📊 PROBLEMA 1 - DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

🔍 PROBLEMA: PROBABILIDAD EN DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

Cálculo de probabilidad para la media muestral de incrementos salariales

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Supongamos que el incremento porcentual de los salarios de los funcionarios de todas las corporaciones medianas se distribuye siguiendo una normal con media 12,2% y desviación típica 3,6%. Si se toma una muestra aleatoria de nueve observaciones de esta población según los incrementos porcentuales de salario, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor del 10%?”

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

🔢 Paso 1: Identificar los parámetros poblacionales y muestrales

Parámetros poblacionales:
• Media poblacional (μ) = 12.2%
• Desviación típica poblacional (σ) = 3.6%
• La población se distribuye normal

Parámetros muestrales:
• Tamaño de la muestra (n) = 9
• Media muestral (x̄) es variable aleatoria
• Se pide P(x̄ > 10%)

📊 Paso 2: Aplicar el Teorema Central del Límite

Distribución de la media muestral:
• Como la población es normal, la media muestral también sigue una distribución normal
• Media de la distribución muestral: μx̄ = μ = 12.2%
• Error estándar: σx̄ = σ / √n

Cálculo del error estándar:
σx̄ = 3.6% / √9
= 3.6% / 3
= 1.2%

Por lo tanto: x̄ ~ N(μ = 12.2%, σ = 1.2%)

⚖️ Paso 3: Estandarizar el valor de interés

Fórmula del estadístico Z:
Z = (x̄ - μx̄) / σx̄

Para x̄ = 10%:
Z = (10% - 12.2%) / 1.2%
= (-2.2%) / 1.2%
= -1.8333

Interpretación:
El valor 10% está 1.8333 desviaciones estándar
por debajo de la media de la distribución muestral.

🔍 Paso 4: Calcular la probabilidad requerida

Se pide P(x̄ > 10%) = P(Z > -1.8333)

Por simetría de la distribución normal:
P(Z > -1.8333) = P(Z < 1.8333)

Usando tabla normal estándar:
• Para Z = 1.83 → área acumulada ≈ 0.9664
• Para Z = 1.84 → área acumulada ≈ 0.9671

Interpolación lineal para Z = 1.8333:
Diferencia = 1.8333 - 1.83 = 0.0033
Rango entre 1.83 y 1.84 = 0.01
Proporción = 0.0033 / 0.01 = 0.33
Diferencia en áreas = 0.9671 - 0.9664 = 0.0007
Ajuste = 0.33 × 0.0007 = 0.000231

Área para Z = 1.8333 ≈ 0.9664 + 0.000231 = 0.966631

Por lo tanto:
P(x̄ > 10%) ≈ 0.9666 (96.66%)

🧮 Paso 5: Verificación con software estadístico

Usando función de distribución normal:

P(x̄ > 10%) = 1 - Φ(-1.8333)
= Φ(1.8333)

Con calculadora o software:
Φ(1.8333) = 0.9666 (aproximadamente)

Valor exacto con más precisión:
• Usando la función de error complementaria:
Φ(1.8333) = 0.966597

Por lo tanto, la probabilidad es aproximadamente 96.66%

🎯 Paso 6: Interpretación del resultado

Significado del 96.66%:

• Si tomamos muchas muestras aleatorias de 9 observaciones,
aproximadamente el 96.66% de ellas tendrán una media muestral
superior al 10%

• Es muy probable que la media muestral sea mayor que 10%,
dado que la media poblacional es 12.2% y la variabilidad
de la media muestral es relativamente pequeña (1.2%)

Representación gráfica conceptual:
Distribución muestral centrada en 12.2% con desviación 1.2%:
• El valor 10% está a 1.83 desviaciones a la izquierda de la media
• Casi toda el área (96.66%) está a la derecha de 10%
• Solo 3.34% de las medias muestrales serían menores a 10%

⚠️ Paso 7: Errores comunes y aclaraciones

Error 1: Usar desviación poblacional en lugar del error estándar
• Usar σ = 3.6% en lugar de σ/√n = 1.2%
• Esto daría Z = (10-12.2)/3.6 = -0.611 → probabilidad ≈ 72.9% (incorrecto)

Error 2: No estandarizar correctamente
• Calcular directamente P(x̄ > 10) sin convertir a Z

Error 3: Confundir el signo de Z
• Z negativo significa que el valor está por debajo de la media
• P(Z > -1.83) = P(Z < 1.83) por simetría

Error 4: Usar tabla normal para el lado incorrecto
• Buscar P(Z < -1.83) = 0.0334 en lugar de P(Z > -1.83)
• Eso daría 3.34% en lugar de 96.66%

Error 5: No considerar el tamaño de muestra en el error estándar
• El error estándar disminuye con √n
• Para n=9, σx̄ = σ/3

Aclaración importante:
Como la población es normal, la distribución muestral de la media
es exactamente normal, no aproximada, incluso para n pequeña.

📊 Paso 8: Representación de la solución en términos de percentiles

También podemos expresar el resultado como:

La media muestral de 9 observaciones seguirá una distribución
N(12.2%, 1.2%). El percentil 3.34 de esta distribución es 10%,
lo que significa que solo el 3.34% de las medias muestrales
serán inferiores al 10%.

Verificación con la regla empírica:
• El 68% de las medias muestrales estarán entre 11.0% y 13.4%
• El 95% estarán entre 9.8% y 14.6%
• El valor 10% está cerca del límite inferior del 95%
• Por eso la probabilidad de ser mayor a 10% es alta (96.66%)

Intervalo de confianza asociado:
Un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional
basado en una muestra sería x̄ ± 1.96 × 1.2% = x̄ ± 2.352%
Esto muestra la precisión de la estimación con n=9.

📚 CONCEPTOS CLAVE EN DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

📊 Teorema Central del Límite

  • La media muestral se distribuye aproximadamente normal
  • Media: μx̄ = μ
  • Error estándar: σx̄ = σ/√n
  • Si la población es normal, la distribución es exacta

📈 Estandarización (Z)

  • Z = (x̄ - μx̄) / σx̄
  • Permite usar tabla normal estándar
  • Mide cuántas desviaciones estándar se aleja un valor
  • Z negativo: valor por debajo de la media

🎲 Probabilidad en la cola superior

  • P(x̄ > a) = P(Z > (a-μ)/σx̄)
  • Por simetría: P(Z > -c) = P(Z < c)
  • Importante identificar correctamente la cola
  • Ej: 96.66% de probabilidad en este caso

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

📊

Resumen de la Solución

  1. Datos poblacionales: μ = 12.2%, σ = 3.6%, distribución normal
  2. Muestra: n = 9 observaciones
  3. Distribución de la media muestral: Normal con μ = 12.2%, σx̄ = 3.6%/√9 = 1.2%
  4. Estandarización para x̄ = 10%: Z = (10 - 12.2)/1.2 = -1.8333
  5. Probabilidad requerida: P(x̄ > 10%) = P(Z > -1.8333) = P(Z < 1.8333)
  6. Valor en tabla normal: Φ(1.8333) ≈ 0.9666
  7. Interpretación: 96.66% de las medias muestrales superan el 10%
  8. Respuesta: 0.9666 o 96.66%

Fórmula clave:
Z = (x̄ - μ) / (σ/√n)

Resultado final:
P(x̄ > 10%) = 96.66%

Conclusión clave: La probabilidad de que la media muestral de nueve observaciones de incrementos salariales sea mayor al 10% es aproximadamente 0.9666 o 96.66%. Este resultado se obtiene aplicando la teoría de distribución muestral, donde la media muestral sigue una distribución normal con media igual a la poblacional (12.2%) y error estándar de 1.2% (σ/√n). Dado que el valor de interés (10%) está 1.83 desviaciones estándar por debajo de la media, casi toda el área de la distribución (96.66%) se encuentra por encima de este valor, indicando que es muy probable que la media muestral supere el 10%.

✅ RESPUESTA CORRECTA: 96.66%

La probabilidad de que la media muestral sea mayor del 10% es 96.66%

🚗 PROBLEMA 2. - DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

🔍 PROBLEMA: PROBABILIDAD EN DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

Cálculo de probabilidad para la media muestral de consumo de gasolina

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Una muestra aleatoria de seis autos de un determinado modelo evidencia que cada uno de ellos consume las siguientes cantidades en kilómetros por litro: 18.6, 18.4, 19.2, 20.8, 19.4, 20.5. Determine la probabilidad de que el consumo de gasolina medio muestral de automóviles sea menor que 17.6 kilómetros por litro, suponiendo que la distribución de la población es normal con media 17.”

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

🔢 Paso 1: Identificar los parámetros poblacionales

Parámetros poblacionales:
• Media poblacional (μ) = 17 km/L
• La población se distribuye normal
• Desviación típica poblacional (σ) = DESCONOCIDA

Muestra:
• n = 6 observaciones
• Datos: 18.6, 18.4, 19.2, 20.8, 19.4, 20.5

Se pide: P(x̄ < 17.6) con μ = 17

📊 Paso 2: Calcular la media muestral

Media muestral (x̄):
x̄ = (18.6 + 18.4 + 19.2 + 20.8 + 19.4 + 20.5) / 6

Suma = 18.6 + 18.4 = 37.0
37.0 + 19.2 = 56.2
56.2 + 20.8 = 77.0
77.0 + 19.4 = 96.4
96.4 + 20.5 = 116.9

x̄ = 116.9 / 6 = 19.4833 km/L

Nota importante: Este valor (19.48) es la media de la muestra,
pero NO se utiliza directamente en el cálculo de probabilidad,
ya que la pregunta es sobre la distribución muestral bajo la hipótesis de μ=17.

⚖️ Paso 3: Reconocer el problema - σ desconocida

Problema fundamental:

• La desviación típica poblacional σ es DESCONOCIDA
• Para calcular P(x̄ < 17.6) necesitamos conocer la variabilidad
• Con σ desconocida, debemos estimarla a partir de la muestra
• Pero la muestra que tenemos (19.48) es muy superior a 17.6
• Esto sugiere que la probabilidad será extremadamente pequeña

Enfoque correcto:
1. Estimar σ con la desviación típica muestral (s)
2. Usar distribución t de Student (no normal)
3. Calcular el estadístico t
4. Encontrar la probabilidad en la cola izquierda

🔍 Paso 4: Calcular la desviación típica muestral

Fórmula de varianza muestral:
s² = Σ(xi - x̄)² / (n-1)

Calculando desviaciones:
• 18.6 - 19.4833 = -0.8833 → (-0.8833)² = 0.7802
• 18.4 - 19.4833 = -1.0833 → (-1.0833)² = 1.1735
• 19.2 - 19.4833 = -0.2833 → (-0.2833)² = 0.0803
• 20.8 - 19.4833 = 1.3167 → (1.3167)² = 1.7337
• 19.4 - 19.4833 = -0.0833 → (-0.0833)² = 0.0069
• 20.5 - 19.4833 = 1.0167 → (1.0167)² = 1.0337

Suma de cuadrados:
0.7802 + 1.1735 = 1.9537
1.9537 + 0.0803 = 2.0340
2.0340 + 1.7337 = 3.7677
3.7677 + 0.0069 = 3.7746
3.7746 + 1.0337 = 4.8083

s² = 4.8083 / (6-1) = 4.8083 / 5 = 0.96166
s = √0.96166 = 0.9806 km/L

🧮 Paso 5: Calcular el error estándar estimado y el estadístico t

Error estándar estimado:
EE = s / √n = 0.9806 / √6
√6 ≈ 2.4495
EE = 0.9806 / 2.4495 = 0.4004 km/L

Estadístico t:
t = (x̄ - μ) / EE
Pero aquí queremos P(x̄ < 17.6) bajo H₀: μ = 17

Para el valor límite 17.6:
t = (17.6 - 17) / 0.4004
= 0.6 / 0.4004
= 1.4985

Interpretación:
Buscamos P(x̄ < 17.6) = P(t < 1.4985) con 5 grados de libertad
(tiene signo positivo porque 17.6 > 17)

🎯 Paso 6: Encontrar la probabilidad en tabla t

Distribución t con gl = 5:

Valores críticos de tabla t (una cola):
• t₀.₁₀ = 1.476
• t₀.₀₅ = 2.015

Nuestro t = 1.4985 está entre 1.476 y 2.015

Interpolación:
Para t = 1.476 → área cola derecha = 0.10
Para t = 2.015 → área cola derecha = 0.05

Diferencia en t = 2.015 - 1.476 = 0.539
Nuestro t excede 1.476 en: 1.4985 - 1.476 = 0.0225
Proporción = 0.0225 / 0.539 = 0.0417

Reducción en área = 0.0417 × (0.10 - 0.05) = 0.0417 × 0.05 = 0.002085

Área cola derecha para t = 1.4985 ≈ 0.10 - 0.0021 = 0.0979

Por lo tanto:
P(t > 1.4985) ≈ 0.0979
P(t < 1.4985) = 1 - 0.0979 = 0.9021

Pero esto es P(x̄ < 17.6)? ¡CUIDADO!

⚠️ Paso 7: Corrección - Entendiendo qué estamos calculando

Confusión detectada:

• Calculamos t = (17.6 - 17)/EE = 1.4985
• Esto da P(x̄ < 17.6) = P(t < 1.4985) ≈ 0.90

Pero esto NO puede ser correcto:
• La media muestral observada es 19.48, muy superior a 17.6
• La probabilidad de que x̄ sea menor que 17.6 debería ser MUY pequeña
• Obtener 0.90 (90%) es absurdo

¿Qué pasó?
• Usamos la media muestral observada (19.48) para estimar s
• Pero esa media es mucho mayor que 17
• La variabilidad estimada (s=0.98) es pequeña relativa a la distancia
• El estadístico t positivo indica que 17.6 está por ENCIMA de μ=17
• Por eso P(t < 1.4985) es alta (90%)

El problema conceptual:

La pregunta es: bajo el supuesto de que μ=17,
¿cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor que 17.6?

Esto es simplemente:
P(x̄ < 17.6 | μ=17) = P(Z < (17.6-17)/(σ/√n))

Pero σ es desconocida
• Si usamos s de la muestra (que es 0.98), estamos condicionando
en una muestra que tiene media 19.48, lo cual es inconsistente
• Lo correcto sería tener una estimación de σ independiente
• O reconocer que el problema está mal planteado

Conclusión: Con la información dada,
no es posible calcular la probabilidad solicitada
porque falta la desviación típica poblacional.

📊 Paso 8: Lo que realmente podríamos calcular

Si interpretamos el problema de otra manera:

Quizás la muestra dada es solo para que calculemos s,
y luego usamos esa s como si fuera σ conocida.

Entonces, con σ = s = 0.9806:

EE = σ/√n = 0.9806/√6 = 0.4004
Z = (17.6 - 17) / 0.4004 = 1.4985

P(x̄ < 17.6) = P(Z < 1.4985) ≈ 0.9332 (usando normal)

Pero esto sigue siendo alto y contradictorio.

La realidad:
• Los datos muestrales (promedio 19.48) son inconsistentes
con una media poblacional de 17
• La probabilidad de obtener una muestra con media 19.48
si μ=17 y σ≈0.98 es prácticamente cero
• Por eso, cualquier cálculo de P(x̄ < 17.6) dará un valor
cercano a 1, lo cual es absurdo en el contexto

Respuesta más sensata:
Dados los datos, la probabilidad de que la media muestral
sea menor que 17.6 es esencialmente 1 (100%),
pero esto contradice el supuesto de que μ=17.

📚 CONCEPTOS CLAVE EN INFERENCIA ESTADÍSTICA

📊 Distribución Muestral

  • Con σ conocida: x̄ ~ N(μ, σ/√n)
  • Con σ desconocida: (x̄-μ)/(s/√n) ~ t(n-1)
  • Requiere estimar σ de la muestra
  • La estimación introduce incertidumbre adicional

📈 Estadístico t de Student

  • t = (x̄ - μ) / (s/√n)
  • Grados de libertad = n - 1
  • Más dispersa que la normal para gl pequeños
  • Converge a normal cuando n → ∞

⚠️ Coherencia de los datos

  • Los datos muestrales deben ser consistentes con los supuestos
  • Si μ=17 y los datos promedian 19.48, algo no cuadra
  • La probabilidad de tal muestra bajo H₀ es casi cero
  • Importante verificar supuestos antes de calcular

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

🚗

Resumen de la Solución

  1. Datos poblacionales supuestos: μ = 17 km/L, distribución normal, σ desconocida
  2. Muestra: n = 6, x̄ = 19.4833, s = 0.9806
  3. Problema: σ desconocida y los datos son inconsistentes con μ=17
  4. Si forzamos el cálculo con s como σ: Z = 1.4985 → P(x̄ < 17.6) ≈ 0.9332
  5. Si usamos distribución t: t = 1.4985, gl=5 → P ≈ 0.9021
  6. Pero ambos resultados son conceptualmente incorrectos
  7. La probabilidad real: Dados los datos, es prácticamente 1 (100%), pero esto contradice el supuesto
  8. Conclusión: El problema está mal planteado o falta la desviación poblacional

Con s como estimación de σ:
P(x̄ < 17.6) ≈ 0.93

Realidad:
Los datos son inconsistentes con μ=17

Conclusión clave: El problema presenta una inconsistencia fundamental: se pide calcular P(x̄ < 17.6) bajo el supuesto de que μ=17, pero los datos muestrales tienen una media de 19.48, lo que es extremadamente improbable si μ=17 y la variabilidad es moderada. Esto sugiere que la desviación típica poblacional debería ser mucho mayor para que tal muestra sea posible, o que el supuesto de μ=17 es incorrecto. Sin conocer σ, no es posible dar una respuesta numérica con sentido. El ejercicio ilustra la importancia de verificar la coherencia entre los supuestos y los datos antes de realizar cálculos de probabilidad.

⚠️ PROBLEMA INCONSISTENTE

Los datos muestrales (x̄=19.48) son incompatibles con μ=17. Falta σ poblacional.

⛽ PROBLEMA DE3- COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS CON VARIANZAS CONOCIDAS

🔍 PROBLEMA: DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES ENTRE DOS TIPOS DE GASOLINA

Cálculo de probabilidades para la diferencia de rendimientos promedio bajo el supuesto de igualdad de medias poblacionales

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Se prueba el rendimiento (km/l) de dos tipos de gasolina: la primera tiene desviación estándar σ₁ = 1.23 km/l y se prueba en 35 vehículos; la segunda tiene σ₂ = 1.37 km/l y se prueba en 42 vehículos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina dé un rendimiento promedio mayor de 0.45 km/l que la segunda?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83 km/l a favor de la primera gasolina?”

SOLUCIÓN PROBLEMA: Suponga que μ₁ = μ₂

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

🔢 Paso 1: Identificar los parámetros

Gasolina 1:
• Desviación estándar poblacional: σ₁ = 1.23 km/l
• Tamaño de muestra: n₁ = 35

Gasolina 2:
• Desviación estándar poblacional: σ₂ = 1.37 km/l
• Tamaño de muestra: n₂ = 42

Supuesto fundamental:
μ₁ = μ₂ (las medias poblacionales son iguales)

Variable de interés:
D = x̄₁ - x̄₂ (diferencia de medias muestrales)

📊 Paso 2: Distribución de la diferencia de medias

Propiedades de D = x̄₁ - x̄₂:

• Media: μD = μ₁ - μ₂ = 0 (por el supuesto μ₁ = μ₂)

• Varianza: σD² = σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂

Cálculo de la varianza:
σ₁²/n₁ = (1.23)² / 35 = 1.5129 / 35 = 0.043226
σ₂²/n₂ = (1.37)² / 42 = 1.8769 / 42 = 0.044688

σD² = 0.043226 + 0.044688 = 0.087914

Desviación estándar:
σD = √0.087914 = 0.2965 km/l

Distribución: D ~ N(0, 0.2965)

📈 Paso 3: Parte (a) - Probabilidad de D > 0.45

Queremos: P(D > 0.45)

Estandarización:
Z = (D - μD) / σD
Z = (0.45 - 0) / 0.2965
Z = 0.45 / 0.2965
Z = 1.5177

Por lo tanto:
P(D > 0.45) = P(Z > 1.5177)

Usando tabla normal estándar:
• Para Z = 1.51 → área cola derecha = 0.0655
• Para Z = 1.52 → área cola derecha = 0.0643

Interpolación lineal:
Diferencia en Z = 1.52 - 1.51 = 0.01
Nuestro Z excede 1.51 en: 1.5177 - 1.51 = 0.0077
Proporción = 0.0077 / 0.01 = 0.77
Diferencia en áreas = 0.0655 - 0.0643 = 0.0012
Ajuste = 0.77 × 0.0012 = 0.000924

Área para Z = 1.5177 ≈ 0.0655 - 0.0009 = 0.0646

Respuesta (a): P(D > 0.45) ≈ 0.0646

📊 Paso 4: Parte (b) - Probabilidad de 0.65 < D < 0.83

Queremos: P(0.65 < D < 0.83)

Estandarizamos los límites:

Para D = 0.65:
Z₁ = (0.65 - 0) / 0.2965 = 0.65 / 0.2965 = 2.1922

Para D = 0.83:
Z₂ = (0.83 - 0) / 0.2965 = 0.83 / 0.2965 = 2.7993

Por lo tanto:
P(0.65 < D < 0.83) = P(2.1922 < Z < 2.7993)
= P(Z < 2.7993) - P(Z < 2.1922)

🧮 Paso 5: Buscar valores en tabla normal

Para Z = 2.1922:
• Z = 2.19 → área acumulada = 0.9857
• Z = 2.20 → área acumulada = 0.9861

Interpolación:
Diferencia = 0.0004
Proporción = (2.1922 - 2.19)/0.01 = 0.22
Ajuste = 0.22 × 0.0004 = 0.000088
Φ(2.1922) ≈ 0.9857 + 0.0001 = 0.9858

Para Z = 2.7993:
• Z = 2.79 → área acumulada = 0.9974
• Z = 2.80 → área acumulada = 0.9974 (¡cuidado! para Z=2.8 es 0.9974)

Verificando tabla más precisa:
• Z = 2.79 → 0.9974
• Z = 2.80 → 0.9974 (en tablas de 4 decimales, ambos dan 0.9974)
• Z = 2.81 → 0.9975

Para mayor precisión, usemos:
Z = 2.7993 está muy cerca de 2.80
Φ(2.7993) ≈ 0.9974

Por lo tanto:
P(0.65 < D < 0.83) = 0.9974 - 0.9858 = 0.0116

🎯 Paso 6: Interpretación de los resultados

Parte (a) - 0.0646 (6.46%):
• Bajo el supuesto de igualdad de medias poblacionales,
hay solo un 6.46% de probabilidad de que la diferencia
muestral supere 0.45 km/l a favor de la primera gasolina
• Es un evento relativamente improbable

Parte (b) - 0.0116 (1.16%):
• La probabilidad de que la diferencia muestral esté
entre 0.65 y 0.83 km/l es muy baja (1.16%)
• Estos valores están en la cola extrema de la distribución

Observación importante:
Ambas probabilidades son pequeñas porque los valores
(0.45, 0.65, 0.83) están muy alejados de la media cero,
a más de 1.5 y 2.8 desviaciones estándar respectivamente.

⚠️ Paso 7: Verificación con software estadístico

Valores más precisos:

σD = √(1.23²/35 + 1.37²/42)
= √(1.5129/35 + 1.8769/42)
= √(0.043226 + 0.044688)
= √0.087914 = 0.296503

Parte (a):
Z = 0.45 / 0.296503 = 1.5177
P(Z > 1.5177) = 0.0646 (exacto)

Parte (b):
Z₁ = 0.65 / 0.296503 = 2.1922
Φ(2.1922) = 0.9858

Z₂ = 0.83 / 0.296503 = 2.7993
Φ(2.7993) = 0.99744

Diferencia = 0.99744 - 0.9858 = 0.01164

Resultados finales:
(a) P(D > 0.45) = 0.0646
(b) P(0.65 < D < 0.83) = 0.0116

📊 Paso 8: Representación gráfica conceptual

Distribución de D = x̄₁ - x̄₂:

• Distribución normal con media 0 y desviación 0.2965

Ubicación de los valores:
• 0.45 está a 1.52σ → probabilidad en cola derecha: 6.46%
• 0.65 está a 2.19σ → percentil 98.58
• 0.83 está a 2.80σ → percentil 99.74
• El intervalo [0.65, 0.83] cubre solo el 1.16% central de la cola derecha

Interpretación en términos de percentiles:
• El valor 0.65 es el percentil 98.58
• El valor 0.83 es el percentil 99.74
• La diferencia entre estos percentiles es 1.16 puntos porcentuales,
que corresponde a la probabilidad del intervalo

📚 CONCEPTOS CLAVE EN COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS

📊 Diferencia de Medias Muestrales

  • D = x̄₁ - x̄₂
  • Media: μ₁ - μ₂
  • Varianza: σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂
  • Distribución normal si las poblaciones son normales o n grandes

📈 Estandarización

  • Z = (D - (μ₁-μ₂)) / √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)
  • Bajo H₀: μ₁=μ₂, Z = D / σD
  • Permite calcular probabilidades usando tabla normal
  • Ej: Z = 1.5177 → P = 0.0646

🎯 Interpretación de Probabilidades

  • Probabilidades pequeñas indican valores extremos
  • 6.46%: relativamente improbable
  • 1.16%: muy improbable
  • Ayudan a evaluar hipótesis sobre diferencias

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

⛽

Resumen de la Solución

  1. Datos: σ₁=1.23, n₁=35; σ₂=1.37, n₂=42; μ₁=μ₂
  2. Distribución de D = x̄₁ - x̄₂: Normal con μD=0, σD=0.2965
  3. Parte (a) - P(D > 0.45): Z = 0.45/0.2965 = 1.5177 → P = 0.0646
  4. Parte (b) - P(0.65 < D < 0.83): Z₁=2.1922, Z₂=2.7993 → P = 0.9974 - 0.9858 = 0.0116
  5. Interpretación (a): 6.46% de probabilidad de diferencia > 0.45 km/l
  6. Interpretación (b): 1.16% de probabilidad de diferencia entre 0.65 y 0.83 km/l
  7. Ambos valores son improbables bajo el supuesto de igualdad
  8. Respuestas: (a) 0.0646, (b) 0.0116

Parte (a):
P(D > 0.45) = 0.0646 (6.46%)

Parte (b):
P(0.65 < D < 0.83) = 0.0116 (1.16%)

Conclusión clave: Bajo el supuesto de que las medias poblacionales de rendimiento son iguales (μ₁ = μ₂), la diferencia de medias muestrales D = x̄₁ - x̄₂ sigue una distribución normal con media 0 y desviación estándar 0.2965 km/l. La probabilidad de que la primera gasolina supere a la segunda por más de 0.45 km/l es de 6.46%, mientras que la probabilidad de que la diferencia esté entre 0.65 y 0.83 km/l es de solo 1.16%. Estos resultados indican que valores como 0.45, 0.65 y 0.83 son relativamente extremos bajo la hipótesis de igualdad, lo que podría llevar a cuestionar dicha hipótesis si se observaran diferencias muestrales de esa magnitud.

✅ RESPUESTAS: (a) 0.0646 | (b) 0.0116

Probabilidad de D > 0.45: 6.46% | Probabilidad de 0.65 < D < 0.83: 1.16%