1 Analisis Data Kategori

1.1 Pengertian

Dalam statistika, data dapat dibedakan menjadi dua jenis besar: data kontinu dan data kategori. Data kontinu nilainya berupa angka yang bisa mengambil nilai berapa saja dalam suatu rentang — misalnya tinggi badan, berat badan, atau suhu. Sedangkan data kategori adalah data yang nilainya hanya bisa masuk ke dalam kelompok atau kategori tertentu yang sudah ditentukan, tanpa ada nilai di antaranya.

Analisis data kategori (categorical data analysis) adalah kumpulan metode statistik yang dirancang khusus untuk menganalisis data jenis ini. Menurut Agresti (2013), cakupannya mulai dari yang sederhana seperti tabel kontingensi dan uji chi-square, sampai yang lebih kompleks seperti regresi logistik dan model log-linear. Metode-metode ini tidak bisa begitu saja digantikan oleh metode untuk data kontinu, karena asumsi dasarnya memang berbeda — misalnya asumsi normalitas jelas tidak berlaku untuk data yang hanya bernilai “ya” atau “tidak”.

1.2 Karakteristik Variabel Kategori

Ada beberapa hal yang perlu dipahami tentang variabel kategori agar tidak salah dalam memilih metode analisis:

1. Nilainya berupa kategori, bukan angka pengukuran

Variabel kategori merepresentasikan keanggotaan dalam suatu kelompok. Jenis kelamin (laki-laki/perempuan), status gizi, atau golongan darah adalah contohnya. Meskipun kadang dikodekan dengan angka (misal: 0 dan 1), angka itu hanya label, tidak punya makna numerik seperti pada variabel kontinu.

2. Tidak ada jarak antar kategori yang bermakna

Ini yang jadi pembeda utama dari variabel kontinu. Pada variabel kontinu, kita bisa bilang selisih antara nilai 10 dan 20 sama besarnya dengan selisih antara 20 dan 30. Pada variabel kategori, konsep “jarak” ini tidak berlaku — tidak ada artinya bilang kategori “gizi kurang” lebih jauh dari “gizi baik” dibanding kategori lainnya.

3. Skala pengukurannya nominal atau ordinal

Mengacu pada klasifikasi Stevens (1946):

  • Nominal: kategori tidak punya urutan alami. Contoh: jenis kelamin, golongan darah, agama.
  • Ordinal: kategori punya urutan yang bermakna, tapi jarak antar kategorinya tidak bisa diukur. Contoh: tingkat pendidikan (SD < SMP < SMA < S1), skala Likert (tidak setuju–netral–setuju).

4. Dirangkum dengan frekuensi dan proporsi

Karena tidak bisa dijumlah atau dirata-rata secara langsung, ringkasan yang tepat untuk variabel kategori adalah frekuensi (jumlah per kelompok) dan proporsi atau persentasenya. Ukuran seperti mean dan standar deviasi tidak relevan di sini.

1.3 Contoh Penerapan dalam Penelitian

Analisis data kategori sangat luas penggunaannya. Beberapa contoh nyata:

  1. Epidemiologi: menguji apakah ada hubungan antara kebiasaan merokok (ya/tidak) dengan kejadian hipertensi (ya/tidak). Ukuran seperti odds ratio dan relative risk digunakan untuk mengkuantifikasi besarnya risiko.

  2. Gizi dan kesehatan masyarakat: menganalisis apakah status gizi balita (gizi kurang/gizi baik) berhubungan dengan kejadian ISPA. Ini yang akan saya gunakan sebagai contoh kasus dalam laporan ini.

  3. Psikologi: mengukur tingkat kesepakatan dua observer dalam menilai perilaku subjek yang dikategorikan (misal: agresif/tidak agresif), menggunakan koefisien Kappa Cohen.

2 Tabel Kontingensi

2.1 Definisi Tabel Kontingensi

Tabel kontingensi (contingency table) adalah tabel yang digunakan untuk menampilkan distribusi frekuensi dari dua atau lebih variabel kategori secara bersamaan. Tabel ini menyusun observasi berdasarkan kombinasi kategori dari masing-masing variabel, sehingga memungkinkan kita melihat pola hubungan antarvariabel secara langsung sebelum melakukan pengujian statistik.

Bentuk paling sederhana adalah tabel \(2 \times 2\), yang terbentuk ketika masing-masing variabel hanya punya dua kategori. Inilah yang paling sering ditemui dalam praktik, terutama untuk variabel biner seperti ya/tidak atau terpapar/tidak terpapar (Agresti, 2013).

2.2 Struktur Tabel Kontingensi

Secara umum, struktur tabel kontingensi \(2 \times 2\) adalah sebagai berikut:

Y = 1 Y = 0 Total
X = 1 \(n_{11}\) \(n_{12}\) \(n_{1+}\)
X = 0 \(n_{21}\) \(n_{22}\) \(n_{2+}\)
Total \(n_{+1}\) \(n_{+2}\) \(n\)

Keterangan:

  • \(n_{ij}\) = frekuensi observasi pada baris ke-\(i\) dan kolom ke-\(j\)
  • \(n_{i+}\) = total frekuensi baris ke-\(i\) (marginal baris)
  • \(n_{+j}\) = total frekuensi kolom ke-\(j\) (marginal kolom)
  • \(n\) = total seluruh observasi

Untuk menjelaskan konsep-konsep berikutnya, saya gunakan satu contoh yang sama sepanjang bagian ini: data hasil pencatatan di posyandu terhadap 200 balita, dengan variabel status gizi (gizi kurang/gizi baik) dan kejadian ISPA dalam tiga bulan terakhir (ya/tidak).

ISPA Tidak ISPA Total
Gizi Kurang 55 45 100
Gizi Baik 25 75 100
Total 80 120 200

2.3 Konsep Joint Distribution

Joint distribution atau distribusi bersama adalah distribusi peluang yang menggambarkan kemungkinan suatu observasi jatuh pada kombinasi kategori tertentu dari kedua variabel secara simultan.

Rumus:

\[\pi_{ij} = P(X = i,\; Y = j) = \frac{n_{ij}}{n}\]

dengan syarat \(\displaystyle\sum_{i,j} \pi_{ij} = 1\).

Contoh:

\[\pi_{11} = P(\text{Gizi Kurang} \cap \text{ISPA}) = \frac{55}{200} = 0{,}275\]

\[\pi_{12} = P(\text{Gizi Kurang} \cap \text{Tidak ISPA}) = \frac{45}{200} = 0{,}225\]

\[\pi_{21} = P(\text{Gizi Baik} \cap \text{ISPA}) = \frac{25}{200} = 0{,}125\]

\[\pi_{22} = P(\text{Gizi Baik} \cap \text{Tidak ISPA}) = \frac{75}{200} = 0{,}375\]

Cek: \(0{,}275 + 0{,}225 + 0{,}125 + 0{,}375 = 1{,}00\) ✓

2.4 Konsep Marginal Distribution

Marginal distribution adalah distribusi peluang dari satu variabel saja, tanpa memperhatikan variabel lainnya. Diperoleh dengan menjumlahkan frekuensi sepanjang baris atau kolom — istilah “marginal” mengacu pada posisinya yang berada di tepi (margin) tabel.

Rumus:

\[\pi_{i+} = \sum_j \pi_{ij} = \frac{n_{i+}}{n} \qquad \pi_{+j} = \sum_i \pi_{ij} = \frac{n_{+j}}{n}\]

Jika dua variabel independen, berlaku \(\pi_{ij} = \pi_{i+} \cdot \pi_{+j}\) untuk semua sel. Kondisi ini menjadi hipotesis nol dalam uji chi-square.

Contoh:

\[\pi_{1+} = P(\text{Gizi Kurang}) = \frac{100}{200} = 0{,}50 \qquad \pi_{2+} = P(\text{Gizi Baik}) = \frac{100}{200} = 0{,}50\]

\[\pi_{+1} = P(\text{ISPA}) = \frac{80}{200} = 0{,}40 \qquad \pi_{+2} = P(\text{Tidak ISPA}) = \frac{120}{200} = 0{,}60\]

Sebagai cek independensi: jika independen, seharusnya \(\pi_{11} = 0{,}50 \times 0{,}40 = 0{,}20\), namun kenyataannya \(\pi_{11} = 0{,}275\) — ini sudah memberi sinyal awal adanya asosiasi.

2.5 Konsep Conditional Probability

Conditional probability atau peluang bersyarat adalah peluang variabel \(Y\) mengambil nilai tertentu, dengan syarat nilai variabel \(X\) sudah diketahui.

Rumus:

\[P(Y = j \mid X = i) = \frac{\pi_{ij}}{\pi_{i+}} = \frac{n_{ij}}{n_{i+}}\]

Contoh:

\[P(\text{ISPA} \mid \text{Gizi Kurang}) = \frac{55}{100} = 0{,}55\]

\[P(\text{ISPA} \mid \text{Gizi Baik}) = \frac{25}{100} = 0{,}25\]

Perbedaan yang cukup besar antara kedua peluang bersyarat ini (0,55 vs 0,25) mengindikasikan bahwa status gizi dan kejadian ISPA tidak independen. Kalau keduanya benar-benar independen, kedua nilai ini seharusnya sama besarnya.

3 Ukuran Asosiasi

Ukuran asosiasi digunakan untuk mengkuantifikasi seberapa kuat hubungan antara dua variabel kategori dalam tabel kontingensi. Tiga ukuran yang umum digunakan adalah Odds, Odds Ratio, dan Relative Risk. Untuk penjelasan rumus, digunakan notasi tabel \(2 \times 2\) standar berikut:

Y = 1 Y = 0
X = 1 \(a\) \(b\)
X = 0 \(c\) \(d\)

3.1 Odds

Odds adalah perbandingan antara peluang suatu kejadian terjadi dengan peluang kejadian tersebut tidak terjadi. Berbeda dengan peluang (probability) yang nilainya antara 0 dan 1, odds bisa bernilai lebih dari 1.

\[\text{Odds}(Y=1 \mid X=1) = \frac{P(Y=1 \mid X=1)}{P(Y=0 \mid X=1)} = \frac{a}{b}\]

\[\text{Odds}(Y=1 \mid X=0) = \frac{P(Y=1 \mid X=0)}{P(Y=0 \mid X=0)} = \frac{c}{d}\]

Interpretasi: Jika odds = 2, artinya dalam kelompok tersebut kejadian \(Y=1\) dua kali lebih mungkin terjadi dibanding tidak terjadi. Odds = 1 berarti peluang terjadi dan tidak terjadi sama besar. Odds < 1 berarti kejadian lebih jarang terjadi dibanding tidak terjadi.

3.2 Odds Ratio

Odds Ratio (OR) adalah rasio antara odds kelompok \(X=1\) (terpapar) dengan odds kelompok \(X=0\) (tidak terpapar).

\[OR = \frac{a/b}{c/d} = \frac{ad}{bc}\]

OR merupakan ukuran asosiasi yang paling banyak digunakan dalam analisis data kategori karena dapat diestimasi pada semua desain studi, termasuk case-control (Fleiss et al., 2003).

Interpretasi:

  • \(OR = 1\) → odds di kedua kelompok sama; tidak ada asosiasi antara \(X\) dan \(Y\)
  • \(OR > 1\) → kelompok \(X=1\) memiliki odds lebih tinggi untuk mengalami \(Y=1\); \(X\) merupakan faktor risiko
  • \(OR < 1\) → kelompok \(X=1\) memiliki odds lebih rendah untuk mengalami \(Y=1\); \(X\) merupakan faktor protektif

3.3 Relative Risk

Relative Risk (RR) atau Risk Ratio adalah perbandingan langsung antara peluang kejadian \(Y=1\) pada kelompok \(X=1\) dengan peluang kejadian \(Y=1\) pada kelompok \(X=0\).

\[RR = \frac{P(Y=1 \mid X=1)}{P(Y=1 \mid X=0)} = \frac{a/(a+b)}{c/(c+d)}\]

Interpretasi:

  • \(RR = 1\) → risiko sama di kedua kelompok; tidak ada asosiasi
  • \(RR > 1\) → kelompok \(X=1\) lebih berisiko mengalami \(Y=1\) sebesar \(RR\) kali lipat
  • \(RR < 1\) → kelompok \(X=1\) lebih terlindungi; risikonya lebih rendah dibanding kelompok \(X=0\)

Perlu dicatat bahwa RR hanya valid dihitung pada studi dengan desain prospektif (cohort atau cross-sectional). Pada studi case-control, sampling dilakukan berdasarkan status \(Y\), sehingga proporsi \(a/(a+b)\) dan \(c/(c+d)\) tidak mencerminkan peluang kejadian sesungguhnya — dalam kondisi ini hanya OR yang dapat digunakan.

4 Perhitungan Manual

4.1 Kasus: Status Gizi dan Kejadian ISPA pada Balita

Data berasal dari pencatatan di posyandu terhadap 200 balita. Variabel yang diamati adalah status gizi (gizi kurang/gizi baik) dan apakah balita pernah mengalami ISPA dalam tiga bulan terakhir.

4.2 Langkah 1: Tabel Kontingensi

ISPA Tidak ISPA Total
Gizi Kurang \(a = 55\) \(b = 45\) \(100\)
Gizi Baik \(c = 25\) \(d = 75\) \(100\)
Total \(80\) \(120\) \(n = 200\)

4.3 Langkah 2: Peluang Bersyarat

\[P(\text{ISPA} \mid \text{Gizi Kurang}) = \frac{a}{a+b} = \frac{55}{100} = 0{,}55\]

\[P(\text{ISPA} \mid \text{Gizi Baik}) = \frac{c}{c+d} = \frac{25}{100} = 0{,}25\]

Balita dengan gizi kurang punya peluang terkena ISPA sebesar 55%, jauh lebih tinggi dibanding balita gizi baik yang hanya 25%.

4.4 Langkah 3: Odds

\[\text{Odds}_{\text{Gizi Kurang}} = \frac{a}{b} = \frac{55}{45} \approx 1{,}222\]

Pada balita gizi kurang, kejadian ISPA 1,22 kali lebih mungkin terjadi dibanding tidak terjadi.

\[\text{Odds}_{\text{Gizi Baik}} = \frac{c}{d} = \frac{25}{75} \approx 0{,}333\]

Pada balita gizi baik, ISPA justru lebih jarang terjadi — odds-nya di bawah 1, artinya lebih banyak yang tidak mengalami ISPA.

4.5 Langkah 4: Odds Ratio

\[OR = \frac{ad}{bc} = \frac{55 \times 75}{45 \times 25} = \frac{4125}{1125} \approx 3{,}667\]

Odds balita gizi kurang terkena ISPA sekitar 3,67 kali lebih besar dibandingkan balita gizi baik. Nilai OR yang jauh di atas 1 ini mengindikasikan asosiasi yang cukup kuat antara status gizi dan kejadian ISPA.

4.6 Langkah 5: Relative Risk

Karena data cross-sectional, RR juga bisa dihitung:

\[RR = \frac{a/(a+b)}{c/(c+d)} = \frac{55/100}{25/100} = \frac{0{,}55}{0{,}25} = 2{,}20\]

Balita gizi kurang 2,2 kali lebih berisiko terkena ISPA dibanding balita gizi baik.

Perlu diperhatikan bahwa \(OR \neq RR\) (3,67 vs 2,20). Ini wajar karena proporsi kejadian ISPA secara keseluruhan cukup besar (40%), sehingga kondisi rare event tidak terpenuhi dan OR cenderung melebih-besarkan risiko relatif. Semakin langka kejadian, OR dan RR akan semakin konvergen.

5 Analisis Menggunakan R

5.1 Membuat Tabel Kontingensi

# Input data
data_gizi <- matrix(
  c(55, 45, 25, 75),
  nrow = 2,
  byrow = TRUE,
  dimnames = list(
    "Status Gizi" = c("Gizi Kurang", "Gizi Baik"),
    "ISPA"        = c("ISPA", "Tidak ISPA")
  )
)

cat("Tabel Kontingensi:\n")
## Tabel Kontingensi:
print(data_gizi)
##              ISPA
## Status Gizi   ISPA Tidak ISPA
##   Gizi Kurang   55         45
##   Gizi Baik     25         75
# Joint distribution
cat("\nJoint Distribution:\n")
## 
## Joint Distribution:
print(round(prop.table(data_gizi), 3))
##              ISPA
## Status Gizi    ISPA Tidak ISPA
##   Gizi Kurang 0.275      0.225
##   Gizi Baik   0.125      0.375
# Conditional distribution per baris
cat("\nConditional Distribution (per baris):\n")
## 
## Conditional Distribution (per baris):
print(round(prop.table(data_gizi, margin = 1), 3))
##              ISPA
## Status Gizi   ISPA Tidak ISPA
##   Gizi Kurang 0.55       0.45
##   Gizi Baik   0.25       0.75

5.2 Menghitung Odds Ratio dan Relative Risk

a <- data_gizi[1, 1]  # Gizi Kurang & ISPA
b <- data_gizi[1, 2]  # Gizi Kurang & Tidak ISPA
c <- data_gizi[2, 1]  # Gizi Baik & ISPA
d <- data_gizi[2, 2]  # Gizi Baik & Tidak ISPA

odds_gk <- a / b
odds_gb <- c / d
OR_gizi <- (a * d) / (b * c)
RR_gizi <- (a / (a + b)) / (c / (c + d))

cat("Odds Gizi Kurang :", round(odds_gk, 4), "\n")
## Odds Gizi Kurang : 1.2222
cat("Odds Gizi Baik   :", round(odds_gb, 4), "\n")
## Odds Gizi Baik   : 0.3333
cat("Odds Ratio (OR)  :", round(OR_gizi, 4), "\n")
## Odds Ratio (OR)  : 3.6667
cat("Relative Risk    :", round(RR_gizi, 4), "\n")
## Relative Risk    : 2.2

Hasilnya konsisten dengan perhitungan manual: OR ≈ 3,667 dan RR = 2,20.

5.3 Uji Chi-Square

Uji chi-square digunakan untuk menguji hipotesis bahwa kedua variabel independen. Hipotesisnya:

  • \(H_0\): status gizi dan kejadian ISPA independen (\(\pi_{ij} = \pi_{i+} \cdot \pi_{+j}\))
  • \(H_1\): ada asosiasi antara status gizi dan kejadian ISPA

Statistik ujinya:

\[\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(n_{ij} - \hat{\mu}_{ij})^2}{\hat{\mu}_{ij}}, \quad \hat{\mu}_{ij} = \frac{n_{i+} \cdot n_{+j}}{n}\]

hasil_chi <- chisq.test(data_gizi)
print(hasil_chi)
## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  data_gizi
## X-squared = 17.521, df = 1, p-value = 2.842e-05
cat("\nFrekuensi yang diharapkan di bawah H0:\n")
## 
## Frekuensi yang diharapkan di bawah H0:
print(round(hasil_chi$expected, 2))
##              ISPA
## Status Gizi   ISPA Tidak ISPA
##   Gizi Kurang   40         60
##   Gizi Baik     40         60
# Mosaic plot untuk visualisasi distribusi bersama
mosaicplot(
  data_gizi,
  main  = "Status Gizi vs Kejadian ISPA pada Balita",
  color = c("#E74C3C", "#2980B9"),
  xlab  = "Status Gizi",
  ylab  = "Kejadian ISPA",
  las   = 1
)

6 Interpretasi Hasil

6.1 Interpretasi Statistik

Uji chi-square menghasilkan \(p\)-value \(< 0{,}05\), sehingga \(H_0\) ditolak pada tingkat signifikansi 5%. Artinya, data memberikan bukti yang cukup kuat bahwa status gizi dan kejadian ISPA tidak independen — ada asosiasi yang signifikan secara statistik antara keduanya.

Nilai \(OR \approx 3{,}67\) menunjukkan bahwa odds balita gizi kurang terkena ISPA hampir 4 kali lebih besar dibanding balita gizi baik. Nilai \(RR = 2{,}20\) mengonfirmasi dari sudut peluang: risiko ISPA pada balita gizi kurang 2,2 kali lebih tinggi. Perbedaan antara OR dan RR wajar terjadi karena proporsi kejadian ISPA keseluruhan cukup besar (40%), sehingga OR melebih-besarkan risiko relatif dibanding RR.

6.2 Interpretasi Substantif

Secara substantif, temuan ini konsisten dengan teori yang sudah lama dikenal dalam ilmu gizi dan kesehatan anak. Balita dengan gizi kurang memiliki sistem imun yang lebih lemah karena kekurangan mikronutrien seperti vitamin A, zinc, dan zat besi yang berperan penting dalam respons imunologis. Kondisi ini membuat mereka lebih rentan terhadap infeksi saluran pernapasan akut.

Hasil ini bisa menjadi dasar untuk memperkuat program pemantauan gizi balita di posyandu, khususnya sebagai upaya pencegahan ISPA. Meski begitu, perlu diingat beberapa keterbatasan: data ini bersifat cross-sectional sehingga tidak bisa menyimpulkan kausalitas secara langsung, dan faktor perancu seperti kondisi sanitasi rumah, kepadatan hunian, serta paparan asap rokok tidak dikontrol dalam analisis ini.

7 Tugas 6 — Inferensi Tabel Kontingensi Dua Arah

7.1 Kasus 1: Tabel Kontingensi 2×2 — Merokok dan Kanker Paru

7.1.1 Data dan Penyusunan Tabel Kontingensi

Data berikut menggambarkan hubungan antara kebiasaan merokok dan kejadian kanker paru dalam sebuah studi kasus-kontrol.

tabel1 <- matrix(
  c(688, 650, 21, 59),
  nrow = 2,
  byrow = TRUE,
  dimnames = list(
    "Status Merokok" = c("Smoker", "Non-Smoker"),
    "Status Kanker"  = c("Cancer (+)", "Control (-)")
  )
)

kable(
  addmargins(tabel1),
  caption = "Tabel 1. Tabel Kontingensi 2×2: Kebiasaan Merokok dan Kanker Paru"
) |>
  kable_styling(
    bootstrap_options = c("striped", "hover", "bordered"),
    full_width = FALSE, position = "center"
  ) |>
  row_spec(3, bold = TRUE, background = "#f5f5f5") |>
  column_spec(4, bold = TRUE)
Tabel 1. Tabel Kontingensi 2×2: Kebiasaan Merokok dan Kanker Paru
Cancer (+) Control (-) Sum
Smoker 688 650 1338
Non-Smoker 21 59 80
Sum 709 709 1418

Dari tabel di atas, total sampel adalah \(n = 1418\), dengan 1338 Smoker dan 80 Non-Smoker.

7.1.2 Perhitungan Manual Kasus 1

7.1.2.1 Notasi Sel

Dengan notasi standar tabel \(2 \times 2\):

Cancer (+) Control (−) Total
Smoker \(a = 688\) \(b = 650\) \(n_1 = 1338\)
Non-Smoker \(c = 21\) \(d = 59\) \(n_2 = 80\)
Total \(n_{+1} = 709\) \(n_{+2} = 709\) \(n = 1418\)

7.1.2.2 Proporsi Kejadian Kanker

\[\hat{p}_1 = \frac{a}{n_1} = \frac{688}{1338} \approx 0{,}5142\]

\[\hat{p}_2 = \frac{c}{n_2} = \frac{21}{80} = 0{,}2625\]

7.1.2.3 Risk Difference (RD)

\[RD = \hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0{,}5142 - 0{,}2625 = 0{,}2517\]

\[SE_{RD} = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}} = \sqrt{\frac{0{,}5142 \times 0{,}4858}{1338} + \frac{0{,}2625 \times 0{,}7375}{80}}\]

\[SE_{RD} = \sqrt{0{,}000187 + 0{,}002420} = \sqrt{0{,}002607} \approx 0{,}05106\]

\[95\%\text{ CI}: 0{,}2517 \pm 1{,}96 \times 0{,}05106 = [0{,}1516;\; 0{,}3518]\]

Karena interval tidak mencakup 0, perbedaan risiko absolut ini signifikan.

7.1.2.4 Risk Ratio (RR)

\[RR = \frac{\hat{p}_1}{\hat{p}_2} = \frac{0{,}5142}{0{,}2625} \approx 1{,}9588\]

Untuk interval kepercayaan, digunakan transformasi log:

\[SE_{\ln RR} = \sqrt{\frac{1 - \hat{p}_1}{n_1 \hat{p}_1} + \frac{1 - \hat{p}_2}{n_2 \hat{p}_2}} = \sqrt{\frac{0{,}4858}{1338 \times 0{,}5142} + \frac{0{,}7375}{80 \times 0{,}2625}}\]

\[SE_{\ln RR} = \sqrt{\frac{0{,}4858}{688} + \frac{0{,}7375}{21}} = \sqrt{0{,}000706 + 0{,}035119} = \sqrt{0{,}035825} \approx 0{,}18928\]

\[95\%\text{ CI}: \exp\!\left(\ln(1{,}9588) \pm 1{,}96 \times 0{,}18928\right) = \exp(0{,}6731 \pm 0{,}3710) = \left[\exp(0{,}3021);\; \exp(1{,}0441)\right]\]

\[= [1{,}353;\; 2{,}841]\]

Interval tidak mencakup 1, sehingga RR signifikan secara statistik.

7.1.2.5 Odds Ratio (OR)

\[OR = \frac{ad}{bc} = \frac{688 \times 59}{650 \times 21} = \frac{40592}{13650} \approx 2{,}9736\]

\[SE_{\ln OR} = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}} = \sqrt{\frac{1}{688} + \frac{1}{650} + \frac{1}{21} + \frac{1}{59}}\]

\[= \sqrt{0{,}001453 + 0{,}001538 + 0{,}047619 + 0{,}016949} = \sqrt{0{,}067559} \approx 0{,}2599\]

\[95\%\text{ CI}: \exp\!\left(\ln(2{,}9736) \pm 1{,}96 \times 0{,}2599\right) = \exp(1{,}0900 \pm 0{,}5094) = \left[\exp(0{,}5806);\; \exp(1{,}5994)\right]\]

\[= [1{,}787;\; 4{,}950]\]

Interval tidak mencakup 1, sehingga OR signifikan. OR > RR karena proporsi kejadian kanker cukup besar, sehingga syarat rare event tidak terpenuhi.

7.1.2.6 Uji Chi-Square Manual

Frekuensi harapan di bawah \(H_0\) (\(\pi_{ij} = \pi_{i+} \cdot \pi_{+j}\)):

\[E_{11} = \frac{n_1 \cdot n_{+1}}{n} = \frac{1338 \times 709}{1418} \approx 669{,}13\]

\[E_{12} = \frac{n_1 \cdot n_{+2}}{n} = \frac{1338 \times 709}{1418} \approx 668{,}87\]

\[E_{21} = \frac{n_2 \cdot n_{+1}}{n} = \frac{80 \times 709}{1418} \approx 39{,}99\]

\[E_{22} = \frac{n_2 \cdot n_{+2}}{n} = \frac{80 \times 709}{1418} \approx 40{,}01\]

Catatan: Karena \(n_{+1} = n_{+2} = 709\) (studi case-control dengan jumlah kasus dan kontrol yang sama), \(E_{11} \approx E_{12}\) dan \(E_{21} \approx E_{22}\).

Statistik chi-square:

\[\chi^2 = \frac{(688 - 669{,}13)^2}{669{,}13} + \frac{(650 - 668{,}87)^2}{668{,}87} + \frac{(21 - 39{,}99)^2}{39{,}99} + \frac{(59 - 40{,}01)^2}{40{,}01}\]

\[= \frac{(18{,}87)^2}{669{,}13} + \frac{(-18{,}87)^2}{668{,}87} + \frac{(-18{,}99)^2}{39{,}99} + \frac{(18{,}99)^2}{40{,}01}\]

\[= \frac{356{,}08}{669{,}13} + \frac{356{,}08}{668{,}87} + \frac{360{,}62}{39{,}99} + \frac{360{,}62}{40{,}01}\]

\[= 0{,}5322 + 0{,}5323 + 9{,}0173 + 9{,}0128 = 19{,}095\]

Dengan df \(= (2-1)(2-1) = 1\), nilai kritis \(\chi^2_{0{,}05,1} = 3{,}841\). Karena \(\chi^2 = 19{,}095 > 3{,}841\), tolak \(H_0\).

7.1.3 Estimasi Titik Proporsi

a1 <- tabel1["Smoker",     "Cancer (+)"]
b1 <- tabel1["Smoker",     "Control (-)"]
c1 <- tabel1["Non-Smoker", "Cancer (+)"]
d1 <- tabel1["Non-Smoker", "Control (-)"]

n_smoker    <- a1 + b1
n_nonsmoker <- c1 + d1

p_smoker    <- a1 / n_smoker
p_nonsmoker <- c1 / n_nonsmoker

cat("Proporsi kanker pada Smoker    :", round(p_smoker,    4), "\n")
## Proporsi kanker pada Smoker    : 0.5142
cat("Proporsi kanker pada Non-Smoker:", round(p_nonsmoker, 4), "\n")
## Proporsi kanker pada Non-Smoker: 0.2625

Proporsi kanker paru pada kelompok Smoker adalah \(\hat{p}_1 \approx\) 0.5142 (sekitar 51.4%), sedangkan pada Non-Smoker adalah \(\hat{p}_2 \approx\) 0.2625 (sekitar 26.2%).

7.1.4 Interval Kepercayaan untuk Masing-Masing Proporsi

ci_smoker    <- prop.test(a1, n_smoker,    conf.level = 0.95)
ci_nonsmoker <- prop.test(c1, n_nonsmoker, conf.level = 0.95)

cat("95% CI Proporsi Smoker    : [",
    round(ci_smoker$conf.int[1],    4), ",",
    round(ci_smoker$conf.int[2],    4), "]\n")
## 95% CI Proporsi Smoker    : [ 0.487 , 0.5413 ]
cat("95% CI Proporsi Non-Smoker: [",
    round(ci_nonsmoker$conf.int[1], 4), ",",
    round(ci_nonsmoker$conf.int[2], 4), "]\n")
## 95% CI Proporsi Non-Smoker: [ 0.1733 , 0.3748 ]

Kedua interval tidak saling tumpang tindih, yang mengindikasikan perbedaan proporsi yang signifikan secara statistik.

7.1.5 Interval Kepercayaan untuk RD, RR, dan OR

Risk Difference (RD) mengukur perbedaan absolut risiko antara kedua kelompok:

\[RD = \hat{p}_1 - \hat{p}_2, \qquad SE_{RD} = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}, \qquad 95\%\text{ CI}: RD \pm 1{,}96 \times SE_{RD}\]

Risk Ratio (RR) mengukur perbandingan risiko relatif antar kelompok:

\[RR = \frac{\hat{p}_1}{\hat{p}_2}, \qquad SE_{\ln RR} = \sqrt{\frac{1-\hat{p}_1}{n_1 \hat{p}_1} + \frac{1-\hat{p}_2}{n_2 \hat{p}_2}}, \qquad 95\%\text{ CI}: \exp\!\left(\ln RR \pm 1{,}96 \times SE_{\ln RR}\right)\]

Odds Ratio (OR) mengukur perbandingan odds kejadian kanker antar kelompok:

\[OR = \frac{ad}{bc}, \qquad SE_{\ln OR} = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}, \qquad 95\%\text{ CI}: \exp\!\left(\ln OR \pm 1{,}96 \times SE_{\ln OR}\right)\]

# Risk Difference
RD    <- p_smoker - p_nonsmoker
SE_RD <- sqrt(p_smoker * (1 - p_smoker) / n_smoker +
              p_nonsmoker * (1 - p_nonsmoker) / n_nonsmoker)
CI_RD <- c(RD - 1.96 * SE_RD, RD + 1.96 * SE_RD)

cat("=== Risk Difference (RD) ===\n")
## === Risk Difference (RD) ===
cat("RD      :", round(RD,    4), "\n")
## RD      : 0.2517
cat("SE(RD)  :", round(SE_RD, 4), "\n")
## SE(RD)  : 0.0511
cat("95% CI  : [", round(CI_RD[1], 4), ",", round(CI_RD[2], 4), "]\n\n")
## 95% CI  : [ 0.1516 , 0.3518 ]
# Risk Ratio
RR       <- p_smoker / p_nonsmoker
SE_logRR <- sqrt((1 - p_smoker)    / (n_smoker    * p_smoker) +
                 (1 - p_nonsmoker) / (n_nonsmoker * p_nonsmoker))
CI_RR    <- exp(c(log(RR) - 1.96 * SE_logRR, log(RR) + 1.96 * SE_logRR))

cat("=== Risk Ratio (RR) ===\n")
## === Risk Ratio (RR) ===
cat("RR          :", round(RR,       4), "\n")
## RR          : 1.9589
cat("SE(ln RR)   :", round(SE_logRR, 4), "\n")
## SE(ln RR)   : 0.1893
cat("95% CI      : [", round(CI_RR[1], 4), ",", round(CI_RR[2], 4), "]\n\n")
## 95% CI      : [ 1.3517 , 2.8387 ]
# Odds Ratio
OR       <- (a1 * d1) / (b1 * c1)
SE_logOR <- sqrt(1/a1 + 1/b1 + 1/c1 + 1/d1)
CI_OR    <- exp(c(log(OR) - 1.96 * SE_logOR, log(OR) + 1.96 * SE_logOR))

cat("=== Odds Ratio (OR) ===\n")
## === Odds Ratio (OR) ===
cat("OR          :", round(OR,       4), "\n")
## OR          : 2.9738
cat("SE(ln OR)   :", round(SE_logOR, 4), "\n")
## SE(ln OR)   : 0.2599
cat("95% CI      : [", round(CI_OR[1], 4), ",", round(CI_OR[2], 4), "]\n")
## 95% CI      : [ 1.7867 , 4.9495 ]

Interpretasi:

  • RD = 0.2517: Kelompok perokok memiliki risiko absolut kanker paru yang lebih tinggi sekitar 25.17% dibandingkan non-perokok. CI [0.1516, 0.3518] tidak mencakup 0.
  • RR = 1.9589: Risiko kanker paru pada perokok sekitar 1.96 kali lebih besar dibandingkan non-perokok. CI [1.3517, 2.8387] tidak mencakup 1.
  • OR = 2.9738: Odds kanker paru pada perokok sekitar 2.97 kali lebih besar dibandingkan non-perokok. CI [1.7867, 4.9495] tidak mencakup 1. Karena proporsi kasus cukup besar (syarat rare event tidak terpenuhi), OR > RR — ini kondisi yang wajar dan diharapkan.

7.1.6 Pengujian Hipotesis

Hipotesis yang diuji:

  • \(H_0\): tidak ada perbedaan proporsi kejadian kanker antara Smoker dan Non-Smoker
  • \(H_1\): terdapat perbedaan proporsi (kedua variabel tidak independen)

7.1.6.1 Uji Dua Proporsi

uji_prop <- prop.test(
  x           = c(a1, c1),
  n           = c(n_smoker, n_nonsmoker),
  alternative = "two.sided",
  correct     = FALSE
)
print(uji_prop)
## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity correction
## 
## data:  c(a1, c1) out of c(n_smoker, n_nonsmoker)
## X-squared = 19.129, df = 1, p-value = 1.222e-05
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  0.1516343 0.3517663
## sample estimates:
##    prop 1    prop 2 
## 0.5142003 0.2625000

7.1.6.2 Uji Chi-Square Independensi

uji_chi <- chisq.test(tabel1, correct = FALSE)
print(uji_chi)
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tabel1
## X-squared = 19.129, df = 1, p-value = 1.222e-05
cat("\nFrekuensi Harapan (Expected Frequencies):\n")
## 
## Frekuensi Harapan (Expected Frequencies):
print(round(uji_chi$expected, 2))
##               Status Kanker
## Status Merokok Cancer (+) Control (-)
##     Smoker            669         669
##     Non-Smoker         40          40

7.1.6.3 Uji Likelihood Ratio (\(G^2\))

\[G^2 = 2 \sum_{i,j} O_{ij} \ln\!\left(\frac{O_{ij}}{E_{ij}}\right)\]

uji_lr <- GTest(tabel1)
print(uji_lr)
## 
##  Log likelihood ratio (G-test) test of independence without correction
## 
## data:  tabel1
## G = 19.878, X-squared df = 1, p-value = 8.254e-06

7.1.6.4 Fisher Exact Test

\[P = \frac{\dbinom{n_{1+}}{n_{11}} \dbinom{n_{2+}}{n_{21}}}{\dbinom{n}{n_{+1}}}\]

uji_fisher <- fisher.test(tabel1)
print(uji_fisher)
## 
##  Fisher's Exact Test for Count Data
## 
## data:  tabel1
## p-value = 1.476e-05
## alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  1.755611 5.210711
## sample estimates:
## odds ratio 
##   2.971634

7.1.7 Perbandingan Keempat Uji

Tabel 2. Perbandingan Hasil Keempat Uji Hipotesis (Kasus 1)
Uji Statistik Uji df p-value Keputusan Pendekatan
Uji Dua Proporsi χ² = 19.1292 1 1.22e-05 Tolak H₀ Asimtotik
Chi-Square Pearson χ² = 19.1292 1 1.22e-05 Tolak H₀ Asimtotik
Likelihood Ratio (G²) G² = 19.878 1 8.25e-06 Tolak H₀ Asimtotik
Fisher Exact Test — — 1.48e-05 Tolak H₀ Eksak

Diskusi Perbandingan:

Keempat uji memberikan kesimpulan yang konsisten: seluruhnya menghasilkan \(p\)-value jauh di bawah 0,001.

  • Uji dua proporsi dan chi-square Pearson secara matematis ekuivalen untuk tabel 2×2 tanpa koreksi kontinuitas.
  • Likelihood ratio (\(G^2\)) sedikit berbeda karena menggunakan log-likelihood, namun hasilnya sangat dekat pada sampel besar.
  • Fisher exact test menggunakan distribusi eksak; karena \(n = 1418\) sangat besar, hasilnya konvergen dengan uji asimtotik.
  • Ketika frekuensi harapan < 5, Fisher exact test menjadi pilihan yang paling tepat.

7.1.8 Visualisasi

mosaic(
  tabel1,
  shade  = TRUE,
  legend = TRUE,
  main   = "Gambar 1. Mosaic Plot: Merokok vs Kanker Paru",
  labeling_args = list(
    set_varnames = c(
      "Status Merokok" = "Status Merokok",
      "Status Kanker"  = "Status Kanker"
    )
  )
)

df_prop <- data.frame(
  Kelompok = c("Smoker", "Non-Smoker"),
  Proporsi = c(p_smoker, p_nonsmoker),
  CI_lower = c(ci_smoker$conf.int[1],    ci_nonsmoker$conf.int[1]),
  CI_upper = c(ci_smoker$conf.int[2],    ci_nonsmoker$conf.int[2])
)

ggplot(df_prop, aes(x = Kelompok, y = Proporsi, fill = Kelompok)) +
  geom_bar(stat = "identity", width = 0.45, alpha = 0.85) +
  geom_errorbar(
    aes(ymin = CI_lower, ymax = CI_upper),
    width = 0.12, linewidth = 0.8
  ) +
  scale_fill_manual(values = c("#E74C3C", "#2980B9")) +
  labs(
    title = "Gambar 2. Proporsi Kanker Paru dengan 95% CI",
    x     = "Status Merokok",
    y     = "Proporsi Kanker Paru"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(legend.position = "none")

Mosaic plot menunjukkan sel Smoker–Cancer (+) berwarna biru (lebih besar dari harapan) dan sel Non-Smoker–Cancer (+) berwarna merah (lebih kecil dari harapan), mengonfirmasi asosiasi positif antara merokok dan kanker paru.

7.1.9 Kesimpulan Kasus 1

Berdasarkan seluruh analisis, terdapat hubungan yang signifikan secara statistik dan substantif antara kebiasaan merokok dan kejadian kanker paru:

  • Proporsi kanker paru pada perokok (51.4%) jauh lebih tinggi dibandingkan non-perokok (26.2%).
  • RD = 0.2517: risiko absolut lebih tinggi 25.17% pada perokok.
  • RR = 1.96: perokok berisiko 1.96 kali lebih besar terkena kanker paru.
  • OR = 2.97: odds kanker paru pada perokok 2.97 kali lebih besar.
  • Keempat uji hipotesis menghasilkan \(p < 0{,}001\), konsisten menolak \(H_0\).

8 Kasus 2: Tabel Kontingensi 2×3 — Gender dan Identifikasi Partai Politik

8.1 Data dan Penyusunan Tabel Kontingensi

Data berikut menggambarkan distribusi identifikasi partai politik berdasarkan gender dalam suatu survei terhadap 2450 responden.

tabel2 <- matrix(
  c(495, 272, 590,
    330, 265, 498),
  nrow = 2,
  byrow = TRUE,
  dimnames = list(
    "Gender" = c("Female", "Male"),
    "Partai" = c("Democrat", "Republican", "Independent")
  )
)

tabel2_tampil           <- addmargins(tabel2)
rownames(tabel2_tampil) <- c("Female", "Male", "Total")
colnames(tabel2_tampil) <- c("Democrat", "Republican", "Independent", "Total")

kable(tabel2_tampil,
      caption = "Tabel 3. Tabel Kontingensi 2x3: Gender dan Identifikasi Partai Politik") |>
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover", "bordered"),
                full_width = FALSE, position = "center") |>
  row_spec(3, bold = TRUE, background = "#f5f5f5") |>
  column_spec(5, bold = TRUE)
Tabel 3. Tabel Kontingensi 2x3: Gender dan Identifikasi Partai Politik
Democrat Republican Independent Total
Female 495 272 590 1357
Male 330 265 498 1093
Total 825 537 1088 2450

8.2 Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan di bawah hipotesis independensi dihitung sebagai:

\[E_{ij} = \frac{n_{i+} \cdot n_{+j}}{n}\]

di mana \(n_{i+}\) adalah total baris ke-\(i\) dan \(n_{+j}\) adalah total kolom ke-\(j\).

uji_chi2 <- chisq.test(tabel2, correct = FALSE)

cat("Frekuensi Harapan (Expected Frequencies):\n")
## Frekuensi Harapan (Expected Frequencies):
print(round(uji_chi2$expected, 2))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican Independent
##   Female   456.95     297.43      602.62
##   Male     368.05     239.57      485.38
Tabel 4. Frekuensi Harapan (Expected Frequencies)
Democrat Republican Independent
Female 456.95 297.43 602.62
Male 368.05 239.57 485.38

Semua frekuensi harapan jauh lebih besar dari 5, sehingga asumsi uji chi-square terpenuhi dengan baik.

8.3 Uji Chi-Square Independensi

Untuk tabel \(r \times c\), statistik chi-square berdistribusi \(\chi^2\) dengan derajat bebas \((r-1)(c-1)\). Pada tabel 2×3, df = \((2-1)(3-1) = 2\).

\[\chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}\]

print(uji_chi2)
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tabel2
## X-squared = 12.569, df = 2, p-value = 0.001865

\(\chi^2\) = 12.5693, df = 2, \(p\)-value = 0.0019. Karena \(p < 0{,}05\), tolak \(H_0\). Terdapat hubungan yang signifikan antara gender dan identifikasi partai politik.

8.4 Residual Pearson dan Standardized Residual

Uji chi-square keseluruhan hanya memberitahu apakah ada asosiasi, tetapi tidak menjelaskan dari mana asosiasi itu berasal. Residual digunakan untuk mengidentifikasi sel mana yang paling menyimpang dari harapan independensi.

Residual Pearson mengukur simpangan tiap sel:

\[r_{ij} = \frac{O_{ij} - E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}\]

Standardized Residual (Adjusted Residual) mengoreksi residual Pearson untuk variabilitas marginalnya, sehingga dapat langsung dibandingkan dengan distribusi \(N(0,1)\):

\[d_{ij} = \frac{O_{ij} - E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}(1-p_{i+})(1-p_{+j})}}\]

Sel dengan \(|d_{ij}| > 2\) dianggap berkontribusi signifikan terhadap nilai chi-square.

resid_pearson <- uji_chi2$residuals
resid_std     <- uji_chi2$stdres

cat("Residual Pearson:\n")
## Residual Pearson:
print(round(resid_pearson, 4))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican Independent
##   Female   1.7801    -1.4747     -0.5140
##   Male    -1.9834     1.6431      0.5728
cat("\nStandardized Residual (Adjusted):\n")
## 
## Standardized Residual (Adjusted):
print(round(resid_std, 4))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican Independent
##   Female   3.2724    -2.4986     -1.0322
##   Male    -3.2724     2.4986      1.0322
Tabel 5. Residual Pearson dan Standardized Residual per Sel
Democrat Republican Independent Tipe
Female 1.780 -1.475 -0.514 Pearson
Male -1.983 1.643 0.573 Pearson
Female1 3.272 -2.499 -1.032 Standardized
Male1 -3.272 2.499 1.032 Standardized

Interpretasi Residual:

  • Female–Democrat (\(d\) = 3.27): residual positif dan signifikan — perempuan lebih banyak mengidentifikasi sebagai Democrat dari yang diharapkan.
  • Female–Republican (\(d\) = -2.5): residual negatif dan signifikan — perempuan lebih sedikit mengidentifikasi sebagai Republican.
  • Male–Democrat (\(d\) = -3.27): residual negatif dan signifikan — laki-laki lebih sedikit mengidentifikasi sebagai Democrat.
  • Male–Republican (\(d\) = 2.5): residual positif dan signifikan — laki-laki lebih banyak mengidentifikasi sebagai Republican.
  • Sel Independent untuk kedua gender relatif mendekati harapan (\(|d| < 2\)), menunjukkan pola distribusi Independent tidak berbeda jauh dari yang diharapkan di bawah independensi.

8.5 Partisi Chi-Square

Uji chi-square keseluruhan pada tabel 2×3 (df = 2) dapat diuraikan menjadi dua uji chi-square pada tabel 2×2 yang ortogonal, masing-masing berderajat bebas 1:

  • Partisi 1: Democrat vs Republican — membandingkan distribusi gender di antara dua kelompok partai.
  • Partisi 2: (Democrat + Republican) vs Independent — membandingkan distribusi gender antara yang berafiliasi partai dengan yang independen.

Jika partisi dilakukan dengan benar, berlaku sifat aditivitas:

\[\chi^2_{\text{total}} \approx \chi^2_{\text{P1}} + \chi^2_{\text{P2}}\]

# Partisi 1: Democrat vs Republican
tab_p1 <- tabel2[, c("Democrat", "Republican")]
chi_p1 <- chisq.test(tab_p1, correct = FALSE)

cat("=== Partisi 1: Democrat vs Republican ===\n")
## === Partisi 1: Democrat vs Republican ===
print(addmargins(tab_p1))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican  Sum
##   Female      495        272  767
##   Male        330        265  595
##   Sum         825        537 1362
cat("\n")
print(chi_p1)
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tab_p1
## X-squared = 11.555, df = 1, p-value = 0.0006758
# Partisi 2: (Democrat + Republican) vs Independent
dem_rep <- rowSums(tabel2[, c("Democrat", "Republican")])
indep   <- tabel2[, "Independent"]
tab_p2  <- cbind("Dem+Rep" = dem_rep, "Independent" = indep)
chi_p2  <- chisq.test(tab_p2, correct = FALSE)

cat("\n=== Partisi 2: (Democrat + Republican) vs Independent ===\n")
## 
## === Partisi 2: (Democrat + Republican) vs Independent ===
print(addmargins(tab_p2))
##        Dem+Rep Independent  Sum
## Female     767         590 1357
## Male       595         498 1093
## Sum       1362        1088 2450
cat("\n")
print(chi_p2)
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tab_p2
## X-squared = 1.0654, df = 1, p-value = 0.302

8.6 Perbandingan Partisi dengan Chi-Square Keseluruhan

chi2_total <- uji_chi2$statistic
chi2_p1    <- chi_p1$statistic
chi2_p2    <- chi_p2$statistic
chi2_sum   <- chi2_p1 + chi2_p2

cat("Chi-Square keseluruhan (df=2) :", round(chi2_total, 4), "\n")
## Chi-Square keseluruhan (df=2) : 12.5693
cat("Partisi 1 (df=1)              :", round(chi2_p1, 4),    "\n")
## Partisi 1 (df=1)              : 11.5545
cat("Partisi 2 (df=1)              :", round(chi2_p2, 4),    "\n")
## Partisi 2 (df=1)              : 1.0654
cat("Total Partisi 1 + 2           :", round(chi2_sum, 4),   "\n")
## Total Partisi 1 + 2           : 12.62
Tabel 6. Perbandingan Chi-Square Keseluruhan dengan Partisi
Uji Chi-Square df p-value
Chi-Square Keseluruhan (2x3) 12.5693 2 0.0019
Partisi 1: Democrat vs Republican 11.5545 1 0.0007
Partisi 2: (Dem+Rep) vs Independent 1.0654 1 0.3020
Total Partisi (P1 + P2) 12.6200 2 NA

Interpretasi Partisi:

  • Total chi-square dari dua partisi (12.62) mendekati chi-square keseluruhan (12.5693), memvalidasi bahwa partisi yang dilakukan bersifat ortogonal dan aditif.
  • Partisi 1 (\(\chi^2\) = 11.5545, \(p\) = 7^{-4}): terdapat perbedaan gender yang signifikan dalam kecenderungan memilih Democrat vs Republican.
  • Partisi 2 (\(\chi^2\) = 1.0654, \(p\) = 0.302): terdapat pula perbedaan gender dalam pola afiliasi partai vs Independent.

8.7 Kategori Paling Berkontribusi

kontribusi <- (uji_chi2$observed - uji_chi2$expected)^2 / uji_chi2$expected

cat("Kontribusi tiap sel terhadap Chi-Square:\n")
## Kontribusi tiap sel terhadap Chi-Square:
print(round(kontribusi, 4))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican Independent
##   Female   3.1686     2.1746      0.2642
##   Male     3.9339     2.6999      0.3281
persen <- kontribusi / sum(kontribusi) * 100
cat("\nPersentase kontribusi tiap sel (%):\n")
## 
## Persentase kontribusi tiap sel (%):
print(round(persen, 2))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican Independent
##   Female    25.21      17.30        2.10
##   Male      31.30      21.48        2.61
cat("\nVerifikasi: Total =", round(sum(kontribusi), 4),
    "| Chi-Square =", round(uji_chi2$statistic, 4), "\n")
## 
## Verifikasi: Total = 12.5693 | Chi-Square = 12.5693

Sel Female–Democrat dan Male–Democrat menyumbang porsi terbesar dari nilai chi-square, menegaskan bahwa perbedaan gender paling menonjol pada kecenderungan mengidentifikasi diri sebagai Democrat. Perempuan secara proporsional lebih banyak di kelompok Democrat, sementara laki-laki lebih banyak di kelompok Republican.

8.8 Visualisasi

mosaic(tabel2,
       shade  = TRUE,
       legend = TRUE,
       main   = "Gambar 3. Mosaic Plot: Gender vs Identifikasi Partai Politik",
       labeling_args = list(set_varnames = c(
         Gender = "Gender",
         Partai = "Identifikasi Partai"
       )))

resid_df_plot <- as.data.frame(as.table(resid_std))
colnames(resid_df_plot) <- c("Gender", "Partai", "Residual")

ggplot(resid_df_plot, aes(x = Partai, y = Gender, fill = Residual)) +
  geom_tile(color = "white", linewidth = 1.2) +
  geom_text(aes(label = round(Residual, 2)), size = 5, fontface = "bold") +
  scale_fill_gradient2(low = "#E74C3C", mid = "white", high = "#2980B9",
                       midpoint = 0, name = "Std.\nResidual") +
  labs(title    = "Gambar 4. Heatmap Standardized Residual",
       subtitle = "Nilai |d| > 2 menunjukkan kontribusi signifikan",
       x = "Identifikasi Partai", y = "Gender") +
  theme_minimal(base_size = 13)

prop_plot <- as.data.frame(prop.table(tabel2, margin = 1))
colnames(prop_plot) <- c("Gender", "Partai", "Proporsi")
prop_plot$Gender <- as.factor(prop_plot$Gender)
prop_plot$Partai <- as.factor(prop_plot$Partai)

ggplot(prop_plot, aes(x = Partai, y = Proporsi, fill = Gender)) +
  geom_bar(stat = "identity", position = "dodge", width = 0.55, alpha = 0.85) +
  scale_fill_manual(values = c("#E74C3C", "#3498DB")) +
  scale_y_continuous(labels = scales::percent_format()) +
  labs(title = "Gambar 5. Proporsi Identifikasi Partai berdasarkan Gender",
       x     = "Identifikasi Partai",
       y     = "Proporsi (dalam kelompok gender)") +
  theme_minimal(base_size = 13)

Mosaic plot dan heatmap residual menunjukkan pola yang jelas: warna biru pada Female–Democrat dan Male–Republican menandakan frekuensi lebih besar dari harapan, sedangkan warna merah pada Female–Republican dan Male–Democrat menandakan sebaliknya.

8.9 Kesimpulan Kasus 2

Berdasarkan seluruh analisis tabel kontingensi 2×3:

  1. Terdapat hubungan yang signifikan antara gender dan identifikasi partai politik (\(\chi^2\) = 12.5693, \(p\) = 0.0019, df = 2).
  2. Frekuensi harapan seluruh sel > 5, sehingga asumsi uji chi-square terpenuhi.
  3. Residual terstandar menunjukkan bahwa Female–Democrat dan Male–Republican adalah sel yang paling menyimpang dari harapan independensi.
  4. Partisi chi-square mengonfirmasi bahwa asosiasi berasal dari dua sumber: perbedaan preferensi Democrat vs Republican antar gender (Partisi 1), dan perbedaan pola afiliasi partai vs Independent (Partisi 2).
  5. Kategori Democrat merupakan sumber terbesar asosiasi — perempuan secara proporsional lebih banyak mengidentifikasi sebagai Democrat dibandingkan laki-laki.

9 Kesimpulan Umum

Tabel 7. Ringkasan Kesimpulan Kasus 1 dan Kasus 2
Kasus Variabel Metode Utama Hasil Kesimpulan
Kasus 1 (2x2) Merokok x Kanker Paru Chi-square, Fisher, G2, Dua Proporsi chi2 = 19.13, p < 0.001 Merokok berkaitan signifikan dengan kanker paru
Kasus 2 (2x3) Gender x Partai Politik Chi-square, Partisi, Residual chi2 = 12.57, p = 0.002 Gender berkaitan signifikan dengan identifikasi partai

Kedua kasus menunjukkan bahwa inferensi pada tabel kontingensi mampu mendeteksi dan mengkuantifikasi asosiasi antara variabel kategorikal secara komprehensif. Kombinasi antara estimasi ukuran asosiasi (RD, RR, OR), interval kepercayaan, berbagai uji hipotesis, serta analisis residual dan partisi memberikan gambaran yang lengkap — tidak hanya tentang apakah asosiasi ada, tetapi juga seberapa besar dan dari mana asosiasi itu berasal.