En el siguiente latex se puede descargar el pdf para aprender a escribir todo tipo de ecuaciones en documentos RMarkdown Apuntes de Latex
Vamos a desglosar la Regresión Lineal Simple de una manera clara y aplicada, perfecta para Ingeniería Agrícola.
La Regresión Lineal Simple es un método estadístico fundamental que nos permite modelar la relación entre dos variables cuantitativas. Su objetivo es encontrar la mejor línea recta que describa cómo una variable, llamada variable independiente o predictora ((\(X\))), afecta o influye en otra, llamada variable dependiente o respuesta ((\(Y\))).
En esencia, buscamos una función lineal que nos permita predecir el valor de \(Y\) conociendo el valor de \(X\), bajo la premisa de que la relación entre ambas es aproximadamente lineal.
La ecuación que representa el modelo de regresión lineal simple para la población es:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i \]
Donde:
Dado que en la práctica trabajamos con una muestra, estimamos estos parámetros y la ecuación se convierte en:
\[ \hat{Y}_i = b_0 + b_1 X_i \]
Donde:
Contexto: Un ingeniero agrícola quiere estudiar la relación entre la cantidad de fertilizante nitrogenado aplicado (en kg/ha) y el rendimiento de un cultivo de maíz (en ton/ha). Para ello, realiza un experimento en 10 parcelas de prueba, aplicando diferentes dosis de fertilizante y midiendo el rendimiento obtenido.
| Parcela | Fertilizante (X) [kg/ha] | Rendimiento (Y) [ton/ha] |
|---|---|---|
| 1 | 50 | 1.2 |
| 2 | 60 | 1.5 |
| 3 | 70 | 1.6 |
| 4 | 80 | 2.0 |
| 5 | 90 | 2.2 |
| 6 | 100 | 2.3 |
| 7 | 110 | 2.5 |
| 8 | 120 | 2.7 |
| 9 | 130 | 2.8 |
| 10 | 140 | 3.0 |
Al realizar el análisis de regresión lineal con estos datos (usando un software estadístico), obtenemos los siguientes resultados:
\[ \hat{Y} = 0.3 + 0.019 X \]
Pendiente (\(b_1 = 0.019\)): Este es el hallazgo más importante. Podemos decir que: Por cada kg/ha adicional de fertilizante nitrogenado aplicado, el rendimiento del maíz aumenta, en promedio, en 0.019 toneladas por hectárea.
Intercepto (\(b_0 = 0.3\)): En este contexto, el intercepto (0.3 ton/ha) sería el rendimiento estimado del maíz si no se aplicara nada de fertilizante (X=0). Tiene sentido, ya que incluso sin fertilizante, la tierra tiene una fertilidad natural que permite cierto rendimiento.
Predicción: El modelo ya nos permite hacer predicciones. Por ejemplo, si queremos saber cuál sería el rendimiento estimado para una dosis de 115 kg/ha de fertilizante: \[ \hat{Y} = 0.3 + 0.019 * 115 = 0.3 + 2.185 = 2.485 \text{ ton/ha} \]
Este modelo sencillo permite al ingeniero tomar decisiones basadas en datos, como optimizar la dosis de fertilizante para maximizar el rendimiento de manera rentable, considerando que llegará un punto en el que añadir más fertilizante no se traducirá en un aumento significativo del rendimiento (aunque la regresión lineal simple no captura ese efecto de “meseta”, para eso se necesitarían modelos no lineales).