Zeros de funcions

Problema 1: Convergència

Tres mètodes ens donen les següents aproximacions per una arrel d’una funció.

##  k mètode_1 mètode_2 mètode_3
##  0  1.00000    1e+00    1e-01
##  1  0.50000    1e-01    1e-02
##  2  0.25000    1e-02    1e-04
##  3  0.12500    1e-03    1e-08
##  4  0.06250    1e-04    1e-16
##  5  0.03125    1e-05    1e-32

Estimeu l’ordre de convergència d’aquests tres mètodes i el factor asimptòtic de convergència dels d’ordre 1.

Solució problema 1

Mètode 1

Ordre de convergència:

log(.5-.25)/log(.5-.1)
## [1] 1.512942
log(.25-.125)/log(.5-.25)
## [1] 1.5
log(.125-.0625)/log(.25-.125)
## [1] 1.333333
log(.0625-.03125)/log(.125-.0625)
## [1] 1.25

Quan creix el nombre de passos l’estimació de l’ordre tendeix a 1. Ho podem veure més clar si ens avancem uns passos amb la mateixa tendència:

log(2^-10-2^-11)/log(2^-9-2^-10)
## [1] 1.1
log(2^-100-2^-101)/log(2^-99-2^-100)
## [1] 1.01

Un cop establert que \(p=1\), busquem el factor assimptòtic de convergència:

abs(.5-.25)/abs(1-.5)
## [1] 0.5
abs(2^-10-2^-11)/abs(2^-9-2^-10)
## [1] 0.5

Mètode 2

Ordre de convergència:

log(.1-.01)/log(1-.1)
## [1] 22.85435
log(.01-.001)/log(.1-.01)
## [1] 1.956245
log(.001-.0001)/log(.01-.001)
## [1] 1.488816
log(.0001-.00001)/log(.001-.0001)
## [1] 1.328326

També tendeix a 1. Ho veiem millor amb més passes:

log(1e-10 - 1e-11)/log(1e-9 - 1e-10)
## [1] 1.110549

Un cop establert que \(p=1\), busquem el factor assimptòtic de convergència:

abs(.1-.01)/abs(1-.1)
## [1] 0.1
abs(.01-.001)/abs(.1-.01)
## [1] 0.1
abs(.001-.0001)/abs(.01-.001)
## [1] 0.1
abs(.0001-.00001)/abs(.001-.0001)
## [1] 0.1

Mètode 3

Ordre de convergència:

log(1e-2 - 1e-4)/log(1e-1 - 1e-2)
## [1] 1.916663
log(1e-8 - 1e-16)/log(1e-4 - 1e-8)
## [1] 1.999978

Ordre de convergència 2.

Problema 2: Arrel

Volem aproximar el valor de \(r^{a/b}\), amb \(r \in R\) i \(a,b \in Z\) sense fer més operacions que les elementals (+-*/).

  1. Transformeu aquest problema en un problema de zeros de funcions.

  2. Amb el mètode de Newton trobeu l’expressió de \(x_{i+1}\) en funció de \(x_i\).

  3. Feu-ho servir per aproximar \(2^{0,8}\) amb tres iteracions.

  4. Feu servir aquestes aproximacions per estimar l’ordre de convergència.

  5. En realitat coneixem el valor de \(2^{0,8}\) amb molta precisió. Si fem servir el valor exacte de la solució per calcular els errors, canvia gaire l’estimació de l’ordre de convergència?

Solució problema 2

\(x=r^{a/b}\)

\(x^b=r^a\)

\(0=x^b-r^a=f(x)\)

Aplicant el mètode de Newton:

\(x_{k+1}=x_k-\frac{f(x)}{f'(x)}=x_k-\frac{x_k^b-r^a}{b\cdot x^{b-1}}=x_k-\frac{x_k}{b}+\frac{r^a}{x_k^{b-1}}=\frac{b-1}{b}\cdot x_k+\frac{r^a}{x_k^{b-1}}\)

Per \(2^{0,8}=2^{4/5}\):

\(x_{k+1}=0,8 \cdot x_k + \frac {16}{x_k^4}\)

Problema 3: Arrels múltiples

Quin mètode dels que coneixem serà mès ràpid per:

  1. Trobar un zero de multiplicitat 5.

  2. Trobar un zero de multiplicitat 4.

Solució problema 3

Problema 4: Nombre de passos

Volem aproximar la rel d’una funció. Amb l’aproximació inicial l’error comès és de 0,8. Estimeu el nombre de passos necessaris per trobar l’aproximació amb un error absolut de 1e-5 amb:

  1. El mètode de la bisecció
  2. El mètode de Newton
  3. El mètode de la secant, que és un mètode amb ordre de convergència 1,618.

Solució problema 4

a)

log(1e-5)
## [1] -11.51293
log(.8)
## [1] -0.2231436
log(1/2)
## [1] -0.6931472
(log(1e-5)-log(.8))/log(1/2) #nombre de passos n
## [1] 16.28771
# comprovació
.8*(1/2)^(0:17)
##  [1] 8.000000e-01 4.000000e-01 2.000000e-01 1.000000e-01 5.000000e-02
##  [6] 2.500000e-02 1.250000e-02 6.250000e-03 3.125000e-03 1.562500e-03
## [11] 7.812500e-04 3.906250e-04 1.953125e-04 9.765625e-05 4.882813e-05
## [16] 2.441406e-05 1.220703e-05 6.103516e-06

b)

log(log(1e-5)/log(.8))
## [1] 3.94341
log(2)
## [1] 0.6931472
(log(log(1e-5)/log(.8)))/log(2) #nombre de passos n
## [1] 5.689139
# Comprovació
.8^(2^(0:6))
## [1] 8.000000e-01 6.400000e-01 4.096000e-01 1.677722e-01 2.814750e-02
## [6] 7.922816e-04 6.277102e-07

c)

log(log(1e-5)/log(.8))
## [1] 3.94341
log(1.618)
## [1] 0.4811908
(log(log(1e-5)/log(.8)))/log(1.618) #nombre de passos n
## [1] 8.195107
# Comprovació
.8^(1.618^(0:9))
##  [1] 8.000000e-01 6.969468e-01 5.575669e-01 3.886051e-01 2.166829e-01
##  [6] 8.421014e-02 1.824902e-02 1.537041e-03 2.805804e-05 4.314760e-08

Problema 5: Nombre de passos

Volem trobar el primer zero de la funció \(sin(x)-exp(-x)\) amb una precisió de 1e-4, fent servir l’aproximació inicial x=0. Estimeu quants passos caldran amb:

  1. El mètode de la bisecció, fent servir com a valor auxiliar a=1.
  2. El mètode de Newton. Podeu fer servir que sabem que la rel és superior a 0,5.

Solució problema 5

a)

No sabem l’error amb l’aproximació inicial, però sabem que com a molt valdrà 1, perquè la funció canvia de signe en un punt (que no coneixem) entre 0 i 1

log(1e-4)
## [1] -9.21034
log(1)
## [1] 0
log(1/2)
## [1] -0.6931472
(log(1e-4)-log(1))/log(1/2) #nombre de passos n
## [1] 13.28771
# comprovació
1*(1/2)^(0:14)
##  [1] 1.000000e+00 5.000000e-01 2.500000e-01 1.250000e-01 6.250000e-02
##  [6] 3.125000e-02 1.562500e-02 7.812500e-03 3.906250e-03 1.953125e-03
## [11] 9.765625e-04 4.882812e-04 2.441406e-04 1.220703e-04 6.103516e-05

Fixeu-vos que aquest error és una cota superior de l’error comès, de manera que podem garantir que amb aquest nombre de passos assolirem la precisió demanada.

b)

Fem servir que l’error de l’aproximació inicial és de com a molt 1-0,5=0,5

log(log(1e-4)/log(0.5))
## [1] 2.58684
log(2)
## [1] 0.6931472
(log(log(1e-4)/log(.5)))/log(2) #nombre de passos n
## [1] 3.732021
# Comprovació
.5^(2^(0:6))
## [1] 5.000000e-01 2.500000e-01 6.250000e-02 3.906250e-03 1.525879e-05
## [6] 2.328306e-10 5.421011e-20

Problema 6: Nombre de passos

Estem aproximant una rel d’una funció amb el mètode de la bisecció, i al quart pas obtenim un error absolut aproximat de \(E_4=0,005\). Quants passos (en total) caldran per aproximar la rel amb una precisió de 1e-4?

Solució problema 6

log(1e-4)
## [1] -9.21034
log(.005)
## [1] -5.298317
log(1/2)
## [1] -0.6931472
(log(1e-4)-log(.005))/log(1/2) #nombre de passos n després del 4
## [1] 5.643856
4+(log(1e-4)-log(.005))/log(1/2) # total passos
## [1] 9.643856
# comprovació
.005*(1/2)^(0:6)
## [1] 5.0000e-03 2.5000e-03 1.2500e-03 6.2500e-04 3.1250e-04 1.5625e-04 7.8125e-05

Sèries de Fourier

Problema 7

Considereu la funció periòdica: \(f(x)=|sin(x)|\) i l’expressió de la sèrie de Fourier en forma trigonomètrica \(S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot cos(n \cdot \omega \cdot t) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cdot sin(n \cdot \omega \cdot t)\)

Indicació: \(sin(A) \cdot cos(B) = \frac12 ( sin(A+B) + sin(A-B))\)

  1. Calculeu \(\omega\)

  2. Calculeu \(a_0\)

  3. Calculeu \(a_n\)

  4. Calculeu \(b_n\)

  5. Justifiqueu si \(S(\pi)\) convergeix i si aquest és el cas indiqueu a quin valor.

  6. Al següent gràfic identifiqueu quina corba és la gràfica de:

  • La funció \(f(x)\)
  • El component corresponent a \(a_0\)
  • El component corresponent a \(a_1\)
  • El component corresponent a \(a_3\)
  • El component corresponent a \(b_3\)
  • La suma dels components fins a \(n=2\)

Solució problema 7

Tot i que la funció \(sin(x)\) té període \(2\cdot \pi\), la funció \(|sin (x)|\) té període \(\pi\).

a) \(\omega = \frac {2 \cdot \pi}{\pi} = 2\)

També seria possible resoldre la resta del problema fent servir un període \(2\cdot \pi\) (o qualsevol altre múltiple de \(\pi\)) i acabaríem obtenint una sèrie de Fourier equivalent (tot i que amb molts termes nuls) però els càlculs serien força més complicats.

b) \(a_0 = \frac{2}{\pi} \cdot \int_0^\pi sin(x) \cdot dx = \frac{2}{\pi} \cdot [-cos(x)]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \cdot (1+1) = \frac{4}{\pi}\)

c)

Farem servir que \(\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}\)

\(a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \int_0^\pi sin(x) \cdot cos(n2x) \cdot dx =\)

\(= \frac{2}{\pi} \cdot \int_0^\pi \frac12 (sin(x+2nx) + sin(x-2nx)) dx =\)

\(= \frac{1}{\pi} \cdot \int_0^\pi (sin((2n+1)x) + sin((1-2n)x) dx =\)

\(= \frac{1}{\pi} \cdot [ -\frac{1}{2n+1}cos((2n+1)x)+\frac{-1}{1-2n}cos((1-2n)x)]_0^\pi =\)

\(= \frac{1}{\pi} \cdot ( -\frac{1}{2n+1}\cdot (-1-1)+\frac{-1}{1-2n} \dot (-1-1)) =\)

\(= \frac{2}{\pi} \cdot (\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{1-2n})\)

d) \(b_n = 0\) perquè la funció \(f(x)=|sin(x)|\) és parell.

e) La funció \(f(x)=|sin(x)|\) és contínua. Aleshores la sèrie de Fourier convergeix a \(f(x)\) en qualsevol punt de R. Concretament a \(x=\pi\) convergeix a \(|sin(\pi)| = 0\).

f)

  • La funció \(f(x)=|sin(x)|\) és la corba 1
  • El component corresponent a \(a_0\) és la recta horitzontal \(y=\frac{\frac{4}{\pi}}{2}\), que correspon al valor mitjà de \(f(x)=|sin(x)|\). És la corba 6.
  • El component corresponent a \(a_1\) és la corba \(y=(\frac{1}{3}-1) \cdot cos(2t)\) (corba 3).
  • El component corresponent a \(a_3\) és la corba \(y=(\frac{1}{7}-\frac{1}{5}) \cdot cos(6t)\) (corba 2). Fixeu-vos que el seu període és \(\pi/3\), que és un terç del de la funció \(|sin(x)|\).
  • El component corresponent a \(b_3\) és la recta \(y=0\) (corba 4) perquè \(b_n=0\) per qualsevol \(n\).
  • La suma dels components fins a \(n=2\) és la corba 5, que veiem que comença a ser força semblant a la funció \(f(x)=|sin(x)|\).