try1\\Data_Tugas1_Komlan.xlsx")
head(data_env)
## # A tibble: 6 × 3
##     EPI   API  NDRI
##   <dbl> <dbl> <dbl>
## 1  18.9  53.3  42.3
## 2  28.4  30.6  28.7
## 3  51.1   8.9  22.7
## 4  24.6  70.9  26.8
## 5  43.6  12.2  12.2
## 6  23.1  65.8  27.9

dengan: \[ \begin{array}{lll} Y & = & \text{Environmental Performance Index (EPI)} \\ X_1 & = & \text{Air Pollution Index (API)} \\ X_2 & = & \text{Natural Disasters Risk Index (NDRI)} \end{array} \]

3.3 Model Awal Regresi

Model Regresi Linier Berganda Data Environmental

model_env = lm(EPI ~ API + NDRI, data=data_env)
summary(model_env)
## 
## Call:
## lm(formula = EPI ~ API + NDRI, data = data_env)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -19.4374  -6.4181   0.9752   6.8879  22.9170 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  61.4902     2.3580  26.077  < 2e-16 ***
## API          -0.4382     0.0771  -5.684 6.05e-07 ***
## NDRI         -0.4857     0.1152  -4.215 9.99e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 9.652 on 52 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5512, Adjusted R-squared:  0.5339 
## F-statistic: 31.93 on 2 and 52 DF,  p-value: 8.982e-10

Persamaan Model Regresi Linier Berganda: \[ Y = 61.4902 -0.4382 X_1 -0.4857 X_2 + \epsilon \] \[ EPI = 61.4902 -0.4382 API -0.4857 NDRI + \epsilon \] dengan: \[ \beta_0 = 61.4902 \\ \beta_1 = -0.4382 \\ \beta_2 = -0.4857 \]

Berdasarkan persamaan model regrsi linear berganda tersebut diketahui bahwa koefisien regresi variabel API bernilai 0.4382. Hal ini menunjukkan bahwa setiap kenaikan 1 satuan Air Pollution (dengan asumsi variabel NDRI konstan) maka nilai EPI akan menurun sebesar 0.4382 satuan. Sementara itu, koefisien regresi variabel NDRI sebesar 0.4857 menunjukkan bahwa setiap kenaikan 1 satuan Natural Disasters Risk Index, dengan asumsi API tetap, maka nilai EPI akan menurun sebesar 0.4857 satuan. Tanda negatif pada kedua koefisien tersebut menunjukkan bahwa semakin tinggi tingkat polusi udara dan semakin tinggi tingkat risiko bencana alam pada suatu negara, maka kinerja lingkungan negara tersebut yang diukur melalui Environmental Performance Index (EPI) cenderung semakin menurun.

3.4 Uji Asumsi Model Regresi

3.4.1 Uji Asumsi Normalitas Residual

  1. Secara Visual
# Uji Normalitas Residual Secara Visual (Plot Residual)
plot(model_env,2)

# Uji Normalitas Residual Secara Visual (Histogram Residual)
error = model_env$residuals
hist(error,
     main = "Histogram Residual",
     xlab = "Nilai Residual",
     ylab = "Frekuensi",
     col = "lightblue",
     border = "black")

Berdasarkan histogram residual, terlihat bahwa sebaran nilai residual membentuk pola yang relatif simetris dan menyerupai kurva lonceng (bell-shaped). Hal ini menunjukkan bahwa distribusi residual tidak terlalu menyimpang dan tidak terdapat pola yang sangat mencolok seperti skewness yang ekstrem. Dengan demikian, secara visual dapat disimpulkan bahwa residual cenderung berdistribusi normal, sehingga asumsi normalitas pada model regresi dapat dianggap terpenuhi. Berdasarkan grafik Q-Q Residuals diperoleh bahwa plot-plot residual juga cenderung mengikuti garis regresi sehingga dapat disimpulkan bahwa residual data berdistribusi normal dan asumsi normalitas terpenuhi secara visual.

  1. Secara Formal Hipotesis: \[ \begin{aligned} H_0 & : \text{Residual data berdistribusi normal} \\ H_1 & : \text{Residual data tidak berdistribusi normal} \end{aligned} \] Taraf Signifikansi: \[ \begin{aligned} \alpha = 0.05 \end{aligned} \] Statistik Uji: \[ \begin{aligned} D = max(|F_n(x_i)-F(x_i)|) \end{aligned} \]
# Uji Normalitas Residual Secara Formal
error = model_env$residuals
ks_result <- ks.test(error, "pnorm",mean(error),sqrt(var(error)))
ks_result
## 
##  Exact one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  error
## D = 0.079029, p-value = 0.8553
## alternative hypothesis: two-sided

Berdasarkan uji normalitas residual menggunakan uji kolmogorov smirnov diperoleh nilai statistik D = 0.079 dan p-value = 0.8553.

Daerah Penolakan:
Tolak \(H_0\) jika \(p-value < \alpha\text{ }(0.05)\)

Keputusan:
\(H_0\) gagal ditolak karena \(p-value\text{ }(0.8553) > \alpha\text{ }(0.05)\)

Kesimpulan:
Pada taraf signifikansi \(\alpha=0.05\), \(H_0\) gagal ditolak karena nilai \(p-value\text{ }(0.8553) > \alpha\text{ }(0.05)\) sehingga dapat disimpulkan bahwa residual data berdistribusi normal dan asumsi normalitas terpenuhi secara formal.

3.4.2 Uji Asumsi Linieritas

# Uji Asumsi Linieritas
plot(model_env,1)

Berdasarkan grafik Residuals vs Fitted, terlihat bahwa plot-plot residual menyebar di sekitar garis horizontal nol tanpa membentuk pola tertentu yang jelas. Penyebaran residual juga cenderung acak di sepanjang fitted values. Meskipun terdapat sedikit pola lengkungan , secara umum plot-plot residual masih tersebar di atas dan di bawah garis nol. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel independen (API dan NDRI) dengan variabel dependen (EPI) cenderung bersifat linear. Dengan demikian, asumsi linearitas pada model regresi dapat dianggap terpenuhi.

3.4.3 Uji Asumsi Homoskedastisitas

  1. Secara Visual
plot(model_env,1)

Berdasarkan grafik Residuals vs Fitted dapat dilihat bahwa plot-plot residual menyebar secara acak dan tidak membentuk pola, sehingga dapat disimpulkan bahwa asumsi homoskedastisitas terpenuhi.

  1. Secara Formal Hipotesis: \[ \begin{aligned} H_0 & : \alpha_2=\cdots=\alpha_n=0 \text{ } \text{(Variansi residual konstan)} \\ H_1 & : \text{(Setidaknya terdapat minimal satu)} .... \end{aligned} \] Taraf Signifikansi: \[ \begin{aligned} \alpha = 0.05 \end{aligned} \] Statistik Uji:
bp_test <-bptest(model_env)
bp_test
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  model_env
## BP = 2.734, df = 2, p-value = 0.2549

\[ \begin{equation} BP = \frac{1}{2} f' Z (Z'Z)^{-1} Z' f = 2.734 \end{equation} \]

Berdasarkan uji homoskedastisitas menggunakan uji Breusch-Pagan diperoleh nilai statistik BP = 2.734 dan p-value = 0.2549.

Daerah Penolakan:
Tolak \(H_0\) jika \(p-value < \alpha\text{ }(0.05)\)

Keputusan:
\(H_0\) gagal ditolak karena \(p-value\text{ }(0.2549) > \alpha\text{ }(0.05)\)

Kesimpulan:
Pada taraf signifikansi \(\alpha=0.05\), \(H_0\) gagal ditolak karena nilai \(p-value\text{ }(0.2549) > \alpha\text{ }(0.05)\) sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak terjadi gejala heteroskedastisitas atau dengan kata lain asumsi homoskedastisitas terpenuhi secara formal.

3.4.4 Uji Non-Autokorelasi

Hipotesis: \[ \begin{aligned} H_0 & : \rho=0 \text{ } \text{(Tidak ada autokorelasi pada residual data)} \\ H_1 & : \rho\neq0 \text{(Ada autokorelasi pada residual data)} \end{aligned} \] Taraf Signifikansi: \[ \begin{aligned} \alpha = 0.05 \end{aligned} \] Statistik Uji:

dw_test <- dwtest(model_env)
dw_test
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model_env
## DW = 2.0314, p-value = 0.5256
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

\[ \begin{equation} DW = \frac{\sum_{i=2}^{n}(e_i - e_{i-1})^2} {\sum_{i=1}^{n} e_i^2} = 2.0314 \end{equation} \]

Berdasarkan uji non-autokorelasi menggunakan uji Durbin Watson diperoleh nilai statistik \(DW\) = 2.0314 dan p-value = 0.5256. Dengan \(\alpha\) = 5%, n = 55, dan k =2 diperoleh:

Daerah Kritis Nilai
dL 1.4903
dU 1.6406
4 - dU 2.3594

Daerah Penolakan:

Daerah Kritis Keputusan Keterangan
0 < DW < dL H0 ditolak Terdapat autokorelasi positif
dL < DW < dU Tidak ada kesimpulan Daerah ragu-ragu
dU < DW < 4 - dU H0 diterima Tidak ada autokorelasi
4 - dU < DW < 4 - dL Tidak ada kesimpulan Daerah ragu-ragu
4 - dL < DW < 4 H0 ditolak Terdapat autokorelasi negatif

Keputusan:
\(H_0\) gagal ditolak karena \(dU (1.6406) < DW (2.0314) < 4-dU (2.3594)\) atau \(p-value\text{ }(0.5256) > \alpha\text{ }(0.05)\) .

Kesimpulan:
Pada taraf signifikansi \(\alpha=0.05\), \(H_0\) gagal ditolak karena nilai \(dU (1.6406) < DW (2.0314) < 4-dU (2.3594)\) atau \(p-value\text{ }(0.5256) > \alpha\text{ }(0.05)\) sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak terjadi ada autokorelasi pada model regresi atau dengan kata lain asumsi non-autokorelasi terpenuhi.

3.4.5 Uji Non-Multikolinieritas

Hipotesis: \[ \begin{aligned} H_0 & : \text{(Tidak terdapat multikolinearitas)} \\ H_1 & : \text{(Terdapat multikolinearitas} \end{aligned} \] Taraf Signifikansi: \[ \begin{aligned} \alpha = 0.05 \end{aligned} \] Statistik Uji:

vif_test <- vif(model_env)
vif_test
##      API     NDRI 
## 1.051898 1.051898

\[ VIF_{API} = \frac{1}{1 - R_i^2} = 1.0519\\ VIF_{NDRI} = \frac{1}{1 - R_i^2} = 1.0519 \] Berdasarkan uji non-multikolinearitas menggunakan uji VIF diperoleh nilai statistik \(VIP_{API} = 1.0519\) dan \(VIP_{NDRI} = 1.0519\).

Daerah Penolakan:
Tolak \(H_0\) jika \(VIF > 10\)

Keputusan:
\(H_0\) gagal ditolak karena \(VIP_{API} = 1.0519< 10\) dan \(VIP_{NDRI} = 1.0519< 10\)

Kesimpulan:
Pada taraf signifikansi \(\alpha=0.05\), \(H_0\) gagal ditolak karena nilai \(VIP_{API} = 1.0519< 10\) dan \(VIP_{NDRI} = 1.0519< 10\) sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat hubungan antara variabel \(X_1\) dan \(X_2\) atau dengan kata lain asumsi non-multikolinearitas terpenuhi.

3.5 Uji Signifikansi Parameter

3.5.1 Uji Kecocokan Model (Uji F)

Hipotesis: \[ \begin{aligned} H_0 & : \beta_1 = \beta_2 \text{(Tidak terdapat hubungan signifikan antara variabel independen secara simultan terhadap variabel dependen)} \\ H_1 & : \text{Paling sedikit ada satu} \text{ } \beta_k \neq 0\text{ } \text{(Terdapat hubungan signifikan antara variabel independen secara simultan terhadap variabel dependen)} \end{aligned} \] Taraf Signifikansi: \[ \begin{aligned} \alpha = 0.05 \end{aligned} \] Statistik Uji:

summary(model_env)
## 
## Call:
## lm(formula = EPI ~ API + NDRI, data = data_env)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -19.4374  -6.4181   0.9752   6.8879  22.9170 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  61.4902     2.3580  26.077  < 2e-16 ***
## API          -0.4382     0.0771  -5.684 6.05e-07 ***
## NDRI         -0.4857     0.1152  -4.215 9.99e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 9.652 on 52 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5512, Adjusted R-squared:  0.5339 
## F-statistic: 31.93 on 2 and 52 DF,  p-value: 8.982e-10

\[ F = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i - \bar{Y})^2 / k} {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2 / (n - k - 1)} = 31.9323 \]

Berdasarkan uji F diperoleh nilai statistik \(F = 31.9323\) dan \(p-value = 8.982e-10\).

Daerah Penolakan:
Tolak \(H_0\) jika \(p-value < \alpha\text{ }(0.05)\)

Keputusan:
\(H_0\) ditolak karena \(p-value\text{ }(8.982e-10) < \alpha\text{ }(0.05)\).

Kesimpulan:
Pada taraf signifikansi \(\alpha=0.05\), \(H_0\) gagal ditolak karena nilai \(p-value\text{ }(8.982e-10) < \alpha\text{ }(0.05)\) sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat hubungan signifikan antara variabel independen secara simultan terhadap variabel dependen.

3.5.2 Uji Signifikansi (Uji t)

Hipotesis: \[ \begin{aligned} H_0 & : \beta_0 = 0 \text{(Tidak terdapat hubungan signifikan terhadap variabel independen secara parsial terhadap variabel dependen)} \\ H_1 & : \beta_i \neq 0\text{ } \text{(Terdapat hubungan signifikan antara variabel independen secara parsial terhadap variabel dependen)} \end{aligned} \] Taraf Signifikansi: \[ \begin{aligned} \alpha = 0.05 \end{aligned} \] Statistik Uji:

summary(model_env)
## 
## Call:
## lm(formula = EPI ~ API + NDRI, data = data_env)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -19.4374  -6.4181   0.9752   6.8879  22.9170 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  61.4902     2.3580  26.077  < 2e-16 ***
## API          -0.4382     0.0771  -5.684 6.05e-07 ***
## NDRI         -0.4857     0.1152  -4.215 9.99e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 9.652 on 52 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5512, Adjusted R-squared:  0.5339 
## F-statistic: 31.93 on 2 and 52 DF,  p-value: 8.982e-10

\[ t_1 = \frac{\hat{\beta}_1}{s_0(\hat{\beta}_1)} = -5.6839 \text{ } \text{dengan p-value} = 6.048\times 10^{-7}\\ t_2 = \frac{\hat{\beta}_2}{s_0(\hat{\beta}_2)} = -4.2147\text{ } \text{dengan p-value} = 9.988\times 10^{-5} \] Berdasarkan uji t diperoleh nilai statistik \(t_1 =-5.6839 \text{ } \text{dengan p-value} = 6.048\times 10^{-7}\\\). Kemudian diperoleh pula nilai statistik \(t_2 = \frac{\hat{\beta}_2}{s_0(\hat{\beta}_2)} = -4.2147\text{ } \text{dengan p-value} = 9.988\times 10^{-5}\).

Daerah Penolakan:
Tolak \(H_0\) jika \(p-value < \alpha\text{ }(0.05)\)

Keputusan:
\(H_0\) ditolak untuk \(X_1\) dan \(X_2\) karena kedua \(p-value < \alpha\text{ }(0.05)\)

Kesimpulan:
Pada taraf signifikansi \(\alpha=0.05\), \(H_0\) ditolak karena kedua \(p-value < \alpha\text{ }(0.05)\) sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat hubungan signifikan antara variabel independen secara parsial terhadap variabel dependen.

3.6 Model Akhir Regresi

Berdasarkan uji F, model regresi yang dibuat cocok digunakan untuk analisis lebih lanjut dan berdasarkan uji t, koefisien parameter regresi X yaitu \(\beta_1\) dan \(\beta_2\) berpengaruh signfikan terhadap Y, sehingga model akhir sama dengan model awal. Adapun persamaannya, yaitu: \[ Y = 61.4902 -0.4382 X_1 -0.4857 X_2 + \epsilon \]

3.7 Koefisien Determinasi (R-Squared)

summary(model_env)
## 
## Call:
## lm(formula = EPI ~ API + NDRI, data = data_env)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -19.4374  -6.4181   0.9752   6.8879  22.9170 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  61.4902     2.3580  26.077  < 2e-16 ***
## API          -0.4382     0.0771  -5.684 6.05e-07 ***
## NDRI         -0.4857     0.1152  -4.215 9.99e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 9.652 on 52 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5512, Adjusted R-squared:  0.5339 
## F-statistic: 31.93 on 2 and 52 DF,  p-value: 8.982e-10

Berdasarkan tabel Model Summary dan Multiple R-squared dapat diketahui: \[ R^2 = \frac{JKR}{JKT}=0.5512 \] Berdasarkan output di atas, diperoleh nilai R-squared sebesar 0.5512 yang artinya sebesar 55.12% variabel \(Y\) dipengaruhi oleh variabel \(X_1\) dan \(X_2\), sedangkan sisanya sebesar 44.88% variabel \(Y\) dipengaruhi oleh faktor lain. Atau dapat diartikan bahwa sebesar 55.12% variabel Environmental Performance Index (EPI) dipengaruhi oleh variabel Air Pollution Index (API) dan Natural Disasters Risk Index (NDRI), sedangkan sisanya sebesar 44.88% variabel Environmental Performance Index (EPI) dipengaruhi oleh faktor lain.

4 KESIMPULAN

  1. Model Awal
    Persamaan Model Regresi Linier Berganda: \[ Y = 61.4902 -0.4382 X_1 -0.4857 X_2 + \epsilon \] \[ EPI = 61.4902 -0.4382 API -0.4857 NDRI + \epsilon \] dengan: \[ \beta_0 = 61.4902 \\ \beta_1 = -0.4382 \\ \beta_2 = -0.4857 \]

  2. Uji Asumsi
    Berdasarkan uji asumsi klasik yang telah dilakukan, model regresi memenuhi ji normalitas residual, uji linearitas, uji homoskedastisitas, ui autokorelasi, dan uji multikolinearitas. Karena Uji asumsi klasik pada model regresi linier terpenuhi maka dapat disimpulkan bahwa model regresi memiliki ketepatan dalam estimasi, tidak bias, dan konsisten.

  3. Uji Signifikansi
    Berdasarkan Uji F dapat disimpulkan bahwa terdapat hubungan signifikan antara variabel independen secara simultan terhadap variabel dependen dan berdasarkan Uji t dapat disimpulkan bahwa terdapat hubungan signifikan antara variabel independen secara parsial terhadap variabel dependen.

  4. Model Akhir
    Berdasarkan uji F, model regresi yang dibuat cocok digunakan untuk analisis lebih lanjut dan berdasarkan uji t, koefisien parameter regresi X yaitu \(\beta_1\) dan \(\beta_2\) berpengaruh signfikan terhadap Y, sehingga model akhir sama dengan model awal. Adapun persamaannya, yaitu: \[ Y = 61.4902 -0.4382 X_1 -0.4857 X_2 + \epsilon \]

  5. Koefisien Determinasi
    Berdasarkan analisis yang telah dilakukan, diperoleh nilai R-squared sebesar 0.5512 yang artinya sebesar 55.12% variabel Environmental Performance Index (EPI) dipengaruhi oleh variabel Air Pollution Index (API) dan Natural Disasters Risk Index (NDRI), sedangkan sisanya sebesar 44.88% variabel Environmental Performance Index (EPI) dipengaruhi oleh faktor lain.

5 DAFTAR PUSTAKA

Khotimah, A. K., Rahman, A. A., Alam, M. Z., Adawiyah, R., Nur, Y. H., Aufi, T. R., & Sifriyani. (2024). Analisis Regresi Linier Berganda Dalam Estimasi Indeks Pembangunan Manusia di Indonesia. Jurnal EKSPONENSIAL, 15(2). https://doi.org/10.30872/eksponensial.v15i2.1318.

Kipkemboi, M. K., & Ombaba, M. K. B. (2020). Effect of Investment Appraisal on Performance of Housing Cooperative Societies in North Rift Region Counties. International Journal of Social Science and Economic Research, 5(11), 3365–3382.

Mardiatmoko, G. (2020). Pentingnya Uji Asumsi klasik pada Analisis Regresi Linier Berganda (Studi Kasus Penyusunan Persamaan Allometrik Kenari Muda [Canarium indicum L.]). Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan, 14(3), 333–342. https://doi.org/10.30598/barekengvol14iss3pp333-342.

Marnilin, F., Mutmainah, I., Yulia, I. A., & Mahfudi, A. Z. (2022). Pengaruh perceived value terhadap kepuasan implementasi program MBKM. Jurnal Ilmiah Manajemen Kesatuan, 11(1), 1–10. https://doi.org/10.37641/jimkes.v11i1.936.

Sulantari, S., Hariadi, W., Putra, E. D., & Anas, A. (2024). Analisis Regresi Linier berganda untuk Memodelkan Faktor yang Mempengaruhi Nilai Penambahan Utang Tahunan Negara Indonesia. Jurnal UJMC (Unisda Journal of Mathematics and Computer Science), 10(1), 36–46. https://doi.org/10.52166/ujmc.v10i1.6631.