Simulación de la distribución Weibull

La función de supervivencia es \(S(t)=\exp{-(\lambda t)^\gamma}\). Ya que \(0\leq S(t)\leq 1\), se puede simular usando el método de la transformación inversa. \[T=\frac{(-\log{U})^{1/\gamma}}{\lambda}\] donde \(U\) es una distribución uniforme con rango en \((0,1)\).

Los 100 datos simulados corresponden a una distribución Weibull con \(\lambda=0.3\) y \(\gamma=1.8\).

Simulación y cálculo de \(S_{KM}(t)\)

Tabla

time	n.risk	n.event	n.censor	surv	std.err	upper	lower
0.190	100	1	0	0.99	0.010	1.000	0.971
0.325	99	1	0	0.98	0.014	1.000	0.953
0.539	98	1	0	0.97	0.018	1.000	0.937
0.589	97	1	0	0.96	0.020	0.999	0.922
0.607	96	1	0	0.95	0.023	0.994	0.908
0.707	95	1	0	0.94	0.025	0.988	0.895
0.942	94	1	0	0.93	0.027	0.981	0.881
0.956	93	1	0	0.92	0.029	0.975	0.868
0.982	92	1	0	0.91	0.031	0.968	0.856
0.993	91	1	0	0.90	0.033	0.961	0.843
0.997	90	1	0	0.89	0.035	0.953	0.831
1.012	89	1	0	0.88	0.037	0.946	0.819
1.029	88	1	0	0.87	0.039	0.938	0.807
1.047	87	1	0	0.86	0.040	0.931	0.795
1.176	86	1	0	0.85	0.042	0.923	0.783
1.382	85	1	0	0.84	0.044	0.915	0.771
1.392	84	1	0	0.83	0.045	0.907	0.760
1.403	83	1	0	0.82	0.047	0.899	0.748
1.454	82	1	0	0.81	0.048	0.891	0.737
1.469	81	1	0	0.80	0.050	0.882	0.725
1.474	80	1	0	0.79	0.052	0.874	0.714
1.501	79	1	0	0.78	0.053	0.866	0.703
1.502	78	1	0	0.77	0.055	0.857	0.692
1.528	77	1	0	0.76	0.056	0.848	0.681
1.632	76	1	0	0.75	0.058	0.840	0.670
1.649	75	1	0	0.74	0.059	0.831	0.659
1.654	74	1	0	0.73	0.061	0.822	0.648
1.837	73	1	0	0.72	0.062	0.814	0.637
1.844	72	1	0	0.71	0.064	0.805	0.626
1.910	71	1	0	0.70	0.065	0.796	0.616
1.919	70	1	0	0.69	0.067	0.787	0.605
1.973	69	1	0	0.68	0.069	0.778	0.594
2.013	68	1	0	0.67	0.070	0.769	0.584
2.025	67	1	0	0.66	0.072	0.760	0.573
2.060	66	1	0	0.65	0.073	0.751	0.563
2.064	65	1	0	0.64	0.075	0.741	0.553
2.075	64	1	0	0.63	0.077	0.732	0.542
2.127	63	1	0	0.62	0.078	0.723	0.532
2.174	62	1	0	0.61	0.080	0.713	0.522
2.242	61	1	0	0.60	0.082	0.704	0.511
2.320	60	1	0	0.59	0.083	0.695	0.501
2.409	59	1	0	0.58	0.085	0.685	0.491
2.458	58	1	0	0.57	0.087	0.676	0.481
2.499	57	1	0	0.56	0.089	0.666	0.471
2.530	56	1	0	0.55	0.090	0.657	0.461
2.598	55	1	0	0.54	0.092	0.647	0.451
2.669	54	1	0	0.53	0.094	0.637	0.441
2.817	53	1	0	0.52	0.096	0.628	0.431
2.828	52	1	0	0.51	0.098	0.618	0.421
2.866	51	1	0	0.50	0.100	0.608	0.411
2.870	50	1	0	0.49	0.102	0.598	0.401
2.912	49	1	0	0.48	0.104	0.589	0.391
2.926	48	1	0	0.47	0.106	0.579	0.382
2.948	47	1	0	0.46	0.108	0.569	0.372
2.977	46	1	0	0.45	0.111	0.559	0.362
2.988	45	1	0	0.44	0.113	0.549	0.353
3.011	44	1	0	0.43	0.115	0.539	0.343
3.091	43	1	0	0.42	0.118	0.529	0.334
3.106	42	1	0	0.41	0.120	0.519	0.324
3.110	41	1	0	0.40	0.122	0.509	0.315
3.132	40	1	0	0.39	0.125	0.498	0.305
3.253	39	1	0	0.38	0.128	0.488	0.296
3.274	38	1	0	0.37	0.130	0.478	0.287
3.300	37	1	0	0.36	0.133	0.468	0.277
3.328	36	1	0	0.35	0.136	0.457	0.268
3.415	35	1	0	0.34	0.139	0.447	0.259
3.458	34	1	0	0.33	0.142	0.436	0.250
3.541	33	1	0	0.32	0.146	0.426	0.240
3.582	32	1	0	0.31	0.149	0.415	0.231
3.594	31	1	0	0.30	0.153	0.405	0.222
3.758	30	1	0	0.29	0.156	0.394	0.213
3.767	29	1	0	0.28	0.160	0.383	0.204
3.845	28	1	0	0.27	0.164	0.373	0.196
3.896	27	1	0	0.26	0.169	0.362	0.187
4.022	26	1	0	0.25	0.173	0.351	0.178
4.038	25	1	0	0.24	0.178	0.340	0.169
4.108	24	1	0	0.23	0.183	0.329	0.161
4.117	23	1	0	0.22	0.188	0.318	0.152
4.196	22	1	0	0.21	0.194	0.307	0.144
4.223	21	1	0	0.20	0.200	0.296	0.135
4.294	20	1	0	0.19	0.206	0.285	0.127
4.436	19	1	0	0.18	0.213	0.273	0.118
4.538	18	1	0	0.17	0.221	0.262	0.110
4.735	17	1	0	0.16	0.229	0.251	0.102
4.784	16	1	0	0.15	0.238	0.239	0.094
4.826	15	1	0	0.14	0.248	0.228	0.086
4.865	14	1	0	0.13	0.259	0.216	0.078
4.946	13	1	0	0.12	0.271	0.204	0.071
4.979	12	1	0	0.11	0.284	0.192	0.063
5.040	11	1	0	0.10	0.300	0.180	0.056
5.162	10	1	0	0.09	0.318	0.168	0.048
5.261	9	1	0	0.08	0.339	0.156	0.041
5.262	8	1	0	0.07	0.364	0.143	0.034
5.365	7	1	0	0.06	0.396	0.130	0.028
5.382	6	1	0	0.05	0.436	0.117	0.021
6.230	5	1	0	0.04	0.490	0.104	0.015
6.237	4	1	0	0.03	0.569	0.091	0.010
6.326	3	1	0	0.02	0.700	0.079	0.005
6.900	2	1	0	0.01	0.995	0.070	0.001
10.117	1	1	0	0.00	Inf	NA	NA

Modelo linealizado

El moddelo linealizado \[\log{t_i}\sim\log{[-(\log{S(t_i)})]}\] permite estimar

\[\hat{\gamma}=\frac{1}{\hat{\beta}}\text{ y }\hat{\lambda}=\exp{-\hat{\beta}_0}\]

Call:
lm(formula = Y ~ X)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.31955 -0.01763  0.00396  0.02536  0.19496 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 1.188652   0.006608   179.9   <2e-16 ***
X           0.550267   0.004970   110.7   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.05964 on 97 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9921,    Adjusted R-squared:  0.9921 
F-statistic: 1.226e+04 on 1 and 97 DF,  p-value: < 2.2e-16

Los valores de \(\hat{\beta_0}=\) 1.1886521 y de \(\hat{\beta_1}=\) 0.5502668

\(\hat{\gamma}=1/\hat{\beta_1}=\) 1.8173002

\(\hat{\lambda}=\exp{(-\hat{\beta_0})}=\) 0.3046316