Zeros de funcions

Problema 1: Convergència

Tres mètodes ens donen les següents aproximacions per una arrel d’una funció.

##  k mètode_1 mètode_2 mètode_3
##  0  1.00000    1e+00    1e-01
##  1  0.50000    1e-01    1e-02
##  2  0.25000    1e-02    1e-04
##  3  0.12500    1e-03    1e-08
##  4  0.06250    1e-04    1e-16
##  5  0.03125    1e-05    1e-32

Estimeu l’ordre de convergència d’aquests tres mètodes i el factor asimptòtic de convergència dels d’ordre 1.

Problema 2: Arrel

Volem aproximar el valor de \(r^{a/b}\), amb \(r \in R\) i \(a,b \in Z\) sense fer més operacions que les elementals (+-*/).

  1. Transformeu aquest problema en un problema de zeros de funcions.

  2. Amb el mètode de Newton trobeu l’expressió de \(x_{i+1}\) en funció de \(x_i\).

  3. Feu-ho servir per aproximar \(2^{0,8}\) amb tres iteracions.

  4. Feu servir aquestes aproximacions per estimar l’ordre de convergència.

  5. En realitat coneixem el valor de \(2^{0,8}\) amb molta precisió. Si fem servir el valor exacte de la solució per calcular els errors, canvia gaire l’estimació de l’ordre de convergència?

Problema 3: Arrels múltiples

Quin mètode dels que coneixem serà mès ràpid per:

  1. Trobar un zero de multiplicitat 5.

  2. Trobar un zero de multiplicitat 4.

Problema 4: Nombre de passos

Volem aproximar la rel d’una funció. Amb l’aproximació inicial l’error comès és de 0,8. Estimeu el nombre de passos necessaris per trobar l’aproximació amb un error absolut de 1e-5 amb:

  1. El mètode de la bisecció
  2. El mètode de Newton
  3. El mètode de la secant, que és un mètode amb ordre de convergència 1,618.

Problema 5: Nombre de passos

Volem trobar el primer zero de la funció \(sin(x)-exp(-x)\) amb una precisió de 1e-4, fent servir l’aproximació inicial x=0. Estimeu quants passos caldran amb:

  1. El mètode de la bisecció, fent servir com a valor auxiliar a=1.
  2. El mètode de Newton. Podeu fer servir que sabem que la rel és superior a 0,5.

Problema 6: Nombre de passos

Estem aproximant una rel d’una funció amb el mètode de la bisecció, i al quart pas obtenim un error absolut aproximat de \(E_4=0,005\). Quants passos (en total) caldran per aproximar la rel amb una precisió de 1e-4?

Sèries de Fourier

Problema 7

Considereu la funció periòdica: \(f(x)=|sin(x)|\) i l’expressió de la sèrie de Fourier en forma trigonomètrica \(S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot cos(n \cdot \omega \cdot t) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cdot sin(n \cdot \omega \cdot t)\)

Indicació: \(sin(A) \cdot cos(B) = \frac12 ( sin(A+B) + sin(A-B))\)

  1. Calculeu \(\omega\)

  2. Calculeu \(a_0\)

  3. Calculeu \(a_n\)

  4. Calculeu \(b_n\)

  5. Justifiqueu si \(S(\pi)\) convergeix i si aquest és el cas indiqueu a quin valor.

  6. Al següent gràfic identifiqueu quina corba és la gràfica de:

  • La funció \(f(x)\)
  • El component corresponent a \(a_0\)
  • El component corresponent a \(a_1\)
  • El component corresponent a \(a_3\)
  • El component corresponent a \(b_3\)
  • La suma dels components fins a \(n=2\)