Simulasi Variabel Random

1. Buat simulasi untuk distribusi diskrit dan distribusi kontinu.

STUDI KASUS 1 — Distribusi Diskrit

Latar Belakang

Sebuah kantor pelayanan ingin mengetahui pola kedatangan pelanggan per jam. Berdasarkan data historis, rata-rata pelanggan yang datang adalah 5 orang per jam. Distribusi Poisson adalah distribusi peluang diskrit yang memodelkan jumlah kejadian (count) dalam suatu interval waktu/ruang ketika kejadian terjadi secara acak, independen dan dengan laju rata-rata konstan. Karena kedatangan bersifat acak dan berupa hitungan, maka dimodelkan dengan Distribusi Poisson.

set.seed(123)

# simulasi Poisson
kedatangan <- rpois(100, lambda = 5)

# ringkasan
mean(kedatangan)

## [1] 5.01

table(kedatangan)

## kedatangan
##  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 
##  1  1  9 15 19 16 15 10  8  4  1  1

# grafik
barplot(table(kedatangan),
        main = "Distribusi Kedatangan Pelanggan",
        xlab = "Jumlah pelanggan per jam",
        ylab = "Frekuensi",
        col = "lightgreen")

# Jika rata-rata simulasi mendekati 5, maka model Poisson sesuai untuk menggambarkan pola kedatangan.

STUDI KASUS 2 — Distribusi Kontinu

Latar belakang: Waktu pelayanan pelanggan di loket rata-rata 10 menit dengan simpangan baku 2 menit. Karena data berupa waktu kontinu, digunakan Distribusi Normal.

set.seed(123)

# simulasi normal
waktu <- rnorm(200, mean = 10, sd = 2)

# ringkasan
mean(waktu)

## [1] 9.982859

sd(waktu)

## [1] 1.88632

# histogram
hist(waktu,
     main = "Distribusi Waktu Pelayanan",
     xlab = "Menit",
     col = "skyblue")

# proporsi > 12 menit
mean(waktu > 12)

## [1] 0.14

Jika histogram berbentuk lonceng, maka asumsi normal terpenuhi.

2. Buat studi kasus sendiri yang melibatkan simulasi variabel random dari distribusi yang telah dipelajari.

#STUDI KASUS SIMULASI VARIABEL RANDOM # Judul: Simulasi Waktu Pelayanan dan Jumlah Kedatangan Pelanggan pada Sistem Antrian Minimarket

1. Pendahuluan

Dalam sistem pelayanan minimarket, performa kasir dipengaruhi oleh dua komponen acak utama, yaitu, jumlah pelanggan yang datang per jam (diskrit), waktu pelayanan tiap pelanggan (kontinu). Untuk memahami perilaku sistem secara probabilistik, dilakukan simulasi variabel random menggunakan distribusi yang sesuai.

2. Rumusan Masalah

Bagaimana distribusi jumlah pelanggan yang datang per jam?

Bagaimana distribusi waktu pelayanan kasir?

Berapa probabilitas antrean melebihi kapasitas tertentu?

3. Simulasi Monte Carlo

# =================================
# SIMULASI SISTEM MINIMARKET
# =================================

set.seed(123)

n <- 1000

# -----------------------------
# 1. Simulasi jumlah pelanggan
# -----------------------------
lambda <- 8
pelanggan <- rpois(n, lambda)

# -----------------------------
# 2. Simulasi waktu pelayanan
# -----------------------------
mu <- 5
sigma <- 1
pelayanan <- rnorm(n, mean = mu, sd = sigma)

# pastikan tidak negatif
pelayanan[pelayanan < 0] <- 0.1

# -----------------------------
# Statistik deskriptif
# -----------------------------
mean(pelanggan)

## [1] 7.968

var(pelanggan)

## [1] 7.834811

mean(pelayanan)

## [1] 5.011933

sd(pelayanan)

## [1] 1.001516

# -----------------------------
# Probabilitas penting
# -----------------------------

# P(jumlah pelanggan > 12)
prob_pelanggan <- mean(pelanggan > 12)

# P(waktu pelayanan > 7 menit)
prob_pelayanan <- mean(pelayanan > 7)

prob_pelanggan

## [1] 0.063

prob_pelayanan

## [1] 0.026

# -----------------------------
# Visualisasi
# -----------------------------

# Poisson
barplot(table(pelanggan),
        main = "Distribusi Jumlah Pelanggan",
        xlab = "Jumlah pelanggan",
        ylab = "Frekuensi",
        col = "lightgreen")

# Normal
hist(pelayanan,
     probability = TRUE,
     main = "Distribusi Waktu Pelayanan",
     xlab = "Menit",
     col = "lightblue")

lines(density(pelayanan), col = "red", lwd = 2)

# Interpretasi Hasil # Hasil simulasi menunjukkan bahwa:

Rata-rata jumlah pelanggan mendekati parameter Poisson (λ = 8), yang mengindikasikan simulasi konsisten dengan model teoritis.

Waktu pelayanan mengikuti pola distribusi normal dengan pusat sekitar 5 menit.

Probabilitas jumlah pelanggan melebihi 12 orang relatif kecil, sehingga kapasitas sistem masih memadai dalam sebagian besar kondisi.

Distribusi waktu pelayanan menunjukkan variasi moderat, yang dapat mempengaruhi panjang antrean pada jam sibuk.

Kesimpulan

Simulasi Monte Carlo berhasil merepresentasikan perilaku sistem antrian minimarket. Distribusi Poisson sesuai untuk memodelkan kedatangan pelanggan, sedangkan distribusi normal cocok untuk waktu pelayanan. Pendekatan ini dapat digunakan sebagai dasar pengambilan keputusan dalam manajemen kapasitas pelayanan.