Datos originales

time	cc	ni	di
0	0	11	0
2	1	11	1
3	0	10	0
4	1	9	1
5	0	8	0
6	1	7	1
7	0	6	0
8	1	5	1
9	1	4	1
10	0	3	0
11	0	2	0
12	1	1	1

La función \(\widehat{S}_{KM}(t)\)

\[\text{comp01}=\frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)}\]

\[\widehat{S}(t) = \prod_{t_i \leq t} \left(1 - \frac{d_i}{n_i}\right)\]

\[\text{Var}[\widehat{S}(t)] = \widehat{S}^2(t) \sum_{t_i \leq t} \frac{d_i}{n_i(n_i - d_i)}\]

\[EE(\widehat{S}(t)) = \widehat{S}(t) \sqrt{\sum \frac{d_i}{n_i(n_i - d_i)}}\]

Intervalos de confianza asumiendo normalidad \(\widehat{S}(t)\):

\[[\widehat{S}(t)-Z_{1-\alpha/2}\times EE(\widehat{S}(t)), \widehat{S}(t)+Z_{1-\alpha/2}\times EE(\widehat{S}(t))]\]

Intervalos log-log transformados

\[[\widehat{S}(t)^{\frac{1}{\theta}}, \widehat{S}(t)^{\theta}]\] \[\theta=\exp(A),\,\frac{1}{\theta}=\frac{1}{\exp(A)}=\exp(-A)=\] \[\begin{eqnarray*} A &=& Z_{1-\alpha/2}\times \sqrt{Var(\widehat{L}(t))}\\ &=& Z_{1-\alpha/2}\times \sqrt{Var(\log[-\log\widehat{S}(t)])}\\ &=& Z_{1-\alpha/2}\times \sqrt{ \frac{1}{\log\widehat{S}^2(t)}\sum\limits_{t_{(i)}\leq t}\frac{d_i}{n_i(n_i-d_i) }}\\ &=&Z_{1-\alpha/2}\times \frac{1}{\log\widehat{S}(t)}\sqrt{ \sum\limits_{t_{(i)}\leq t}\frac{d_i}{n_i(n_i-d_i) }} \end{eqnarray*}\]

---

La cota inferior del intervalo de confianza para \(L(t)\) es \(\widehat{L}(t)-A\), la cota para \(\widehat{S}(t)\) se obtiene aplicando dos veces la función inversa de \(\log\)

\[\begin{eqnarray*} \exp(-\exp[\widehat{L}(t)-A])&=&\exp[-(\exp[\widehat{L}(t)]\times\exp[-A])]=\exp(-\exp[\widehat{L}(t)])^{\exp[-A]}\\ &=&\exp(-\exp[\widehat{L}(t)])^{\frac{1}{\theta}}\\ &=&\exp(-\exp[\log[-\log\widehat{S}(t)]])^{\frac{1}{\theta}}\\ &=&\widehat{S}(t)^{\frac{1}{\theta}} \end{eqnarray*}\]

---

st.err de survival calcula el error estándar de la función acumulativa de riesgo es decir

\[\widehat{H}(t)=\log(-\widehat{S}(t))=\sum\limits_{t_{(i)}\leq t} \left[\frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)}\right]\] \[Var(\widehat{H}(t))=\sum\limits_{t_{(i)}\leq t} \frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)}\] \[std.err=\sqrt{Var(\widehat{H}(t))}=\sqrt{\sum\limits_{t_{(i)}\leq t} \frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)}}\]

Intervalos plain (Normal)

i	time	cc	ni	di	comp01	suma.acumulada	S.hat.t	Var.S.t	Raiz_Var.S.t	Raiz.suma.acum
0	0	0	11	0	0.000	0.000	1.000	0.000	0.000	0.000
1	2	1	11	1	0.009	0.009	0.909	0.008	0.087	0.095
2	3	0	10	0	0.000	0.009	0.909	0.008	0.087	0.095
3	4	1	9	1	0.014	0.023	0.808	0.015	0.122	0.152
4	5	0	8	0	0.000	0.023	0.808	0.015	0.122	0.152
5	6	1	7	1	0.024	0.047	0.693	0.022	0.150	0.216
6	7	0	6	0	0.000	0.047	0.693	0.022	0.150	0.216
7	8	1	5	1	0.050	0.097	0.554	0.030	0.172	0.311
8	9	1	4	1	0.083	0.180	0.416	0.031	0.176	0.424
9	10	0	3	0	0.000	0.180	0.416	0.031	0.176	0.424
10	11	0	2	0	0.000	0.180	0.416	0.031	0.176	0.424
11	12	1	1	1	0.000	0.180	0.000	0.000	0.000	0.424

Intervalo_sup_norm	Intervalo_inf_norm	Intervalo_sup_loglog	Intervalo_inf_loglog
1.000	1.000	1.000	1.000
1.079	0.739	0.987	0.508
1.079	0.739	0.987	0.508
1.048	0.568	0.949	0.423
1.048	0.568	0.949	0.423
0.986	0.399	0.891	0.312
0.986	0.399	0.891	0.312
0.892	0.216	0.810	0.190
0.761	0.070	0.711	0.104
0.761	0.070	0.711	0.104
0.761	0.070	0.711	0.104
0.000	0.000	0.000	0.000

Tablas obtenidas con survival

Gráfica manual – IC Plain

Gráfica survival – IC Plain

Gráfica manual – IC Log-Log

Gráfica survival – IC Log-Log

El estimador de Nelson-Aalen de la función de riesgo acumulativa \(\widetilde{H}_{NA}\)

El estimador \(\widetilde{S}(t)_{NA}\) no puede obtenerse directamente del estimador de supervivencia de Kaplan-Meier \(\widehat{S}(t)_{KM}\) ya que solo se conoce que se cumple la siguiente desigualdad \(\widetilde{S}_{NA}(t)\geqslant\widehat{S}_{KM}(t)\). En este ejemplo se utilizará la tabla generada por el paquete survival del estimador de Kaplan-Meier.

El primer paso es identificar el número de eventos \(d_i\) y el número de expuesto al riesgo \(n_i\). Estas cantidades se utilizarán para para obtener la suma acumulada del riesgo \[\sum\limits_{t_{(i)}\leq t}{(\frac{d_i}{n_i})}= -\sum\limits_{t_{(i)}\leq t}{(\frac{d_i}{n_i})}=-\widetilde{H}_{NA}(t).\]

El paso final es aplicar la relación que hay entre la función de supervivencia \(S(t)\) y la función de riesgo acumualdo \(H(t)\), en el caso del estimador de la función de supervivencia

\[\widetilde{S}_{NA}(t)=\exp{(-\widetilde{H}_{NA}(t))}\] El estimador de varianza del estimador Nelson-Aalen está expresado por

\[Var(\widetilde{H}_{NA}(t))=\sum_{t_{(i)}\leq t}\frac{d_i}{n_i^2}\]

Tabla Nelson-Aalen R vs Manual (intervalos plain)

time	n.risk	n.event	n.censor	surv	std.err	upper	lower	Manual
2	11	1	0	0.913	0.091	1.000	0.764	0.913
3	10	0	1	0.913	0.091	1.000	0.764	0.913
4	9	1	0	0.817	0.144	1.000	0.617	0.817
5	8	0	1	0.817	0.144	1.000	0.617	0.817
6	7	1	0	0.708	0.203	1.000	0.476	0.708
7	6	0	1	0.708	0.203	1.000	0.476	0.708
8	5	1	0	0.580	0.285	1.000	0.332	0.580
9	4	1	0	0.452	0.379	0.949	0.215	0.452
10	3	0	1	0.452	0.379	0.949	0.215	0.452
11	2	0	1	0.452	0.379	0.949	0.215	0.452
12	1	1	0	0.166	1.069	1.000	0.020	0.166

Tabla Nelson-Aalen R (intervalos log-log)

time	n.risk	n.event	n.censor	surv	std.err	upper	lower
2	11	1	0	0.913	0.091	0.987	0.524
3	10	0	1	0.913	0.091	0.987	0.524
4	9	1	0	0.817	0.144	0.951	0.443
5	8	0	1	0.817	0.144	0.951	0.443
6	7	1	0	0.708	0.203	0.897	0.336
7	6	0	1	0.708	0.203	0.897	0.336
8	5	1	0	0.580	0.285	0.822	0.219
9	4	1	0	0.452	0.379	0.732	0.132
10	3	0	1	0.452	0.379	0.732	0.132
11	2	0	1	0.452	0.379	0.732	0.132
12	1	1	0	0.166	1.069	0.572	0.003

Comparación KM vs NA

NA con intervalos plain

NA con intervalos log-log