Лабораторная работа №6
Реализация бутстрапа на языках R и Python
Быков Александр 231-332
2026-02-07
Введение
Бутстрап (bootstrap) — это статистический метод, основанный на многократном повторном формировании выборки с возвращением из имеющихся данных. Метод позволяет оценить стандартные ошибки, доверительные интервалы и другие характеристики статистик без параметрических предположений о распределении данных.
Основные преимущества бутстрапа:
- Не требует знания распределения данных
- Применим к любым статистикам (медиана, квантили, R², и т.д.)
- Даёт оценку неопределённости для сложных статистик
Описание датасета
В данной работе используется датасет mtcars — классический набор данных о характеристиках 32 автомобилей, опубликованный в журнале Motor Trend в 1974 году.
# Загрузка и просмотр данных
data(mtcars)
cat("Размер датасета:", nrow(mtcars), "строк,", ncol(mtcars), "столбцов\n")## Размер датасета: 32 строк, 11 столбцов## mpg cyl disp hp drat wt qsec vs am gear carb
## Mazda RX4 21.0 6 160 110 3.90 2.620 16.46 0 1 4 4
## Mazda RX4 Wag 21.0 6 160 110 3.90 2.875 17.02 0 1 4 4
## Datsun 710 22.8 4 108 93 3.85 2.320 18.61 1 1 4 1
## Hornet 4 Drive 21.4 6 258 110 3.08 3.215 19.44 1 0 3 1
## Hornet Sportabout 18.7 8 360 175 3.15 3.440 17.02 0 0 3 2
## Valiant 18.1 6 225 105 2.76 3.460 20.22 1 0 3 1Основные переменные:
- mpg — расход топлива (миль на галлон)
- wt — вес автомобиля (1000 фунтов)
- disp — объём двигателя (куб. дюймы)
Разведочный анализ данных (EDA)
Описательная статистика
Описательная статистика mpg:
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 10.40 15.43 19.20 20.09 22.80 33.90##
## 90-й перцентиль mpg: 30.09Визуализация
par(mfrow = c(1, 2))
# Гистограмма mpg
hist(mtcars$mpg,
breaks = 8, col = "steelblue", border = "white",
main = "Распределение расхода топлива",
xlab = "Расход топлива (mpg)", ylab = "Частота"
)
abline(v = mean(mtcars$mpg), col = "red", lwd = 2, lty = 2)
abline(v = quantile(mtcars$mpg, 0.9), col = "green", lwd = 2, lty = 2)
legend("topright", legend = c(
sprintf("Среднее: %.2f", mean(mtcars$mpg)),
sprintf("90%% перцентиль: %.2f", quantile(mtcars$mpg, 0.9))
), col = c("red", "green"), lty = 2, lwd = 2, cex = 0.8)
# Диаграмма рассеяния
plot(mtcars$wt, mtcars$mpg,
pch = 19, col = "steelblue", cex = 1.5,
main = "Зависимость расхода от веса",
xlab = "Вес автомобиля (1000 фунтов)", ylab = "Расход топлива (mpg)"
)
abline(lm(mpg ~ wt, data = mtcars), col = "red", lwd = 2, lty = 2)
legend("topright", legend = "Линия регрессии", col = "red", lty = 2, lwd = 2)
grid()
Выводы EDA:
- Распределение mpg унимодальное, слегка асимметричное вправо
- Среднее значение mpg: 20.09 миль/галлон
- Наблюдается сильная отрицательная связь между весом и расходом топлива
Реализация бутстрапа на Python
Код программы
#!/usr/bin/env python3
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from scipy import stats
np.random.seed(42)
# Загрузка датасета mtcars
mtcars_data = {
'mpg': [21.0, 21.0, 22.8, 21.4, 18.7, 18.1, 14.3, 24.4, 22.8, 19.2,
17.8, 16.4, 17.3, 15.2, 10.4, 10.4, 14.7, 32.4, 30.4, 33.9,
21.5, 15.5, 15.2, 13.3, 19.2, 27.3, 26.0, 30.4, 15.8, 19.7, 15.0, 21.4],
'wt': [2.620, 2.875, 2.320, 3.215, 3.440, 3.460, 3.570, 3.190, 3.150, 3.440,
3.440, 4.070, 3.730, 3.780, 5.250, 5.424, 5.345, 2.200, 1.615, 1.835,
2.465, 3.520, 3.435, 3.840, 3.845, 1.935, 2.140, 1.513, 3.170, 2.770, 3.570, 2.780]
}
df = pd.DataFrame(mtcars_data)
# Функция бутстрапа
def get_percentile_ci(bootstrap_stats, alpha):
left, right = np.quantile(bootstrap_stats, [alpha / 2, 1 - alpha / 2])
return left, right
# Параметры
n = len(df['mpg'])
B = 10000
alpha = 0.05
values = df['mpg'].values
pe = np.quantile(values, 0.9)
# Бутстрап
bootstrap_values = np.random.choice(values, (B, n), replace=True)
bootstrap_stats = np.quantile(bootstrap_values, 0.9, axis=1)
ci = get_percentile_ci(bootstrap_stats, alpha)
print(f"Точечная оценка 90-го перцентиля: {pe:.2f} mpg")
print(f"95% ДИ: ({ci[0]:.2f}, {ci[1]:.2f}) mpg")Результаты Python
EDA графики Python
Рисунок 1. Разведочный анализ данных: гистограмма mpg и зависимость расхода от веса.
Бутстрап результаты Python
Рисунок 2. Бутстрап-распределение 90-го перцентиля и Q-Q plot.
Сравнение групп Python
Рисунок 3. Сравнение лёгких и тяжёлых автомобилей.
Ключевые результаты Python:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| Точечная оценка 90-го перцентиля | 30.09 mpg |
| 95% ДИ | (22.80, 32.40) mpg |
| Стандартная ошибка бутстрапа | 2.79 |
Выводы по Python:
- 90-й перцентиль расхода топлива составляет 30.09 mpg
- Лёгкие автомобили имеют статистически значимо более высокий расход (разница 12.45 mpg, ДИ не включает 0)
- Q-Q plot подтверждает нормальность бутстрап-распределения
Реализация бутстрапа на R
Код программы
library(boot)
set.seed(42)
# Функция для вычисления R²
rsq_function <- function(formula, data, indices) {
d <- data[indices, ]
fit <- lm(formula, data = d)
return(summary(fit)$r.square)
}
# Исходная регрессия
original_fit <- lm(mpg ~ wt, data = mtcars)
original_rsq <- summary(original_fit)$r.squared
cat("Исходный R²:", round(original_rsq, 4), "\n")## Исходный R²: 0.7528# Бутстрап
B <- 2000
reps <- boot(data = mtcars, statistic = rsq_function, R = B, formula = mpg ~ wt)
print(reps)##
## ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP
##
##
## Call:
## boot(data = mtcars, statistic = rsq_function, R = B, formula = mpg ~
## wt)
##
##
## Bootstrap Statistics :
## original bias std. error
## t1* 0.7528328 0.004827619 0.05883449
Доверительные интервалы
## BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
## Based on 2000 bootstrap replicates
##
## CALL :
## boot.ci(boot.out = reps, type = c("norm", "basic", "perc", "bca"))
##
## Intervals :
## Level Normal Basic
## 95% ( 0.6327, 0.8633 ) ( 0.6487, 0.8780 )
##
## Level Percentile BCa
## 95% ( 0.6277, 0.8570 ) ( 0.5843, 0.8392 )
## Calculations and Intervals on Original ScaleКлючевые результаты R:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| Исходный R² | 0.7528 |
| Среднее бутстрап R² | 0.7577 |
| Стандартная ошибка | 0.0588 |
| 95% BCa ДИ | (0.58, 0.84) |
Выводы по R:
- R² ≈ 0.75 — вес объясняет 75% вариации расхода топлива
- BCa доверительный интервал подтверждает стабильность оценки
- Q-Q plot показывает приблизительно нормальное распределение
Сравнение подходов Python и R
| Аспект | Python | R |
|---|---|---|
| Используемые библиотеки | numpy, scipy | boot |
| Статистика | 90-й перцентиль | R² регрессии |
| Метод ДИ | Перцентильный | BCa, Normal, Basic |
| Количество итераций | 10000 | 2000 |
Преимущества каждого подхода:
Python: - Полный контроль над алгоритмом - Гибкость в выборе визуализаций - Легко масштабируется
R (пакет boot): - Встроенная поддержка различных типов ДИ - Автоматический расчёт смещения - Готовые функции визуализации
Общие выводы
Метод бутстрапа — мощный непараметрический инструмент для оценки неопределённости статистик.
Для датасета mtcars показана возможность применения бутстрапа как для простых статистик (перцентили), так и для сложных (R² регрессии).
Оба языка (Python и R) предоставляют эффективные инструменты для реализации бутстрапа:
- Python даёт больше контроля и гибкости
- R через пакет
bootпредоставляет готовые решения
Визуализация помогает интерпретировать результаты и проверять предположения (нормальность распределения).
Практическое применение: бутстрап особенно полезен при малых выборках и для статистик, для которых сложно вывести аналитические формулы.
Приложение: консольный вывод скриптов
Python вывод
ДАТАСЕТ: mtcars (Motor Trend Car Road Tests)
Количество наблюдений: 32
Переменные: mpg (расход топлива, миль/галлон), wt (вес, 1000 фунтов)
РАЗВЕДОЧНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ (EDA)
Описательная статистика переменной mpg:
count 32.000000
mean 20.090625
std 6.026948
min 10.400000
25% 15.425000
50% 19.200000
75% 22.800000
max 33.900000
Name: mpg, dtype: float64
90-й перцентиль mpg: 30.09
График EDA сохранён: eda_plots.png
БУТСТРАП: ОЦЕНКА 90-ГО ПЕРЦЕНТИЛЯ MPG
Параметры бутстрапа:
Размер выборки (n): 32
Количество бутстрап-итераций (B): 10000
Уровень значимости (α): 0.05
Результаты:
Точечная оценка 90-го перцентиля: 30.09 mpg
95% доверительный интервал: (22.80, 32.40) mpg
Стандартная ошибка бутстрапа: 2.79
График бутстрапа сохранён: bootstrap_results.png
БУТСТРАП: СРАВНЕНИЕ ТЯЖЁЛЫХ И ЛЁГКИХ АВТОМОБИЛЕЙ
Группировка по весу (медиана: 3.33):
Лёгкие автомобили (n=16): wt ≤ 3.33
Тяжёлые автомобили (n=16): wt > 3.33
90-й перцентиль mpg лёгких: 31.40
90-й перцентиль mpg тяжёлых: 18.95
Разница: 12.45 mpg
Результаты бутстрапа для разницы:
Точечная оценка разницы: 12.45 mpg
95% ДИ для разницы: (7.45, 15.55) mpg
Отличия статистически значимые: Да
График сравнения сохранён: bootstrap_comparison.png
Все графики сохранены в текущей директории!R вывод
ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP
Bootstrap Statistics :
original bias std. error
t1* 0.7528328 0.004827619 0.05883449
BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
Level BCa
95% ( 0.5843, 0.8392 )Информация о сессии
## R version 4.5.2 (2025-10-31)
## Platform: x86_64-pc-linux-gnu
## Running under: CachyOS
##
## Matrix products: default
## BLAS: /usr/lib/libblas.so.3.12.0
## LAPACK: /usr/lib/liblapack.so.3.12.0 LAPACK version 3.12.0
##
## locale:
## [1] LC_CTYPE=en_US.UTF-8 LC_NUMERIC=C
## [3] LC_TIME=en_US.UTF-8 LC_COLLATE=en_US.UTF-8
## [5] LC_MONETARY=en_US.UTF-8 LC_MESSAGES=en_US.UTF-8
## [7] LC_PAPER=en_US.UTF-8 LC_NAME=C
## [9] LC_ADDRESS=C LC_TELEPHONE=C
## [11] LC_MEASUREMENT=en_US.UTF-8 LC_IDENTIFICATION=C
##
## time zone: Europe/Samara
## tzcode source: system (glibc)
##
## attached base packages:
## [1] stats graphics grDevices utils datasets methods base
##
## other attached packages:
## [1] boot_1.3-32
##
## loaded via a namespace (and not attached):
## [1] digest_0.6.39 R6_2.6.1 fastmap_1.2.0 xfun_0.56
## [5] cachem_1.1.0 knitr_1.51 htmltools_0.5.9 rmarkdown_2.30
## [9] lifecycle_1.0.5 cli_3.6.5 sass_0.4.10 jquerylib_0.1.4
## [13] compiler_4.5.2 tools_4.5.2 evaluate_1.0.5 bslib_0.10.0
## [17] yaml_2.3.12 rlang_1.1.7 jsonlite_2.0.0