PDF de apuntes de latex

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REGRESION LINEAL EN INGENIERIA AGRICOLA

La regresión lineal simple es una técnica estadística que modela la relación entre dos variables cuantitativas: una variable independiente o explicativa (\((X)\)) y una variable dependiente o respuesta (\((Y)\)). Su objetivo es encontrar la recta que mejor se ajusta a los datos observados, permitiendo predecir el valor de \(Y\) a partir de un valor dado de \(X\). Es “simple” porque involucra solo una variable predictora.

Ecuación matemática

El modelo de regresión lineal simple se expresa como:

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon \]

donde:

  • \((Y\)) es la variable dependiente (respuesta).
  • \((X\)) es la variable independiente (predictora).
  • (\(beta_0\)) es el intercepto o término constante.
  • (\(beta_1\)) es la pendiente o coeficiente de regresión.
  • (\(varepsilon\)) es el término de error aleatorio, que representa la variabilidad no explicada por el modelo.

Interpretación de los parámetros

  • **(_0) (intercepto)**: Es el valor esperado de \(Y\) cuando \(X = 0\). En algunos contextos puede no tener sentido práctico (por ejemplo, si \(X\) no puede tomar el valor cero), pero cumple una función matemática necesaria para situar la recta.
  • \(\beta_1\) (pendiente): Indica el cambio medio en \(Y\) por cada incremento de una unidad en \(X\). Si \(\beta_1 > 0\), la relación es positiva (aumenta \(X\), aumenta \(Y\)); si \(\beta_1 < 0\), la relación es negativa.
  • \(\varepsilon\): Recoge el error aleatorio, asumiendo que tiene media cero y varianza constante. Este término refleja que la relación no es determinista, sino que existen otros factores no considerados que afectan a \(Y\).

Supuestos básicos

Para que la inferencia sea válida, se deben cumplir ciertos supuestos: - Linealidad: La relación entre \(X\) e \(Y\) es lineal. - Independencia: Las observaciones son independientes entre sí. - Homocedasticidad: La varianza de los errores es constante para todos los niveles de \(X\). - Normalidad: Los errores siguen una distribución normal (necesario para pruebas de hipótesis y construcción de intervalos de confianza).

Ejemplo aplicado a Ingeniería Agrícola

Contexto: Un ingeniero agrícola desea estudiar cómo influye la dosis de fertilizante nitrogenado (en kg/ha) en el rendimiento de un cultivo de maíz (en toneladas por hectárea). Se realizó un experimento con 5 parcelas experimentales, obteniendo los siguientes datos:

Dosis de fertilizante (\(X\)) Rendimiento (\(Y\))
50 2.5
60 3.2
70 3.8
80 4.3
90 4.9

A partir de estos datos, se ajusta un modelo de regresión lineal simple. Los cálculos (usando mínimos cuadrados) proporcionan las siguientes estimaciones:

  • \(\hat{\beta}_1 = 0.058\) (aproximadamente)
  • \(\hat{\beta}_0 = -0.3\) (aproximadamente)

La recta ajustada es:

\[ \hat{Y} = -0.3 + 0.058\,X \]

Interpretación en el contexto agrícola: - Pendiente (\(\hat{\beta}_1 = 0.058\)): Por cada kg/ha adicional de fertilizante nitrogenado, el rendimiento del maíz aumenta en promedio 0.058 toneladas por hectárea (es decir, 58 kg/ha). - Intercepto (\(\hat{\beta}_0 = -0.3\)): Teóricamente, si no se aplicara fertilizante (\(X=0\)), el rendimiento esperado sería negativo, lo cual no tiene sentido físico. Esto ocurre porque el rango de dosis evaluado no incluye valores cercanos a cero y la relación lineal solo es válida dentro del rango observado (50 a 90 kg/ha). Fuera de ese intervalo, la extrapolación no es recomendable.

Con este modelo, el ingeniero puede predecir el rendimiento para dosis no ensayadas (por ejemplo, para 75 kg/ha: \(\hat{Y} = -0.3 + 0.058 \times 75 = 4.05\) ton/ha) y cuantificar el impacto del fertilizante, lo que ayuda a tomar decisiones sobre la dosis óptima desde el punto de vista productivo y económico.

La regresión lineal simple es una herramienta fundamental en Ingeniería Agrícola para modelar relaciones entre variables, como dosis de insumos y rendimientos, condiciones climáticas y crecimiento de cultivos, o características del suelo y productividad. Su correcta aplicación, verificando los supuestos subyacentes, permite realizar predicciones y tomar decisiones basadas en datos.