Simulasi untuk distribusi diskrit dan distribusi kontinu

Distribusi Diskrit (Distribusi Binomial)

# Peluang munculnya angka 5 sebanyak 100 kali dalam 700 kali pelemparan dadu 
set.seed(456)
n <- 700
n_trials <- 100
probabilitas <- 1/6
binom_data <- rbinom(n, size = n_trials, prob = probabilitas)

# Histogram
hist(binom_data, breaks = 30, main = "Peluang munculnya angka 5 sebanyak 100 kali", xlab = "Nilai", col = "thistle2")

Histogram tersebut menunjukkan bahwa jumlah kemunculan angka 5 dalam 700 kali pelemparan dadu mendekati bentuk normal. Pusat distribusi berada di sekitar rata-rata, sehingga sebagian besar hasil simulasi berada di sekitar nilai tersebut. Kemunculan angka 5 sebanyak 100 kali masih mungkin terjadi, tetapi berada di sisi kiri rata-rata sehingga peluangnya lebih kecil dibandingkan nilai yang mendekati pusat distribusi. Grafik ini menunjukkan bahwa hasil percobaan cenderung mendekati nilai harapan dengan penyimpangan kecil.

Distribusi Kontinu (Distribusi Poisson)

# Peluang pelanggan yang dilayani dalam waktu kurang dari 2 menit dari 500 pelanggan

set.seed(789)
n <- 500
waktu_tunggu <- 5
lambda <- 1/waktu_tunggu
waktu_layanan <- rexp(n, rate = lambda)

# Hisogram
hist(waktu_layanan, breaks = 30, main = "Histogram Waktu Pelayanan Pelanggan", xlab = "Waktu", col = "violetred3")

Histogram menunjukkan distribusi waktu pelayanan yang miring ke kanan (right-skewed). Dengan frekuensi tertinggi di interval awal, menunjukkan efisiensi bahwa peluang pelanggan dilayani dalam waktu singkat (kurang dari 2 menit) memiliki frekuensi yang tinggi dibandingkan waktu lainnya. Hal ini berarti meskipun ada beberapa pelanggan yang dilayani hingga 40 menit, mayoritas pelanggan mendapatkan pelayanan cepat di bawah rata-rata.

Studi Kasus dari Simulasi Variabel Random

Jumlah Kecelakaan Lalu Lintas (Distribusi Poisson)

# Simulasi Jumlah Kecelakaan selama 2 bulan
set.seed(123)
n_hari <- 90
lambda <- 4
kecelakaan_data <- rpois(n_hari, lambda)
kecelakaan_data
##  [1]  3  6  3  6  7  1  4  7  4  4  8  4  5  4  2  7  3  1  3  8  7  5  5 10  5
## [26]  5  4  4  3  2  8  7  5  6  1  4  5  2  3  2  2  3  3  3  2  2  2  4  3  6
## [51]  1  4  6  2  4  2  2  5  7  3  5  2  3  3  6  4  6  6  6  4  5  5  5  0  4
## [76]  2  3  4  3  2  3  5  3  6  2  4  9  7  6  2
# Histogram
hist(kecelakaan_data, breaks = 30, main = "Histogram Jumlah Kecelakaan", xlab = "Jumlah kejadian", col = "peachpuff")

# Rata-rata jumlah kecelakaan simulasi
mean_kecelakaan <- mean(kecelakaan_data)
cat ("Rata-rata jumlah kecelakaan simulasi:", mean_kecelakaan, "\n")
## Rata-rata jumlah kecelakaan simulasi: 4.155556
# Probabilitas jumlah kecelakaan terjadi lebih dari 6 kali
prob_above_7 <- sum(kecelakaan_data > 6) / n_hari
cat("Probabilitas jumlah kecelakaan yang terjadi lebih dari 6 kali:", prob_above_7, "\n")
## Probabilitas jumlah kecelakaan yang terjadi lebih dari 6 kali: 0.1333333

Berdasarkan data simulasi di atas didapat bahwa rata-rata kecelakaan yang terjadi per-harinya selama 3 bulan adalah 4 sampai 5 kali dengan probabilitas jumlah kecelakaan terjadi lebih dari 6 kali sebesar 11.7%.

Waktu Tunggu Bus di Halte (Distribusi Uniform)

# Simulasi waktu tunggu bus pada 100 penumpang
set.seed(234)
n_penumpang <- 100
a <- 0
b <- 10
waktu_data <- runif(n_penumpang, min = a, max = b)
waktu_data
##   [1] 7.45619998 7.81712425 0.20037114 7.76085387 0.66910093 6.44795124
##   [7] 9.29385959 7.17642189 9.27736510 2.84230120 5.55724930 5.47701653
##  [13] 5.82847855 5.82989913 0.01198341 4.41117854 3.13152501 7.40014466
##  [19] 1.38326844 8.71777777 5.23069807 5.79103060 8.65198117 6.17423051
##  [25] 4.89781426 3.74799914 6.96669818 1.91712539 8.38926789 8.82509093
##  [31] 6.19228172 2.52313021 1.76166846 7.04828699 5.33483977 6.88132279
##  [37] 7.00826685 1.53472615 5.06330399 3.54719698 5.81351371 9.07433954
##  [43] 8.45252766 2.32284784 6.58729784 7.77130681 2.40331854 6.28367720
##  [49] 5.93134023 1.26307934 6.35001690 3.79977084 1.53911768 8.07731041
##  [55] 0.79001154 1.44295894 0.86308608 4.61617460 8.08697054 6.82467268
##  [61] 3.68178468 4.89342699 2.54865682 8.64698488 4.59867718 3.94186412
##  [67] 7.59254910 5.04132826 6.69326747 6.02171385 9.32822609 3.46570028
##  [73] 5.85601371 3.12514070 0.67413145 3.80074465 5.49735860 3.89323471
##  [79] 1.49613038 1.22093717 5.87229065 5.35991920 3.30662031 8.44831921
##  [85] 9.30381409 6.44907024 2.88998327 9.56068176 3.31446765 8.23270380
##  [91] 8.53579982 8.54852773 1.52149354 1.46600247 5.15918863 9.93590470
##  [97] 3.71550455 3.72282892 6.88985377 5.12350604
# Histogram
hist(waktu_data, main = "Histogram  Waktu  Tunggu Penumpang", xlab = "Waktu Tunggu", col = "lightblue")

# Rata-rata waktu tunggu
mean_waktu_tunggu <- mean(waktu_data)
cat("Rata-rata waktu tunggu bus:", mean_waktu_tunggu, "\n")
## Rata-rata waktu tunggu bus: 5.218447
# Probabilitas penumpang menunggu kurang dari 5 menit
prob <- (5-a) / (b-a)
cat("Probabilitas menunggu kurang dari 5 menit:", prob, "\n" )
## Probabilitas menunggu kurang dari 5 menit: 0.5

Berdasarkan data simulasi di atas didapat bahwa rata-rata waktu tunggu bus pada 100 penumpang adalah 5 menit dan probabilitas jumlah penumpang yang menunggu bus kurang dari 7 menit adalah 50%.

PRAKTIKUM

Simulasi Sederhana: Variabel Random Uniform

# Simulasi 1000 variabel random dari distribusi uniform
set.seed(123)
n <- 1000
uniform_data <- runif(n, min = 0, max = 1)

#histogram
hist(uniform_data, breaks = 30, main = "Histogram Distribusi Uniform", xlab = "Nilai", col = "lightpink1")

## Simulasi Distribusi Diskrit: Distribusi Binomial

# Simulasi 1000 variabel random dari distribusi binomial
n_trials <- 10
p <- 0.5
binomial_data <- rbinom(n, size = n_trials, prob = p)

# histogram
hist(binomial_data, breaks = 30, main = "Histogram Distribusi Binomial", xlab = "Jumlah Sukses", col = "lightblue2")

## Simulai Distribusi Kontinu: Distribusi Normal

# simulasi 1000 variabel random dari distribusi normal
mu <- 0 # mean
sigma <- 1 #  standar deviasi
normal_data <- rnorm(n, mean = mu, sd = sigma)

# Histogram
hist(normal_data, breaks = 30, main = "Histogram Distribusi Normal", xlab = "Nilai", col = "mediumpurple1")

## Distribusi Poisson (Diskrit)

lambda <- 3
poisson_data <- rpois(n, lambda)

# Histogram
hist(poisson_data, breaks = 30, main = "Histogram  Distribusi Poisson", xlab = "Jumlah kejadian", col = "peachpuff1")

## Distribusi Eksponensial (Kontinu)

rate <- 1
exp_data <- rexp(n, rate)

#Histogram
hist(exp_data, breaks = 30, main = "Histogram Distribusi  Eksponensial", xlab = "Nilai", col = "slategray3")

Studi Kasus

Studi Kasus 1: Simulasi Pendapatan Bulanan

set.seed(123)
n_employees <- 700
mean_income <- 8000000
sd_income <- 500000
income_data <- rnorm(n_employees, mean = mean_income, sd = sd_income)
income_data
##   [1] 7719762 7884911 8779354 8035254 8064644 8857532 8230458 7367469 7656574
##  [10] 7777169 8612041 8179907 8200386 8055341 7722079 8893457 8248925 7016691
##  [19] 8350678 7763604 7466088 7891013 7486998 7635554 7687480 7156653 8418894
##  [28] 8076687 7430932 8626907 8213232 7852464 8447563 8439067 8410791 8344320
##  [37] 8276959 7969044 7847019 7809764 7652647 7896041 7367302 9084478 8603981
##  [46] 7438446 7798558 7766672 8389983 7958315 8126659 7985727 7978565 8684301
##  [55] 7887115 8758235 7225624 8292307 8061927 8107971 8189820 7748838 7833396
##  [64] 7490712 7464104 8151764 8224105 8026502 8461134 9025042 7754484 6845416
##  [73] 8502869 7645400 7655996 8512786 7857613 7389641 8090652 7930554 8002882
##  [82] 8192640 7814670 8322188 7889757 8165891 8548420 8217591 7837034 8574404
##  [91] 8496752 8274198 8119366 7686047 8680326 7699870 9093666 8766305 7882150
## [100] 7486790 7644797 8128442 7876654 7826229 7524191 7977486 7607548 7166029
## [109] 7809887 8459498 7712327 8303982 7191059 7972219 8259704 8150577 8052838
## [118] 7679647 7575148 7487936 8058823 7526263 7754721 7871954 8921931 7674025
## [127] 8117693 8038980 7519072 7964346 8722275 8225752 8020616 7788752 6973376
## [136] 8565669 7269680 8369974 8954552 7278053 8350892 7868901 7213928 7242666
## [145] 7199232 7734547 7269122 8343958 9050054 7356485 8393869 8384521 8166101
## [154] 7495812 7940274 7859802 8281495 7813781 8488487 7812710 8526356 7475411
## [163] 7369922 9620520 7791571 8149114 8318285 7758110 8258431 8184482 7892310
## [172] 8032647 7982966 9064226 7629332 7452002 8018894 8155240 8218262 7770817
## [181] 7468337 8631593 7825175 7567244 7881860 7901412 8554960 8042369 8377027
## [190] 7750354 8107223 7837657 8047292 7552318 7344599 8998607 8300354 7374364
## [199] 7694417 7407260 9099405 8656206 7867427 8271597 7792830 7761877 7605699
## [208] 7702691 8825454 7972986 8059623 8121844 8616238 7741968 7503746 8837848
## [217] 7779418 7638467 7381863 7357642 7713013 8308993 8554924 8353794 7818171
## [226] 8029875 7647702 7641391 8442325 7492204 8977647 7954840 8107269 7630736
## [235] 7712806 7341492 7908537 8209491 8162152 7609232 7605689 7748901 8748030
## [244] 7431348 7910474 8951181 7949513 7320080 7667615 8242730 7812199 7719062
## [253] 7828041 8045248 8799254 7955717 8540400 8315377 7943180 7233549 7739441
## [262] 7755065 8023577 8650099 9146539 8773791 7933425 7121736 7805610 8044604
## [271] 8422507 8481264 8342155 7302363 8424822 7776721 8087401 8037276 8214083
## [280] 8012337 7166262 8368248 8193013 7867174 8059072 8067019 8110510 8820423
## [289] 7890475 8084033 8584192 8527091 8572632 7711266 9001241 8033350 8933426
## [298] 7324549 8010492 8624957 7642379 7623656 7530731 7473743 7781420 8165590
## [307] 6992895 8105990 8618338 9018787 8650588 8378387 7136635 7699247 7823977
## [316] 8351762 7947164 7370676 8842218 8455696 8118715 8609054 7330613 8330410
## [325] 7738544 8341873 7969589 8316480 8667759 8003645 8508779 7405783 7639198
## [334] 8759609 8188694 6973889 7317981 7899609 8432890 7949058 8312094 8479503
## [343] 8835527 8028008 7974009 7123381 8049664 7714075 7512995 7910047 8507472
## [352] 7003626 7786360 8058319 7553396 8166951 8205715 7983482 6767051 9285729
## [361] 7897350 8325597 8136883 8512337 8408830 7895103 8189084 7527296 8428462
## [370] 7769481 9208387 7174476 7768006 8412690 8255066 7705259 7501610 8072238
## [379] 7992846 7104859 8017276 8095115 8087363 7472491 8238067 8689285 8228118
## [388] 7432206 7782177 8173052 7676477 6921177 8442125 7585261 7713220 8751950
## [397] 7612928 8422866 7369659 7822729 7963222 7415674 7682626 7985579 8335348
## [406] 7174727 7825123 8378203 7730595 8113646 8246114 8133918 8326629 7938646
## [415] 7793162 6678426 7953529 8215142 8267699 7722361 8889751 8143212 8063158
## [424] 8636133 7640767 7774831 9198726 8005565 8816784 7280747 7904742 8189212
## [433] 8150019 7497182 8009630 7461290 8356352 8542388 6887506 8617847 7379478
## [442] 8227385 8329951 7900055 7677443 8082661 8219409 8441651 6973832 7181810
## [451] 8715201 8523314 8217644 8357589 8458587 6669539 8555139 7757506 8115308
## [460] 7852421 8435982 7825764 8259252 7804658 7453606 8605005 8370450 8862131
## [469] 8032577 8562501 8987710 7859259 7338524 7880324 7892979 8075840 8856152
## [478] 7836928 8186502 7886158 8010225 8157029 8664107 8060659 8356421 8389430
## [487] 8457387 7712803 8813441 7809522 7947108 8702025 8647042 7455004 7563464
## [496] 7320960 8090924 8082420 8182057 8276079 7699054 7503151 8513393 8375531
## [505] 7245417 7952426 7552026 6964624 8075060 7960394 7951315 8108076 8441233
## [514] 8102799 7691782 7632600 7934099 8155008 7480160 7907846 8483634 7945860
## [523] 7650790 7862027 8557324 8275022 8618338 8069549 8205138 7720772 8302685
## [532] 7746833 7289717 8063996 8972926 8400457 8582627 8179428 7695721 7898880
## [541] 7863376 7765650 8352084 7401318 8433183 8432076 7400689 8319746 9215113
## [550] 7721392 8422452 7608899 8555356 8124912 8825958 7270515 7974351 7736537
## [559] 7901368 7685211 7583078 8289361 7456210 8742015 7406897 8050540 8266495
## [568] 8293368 7849127 8039751 8480632 7271767 7609130 8160201 7777609 8685002
## [577] 8336627 8036083 7246121 8013050 7841792 7948827 7409220 8249329 7480522
## [586] 7886889 8190713 7608242 8291496 7341745 6595113 8232484 8420270 7857077
## [595] 8252063 7422042 7936426 7029241 8590590 8929955 8537006 7986327 7983335
## [604] 7241966 8395193 7894633 7671629 7293987 7850119 7575469 7801485 7391200
## [613] 8843795 7991999 8537473 6699150 7773401 7662259 7388537 8773305 7292359
## [622] 8159195 8423218 8089095 7562372 8470583 8085294 7468251 7305975 9043359
## [631] 7660748 7072214 8266630 8155115 7323083 7028522 7941849 8569698 8318062
## [640] 7753531 7582906 8135533 8078677 8314856 7802101 8449677 7584594 7834728
## [649] 8370407 8494986 7030748 8053595 8304390 7274588 8240313 7585913 8510127
## [658] 8269241 8384526 8060360 8431824 8690257 8983124 7985802 6875474 8015763
## [667] 8102781 7922327 8284144 8505339 7741009 7852952 8198921 7724888 8045634
## [676] 7019146 7440050 7336122 7573188 7653348 8191153 8491057 7636308 7501581
## [685] 7479156 7792706 7880485 8241809 7839338 6960755 7954283 8593593 8595801
## [694] 7605518 7226112 9229030 7918789 7951274 8210287 7192980
# 1. Rata-rata pendapatan simulasi
mean_simulated <- mean(income_data)
cat("Rata-rata pendapatan simulasi:", mean_simulated, "\n")
## Rata-rata pendapatan simulasi: 7998643
# 2. Probabilitas pendapatan di atas 10.000.000
prob_above_10m <- sum(income_data > 10000000) / n_employees
cat("Probabilitas pendapatan di atas Rp 10.000.000:", prob_above_10m, "\n")
## Probabilitas pendapatan di atas Rp 10.000.000: 0
summary(income_data)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
## 6595113 7684564 7986064 7998643 8327459 9620520