Punto 1.

Suponga que usted tiene a su cargo la responsabilidad de recepción de materia prima en una prestigiosa empresa de la región. En un acuerdo al que se ha llegado con uno de sus proveedores, quien envía la materia prima en lotes de 150 unidades, se estableció como un lote de muy buena calidad aquel que presente un porcentaje de unidades defectuosas cercano al 5%. Por otro lado el departamento de producción no está dispuesto a tolerar ningún lote con más del 10% de unidades defectuosas. Por tanto, usted ha decidido trabajar bajo el siguiente esquema:

Como un lote se considera bueno si tiene menos del 5%, se tomará un tamaño de muestra n y se aceptara el lote si tiene menos del 5% de unidades defectuosas, por ejemplo:

(n=100, c=5), (n= 80, c=4), (n= 40, c=2)

A. Evalué en cada caso los riesgos del productor y consumidor.
B. ¿Se puede pensar entonces que un plan de muestreo con la condición de proporcionalidad en AQL es equivalente, sin importar el tamaño de muestra?.

A. Riesgos del productor y consumidor.

Teniendo en cuenta los siguientes datos:

AQL = 0.05
LTPD = 0.1

1. (n=100, c=5)

Método a usar:

metodo <- function(n, N) {  r <- n / N
  if (r > 0.1) {  return("Hipergeométrica")  }
  if (r <= 0.1 && n * r > 1) {  return("Poisson")  }
  if (r <= 0.1) {return("Binomial")}}

metodo(100,150)

## [1] "Hipergeométrica"

Riesgos del productor

𝛼= riesgo productor
𝛼= p(rechazar|AQL)
𝛼= p(d>c|AQL)
𝛼= p(x>5| 0.05)
𝛼= 1 - p(x<=5)
𝛼= 1 - [p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)]
\(\alpha = 1 - \sum_{x=0}^{5} \frac{\binom{8}{x}\binom{142}{100-x}}{\binom{150}{100}}\)

Riesgos del consumidor

𝛃= riesgo consumidor
𝛃= p(aceptar|LTPD)
𝛃= p(d<=C|LTPD)
𝛃= p(x<=5| 0.10)
𝛃= p(x<=5)
𝛃= [p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)]
\(\beta = \sum_{x=0}^{5} \frac{\binom{15}{x}\binom{135}{100-x}}{\binom{150}{100}}\)

N <- 150
n <- 100
c <- 5

# Riesgo del productor
alpha <- 1 - phyper(c, 8, 142, n)
alpha

## [1] 0.4654046

# Riesgo del consumidor
beta <- phyper(c, 15, 135, n)
beta

## [1] 0.005796643

Obtenemos los siguientes resultados:

Riesgo del productor = 46.54%
Riesgo del consumidor = 0.57%

2. (n= 80, c=4)

Método a usar:

metodo <- function(n, N) {  r <- n / N
  if (r > 0.1) {  return("Hipergeométrica")  }
  if (r <= 0.1 && n * r > 1) {  return("Poisson")  }
  if (r <= 0.1) {return("Binomial")}}

metodo(80,150)

## [1] "Hipergeométrica"

Riesgos del productor

𝛼= riesgo productor
𝛼= p(rechazar|AQL)
𝛼= p(d>c|AQL)
𝛼= p(x>4| 0.05)
𝛼= 1 - p(x<=4)
𝛼= 1 - [p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)]
\(\alpha = 1 - \sum_{x=0}^{4} \frac{\binom{8}{x}\binom{142}{80-x}}{\binom{150}{80}}\)

Riesgos del consumidor

𝛃= riesgo consumidor
𝛃= p(aceptar|LTPD)
𝛃= p(d<=C|LTPD)
𝛃= p(x<=4| 0.10)
𝛃= p(x<=4)
𝛃= [p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)]
\(\beta = \sum_{x=0}^{4} \frac{\binom{15}{x}\binom{135}{80-x}}{\binom{150}{80}}\)

N <- 150
n <- 80
c <- 4

# Riesgo del productor
alpha <- 1 - phyper(c, 8, 142, n)
alpha

## [1] 0.4361659

# Riesgo del consumidor
beta <- phyper(c, 15, 135, n)
beta

## [1] 0.02748011

Obtenemos los siguientes resultados:

Riesgo del productor = 43.61%
Riesgo del consumidor = 2.74%

3. (n= 40, c=2)

Método a usar:

metodo <- function(n, N) {  r <- n / N
  if (r > 0.1) {  return("Hipergeométrica")  }
  if (r <= 0.1 && n * r > 1) {  return("Poisson")  }
  if (r <= 0.1) {return("Binomial")}}

metodo(40,150)

## [1] "Hipergeométrica"

Riesgos del productor

𝛼= riesgo productor
𝛼= p(rechazar|AQL)
𝛼= p(d>c|AQL)
𝛼= p(x>2| 0.05)
𝛼= 1 - p(x<=2)
𝛼= 1 - [p(0)+p(1)+p(2)]
\(\alpha = 1 - \sum_{x=0}^{2} \frac{\binom{8}{x}\binom{142}{40-x}}{\binom{150}{40}}\)

Riesgos del consumidor

𝛃= riesgo consumidor
𝛃= p(aceptar|LTPD)
𝛃= p(d<=C|LTPD)
𝛃= p(x<=2| 0.10)
𝛃= p(x<=2)
𝛃= [p(0)+p(1)+p(2)]
\(\beta = \sum_{x=0}^{2} \frac{\binom{15}{x}\binom{135}{40-x}}{\binom{150}{40}}\)

N <- 150
n <- 40
c <- 2

# Riesgo del productor
R3 <- 1 - phyper(c, 8, 142, n)
R3

## [1] 0.3621672

# Riesgo del consumidor
R3 <- phyper(c, 15, 135, n)
R3

## [1] 0.1798492

Obtenemos los siguientes resultados:

Riesgo del productor = 36.21%
Riesgo del consumidor = 17.98%

B. Se mantiene la equivalencia?

No, no se puede afirmar que los planes de muestreo sean equivalentes, aunque mantengan la proporcionalidad en el AQL. La gráfica lo demuestra claramente, ya que las tres curvas características de operación no coinciden entre sí. Cada plan presenta una forma distinta, lo que indica que el comportamiento estadístico cambia al modificar el tamaño de muestra.

N <- 150
p <- seq(0, 0.15, by=0.001)

P1 <- P2 <- P3 <- numeric(length(p))

for(i in 1:length(p)){D <- round(N * p[i])
  
  P1[i] <- phyper(5, D, N-D, 100)
  P2[i] <- phyper(4, D, N-D, 80)
  P3[i] <- phyper(2, D, N-D, 40)}

plot(p, P1, type="l", col="#66a1ff", lwd=2,
     ylab="Probabilidad de aceptación",
     xlab="Proporción defectuosa")

lines(p, P2, col="#ff6675", lwd=2)
lines(p, P3, col="#66ffb5", lwd=2)

legend("topright",legend=c("n=100,c=5",
                           "n=80,c=4",
                           "n=40,c=2"),
       col=c("#66a1ff","#ff6675","#66ffb5"), lwd=2)

Punto 2.

Construya una Curva característica de operación para un plan de muestreo simple en el cual el tamaño del lote es de 100 unidades, tamaño de muestra 50, y numero de aceptación 2. Utilice las tres distribuciones de probabilidad.

A. ¿Se presentan discrepancias entre las curvas?
B. ¿Que sucede si el tamaño del lote es de 2000 unidades?

A. Curva característica de operación.

N <- 100
n <- 50
c <- 2

p <- seq(0, 0.20, by = 0.001)

binomial <- pbinom(c, n, p)
poisson <- ppois(c, n*p)
hiper <- numeric(length(p))

for(i in 1:length(p)){D <- round(N*p[i])

hiper[i] <- phyper(c, D, N-D, n)}


plot(p, binomial, type="l", lwd=2,
     xlab="Proporción defectuosa",
     ylab="Probabilidad de aceptación")

lines(p, poisson, lwd=2, lty=2)
lines(p, hiper, lwd=2, lty=3)

legend("topright",
       legend=c("Binomial","Poisson","Hipergeométrica"),
       lwd=2,
       lty=c(1,2,3))

Debido a su naturaleza discreta (hipergeométrica), presenta una forma escalonada, lo que genera cambios más bruscos en la probabilidad de aceptación ante pequeñas variaciones en la proporción defectuosa. Esto implica que, para ciertos valores de proporción de defectos, la probabilidad de aceptación del lote disminuye más rápidamente en comparación con las otras distribuciones.

B. N=2000

N <- 2000
n <- 50
c <- 2

p <- seq(0, 0.20, by = 0.001)

binomial <- pbinom(c, n, p)
poisson <- ppois(c, n*p)
hiper <- numeric(length(p))

for(i in 1:length(p)){D <- round(N*p[i])
hiper[i] <- phyper(c, D, N-D, n)}


plot(p, binomial, type="l", lwd=2,
     xlab="Proporción defectuosa",
     ylab="Probabilidad de aceptación")

lines(p, poisson, lwd=2, lty=2)
lines(p, hiper, lwd=2, lty=3)

legend("topright",
       legend=c("Binomial","Poisson","Hipergeométrica"),
       lwd=2,
       lty=c(1,2,3))

Observamos que cuando el tamaño del lote aumenta (𝑁 = 2000), las tres curvas prácticamente coinciden. Esto ocurre porque la muestra representa una parte muy pequeña del lote (n = 50), en estas condiciones, la distribución hipergeométrica se comporta casi igual que la binomial, ya que el lote es lo suficientemente grande como para considerarse “infinito” en términos prácticos. Por eso, las diferencias que se observaban cuando (N = 100) desaparecen. Además, la aproximación Poisson también se ajusta bien, por lo que las tres curvas terminan superpuestas.

En conclusión, cuando el tamaño del lote es grande respecto a la muestra, no se presentan discrepancias significativas entre las distribuciones.