TEOREMA DE LA TRANSFORMACIÓN INVERSA

\[ U_1,U_2,...,U_n \sim U(0,1) \] Realización de la m.a. muestra aleatoria (i.i.d.) independientes e identicamente distribuidas \[ u_1,u_2,...,u_n \]

Teorema de la transformada integral

\[ X \sim F_X(x;\theta) \] Una función de la v.a. es tambien una v.a. \[ \phi(X) = \phi ( X(\omega)) \] \[ F_X(x;\theta) \]

No es una v.a.

\[ \phi(X) =F_X(X;\theta) \]

Es una v.a.

Distribución uniforme

p: Probability: Acumulada

d: Density: Puntual

r: random: Muestra aleatoria

q: quantile: Cuantiles

y<-seq(-0.5,1.5, length =20000)
fy<- dunif(y)
plot(y,fy,type = "l", col = 7)

y<-seq(-0.5,1.5, length =20000)
Fy<- punif(y)
plot(y,Fy,type = "l", col = 10)

La función de distribución acumulada de la uniforme es # Demostración.

\[ U = \phi(X) =F_X(X;\theta) \] \[ F_U(u) := P (U \leq u) \]

\[ F_U(u) := P (U \leq u) = P(F_X(X)\leq u) \]

\[ F_U(u) := P (U \leq u) = P(F_X(X)\leq u) = P(X\leq F_X^{-1}(u)) = F_X(F_X^{-1}(u)) = u \]

Resultado

\[ F_X(X) \sim U(0,1) \]

SIMULAR ALEATORIOS

\[ U_1,U_2,...,U_n \sim U(0,1) \] \[ F_X^{-1}(U_1),F_X^{-1}(U_2),...,F_X^{-1}(U_n) \sim F_X \]

Simular normal a partir de la uniforme

u<-runif(10000)
x<-qnorm(u)
plot(density(x))

u<-runif(10000)
x<-qgamma(u,2,3)
?qgamma
## starting httpd help server ... done
plot(density(x))

Poisson

u<-runif(10000)
x<-qpois(u,2)
?qgamma
hist(x)