Simulasi Distribusi Diskrit dan Kontinu

Moelani Artagin’s Simarmata

2026-02-27

A. Distribusi Poisson (Diskrit)

Distribusi Poisson adalah distribusi peluang diskrit yang digunakan untuk memodelkan jumlah kejadian dalam suatu interval waktu atau ruang tertentu, dengan asumsi kejadian terjadi secara acak dan independen. Distribusi ini dicirikan oleh satu parameter λ (lambda) yang sekaligus merupakan mean dan variansi distribusi.

Simulasi Distribusi Poisson: UMKM Dodol Jumlah Kegagalan (cacat) Staples pada Setiap Kemasan.

Data: Penelitian Sadiah et.al.(2024) Referensi: Sadiah, R.M., Windani, W., Bariatul, Z., Nugraheni, G.T., & Nugraha, D.A. (2024). link: https://ejournal.ust.ac.id/index.php/CARTESIUS/article/view/4368

# 1. Menentukan parameter dari data UMKM
n_kemasan<-130 #Jumlah kemasan dalam 1 hari produksi
lambda_gagal<-1.5 #Rata-rata staples gagal per kemasan
set.seed(42)


# 2. Membuat SIMULASI
# Menyimulasikan jumlah kegagalan staples untuk masing masing 130 kemasan
X<-rpois(n=n_kemasan, lambda=lambda_gagal)
print (X)
##   [1] 3 4 1 3 2 1 2 0 2 2 1 2 4 1 1 4 4 0 1 2 3 0 5 4 0 1 1 3 1 3 2 3 1 2 0 3 0
##  [38] 0 3 2 1 1 0 4 1 4 3 2 4 2 1 1 1 2 0 2 2 0 1 1 2 5 2 2 3 0 1 3 2 1 0 0 0 1
##  [75] 0 2 0 1 1 0 2 0 1 2 2 2 1 0 0 1 2 0 0 3 3 2 1 1 2 2 2 0 0 1 4 4 2 2 1 0 2
## [112] 3 2 1 1 1 0 1 2 3 1 1 2 2 2 1 3 4 1 2
# 3. Histogram
hist(X, breaks=-0.5+0:(max(X)+1),freq=FALSE, main="Distribusi Poisson - Kegagalan Staples per Kemasan Dodol", xlab="Jumlah Staples Gagal per Kemasan", ylab="Probabilitas", col="pink",border="white", xlim=c(-0.5, max(X)+0.5),ylim=c(0,max(dpois(0:max(X),lambda_gagal))*1.2))

# Overlay PMF teoritis
k_vals<-0:max(X)
lines(
k_vals, dpois(k_vals, lambda = lambda_gagal), type="b", pch=16, col="blue",lwd=2)

legend(
  "topright",
  legend = c(paste0("Simulasi (n=", n_kemasan, ")"), "PMF Teoritis λ=1.5"),
  fill   = c("pink", NA),
  lty    = c(NA, 1), pch = c(NA, 16),
  col    = c("black", "blue"),
  border = c("black", NA),
  bty    = "n"
)

Histogram menunjukka distribusi yang miring ke kanan, khas untuk distribusi Poisson dengan lambda kecil. Nilai k=1 memiliki frekuensi tertinggi, konsisten dengan hasil perhitungan teoritis Sadiah et al. (2024) bahwa probabilitas tepat 1 kegagalan adalah P(X=1)= 33,47% - nilai tertinggi dibanding k lainnya. Garis biru menunjukkan PMF teoritis yang seharusnya semakin mendekati histogram seiring bertambahnya n. ## Distribusi Eksponensial (Kontinu) Distribusi eksponensial adalah distribusi kontinu yang digunakan untuk memodelkan waktu atau jarak antar kejadian dalam suatu proses acak. Distribusi ini merupakan pasangan kontinu dari distribusi Poisson — jika jumlah kejadian per interval mengikuti Poisson, maka jarak antar kejadian mengikuti eksponensial.

B. Distribusi Eksponensial (Kontinu)

Distribusi eksponensial adalah distribusi kontinu yang digunakan untuk memodelkan waktu atau jarak antar kejadian dalam suatu proses acak. Distribusi ini merupakan pasangan kontinu dari distribusi Poisson — jika jumlah kejadian per interval mengikuti Poisson, maka jarak antar kejadian mengikuti eksponensial.

Simulasi Distribusi Eksponensial: Curah Hujan Bulanan - Kec. Sideman, Karangasem

Data: BMKG Provinsi Bali, periode 1997-2016 Referensi: Qosim, Dharmawan, Harini (2018) link: https://www.academia.edu/download/93704736/23983.pdf

#1. Parameter dari data lapangan
set.seed(123)
n<-240 #20 tahun x 12 bulan
mu<-192.93 #rata-rata curah hujan komponen 1 (mm/bulan) 
rate<- 1/mu

#2. Bangkitkan data simulasi (Distribusi ekspoensial) 
exp_data <- rexp(n, rate = rate)  #menghasilkan n variabe; random dari distribusi
exp_data
##   [1]  162.7282094  111.2454196  256.4145556    6.0922199   10.8447836
##   [6]   61.0625797   60.6238715   28.0263245  525.9728011    5.6245745
##  [11]  193.8618630   92.6478274   54.2159592   72.7573431   36.3256400
##  [16]  163.9492380  301.5888589   92.3672471  114.0090578  779.6323895
##  [21]  162.6688776  186.3455328  286.5542589  260.0782226  225.4442969
##  [26]  309.8170925  288.7666017  303.0259959    6.1289508  115.3431409
##  [31]  418.2413221   97.7413725   50.0764897  501.0183960  237.1159344
##  [36]  152.5462317  121.4070054  242.0578887  113.5749280  217.8739262
##  [41]   81.1009814 1391.2196916  163.1651387   43.5138193  212.2883681
##  [46]  433.7656172  263.1052584  111.2032445  525.7874697  253.1556158
##  [51]   17.4777892   59.0759088  205.8974175   60.4866913  188.0373242
##  [56]  364.2177522  108.9260791  497.1731492  202.1319406  197.6454681
##  [61]  198.3068849   54.9210861  301.5596009    8.1200944   19.0288576
##  [66]   19.0169774   54.0947092   57.0661779  187.6108522  178.2725723
##  [71]  316.8691053  312.5297703  489.2985590  293.5525688   73.3161402
##  [76]   46.0163067   89.9994186    8.1554311   61.6752642  124.1718549
##  [81]  110.4645995   41.6835881  867.9290586  358.2884804  132.2455350
##  [86]  277.7135952  333.9915380  240.1560421  282.3145770  296.6094203
##  [91]    0.8873095  213.9141217   57.8732734  229.9731401  215.1031948
##  [96]   12.9988306   92.7354163  302.9877556   50.1514024  358.2560169
## [101]   89.3689614   45.5383766  228.0624414   11.5123977   77.7967925
## [106]  181.9213834   80.3709037  145.3184269   36.4032649  169.1714174
## [111]   36.6639967  188.8935583   62.3888984  254.7597344   61.4406129
## [116]  309.6656334   28.1164831  347.8777394    5.7993706  251.4727852
## [121]   38.5459178  337.9084528  340.2645313  162.6483976   67.2848731
## [126]  636.2493386   77.5011723  212.3583856  256.3891476  123.8422779
## [131]   37.7821987   88.1282741   71.9146891  668.2313623  245.7981678
## [136]  208.6509301   57.2923309   16.2371305  569.7996390  379.7349075
## [141]  128.0775694  310.5000263  117.0770786   18.0683408   62.6318853
## [146]  339.5340945   51.3407411  181.4750065   86.6465401  248.6687270
## [151]   34.3973088  303.2331141   11.9888241  110.0826443  333.9195485
## [156]  252.8818215  249.8198414   90.1582551    6.3454269   29.5256296
## [161]  200.3524038  208.8362501  722.9648793    1.0854418    0.8425968
## [166]  327.9779442  104.3111059   90.7482162    9.9473581   99.7807604
## [171]  286.1427808  246.8511489  275.2085048  408.6825273  274.7632610
## [176]  170.5721740  519.1720946  430.2159763  100.8646645   13.2447535
## [181]  109.8062123  842.3151969  107.6803615   88.5126769   50.2126767
## [186]  134.8275379  185.8279358  141.1243505  214.5920976  116.8431436
## [191]  129.5366119  314.7959381   19.6646086   78.7123768  528.6954464
## [196]  550.2127180    4.6637687   91.7565059  128.8981957  183.3279322
## [201]  219.5109313   15.9678682  316.9661835   30.6566570  285.2693729
## [206]   21.8072134   43.2405656  129.3616178  296.5007489  372.1276161
## [211]   41.2044846  109.5635883  372.9961608  695.0781452  254.5863081
## [216]  179.5723245   60.8610925   27.9328013  179.0958601   49.8420119
## [221]  103.8711626   14.5381179   24.7794867  501.3942307  399.4019485
## [226]   39.6241597  533.6685888  280.9722109  533.0505989  286.0831891
## [231]   52.8829352  144.7618858  202.6531899   69.7586845  185.3949593
## [236]  127.9390592  304.3735862  370.9042421   43.0239976  741.8555723
#3. Plot Histogram 
hist(exp_data, breaks=30, main="Histogram Distribusi Eksponensial - Curah Hujan Kec. Sidemen", xlab= "Curah Hujan (mm/bulan)", ylab="Densitas", col="lightcoral", freq=FALSE )

Histogram menunjukkan distribusi yang miring ke kanan (right-skewed), yang merupakan ciri khas distribusi eksponensial. Ini menginterpretasikan bahwa curah hujan rendah lebih sering terjadi dibandingkan curah hujan sangat tinggi dalam data bulanan di Kecamatan Sidemen. Kondisi ini konsisten dengan karakteristik iklim wilayah Karangasem yang memiliki bulan-bulan kering cukup panjang dalam setahun.

C. Studi Kasus

Waktu Antar Kerusakan Mesin Produski

Konteks: Mesin pengemasan dodol mengalami kerusakan secara acak. Waktu antar kerusakan dimodelkan dengan distribusi eksponensial (pasangan kontinu dari Poisson). Jika rata-rata 3 kerusakan/bulan (Poisson), maka waktu antar kerusakan rata-rata= 1/3 bulan=10 hari. Variabel X: waktu (hari) antar kejadian kerusakan mesin Parameter : mu = 10 hari (rate=1/10)

set.seed(42)
n <- 100   # 100 kejadian kerusakan
mu <- 10   #rata-rata waktu antar kerusakan (hari)
rate <- 1/mu

X <- rexp(n, rate=rate)

hist(X, breaks=30, fre=FALSE, 
     main= "Distribusi Eksponensial: Waktu Antar Kerusakan Mesin", 
     xlab= "Waktu antar kerusakan",
     col="lightcoral", border= "white")

cat("Rata-rata waktu antar kerusakan:", round(mean(X), 2), "hari\n")
## Rata-rata waktu antar kerusakan: 11.24 hari
cat("P(mesin rusak dalam 7 hari)  :", round(pexp(7,rate),4),"\n")
## P(mesin rusak dalam 7 hari)  : 0.5034

Interpretasi Output

Histogram menunjukkan distribusi miring ke kanan (right-skewed), khas distribusi eksponensial. Kerusakan mesin yang terjadi dalam waktu dekat (0-10 hari) jauh lebih sering dibanding kerusakan yang terjadi setelah waktu lama. Ini mencerminkan sifat nyata mesin produksi UMKM yang rentan mengalami gangguan berulang dalam jangka pendek.

Rata-rata waktu antar kerusakan: 11,24 hari Nilai simulasi 11,24 hari mendekati nilai teoritis mu= 10 hari. Selisi kecil ini wajar karena simulasi hanya menggunakan n=100, bukan populasi tak terbatas. Semakin besar n, hasil simulasi akan semakin mendekati nilai teoritis.

P(mesin rusak dalam 7 hari)=0,5034 Dihitung menggunakan pexp(7, rate-0.1) artinya peluang mesin mengalami kerusakan dalam 7 hari pertama adalah 50,34%. Secara praktis, ini berarti 1 dari 2 mesin kemungkinan besar sudah mengalami gangguan sebelum mencapai hari ke-7. Menjadi sinyal penting bagi UMKM untuk menjadwalkan perawatan rutin etiap 5-7 hari agar proses pengemasan 130 pack dodol per hari tidak terganggu.