Nama: Fathir Rizwa

Aktuaria: Model Survival

Contoh 2.1.1 Menghitung Peluang Kematian dengan Fungsi Survival

contoh.2.1.1 <- function(expr, age, t){
  sxt <- eval({x = age + t; expr})    # Menghitung s(x+t)
  sx  <- eval({x = age; expr})        # Menghitung s(x)
  output <- (sx - sxt) / sx           # Rumus: tqx = [s(x) - s(x+t)] / s(x)
  output
}

# Memanggil fungsi
expr <- expression(1 - (x/100))
contoh.2.1.1(expr, age = 30, t = 10)

## [1] 0.1428571

Interpretasi:

Nilai 0.1428571 berarti terdapat peluang sebesar 14,29% bahwa seseorang yang saat ini berusia 30 tahun akan meninggal dunia dalam 10 tahun ke depan (sebelum mencapai usia 40 tahun). Dengan kata lain, dari 100 orang berusia 30 tahun, diperkirakan sekitar 14 orang akan meninggal sebelum usia 40 tahun berdasarkan fungsi survival ini.

Contoh 2.1.2 Menghitung tqx dan tpx dengan Fungsi Survival Berbeda

set.seed(123)
# Menggunakan fungsi yang sama dari Contoh 2.1.1
expr <- expression((1 - (x/100))^0.5)

# Menghitung 15q36
contoh.2.1.1(expr, age = 36, t = 15)

## [1] 0.125

# Menghitung 17p19 (px = 1 - qx)
1 - contoh.2.1.1(expr, age = 19, t = 17)

## [1] 0.8888889

Interpretasi:

1. Hasil 0.125 berarti terdapat peluang sebesar 12,5% bahwa seseorang berusia 36 tahun akan meninggal dalam 15 tahun ke depan (sebelum mencapai usia 51 tahun).
2. Hasil 0.8888889 berarti terdapat peluang sebesar 88,89% bahwa seseorang berusia 19 tahun akan bertahan hidup hingga 17 tahun ke depan (mencapai usia 36 tahun). Ini menunjukkan tingkat kelangsungan hidup yang cukup tinggi untuk kelompok usia muda.

Contoh 2.1.3 Menghitung Peluang Kematian Tertunda (t|uqx)

# Mendefinisikan fungsi survival
expr <- expression(exp(-x/12))

# Menghitung 7p13 (peluang hidup 7 tahun)
tpx <- 1 - contoh.2.1.1(expr, age = 13, t = 7)
tpx

## [1] 0.5580351

# Menghitung 1q20 (peluang meninggal dalam 1 tahun pada usia 20)
tqx <- contoh.2.1.1(expr, age = 20, t = 1)
tqx

## [1] 0.07995559

# Menghitung 7|q13 = 7p13 × 1q20
tpx * tqx

## [1] 0.04461803

Interpretasi:

1. Nilai 0.5580351 berarti terdapat peluang sebesar 55,80% bahwa seseorang yang saat ini berusia 13 tahun akan bertahan hidup selama 7 tahun pertama (mencapai usia 20 tahun). Ini dilambangkan dengan ₇p₁₃.
2. Nilai 0.07995559 berarti terdapat peluang sebesar 7,99% bahwa seseorang yang saat ini berusia 20 tahun akan meninggal dalam 1 tahun berikutnya (antara usia 20-21 tahun). Ini dilambangkan dengan ₁q₂₀.
3. Nilai 0.04461803 berarti terdapat peluang sebesar 4,46% bahwa seseorang yang saat ini berusia 13 tahun akan:

1. Bertahan hidup selama 7 tahun pertama (mencapai usia 20 tahun),
2. Meninggal dalam 1 tahun berikutnya (antara usia 20-21 tahun).

Kesimpulan

Dari perhitungan ini dapat disimpulkan bahwa meskipun peluang bertahan hidup 7 tahun pertama cukup tinggi (55,80%), ketika dikombinasikan dengan peluang kematian pada tahun ke-8 (7,99%), peluang keseluruhan untuk kejadian tertunda ini menjadi lebih kecil (4,46%). Ini menunjukkan bahwa peluang kematian tertunda selalu lebih kecil daripada masing-masing komponen penyusunnya karena merupakan hasil perkalian dua peluang.

Contoh 2.1.4 Menghitung Median Sisa Usia

# Fungsi untuk menghitung median sisa usia
median_survival <- function(y){
  # Untuk s(x) = 1/(1+x)
  m_y <- y + 1
  return(m_y)
}

# Contoh penggunaan
median_survival(y = 30)  

## [1] 31

Interpretasi:

Nilai 31 (untuk seseorang berusia 30 tahun) berarti median sisa usia orang tersebut adalah 31 tahun. Ini berarti: 1. Terdapat peluang 50% bahwa orang berusia 30 tahun akan bertahan hidup lebih dari 31 tahun lagi (mencapai usia 61 tahun atau lebih). 2. Terdapat peluang 50% bahwa orang tersebut akan meninggal dalam 31 tahun ke depan (sebelum mencapai usia 61 tahun). Median ini merupakan titik tengah distribusi sisa usia, di mana setengah populasi akan hidup lebih lama dan setengah lainnya akan meninggal lebih cepat dari nilai median tersebut.