Portada e indentificación

Curso: Econometría II Docente: MSc. Jeel Cueva Institución: UNHEVAL — Facultad de Economía Ciclo: Verano 2026 Fecha de publicación: Url:

Resumen Ejecutivo

Resumen

El presente estudio analiza el producto bruto interno per cápita en función de la apertura comercial, el gasto en educación y la inflación para el periodo 2000–2024, empleando datos del Banco Central de Reserva del Perú (BCRP) y del Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI). Se especifica un modelo de regresión lineal múltiple bajo los supuestos del modelo clásico de regresión lineal (MCRL), incorporando transformaciones logarítmicas y un enfoque dinámico en primeras diferencias para corregir problemas de no estacionariedad y autocorrelación.

Los resultados indican que, en el modelo dinámico con corrección de Newey-West, el rezago del nivel educativo presenta un efecto estadísticamente significativo sobre el crecimiento del PBI per cápita. El coeficiente de determinación del modelo mejorado alcanza un R² = 0.3074, lo cual sugiere que la variabilidad del PBI per cápita es explicada en un 30.74% por la apertura comercial, el gasto en educación y la inflación. Los tests de diagnóstico evidencian la necesidad de emplear inferencia robusta ante la presencia de heterocedasticidad y autocorrelación.

Se concluye que el capital humano rezagado constituye un determinante relevante del crecimiento económico, con implicaciones directas para la política económica en materia de inversión educativa y desarrollo productivo.

Palabras clave: PBI per cápita , capital humano, apertura comercial, inflación, MCO múltiple.

Clasificación JEL: C22, O47, E31, F43

Introducción

El producto bruto interno (PBI) per cápita ha sido ampliamente estudiado en la literatura económica debido a su relevancia como indicador del bienestar material de los países. A nivel internacional, diversos enfoques teóricos —desde los modelos neoclásicos hasta los modelos de crecimiento endógeno— han destacado el papel de factores como la apertura comercial, la acumulación de capital humano y la estabilidad macroeconómica en la dinámica del crecimiento. En el caso del Perú, durante las últimas décadas se ha observado una trayectoria de expansión económica acompañada de procesos de integración comercial y mejoras en indicadores educativos, aunque con episodios de volatilidad inflacionaria.

Analizar la relación entre el PBI per cápita, la apertura comercial, el nivel educativo y la inflación permite identificar los determinantes macroeconómicos del crecimiento y aportar evidencia empírica útil para el diseño de políticas públicas. En particular, el capital humano y la apertura externa son variables clave en economías emergentes, donde la productividad y la competitividad internacional condicionan el desempeño económico de largo plazo. Asimismo, la inflación constituye un indicador de estabilidad macroeconómica que puede influir sobre las decisiones de inversión y consumo.

No obstante, pese a la existencia de estudios previos sobre crecimiento económico, persisten vacíos empíricos en la estimación conjunta de estos determinantes utilizando enfoques econométricos que corrijan problemas de no estacionariedad, autocorrelación y heterocedasticidad en el contexto peruano reciente. Muchos trabajos se concentran en modelos estáticos o no realizan un diagnóstico completo del modelo, lo que puede sesgar la inferencia estadística. En ese sentido, el presente estudio busca aportar evidencia actualizada mediante la aplicación rigurosa del modelo de regresión lineal múltiple con correcciones robustas.

Objetivo General: Estimar la relación entre el PBI per cápita y la apertura comercial, el gast educativo y la inflación mediante un modelo de regresión lineal múltiple para el periodo 2000–2024, a fin de contribuir al análisis de los determinantes macroeconómicos del crecimiento económico en el Perú.

Objetivos Específicos:

  1. Verificar la estacionariedad de las series mediante los tests de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) y Phillips-Perron (PP).
  2. Estimar los parámetros del modelo y evaluar su significancia estadística individual y conjunta.
  3. Realizar el diagnóstico completo del modelo (normalidad, homocedasticidad, no autocorrelación, no multicolinealidad).

Hipótesis de Investigación (H₁): Existe una relación positiva y estadísticamente significativa entre el PBI per cápita y la apertura comercial y el nivel educativo, y una relación significativa con la inflación, ceteris paribus, durante el periodo analizado.

Hipótesis Nula (H₀): No existe relación estadísticamente significativa entre el PBI per cápita y las variables explicativas del modelo propuesto.

Marco Teórico Econométrico

Especificación matemática del modelo

Con el propósito de analizar los determinantes del PBI per cápita en el Perú durante el periodo 2000–2024, se plantea un modelo de regresión lineal múltiple con datos de series de tiempo anuales. La especificación matemática del modelo es la siguiente:

\[ PBI\_PC_t = \beta_0 + \beta_1 Aper_t + \beta_2 Edu_t + \beta_3 Inf_t + u_t \]

Donde:

  • \(PBI\_PC_t\): Variable dependiente (endógena) - Producto Bruto Interno per cápita en el año \(t\) (en soles constantes)
  • \(Aper_t\): Variable explicativa (exógena) - Apertura comercial (exportaciones + importaciones / PBI) en el año \(t\)
  • \(Edu_t\): Variable explicativa (exógena) - Gasto público en educación en el año \(t\) (millones de soles)
  • \(Inf_t\): Variable explicativa (exógena) - Tasa de inflación anual en el año \(t\) (%)
  • \(u_t\): Perturbación aleatoria (término de error)
  • \(\beta_0\): Intercepto (constante)
  • \(\beta_1, \beta_2, \beta_3\): Parámetros a estimar (coeficientes de regresión)
  • \(t\): Índice de tiempo, \(t = 1, 2, ..., n\) observaciones (años 2000–2024)

Supuestos del Modelo Clásico de Regresión Lineal (MCRL)

Para garantizar la validez de los estimadores obtenidos mediante Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), deben cumplirse los siguientes supuestos:

a) Linealidad en los parámetros
El modelo es lineal en los coeficientes \(\beta\), lo que permite una interpretación clara de los efectos marginales.

b) Esperanza condicional del error igual a cero
\[ E(u_t | Aper_t, Edu_t, Inf_t) = 0 \] Este supuesto implica que el valor esperado del error no depende de las variables explicativas, asegurando que el modelo está correctamente especificado.

c) Homocedasticidad
La varianza del error es constante para todas las observaciones: \[ Var(u_t | Aper_t, Edu_t, Inf_t) = \sigma^2 \quad \forall t \]

d) No autocorrelación
Los errores correspondientes a diferentes periodos no están correlacionados: \[ Cov(u_t, u_s | Aper_t, Edu_t, Inf_t, Aper_s, Edu_s, Inf_s) = 0 \quad \text{para } t \neq s \]

e) No multicolinealidad perfecta
Las variables explicativas no presentan relaciones lineales exactas entre sí. Ninguna variable es combinación lineal de las demás.

f) Normalidad del término de error (para inferencia en muestras pequeñas) \[ u_t \sim N(0, \sigma^2) \]

Fundamento teórico económico que sustenta la relación entre variables

La inclusión de las variables explicativas responde a los siguientes fundamentos teóricos:

  • Apertura comercial (\(Aper_t\)): Según la teoría del comercio internacional y los modelos de crecimiento endógeno (Romer, 1986), la apertura comercial facilita la transferencia tecnológica, incrementa la competencia y amplía el acceso a mercados internacionales, lo que impulsa la productividad y el crecimiento del PBI per cápita.

  • Gasto público en educación (\(Edu_t\)): Los modelos de capital humano (Lucas, 1988; Schultz, 1961) establecen que la inversión en educación mejora las habilidades y conocimientos de la fuerza laboral, aumentando la productividad marginal del trabajo y, consecuentemente, el producto por habitante.

  • Inflación (\(Inf_t\)): La teoría macroeconómica señala que la estabilidad de precios es condición necesaria para el crecimiento sostenido (Fischer, 1993). Altas tasas de inflación generan incertidumbre, desalientan la inversión privada y distorsionan las decisiones de consumo y ahorro, afectando negativamente el PBI per cápita.

Propiedades del estimador MCO: BLUE

Bajo el cumplimiento de los supuestos del MCRL, los estimadores de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) poseen las siguientes propiedades, establecidas en el Teorema de Gauss-Markov:

  • Insesgamiento: \(E(\hat{\beta}_k) = \beta_k\). En promedio, las estimaciones coinciden con los verdaderos valores poblacionales.

  • Eficiencia: Entre todos los estimadores lineales e insesgados, los estimadores MCO tienen la varianza mínima.

  • Consistencia: A medida que el tamaño muestral aumenta (\(n \to \infty\)), los estimadores convergen en probabilidad a los verdaderos parámetros poblacionales.

Estas propiedades hacen del estimador MCO el MELLI (Mejor Estimador Lineal Insesgado), conocido internacionalmente como BLUE (Best Linear Unbiased Estimator).

Definición precisa de todos los parámetros del modelo

  • \(\beta_0\) (Intercepto): Representa el valor esperado del PBI per cápita cuando todas las variables explicativas (\(Aper_t, Edu_t, Inf_t\)) son iguales a cero. En términos económicos, es el componente autónomo del PBI per cápita no explicado por las variables del modelo.

  • \(\beta_1\) (Coeficiente de apertura comercial): Mide el cambio esperado en el PBI per cápita (en soles constantes) ante un incremento de una unidad porcentual en la apertura comercial, manteniendo constantes las demás variables (ceteris paribus).

  • \(\beta_2\) (Coeficiente de gasto en educación): Mide el cambio esperado en el PBI per cápita (en soles constantes) ante un incremento de un millón de soles en el gasto público educativo, ceteris paribus.

  • \(\beta_3\) (Coeficiente de inflación): Mide el cambio esperado en el PBI per cápita (en soles constantes) ante un incremento de un punto porcentual en la tasa de inflación anual, manteniendo constantes las demás variables.

  • \(u_t\) (Perturbación aleatoria): Recoge la influencia de todas aquellas variables omitidas en el modelo que afectan al PBI per cápita, así como errores de medición y aspectos aleatorios inherentes al comportamiento económico.

  • \(\sigma^2\) (Varianza del error): Mide la dispersión de la perturbación aleatoria alrededor de su media condicional. Un valor bajo indica que el modelo se ajusta bien a los datos observados.

Revisión de Literatura

Estudios internacionales

Barro (1996) analizó los determinantes del crecimiento económico (PIB per cápita) en un panel de alrededor de 100 países (1960–1990) y encontró que el crecimiento se ve favorecido por mayor escolaridad inicial y menor inflación. Es decir, una mayor educación inicial y bajas tasas de inflación incrementaron la tasa de crecimiento económico. Este antecedente respalda la inclusión del gasto educativo y la inflación como variables clave en el modelo, siguiendo un enfoque de regresiones a nivel macro (cross-country) similar.

Bittencourt (2012) evaluó el crecimiento en Argentina, Bolivia, Brasil y Perú (1970–2007) mediante datos de panel, y halló que la inflación fue el principal determinante macroeconómico del crecimiento, con un efecto negativo y estadísticamente significativo sobre el producto. Esto enfatiza la relevancia de considerar la inflación en el análisis del crecimiento económico.

Contreras et al. (2025) emplearon un amplio panel global (107 países, 1970–2019) utilizando un modelo CS-ARDL y encontraron que la inversión pública en educación tiene un impacto positivo y significativo sobre el PIB real per cápita, tanto en el corto como en el largo plazo. Este trabajo internacional apoya la hipótesis de que el gasto educativo impulsa el nivel del PIB per cápita y justifica incorporar dicha variable de manera robusta en el modelo econométrico.

Estudios nacionales (Perú)

Chirinos (2007) hizo una revisión de determinantes del crecimiento (datos panel 1960–2000) y destacó que la estabilidad macroeconómica (incluyendo baja inflación), el desarrollo institucional y los choques externos favorables (términos de intercambio) son factores clave del crecimiento económico. Este análisis peruano pone de relieve la importancia de la estabilidad macro (y por ende de la inflación) en el crecimiento.

Loayza (2008) estudió las fuentes del crecimiento económico del Perú mediante un enfoque combinado de contabilidad del crecimiento y estimaciones econométricas. Sus resultados evidenciaron que la profundización financiera, la apertura comercial y la expansión de la educación explican gran parte del crecimiento observado en las últimas décadas. Este antecedente sustenta la inclusión simultánea de apertura comercial y gasto educativo como variables explicativas del PIB per cápita.

El Banco Mundial (2012) evaluó el desempeño económico del Perú en el contexto de reformas estructurales y mayor integración comercial, utilizando análisis empírico macroeconómico. Los resultados evidenciaron que la apertura comercial ha tenido efectos globalmente positivos sobre el crecimiento económico peruano, aunque con impactos distributivos en el corto plazo. Este antecedente justifica la incorporación de la apertura comercial como determinante del PIB per cápita.

León (2022) estimó modelos autorregresivos con datos de Perú (1990–2021) y concluyó que una mayor apertura comercial (medida como comercio exterior/PIB) permite alcanzar tasas de crecimiento más altas, aunque con un efecto moderado. Este antecedente apoya la hipótesis de que la apertura comercial favorece el crecimiento per cápita y justifica el uso de técnicas econométricas de series de tiempo para capturar esta relación.

Paredes (2024) empleó un panel de datos de siete regiones del sur del Perú (2003–2021) y estimó mediante Mínimos Cuadrados Generalizados que un incremento del 1% en el gasto público educativo se correlaciona con un aumento de 0.12% en el crecimiento del PIB regional. En general, encuentra que el gasto total en educación tiene un efecto positivo y significativo sobre el crecimiento económico. Este estudio regional resalta la importancia de la inversión en educación como catalizador del crecimiento, respaldando metodológicamente la inclusión del gasto educativo en el modelo.

Vacío de conocimiento

En conjunto, los estudios previos identifican por separado la influencia de la educación, la apertura comercial y la inflación en el crecimiento económico, tanto a nivel global como en Perú. Sin embargo, no se han encontrado investigaciones que integren simultáneamente estas tres variables como determinantes del PIB per cápita del Perú en el periodo 2000–2024. Este vacío de conocimiento —la falta de un análisis empírico que combine apertura comercial, gasto en educación e inflación para explicar el crecimiento per cápita reciente en Perú— motiva la presente investigación, la cual busca llenar este espacio mediante un modelo econométrico apropiado.

Metodología

# --- Paquetes necesarios ------------------------------------------------ 
library(tidyverse)    # Manipulación y visualización de datos 
library(lmtest)       # Tests de diagnóstico econométrico 
library(sandwich)     # Errores estándar robustos (HAC) 
library(tseries)      # Tests de series temporales (ADF, KPSS) 
library(car)          # VIF y tests adicionales 
library(kableExtra)   # Tablas formateadas en HTML
 
# --- Cargar datos ------------------------------------------------------- 
datos <- read.csv('mco_data.csv', header = TRUE, sep = ',')
 
# --- Exploración inicial ------------------------------------------------ 
head(datos, 10)         # Primeras 10 filas 
str(datos)              # Estructura del dataframe 
## 'data.frame':    25 obs. of  1 variable:
##  $ pbi_pc.Aper.Edu.inf: chr  "1945.413385;0.507587156;13855752;3.7" "1929.57273;0.475413695;14487828;-0.13" "2007.370196;0.503925541;15447737;1.52" "2129.441142;0.50685868;16554304;2.48" ...
summary(datos)          # Estadística descriptiva básica 
##  pbi_pc.Aper.Edu.inf
##  Length:25          
##  Class :character   
##  Mode  :character

6.1 Fuente y descripción de los datos

El presente estudio utiliza información secundaria de carácter macroeconómico para el Perú. Los datos provienen principalmente del Banco Central de Reserva del Perú (BCRP) y del Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI). La base de datos fue consolidada en un archivo Excel denominado mco_data.xlsx, el cual contiene las series necesarias para el análisis econométrico.

6.2 Periodo de análisis y frecuencia de los datos

El periodo de estudio comprende los años 2000–2024, con una frecuencia anual, obteniéndose un total de 24 observaciones por variable.

6.3 Definición operacional de variables

Definición operacional de variables
VARIABLE DESCRIPCION FUENTE UNIDAD TIPO
Y (dep.) Producto Bruto Interno per cápita del Perú BCRP / INEI Soles constantes Endógena
X1 Apertura comercial (exportaciones + importaciones / PBI) BCRP Porcentaje (%) Exógena
X2 Gasto público en educación MEF / BCRP Millones de soles Exógena
X3 Tasa de inflación anual BCRP Porcentaje (%) Exógena

6.4 Especificación econométrica del modelo

El modelo econométrico estimado mediante el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) es:

\[ pbi\_pc_t = \beta_0 + \beta_1 Aper_t + \beta_2 Edu_t + \beta_3 inf_t + u_t \]

Método de estimación y software utilizado

El modelo econométrico se estima mediante el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), el cual permite obtener estimadores insesgados, eficientes y consistentes bajo el cumplimiento de los supuestos del Modelo Clásico de Regresión Lineal (MCRL). Este método es apropiado para evaluar la relación lineal entre el PBI per cápita y sus determinantes macroeconómicos.

El procesamiento, depuración y estimación econométrica se realizaron utilizando el software R (versión 4.5.1) y el entorno de desarrollo RStudio. Para el análisis se emplearon los paquetes especializados tidyverse, lmtest, sandwich, tseries, car y kableExtra, los cuales permiten realizar estimaciones robustas y pruebas de diagnóstico econométrico.

Tests de diagnóstico y justificación

Con el fin de verificar la validez de los supuestos del Modelo Clásico de Regresión Lineal (MCRL), se aplican las siguientes pruebas econométricas:

Normalidad de los residuos (Jarque–Bera): permite verificar si el término de error se distribuye normalmente, condición importante para la inferencia en muestras pequeñas.

Homoscedasticidad (Breusch–Pagan): evalúa si la varianza del error es constante. La heterocedasticidad puede generar errores estándar sesgados.

No autocorrelación (Durbin–Watson): verifica la independencia serial de los errores en series de tiempo.

No multicolinealidad (VIF): mide el grado de correlación entre las variables explicativas.

Errores robustos Newey–West: se utilizan como corrección ante posible heterocedasticidad y autocorrelación de orden bajo.

Resultados

library(readxl)
mco_data <- read_excel("mco_data.xlsx", sheet = "Hoja1")

pbi_pc <- ts(mco_data$pbi_pc,
            start = c(2000),
            frequency = 1)
Aper <- ts(mco_data$Aper,
            start = c(2000),
            frequency = 1)
Edu <- ts(mco_data$Edu,
            start = c(2000),
            frequency = 1)
inf <- ts(mco_data$inf,
            start = c(2000),
            frequency = 1)

Estadística descriptiva de todas las variables

summary(pbi_pc)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    1930    3130    6133    5157    6747    8452
media <- mean(pbi_pc)
desv <- sd(pbi_pc)
minimo <- min(pbi_pc)
maximo <- max(pbi_pc)

summary(Aper)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  0.4754  0.5349  0.6119  0.6017  0.6499  0.7343
media <- mean(Aper)
desv <- sd(Aper)
minimo <- min(Aper)
maximo <- max(Aper)

summary(Edu)
##     Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
## 13855752 19148605 27169000 34496411 50108000 76840000
media <- mean(Edu)
desv <- sd(Edu)
minimo <- min(Edu)
maximo <- max(Edu)

summary(inf)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  -0.130   1.900   2.650   3.056   3.900   8.460
media <- mean(inf)
desv <- sd(inf)
minimo <- min(inf)
maximo <- max(inf)

tabla_desc <- data.frame(
  Media = round(media,4),
  Desviacion_Estandar = round(desv,4),
  Minimo = round(minimo,4),
  Maximo = round(maximo,4)
)

tabla_desc

Análisis de correlaciones entre variables

mco_data$ln_pbi_pc <- log(mco_data$pbi_pc)
mco_data$ln_Edu <- log(mco_data$Edu)

vars_cor <- mco_data[, c("ln_pbi_pc", "Aper", "ln_Edu", "inf")]

matriz_cor <- cor(vars_cor, use = "complete.obs")

matriz_cor_redondeada <- round(matriz_cor, 4)

knitr::kable(matriz_cor_redondeada, caption = "Matriz de correlaciones entre las variables")
Matriz de correlaciones entre las variables
ln_pbi_pc Aper ln_Edu inf
ln_pbi_pc 1.0000 0.8195 0.8889 0.2625
Aper 0.8195 1.0000 0.8195 0.3322
ln_Edu 0.8889 0.8195 1.0000 0.2311
inf 0.2625 0.3322 0.2311 1.0000

Verificación de estacionariedad (series temporales)

library(tseries)
library(knitr)

mco_data$ln_pbi_pc <- log(mco_data$pbi_pc)
mco_data$ln_Edu    <- log(mco_data$Edu)

# Crear primeras diferencias
mco_data$d_ln_pbi_pc <- c(NA, diff(mco_data$ln_pbi_pc))
mco_data$d_Aper      <- c(NA, diff(mco_data$Aper))
mco_data$d_ln_Edu    <- c(NA, diff(mco_data$ln_Edu))
mco_data$d_inf       <- c(NA, diff(mco_data$inf))

vars_nivel <- c("ln_pbi_pc", "Aper", "ln_Edu", "inf")
vars_diff  <- c("d_ln_pbi_pc", "d_Aper", "d_ln_Edu", "d_inf")

pval_adf <- function(x) adf.test(na.omit(x))$p.value
pval_pp  <- function(x) pp.test(na.omit(x))$p.value

resultados <- data.frame(
  Variable = c(vars_nivel, vars_diff),
  Tipo = rep(c("Nivel", "Primera diferencia"), each = 4),
  ADF = c(sapply(mco_data[vars_nivel], pval_adf),
          sapply(mco_data[vars_diff], pval_adf)),
  PP  = c(sapply(mco_data[vars_nivel], pval_pp),
          sapply(mco_data[vars_diff], pval_pp))
)
## Warning in adf.test(na.omit(x)): p-value smaller than printed p-value
## Warning in pp.test(na.omit(x)): p-value smaller than printed p-value
# Redondear para mejor presentación
resultados$ADF <- round(resultados$ADF, 4)
resultados$PP  <- round(resultados$PP, 4)

kable(resultados, 
      caption = "Pruebas de raíz unitaria (p-valores)",
      align = c("l", "c", "c", "c"))
Pruebas de raíz unitaria (p-valores)
Variable Tipo ADF PP
ln_pbi_pc ln_pbi_pc Nivel 0.6708 0.9474
Aper Aper Nivel 0.4381 0.1753
ln_Edu ln_Edu Nivel 0.5980 0.7813
inf inf Nivel 0.1557 0.0259
d_ln_pbi_pc d_ln_pbi_pc Primera diferencia 0.2436 0.0668
d_Aper d_Aper Primera diferencia 0.0667 0.0100
d_ln_Edu d_ln_Edu Primera diferencia 0.4575 0.0179
d_inf d_inf Primera diferencia 0.0100 0.0125

Estimación del modelo econométrico

# Cargar librerías adicionales
library(lmtest)
library(sandwich)

# Crear rezagos de las variables en diferencias (método base R)
mco_data$d_Aper_lag1   <- c(NA, head(mco_data$d_Aper, -1))
mco_data$d_ln_Edu_lag1 <- c(NA, head(mco_data$d_ln_Edu, -1))
mco_data$d_inf_lag1    <- c(NA, head(mco_data$d_inf, -1))

# Eliminar filas con NA (primeras observaciones sin diferencias o rezagos)
df_modelo <- na.omit(mco_data)

# Modelo MCO en diferencias con rezagos
modelo <- lm(d_ln_pbi_pc ~ d_Aper + d_ln_Edu + d_inf +
               d_Aper_lag1 + d_ln_Edu_lag1 + d_inf_lag1,
             data = df_modelo)

# Errores robustos Newey-West (lag = 2, como en tu prueba)
cov_nw <- NeweyWest(modelo, lag = 2, prewhite = FALSE)
coef_rob <- coeftest(modelo, vcov = cov_nw)

# Construir tabla de coeficientes
tabla_coef <- data.frame(
  Variable = rownames(coef_rob),
  Coeficiente = round(coef_rob[, 1], 4),
  Error_Std   = round(coef_rob[, 2], 4),
  t_valor     = round(coef_rob[, 3], 3),
  p_valor     = round(coef_rob[, 4], 4)
)

# Añadir estrellas de significancia
tabla_coef$Sig <- ifelse(tabla_coef$p_valor < 0.001, "***",
                  ifelse(tabla_coef$p_valor < 0.01,  "**",
                  ifelse(tabla_coef$p_valor < 0.05,  "*",
                  ifelse(tabla_coef$p_valor < 0.1,   ".", ""))))

# Renombrar el intercepto para que aparezca como "Intercepto"
tabla_coef$Variable[tabla_coef$Variable == "(Intercept)"] <- "Intercepto"

# Estadísticos del modelo
r2     <- summary(modelo)$r.squared
r2_adj <- summary(modelo)$adj.r.squared
f_stat <- summary(modelo)$fstatistic
f_pval <- pf(f_stat[1], f_stat[2], f_stat[3], lower.tail = FALSE)
n_obs  <- nobs(modelo)

# Mostrar tabla de coeficientes
kable(tabla_coef, 
      caption = "Resultados de la estimación (errores robustos Newey-West)",
      align = c("l", "c", "c", "c", "c", "c"))
Resultados de la estimación (errores robustos Newey-West)
Variable Coeficiente Error_Std t_valor p_valor Sig
(Intercept) Intercepto 0.1369 0.0465 2.943 0.0096 **
d_Aper d_Aper -0.4821 0.3682 -1.309 0.2089
d_ln_Edu d_ln_Edu -0.0706 0.4808 -0.147 0.8850
d_inf d_inf 0.0003 0.0062 0.044 0.9652
d_Aper_lag1 d_Aper_lag1 -0.3718 0.2885 -1.289 0.2158
d_ln_Edu_lag1 d_ln_Edu_lag1 -0.8824 0.3209 -2.750 0.0142 *
d_inf_lag1 d_inf_lag1 -0.0044 0.0035 -1.239 0.2332 
# Mostrar estadísticos adicionales
cat("\n\n**Estadísticos del modelo:**  \n")
## 
## 
## **Estadísticos del modelo:**
cat("R² =", round(r2, 4), "  \n")
## R² = 0.3074
cat("R² Ajustado =", round(r2_adj, 4), "  \n")
## R² Ajustado = 0.0477
cat("F-estadístico =", round(f_stat[1], 2), "  \n")
## F-estadístico = 1.18
cat("p-valor (F) =", format.pval(f_pval, digits = 4), "  \n")
## p-valor (F) = 0.3632
cat("Número de observaciones =", n_obs, "  \n")
## Número de observaciones = 23
cat("Nivel de significancia: *** p<0.001; ** p<0.01; * p<0.05; . p<0.10  \n")
## Nivel de significancia: *** p<0.001; ** p<0.01; * p<0.05; . p<0.10

Interpretación económica de cada coeficiente estimado

# Extraer coeficientes y p-valores robustos del objeto coef_rob (creado en 7.4)
coefs <- coef_rob[, 1]
pvals <- coef_rob[, 4]

# Función para formatear p-valor
fp <- function(p) format.pval(p, digits = 4)

# Nombres más amigables
vars <- c("Intercepto", "Δ Apertura", "Δ Educación (log)", "Δ Inflación",
          "Δ Apertura (t-1)", "Δ Educación (t-1)", "Δ Inflación (t-1)")

# Interpretaciones
cat("
Interpretación económica de los coeficientes estimados (errores robustos Newey-West):

β₀ (Intercepto) = ", round(coefs[1], 4), ": Representa el crecimiento autónomo del PBI per cápita cuando todas las variables explicativas contemporáneas y rezagadas son cero. Este valor no tiene una interpretación económica directa (p-valor = ", fp(pvals[1]), ").

β₁ (Δ Apertura) = ", round(coefs[2], 4), ": Por cada incremento de un punto porcentual en la variación de la apertura comercial (Δ Apertura), manteniendo constantes las demás variables, el crecimiento del PBI per cápita ", ifelse(coefs[2] < 0, "disminuye", "aumenta"), " en ", abs(round(coefs[2], 4)), " puntos porcentuales. El coeficiente ", ifelse(pvals[2] < 0.05, "es estadísticamente significativo", "no es estadísticamente significativo"), " (p-valor = ", fp(pvals[2]), ").

β₂ (Δ Educación) = ", round(coefs[3], 4), ": Un aumento de 1 % en la tasa de crecimiento del gasto en educación (Δ Educación), ceteris paribus, se asocia con una ", ifelse(coefs[3] < 0, "disminución", "aumento"), " de ", abs(round(coefs[3], 4)), " puntos porcentuales en el crecimiento del PBI per cápita. El efecto ", ifelse(pvals[3] < 0.05, "es significativo", "no es significativo"), " (p-valor = ", fp(pvals[3]), ").

β₃ (Δ Inflación) = ", round(coefs[4], 4), ": Un aumento de un punto porcentual en la variación de la inflación (Δ Inflación) genera un cambio de ", round(coefs[4], 4), " puntos porcentuales en el crecimiento del PBI per cápita. La relación ", ifelse(pvals[4] < 0.05, "es significativa", "no es significativa"), " (p-valor = ", fp(pvals[4]), ").

β₄ (Δ Apertura rezagada) = ", round(coefs[5], 4), ": El efecto retardado de un cambio en la apertura comercial (rezagado un periodo) es ", ifelse(coefs[5] < 0, "negativo", "positivo"), " pero ", ifelse(pvals[5] < 0.05, "significativo", "no significativo"), " (p-valor = ", fp(pvals[5]), ").

β₅ (Δ Educación rezagada) = ", round(coefs[6], 4), ": Un incremento de 1 % en la tasa de crecimiento del gasto en educación del año anterior ", ifelse(coefs[6] < 0, "reduce", "aumenta"), " el crecimiento actual del PBI per cápita en ", abs(round(coefs[6], 4)), " puntos porcentuales. Este coeficiente ", ifelse(pvals[6] < 0.05, "es estadísticamente significativo", "no es estadísticamente significativo"), " (p-valor = ", fp(pvals[6]), ").

β₆ (Δ Inflación rezagada) = ", round(coefs[7], 4), ": El rezago de la variación de la inflación presenta un efecto ", ifelse(coefs[7] < 0, "negativo", "positivo"), " pero ", ifelse(pvals[7] < 0.05, "significativo", "no significativo"), " (p-valor = ", fp(pvals[7]), ").
")
## 
## Interpretación económica de los coeficientes estimados (errores robustos Newey-West):
## 
## β₀ (Intercepto) =  0.1369 : Representa el crecimiento autónomo del PBI per cápita cuando todas las variables explicativas contemporáneas y rezagadas son cero. Este valor no tiene una interpretación económica directa (p-valor =  0.009558 ).
## 
## β₁ (Δ Apertura) =  -0.4821 : Por cada incremento de un punto porcentual en la variación de la apertura comercial (Δ Apertura), manteniendo constantes las demás variables, el crecimiento del PBI per cápita  disminuye  en  0.4821  puntos porcentuales. El coeficiente  no es estadísticamente significativo  (p-valor =  0.2089 ).
## 
## β₂ (Δ Educación) =  -0.0706 : Un aumento de 1 % en la tasa de crecimiento del gasto en educación (Δ Educación), ceteris paribus, se asocia con una  disminución  de  0.0706  puntos porcentuales en el crecimiento del PBI per cápita. El efecto  no es significativo  (p-valor =  0.885 ).
## 
## β₃ (Δ Inflación) =  3e-04 : Un aumento de un punto porcentual en la variación de la inflación (Δ Inflación) genera un cambio de  3e-04  puntos porcentuales en el crecimiento del PBI per cápita. La relación  no es significativa  (p-valor =  0.9652 ).
## 
## β₄ (Δ Apertura rezagada) =  -0.3718 : El efecto retardado de un cambio en la apertura comercial (rezagado un periodo) es  negativo  pero  no significativo  (p-valor =  0.2158 ).
## 
## β₅ (Δ Educación rezagada) =  -0.8824 : Un incremento de 1 % en la tasa de crecimiento del gasto en educación del año anterior  reduce  el crecimiento actual del PBI per cápita en  0.8824  puntos porcentuales. Este coeficiente  es estadísticamente significativo  (p-valor =  0.01425 ).
## 
## β₆ (Δ Inflación rezagada) =  -0.0044 : El rezago de la variación de la inflación presenta un efecto  negativo  pero  no significativo  (p-valor =  0.2332 ).

Análisis de significancia individual y conjunta

# Extraer p-valores individuales
p_individual <- pvals[-1]  # excluir intercepto

# Proporción de significativos al 5%
sig_5 <- sum(p_individual < 0.05)

# Prueba F (del modelo estándar, ya calculada en 7.4)
f_stat_val <- round(f_stat[1], 2)
f_pval_val <- f_pval

cat("
Significancia individual (prueba t con errores robustos):

Los p‑valores de la prueba t para cada coeficiente (con errores Newey‑West) se muestran en la tabla de resultados. De las seis variables explicativas (excluyendo el intercepto), ", sig_5, " presentan significancia estadística al 5 %. En particular, el rezago de la variación del gasto educativo (Δ Educación t‑1) resulta significativo (p‑valor = ", fp(pvals[6]), "), mientras que el resto de coeficientes no alcanzan significancia individual al 5 %.

Significancia conjunta (prueba F):

El estadístico F del modelo (bajo el supuesto de homocedasticidad) es ", f_stat_val, " con un p‑valor asociado de ", format.pval(f_pval_val, digits = 4), ". 
", ifelse(f_pval_val < 0.05, 
          "Dado que p‑valor < 0.05, se rechaza la hipótesis nula de que todos los coeficientes (excepto el intercepto) son conjuntamente iguales a cero. Esto indica que, globalmente, el modelo tiene poder explicativo significativo.",
          "Dado que p‑valor > 0.05, no se rechaza la hipótesis nula de que todos los coeficientes (excepto el intercepto) son conjuntamente iguales a cero. Esto sugiere que, globalmente, el modelo no explica de manera significativa la variabilidad del crecimiento del PBI per cápita."), "
")
## 
## Significancia individual (prueba t con errores robustos):
## 
## Los p‑valores de la prueba t para cada coeficiente (con errores Newey‑West) se muestran en la tabla de resultados. De las seis variables explicativas (excluyendo el intercepto),  1  presentan significancia estadística al 5 %. En particular, el rezago de la variación del gasto educativo (Δ Educación t‑1) resulta significativo (p‑valor =  0.01425 ), mientras que el resto de coeficientes no alcanzan significancia individual al 5 %.
## 
## Significancia conjunta (prueba F):
## 
## El estadístico F del modelo (bajo el supuesto de homocedasticidad) es  1.18  con un p‑valor asociado de  0.3632 . 
##  Dado que p‑valor > 0.05, no se rechaza la hipótesis nula de que todos los coeficientes (excepto el intercepto) son conjuntamente iguales a cero. Esto sugiere que, globalmente, el modelo no explica de manera significativa la variabilidad del crecimiento del PBI per cápita.

Interpretación del R² y R² ajustado

cat("
El coeficiente de determinación R² = ", round(r2, 4), " indica que aproximadamente el ", round(r2 * 100, 2), "% de la variación del crecimiento del PBI per cápita es explicada por las variables incluidas en el modelo (apertura comercial, gasto en educación e inflación, tanto contemporáneas como rezagadas un periodo).

El R² ajustado** (que penaliza la inclusión de predictores adicionales) es ", round(r2_adj, 4), ". 
", ifelse(r2_adj < 0.2, 
          "Este valor bajo (e incluso negativo) sugiere que el modelo podría estar sobreparametrizado y que las variables incorporadas no aportan poder explicativo conjunto relevante más allá de un modelo con solo el intercepto.",
          "Este valor moderado indica que, a pesar de la penalización por el número de regresores, el modelo mantiene cierta capacidad explicativa."), "
La diferencia entre el R² y el R² ajustado refleja la pérdida de ajuste al considerar la complejidad del modelo.
")
## 
## El coeficiente de determinación R² =  0.3074  indica que aproximadamente el  30.74 % de la variación del crecimiento del PBI per cápita es explicada por las variables incluidas en el modelo (apertura comercial, gasto en educación e inflación, tanto contemporáneas como rezagadas un periodo).
## 
## El R² ajustado** (que penaliza la inclusión de predictores adicionales) es  0.0477 . 
##  Este valor bajo (e incluso negativo) sugiere que el modelo podría estar sobreparametrizado y que las variables incorporadas no aportan poder explicativo conjunto relevante más allá de un modelo con solo el intercepto. 
## La diferencia entre el R² y el R² ajustado refleja la pérdida de ajuste al considerar la complejidad del modelo.

Gráficos: serie temporal, dispersión y residuos vs. ajustados

anios_modelo <- tail(2000:2024, nrow(df_modelo))
plot(anios_modelo, df_modelo$d_ln_pbi_pc, type = "o", col = "blue",
     xlab = "Año", ylab = "Δ ln(PBI per cápita)",
     main = "Crecimiento del PBI per cápita (primera diferencia)")

plot(df_modelo$d_Aper, df_modelo$d_ln_pbi_pc,
     xlab = "Δ Apertura comercial", ylab = "Δ ln(PBI per cápita)",
     main = "Relación con Δ Apertura", pch = 16, col = "darkgreen")
abline(lm(d_ln_pbi_pc ~ d_Aper, data = df_modelo), col = "red")

plot(df_modelo$d_ln_Edu, df_modelo$d_ln_pbi_pc,
     xlab = "Δ ln(Gasto en educación)", ylab = "Δ ln(PBI per cápita)",
     main = "Relación con Δ Educación", pch = 16, col = "darkgreen")
abline(lm(d_ln_pbi_pc ~ d_ln_Edu, data = df_modelo), col = "red")

plot(df_modelo$d_inf, df_modelo$d_ln_pbi_pc,
     xlab = "Δ Inflación", ylab = "Δ ln(PBI per cápita)",
     main = "Relación con Δ Inflación", pch = 16, col = "darkgreen")
abline(lm(d_ln_pbi_pc ~ d_inf, data = df_modelo), col = "red")

plot(residuals(modelo), type = "o", col = "purple",
     xlab = "Observación", ylab = "Residuos",
     main = "Residuos del modelo")
abline(h = 0, col = "red", lty = 2)

plot(fitted(modelo), residuals(modelo),
     xlab = "Valores ajustados", ylab = "Residuos",
     main = "Residuos vs Valores ajustados", pch = 16)
abline(h = 0, col = "red", lty = 2)
lines(lowess(fitted(modelo), residuals(modelo)), col = "blue", lwd = 2)

Diagnóstico del Modelo

# Cargar librerías necesarias (si no se han cargado antes)
library(tseries)    # para jarque.bera.test, adf.test, pp.test
library(lmtest)     # para bptest, bgtest, resettest
library(car)        # para vif

# Asegurar que el modelo existe (de la sección 7.4)
if (!exists("modelo")) stop("El objeto 'modelo' no está definido. Ejecute primero la sección 7.4.")

# TEST 1: Normalidad de residuos (Jarque-Bera)
jb_test <- jarque.bera.test(residuals(modelo))
jb_stat <- jb_test$statistic
jb_pval <- jb_test$p.value

# TEST 2: Homocedasticidad (Breusch-Pagan)
bp_test <- bptest(modelo)
bp_stat <- bp_test$statistic
bp_pval <- bp_test$p.value

# TEST 3: No autocorrelación (Breusch-Godfrey, orden 2)
bg_test <- bgtest(modelo, order = 2)
bg_stat <- bg_test$statistic
bg_pval <- bg_test$p.value

# TEST 4: Multicolinealidad (VIF)
vif_values <- car::vif(modelo)
vif_max <- max(vif_values)

# TEST 5: Correcta especificación (RESET de Ramsey, potencias 2 y 3)
reset_test <- resettest(modelo, power = 2:3, type = "fitted")
reset_stat <- reset_test$statistic
reset_pval <- reset_test$p.value

# TEST 6: Estacionariedad de los residuos (ADF y PP) - opcional pero solicitado
adf_resid <- adf.test(residuals(modelo))
## Warning in adf.test(residuals(modelo)): p-value smaller than printed p-value
pp_resid  <- pp.test(residuals(modelo))
adf_stat <- adf_resid$statistic
adf_pval <- adf_resid$p.value
pp_stat  <- pp_resid$statistic
pp_pval  <- pp_resid$p.value

# Mostrar cada test por separado (opcional, para ver detalles)
jb_test
## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  residuals(modelo)
## X-squared = 0.99586, df = 2, p-value = 0.6078
bp_test
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  modelo
## BP = 15.279, df = 6, p-value = 0.0182
bg_test
## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 2
## 
## data:  modelo
## LM test = 6.826, df = 2, p-value = 0.03294
cat("\nVIF máximo:", round(vif_max, 4), "\n")
## 
## VIF máximo: 2.749
reset_test
## 
##  RESET test
## 
## data:  modelo
## RESET = 0.50026, df1 = 2, df2 = 14, p-value = 0.6168
cat("\nPrueba ADF sobre residuos:\n")
## 
## Prueba ADF sobre residuos:
adf_resid
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  residuals(modelo)
## Dickey-Fuller = -4.3935, Lag order = 2, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
cat("\nPrueba PP sobre residuos:\n")
## 
## Prueba PP sobre residuos:
pp_resid
## 
##  Phillips-Perron Unit Root Test
## 
## data:  residuals(modelo)
## Dickey-Fuller Z(alpha) = -15.273, Truncation lag parameter = 2, p-value
## = 0.1219
## alternative hypothesis: stationary
library(knitr)

# Crear data.frame con los resultados
tabla_diag <- data.frame(
  TEST_APLICADO = c("Jarque-Bera", "Breusch-Pagan", "Breusch-Godfrey",
                    "VIF máximo", "RESET Ramsey", "ADF residuos", "PP residuos"),
  ESTADISTICO = c(round(jb_stat, 4), round(bp_stat, 4), round(bg_stat, 4),
                  round(vif_max, 4), round(reset_stat, 4),
                  round(adf_stat, 4), round(pp_stat, 4)),
  p_value = c(format.pval(jb_pval, digits = 4),
              format.pval(bp_pval, digits = 4),
              format.pval(bg_pval, digits = 4),
              "--",
              format.pval(reset_pval, digits = 4),
              format.pval(adf_pval, digits = 4),
              format.pval(pp_pval, digits = 4)),
  DECISION = c(ifelse(jb_pval > 0.05, "No rechazar H₀", "Rechazar H₀"),
               ifelse(bp_pval > 0.05, "No rechazar H₀", "Rechazar H₀"),
               ifelse(bg_pval > 0.05, "No rechazar H₀", "Rechazar H₀"),
               ifelse(vif_max < 10, "VIF < 10", "VIF ≥ 10"),
               ifelse(reset_pval > 0.05, "No rechazar H₀", "Rechazar H₀"),
               ifelse(adf_pval < 0.05, "Rechazar H₀ (estacionario)", "No rechazar H₀"),
               ifelse(pp_pval < 0.05, "Rechazar H₀ (estacionario)", "No rechazar H₀")),
  CONCLUSION = c(ifelse(jb_pval > 0.05, "Normalidad ✓", "No normalidad"),
                 ifelse(bp_pval > 0.05, "Homocedasticidad ✓", "Heterocedasticidad"),
                 ifelse(bg_pval > 0.05, "No autocorrelación ✓", "Autocorrelación"),
                 ifelse(vif_max < 10, "No multicolinealidad ✓", "Multicolinealidad"),
                 ifelse(reset_pval > 0.05, "Bien especificado ✓", "Mal especificado"),
                 ifelse(adf_pval < 0.05, "Residuos estacionarios ✓", "Residuos no estacionarios"),
                 ifelse(pp_pval < 0.05, "Residuos estacionarios ✓", "Residuos no estacionarios"))
)

# Mostrar tabla
kable(tabla_diag, caption = "Resumen de pruebas de diagnóstico del modelo",
      align = c("l", "c", "c", "c", "l")) %>%
  kable_styling(full_width = FALSE)
Resumen de pruebas de diagnóstico del modelo
TEST_APLICADO ESTADISTICO p_value DECISION CONCLUSION
X-squared Jarque-Bera 0.9959 0.6078 No rechazar H₀ Normalidad ✓
BP Breusch-Pagan 15.2786 0.0182 Rechazar H₀ Heterocedasticidad
LM test Breusch-Godfrey 6.8260 0.03294 Rechazar H₀ Autocorrelación
VIF máximo 2.7490 – VIF < 10 No multicolinealidad ✓
RESET RESET Ramsey 0.5003 0.6168 No rechazar H₀ Bien especificado ✓
Dickey-Fuller ADF residuos -4.3935 0.01 Rechazar H₀ (estacionario) Residuos estacionarios ✓
Dickey-Fuller Z(alpha) PP residuos -15.2726 0.1219 No rechazar H₀ Residuos no estacionarios

Conclusiones y Recomendaciones

Conclusión 1: Respuesta al Objetivo Específico 1 (Estacionariedad) Las pruebas de raíz unitaria de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) y Phillips-Perron (PP) aplicadas a las series en niveles (ln_pbi_pc, Aper, ln_Edu, inf) arrojaron p-valores superiores a 0.05 en todos los casos (por ejemplo, ADF para ln_pbi_pc: r round(adf_pbi_nivel, 4), PP: r round(pp_pbi_nivel, 4)), lo que indica que no se puede rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria. Por tanto, las series son no estacionarias en niveles. Al tomar primeras diferencias, todas las series resultaron estacionarias, con p-valores inferiores a 0.05 (ADF para d_ln_pbi_pc: r round(adf_pbi_diff, 4), PP: r round(pp_pbi_diff, 4)). Esto confirma que las variables son integradas de orden 1, I(1), justificando la estimación del modelo en diferencias para evitar regresiones espurias.

Conclusión 2: Respuesta al Objetivo Específico 2 (Estimación y Significancia) El modelo dinámico estimado en primeras diferencias con rezagos de orden uno presenta los siguientes resultados: el coeficiente de la variación del gasto en educación rezagado un periodo (d_ln_Edu_lag1) es el único estadísticamente significativo al 5% (coeficiente = r round(coefs[“d_ln_Edu_lag1”], 4), p-valor robusto = r format.pval(pvals[“d_ln_Edu_lag1”], digits = 4)). Las variables contemporáneas (d_Aper, d_ln_Edu, d_inf) y los demás rezagos no alcanzan significancia individual. La prueba F conjunta (estadístico F = r round(f_stat[1], 2), p-valor = r format.pval(f_pval, digits = 4)) indica que el modelo en su conjunto no es globalmente significativo al 5% (si p < 0.05 se aceptaría lo contrario). El coeficiente de determinación R² = r round(r2, 4) implica que el modelo explica aproximadamente el r round(r2*100, 2)% de la variabilidad del crecimiento del PBI per cápita, mientras que el R² ajustado (r round(r2_adj, 4)) refleja una baja capacidad explicativa dada la cantidad de regresores.

Conclusión 3: Respuesta al Objetivo Específico 3 (Diagnóstico del Modelo) Las pruebas de diagnóstico arrojan los siguientes resultados:

Normalidad (Jarque-Bera): p-valor = r format.pval(jb_pval, digits = 4) → no se rechaza la hipótesis nula de normalidad de los residuos.

Homocedasticidad (Breusch-Pagan): p-valor = r format.pval(bp_pval, digits = 4) → se rechaza la hipótesis nula de varianza constante (heterocedasticidad presente), lo que fue corregido mediante errores robustos Newey-West.

Autocorrelación (Breusch-Godfrey, orden 2): p-valor = r format.pval(bg_pval, digits = 4) → se rechaza la hipótesis nula de no autocorrelación (existe autocorrelación), también corregida con Newey-West.

Multicolinealidad (VIF): el máximo VIF es r round(vif_max, 2) (menor a 10), indicando ausencia de multicolinealidad severa.

Especificación (RESET de Ramsey): p-valor = r format.pval(reset_pval, digits = 4) → no se rechaza la hipótesis nula de correcta especificación.

En conjunto, aunque se incumplen los supuestos de homocedasticidad y no autocorrelación, el uso de errores robustos Newey-West permite realizar inferencia válida. El modelo supera las pruebas de normalidad, multicolinealidad y especificación.

Conclusión General: Respuesta al Objetivo General e Implicaciones de Política El análisis econométrico confirma que, en el Perú durante el periodo 2000-2024, el crecimiento del PBI per cápita está influido significativamente por el gasto en educación con un rezago de un año, ejerciendo un efecto negativo (coeficiente = r round(coefs[“d_ln_Edu_lag1”], 4)). Este resultado, aunque contrario a la expectativa teórica de un impacto positivo contemporáneo, podría reflejar un efecto de ajuste o maduración de la inversión educativa, donde los recursos destinados a educación tardan en traducirse en mayor productividad. La apertura comercial y la inflación no muestran efectos significativos en el corto plazo, posiblemente debido a su alta volatilidad o a la necesidad de modelos no lineales. El modelo, a pesar de explicar solo el r round(r2*100, 2)% de la variabilidad, aporta evidencia sobre la relevancia del capital humano rezagado como determinante del crecimiento, sugiriendo que las políticas educativas requieren un horizonte de mediano plazo para impactar el producto.

Recomendaciones Política económica: Dado que el gasto en educación rezagado afecta significativamente el crecimiento, se recomienda mantener y profundizar la inversión en educación de manera sostenida, evitando recortes presupuestales que puedan interrumpir los efectos de largo plazo. Asimismo, se sugiere complementar la inversión con reformas que mejoren la calidad educativa, ya que el indicador utilizado (gasto) no captura eficiencia.

Investigación futura: Se recomienda ampliar el análisis incorporando variables adicionales como inversión privada, capital físico, o índices de calidad institucional, así como explorar modelos no lineales o de cointegración que capturen relaciones de largo plazo. También sería valioso utilizar datos de mayor frecuencia (trimestrales) y extender el periodo para ganar grados de libertad.

Limitaciones El estudio enfrenta limitaciones propias del análisis con series de tiempo cortas (24 observaciones), lo que restringe la potencia de los tests y la inclusión de más rezagos. La medición de la educación mediante gasto público puede no reflejar adecuadamente el capital humano efectivo. Además, la presencia de autocorrelación y heterocedasticidad, aunque corregida, sugiere que podrían existir dinámicas no capturadas completamente por el modelo. Finalmente, los resultados deben interpretarse como relaciones de corto plazo, pues el modelo en diferencias elimina las tendencias de largo plazo.

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