El Torneo de Ping-Pong Interrumpido
Un problema inspirado en Pascal y Fermat
Darghan A.
2026-02-23
1 Contexto del Problema
🏓 El Torneo de Ping-Pong
Una estudiante de Agronomía (Ana) y una de Agrícola (Carla) están jugando un torneo de ping-pong. Han acordado las siguientes reglas:
- Cada partido lo gana uno de los dos jugadores (no hay empates)
- Ambas tienen la misma probabilidad de ganar cada partido (son igualmente hábiles)
- La primera jugadora en ganar 4 partidos se lleva el premio de 80 mil pesos
- Han apostado 40 mil pesos cada una al inicio
1.1 La Situación
Después de varios partidos, el marcador está:
| Jugador | Partidos ganados |
|---|---|
| Ana | 3 |
| Carla | 1 |
⚠️ En ese momento, deben interrumpir el torneo porque el gimnasio cierra inesperadamente por problemas de la universidad
2 Pregunta a estudiantes
Piensen detenidamente primero
2.1 Parte 1: Intuición Inicial
🤔 Reflexiona sobre estas preguntas:
- ¿Cómo dividirías el premio de 80 mil pesos de manera
justa?
- ¿Darías todo el dinero a Ana porque va ganando?
- ¿Dividirías el dinero en proporción a los partidos ganados
(3:1)?
- ¿Hay alguna otra manera de pensar el problema?
2.2 Parte 2: Análisis Probabilístico
📊 Método de Pascal-Fermat
- ¿Cuántos partidos le falta ganar a cada jugadora?
- A Ana le falta: ______________
- A Carla le faltan: ______________
- ¿Cuál es el máximo de partidos que podrían jugarse para
decidir un ganador?
- Enumera TODOS los posibles resultados de esos partidos
futuros.
(Pista: usa A para una victoria de Ana, B para una victoria de Carla) - Para cada resultado posible, determina quién ganaría el
torneo.
- Calcula la probabilidad de que gane:
- Ana: P(Ana gana) = ______________
- Carla: P(Carla gana) = ______________
10. Según este análisis, ¿cómo deberían dividir el
premio de 80 mil pesos? - Parte de Ana: $______________ - Parte
de Carla: $______________
3 Guía para el Profesor
3.1 Solución Detallada
3.1.1 Análisis del problema
🔑 Información clave:
- A Ana le falta 1 partido para ganar el torneo
- A Carla le faltan 3 partidos para ganar el torneo
- Máximo de partidos a jugarse: 3
3.1.2 Enumeración de todos los escenarios posibles
Como máximo se jugarían 3 partidos, y cada uno puede terminar con victoria de Ana (A) o Carla (B), tenemos \(2^3 = 8\) escenarios posibles:
| # | Partido 1 | Partido 2 | Partido 3 | Ganador del Torneo |
|---|---|---|---|---|
| 1 | A | A | A | Ana |
| 2 | A | A | B | Ana |
| 3 | A | B | A | Ana |
| 4 | A | B | B | Ana |
| 5 | B | A | A | Ana |
| 6 | B | A | B | Ana |
| 7 | B | B | A | Ana |
| 8 | B | B | B | Carla |
3.1.3 Explicación de cada escenario
- Escenarios 1-7: En todos estos casos, Ana gana al menos un partido entre los tres siguientes, lo que le da su cuarto partido y la victoria del torneo.
- Escenario 8: (B,B,B) - Carla gana los tres partidos seguidos, alcanzando 4 partidos en total y ganando el torneo.
3.2 Cálculo de Probabilidades
Dado que todos los escenarios son igualmente probables (cada uno tiene probabilidad \(\frac{1}{8}\)):
\[P(\text{Ana gana}) = \frac{7}{8} = 0.875 = 87.5\%\]
\[P(\text{Carla gana}) = \frac{1}{8} = 0.125 = 12.5\%\]
3.3 División Justa del Premio
💰 División del Premio (80 mil pesos)
Usando el principio del valor esperado, el premio debe dividirse proporcionalmente a las probabilidades de ganar:
\[\text{Parte de Ana} = P(\text{Ana gana}) \times 80 = \frac{7}{8} \times 80 = 70\]
\[\text{Parte de Carla} = P(\text{Carla gana}) \times 80 = \frac{1}{8} \times 80 = 10\]
3.4 Comparación con Divisiones Alternativas
| Metodo de Division | Ana recibe | Carla recibe | Justificacion |
|---|---|---|---|
| Todo para quien va ganando | 80 | 0 | Incorrecto: ignora que el juego no termino |
| Proporcion a partidos ganados (3:1) | 60 | 20 | Incorrecto: ignora probabilidad futura |
| Mitad y mitad | 40 | 40 | Incorrecto: ignora el marcador actual |
| Division justa (Pascal-Fermat) | 70 | 10 | Correcto: considera probabilidades |
4 Extensión del Ejercicio
🎓 Para Estudiantes que quieren profundizar
Pregunta adicional: Si el marcador hubiera estado Ana: 3, Carla: 2, ¿cómo cambiaría la división del premio?
💡 Pista: ¿Cuántos partidos le falta a cada uno? ¿Cuál es el máximo de partidos que se jugarían?
4.1 Solución del Problema Extendido
📝 Solución
Análisis:
- A Ana le falta: 1 partido
- A Carla le faltan: 2 partidos
- Máximo de partidos: 2
Escenarios posibles (\(2^2 = 4\)): | # | Partido 1 | Partido 2 | Ganador | |:-:|:———:|:———:|:——-:| | 1 | A | A | Ana | | 2 | A | B | Ana | | 3 | B | A | Ana | | 4 | B | B | Carla |
Probabilidades:
\[P(\text{Ana gana}) = \frac{3}{4} = 0.75 = 75\%\]
\[P(\text{Carla gana}) = \frac{1}{4} = 0.25 = 25\%\]
División del premio:
\[\text{Ana recibe: } \frac{3}{4} \times 80 = 60\]
\[\text{Carla recibe: } \frac{1}{4} \times 80 = 20\]
# Solución Alternativa: Cadenas de Markov
4.2 ¿Qué son las Cadenas de Markov?
🔗 Definición intuitiva
Una Cadena de Markov es un modelo matemático que describe cómo un sistema cambia de un estado a otro a lo largo del tiempo, donde:
- El sistema solo puede estar en uno de varios estados posibles en cada momento
- El futuro del sistema solo depende del estado actual, no de cómo llegamos ahí
- Los cambios entre estados ocurren con probabilidades conocidas
Ejemplo cotidiano: El clima - Estados: {Soleado, Nublado, Lluvioso} - Si hoy está Soleado, hay 70% de probabilidad de que mañana esté Soleado, 20% Nublado, 10% Lluvioso - No importa si ayer llovió o estuvo nublado, solo importa que hoy está Soleado
4.3 Conceptos Clave
4.3.1 Estados
📍 Estado
Un estado es una situación o configuración específica del sistema.
En nuestro torneo de ping-pong: - Cada estado se representa como (i, j) donde: - i = número de partidos ganados por Ana - j = número de partidos ganados por Carla
Ejemplos: - (3, 1) = Ana ha ganado 3 partidos, Carla 1 (¡nuestro problema!) - (2, 2) = Ambas han ganado 2 partidos (empate) - (0, 0) = El torneo acaba de empezar
4.3.2 Estados Transitorios vs Absorbentes
🔄 Estado Transitorio
Un estado es transitorio si es posible salir de él. El sistema puede pasar a otro estado.
Ejemplos en el torneo: - (3, 1) → Pueden pasar a (4, 1) si Ana gana, o a (3, 2) si Carla gana - (2, 2) → Pueden pasar a (3, 2) o (2, 3)
🛑 Estado Absorbente
Un estado es absorbente si una vez que llegas ahí, no puedes salir. Es un estado final.
Ejemplos en el torneo: - (4, 0) = Ana ganó 4-0 → El torneo terminó, nadie puede ganar más partidos - (4, 3) = Ana ganó 4-3 → El torneo terminó - (1, 4) = Carla ganó 4-1 → El torneo terminó
Propiedad clave: Un estado absorbente tiene probabilidad 1 de permanecer en sí mismo.
4.3.3 Matriz de Transición
🎯 Matriz de Transición
Es una tabla (matriz) que contiene todas las probabilidades de pasar de un estado a otro.
Estructura: - Cada fila representa un estado de origen - Cada columna representa un estado de destino - El número en la posición (i, j) es la probabilidad de ir del estado i al estado j
Propiedades: - Cada fila suma exactamente 1 (porque desde cualquier estado DEBES ir a algún lado) - Todos los números son entre 0 y 1 (son probabilidades)
Ejemplo simple para el estado (3, 1):
| Desde → Hacia | (4, 1) | (3, 2) |
|---|---|---|
| (3, 1) | 0.5 | 0.5 |
Interpretación: Desde (3, 1), hay 50% de probabilidad de ir a (4, 1) y 50% de ir a (3, 2).
4.4 Aplicación al Torneo de Ping-Pong
4.4.1 Paso 1: Definir todos los Estados Posibles
## 📊 Resumen de Estados:## • Estados transitorios: 16## • Estados absorbentes: 2## • Total: 18¿Cuántos estados hay en total? - Transitorios: Combinaciones (0-3, 0-3) = 16 estados - Absorbentes: - Ana gana: (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) → 1 estado agregado “Ana gana” - Carla gana: (0,4), (1,4), (2,4), (3,4) → 1 estado agregado “Carla gana”
| Estado | Tipo |
|---|---|
| (4,0) | Ana gana |
| (4,1) | Ana gana |
| (4,2) | Ana gana |
| (4,3) | Ana gana |
| (0,4) | Carla gana |
| (1,4) | Carla gana |
| (2,4) | Carla gana |
| (3,4) | Carla gana |
| (0,0) | Transitorio |
| (1,1) | Transitorio |
| (2,2) | Transitorio |
| (3,1) | Transitorio |
| (3,2) | Transitorio |
| (3,3) | Transitorio |
4.4.2 Paso 2: Construir la Matriz de Transición
🔨 ¿Cómo se construye?
Para cada estado transitorio (i, j): 1. Si Ana gana el siguiente partido → vamos a (i+1, j) con probabilidad 0.5 2. Si Carla gana el siguiente partido → vamos a (i, j+1) con probabilidad 0.5 3. Si llegamos a un estado absorbente, nos quedamos ahí con probabilidad 1.0
## ✓ La matriz es estocástica (todas las filas suman 1): TRUE| (2,0) | (2,1) | (3,0) | (3,1) | (3,2) | Ana gana | Carla gana | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (2,0) | 0 | 0.5 | 0.5 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0 |
| (2,1) | 0 | 0.0 | 0.0 | 0.5 | 0.0 | 0.0 | 0 |
| (3,0) | 0 | 0.0 | 0.0 | 0.5 | 0.0 | 0.5 | 0 |
| (3,1) | 0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.5 | 0.5 | 0 |
| (3,2) | 0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.5 | 0 |
| Ana gana | 0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 1.0 | 0 |
| Carla gana | 0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 1 |
Interpretación de la fila (3,1): - Desde (3,1), hay 50% de probabilidad de ir a “Ana gana” (si Ana gana el siguiente partido) - Desde (3,1), hay 50% de probabilidad de ir a (3,2) (si Carla gana el siguiente partido)
4.4.3 Paso 3: Calcular Probabilidades de Absorción
🎯 ¿Qué queremos calcular?
Desde el estado (3, 1), ¿cuál es la probabilidad de eventualmente llegar al estado absorbente “Ana gana”?
Método: Forma Canónica de la Matriz
Podemos reorganizar la matriz P en bloques:
\[P = \begin{bmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{bmatrix}\]
Donde: - Q: transiciones entre estados transitorios (16×16) - R: transiciones de transitorios a absorbentes (16×2) - 0: matriz de ceros (los absorbentes no van a transitorios) - I: matriz identidad (los absorbentes quedan en sí mismos)
Matriz Fundamental:
\[N = (I - Q)^{-1}\]
N nos dice cuántas veces visitamos cada estado transitorio en promedio.
Probabilidades de Absorción:
\[B = N \times R\] B es una matriz donde: - Fila = estado transitorio de origen - Columna = estado absorbente de destino - Valor = probabilidad de ser absorbido en ese estado
| P(Ana gana) | P(Carla gana) | |
|---|---|---|
| (0,0) | 0.5000 | 0.5000 |
| (1,1) | 0.5000 | 0.5000 |
| (2,1) | 0.6875 | 0.3125 |
| (2,2) | 0.5000 | 0.5000 |
| (3,1) | 0.8750 | 0.1250 |
| (3,2) | 0.7500 | 0.2500 |
| (3,3) | 0.5000 | 0.5000 |
4.4.4 Paso 4: Respuesta al Problema Original
🎉 Resultado usando Cadenas de Markov
Desde el estado inicial (3, 1):
\[P(\text{Ana gana}) = 0.875000 = \frac{7}{8}\]
\[P(\text{Carla gana}) = 0.125000 = \frac{1}{8}\]
División del premio (80 mil pesos):
- Ana recibe: \(70.00\) mil pesos
- Carla recibe: \(10.00\) mil pesos
4.4.5 Paso 5: Visualización del Grafo de Estados
Interpretación del Grafo: - Nodos
azules: Estados transitorios (el juego continúa) - Nodo
naranja: Estado inicial (3,1) - Nodo verde:
Estado absorbente “Ana gana” - Nodo rojo: Estado
absorbente “Carla gana” - Flechas: Indican transiciones
posibles con sus probabilidades
4.4.6 Paso 6: Mapa de Calor de Probabilidades
Observaciones del Mapa: - Esquina superior
izquierda (Ana 3, Carla 0): Probabilidad de Ana = 0.875 -
Esquina inferior derecha (Ana 0, Carla 3): Probabilidad
de Ana = 0.125 - Diagonal: A medida que ambas ganan
partidos igualmente, la probabilidad tiende a 0.5 - Círculo
naranja: Marca nuestro estado inicial (3,1)
4.5 Comparación de Métodos
| Método | P(Ana gana) | P(Carla gana) | Ana recibe | Carla recibe |
|---|---|---|---|---|
| Pascal-Fermat (Combinatoria) | 0.87500 | 0.12500 | 70.0000 | 10.0000 |
| Cadenas de Markov | 0.87500 | 0.12500 | 70.0000 | 10.0000 |
| Simulación Monte Carlo | 0.87503 | 0.12497 | 70.0024 | 9.9976 |
4.6 Información Adicional: Tiempo Esperado de Absorción
⏱️ ¿Cuántos partidos más se esperan jugar?
La matriz fundamental N también nos da información sobre cuántos partidos adicionales se jugarán en promedio antes de que termine el torneo.
Fórmula: \[t = N \times \mathbf{1}\]
donde \(\mathbf{1}\) es un vector de unos.
| Estado | Partidos adicionales esperados | |
|---|---|---|
| (0,0) | (0,0) | 5.812 |
| (1,1) | (1,1) | 4.125 |
| (2,1) | (2,1) | 3.125 |
| (2,2) | (2,2) | 2.500 |
| (3,1) | (3,1) | 1.750 |
| (3,2) | (3,2) | 1.500 |
| (3,3) | (3,3) | 1.000 |
Interpretación para (3,1):
Desde el estado (3, 1), se esperan jugar aproximadamente 1.75 partidos adicionales antes de que termine el torneo.
4.7 Resumen: Ventajas del Enfoque de Cadenas de Markov
✅ Ventajas
- Generalizable: Funciona para cualquier configuración inicial \((i, j)\)
- Información completa: Obtenemos probabilidades para TODOS los estados posibles
- Tiempo de absorción: Podemos calcular cuántos partidos más se esperan
- Probabilidades asimétricas: Fácil de adaptar si Ana tiene más habilidad que Carla
- Visualización: El grafo de estados es muy intuitivo
- Extensible: Podemos agregar más complejidad (ventaja de local, fatiga, etc.)
📊 Aplicaciones
Este mismo enfoque se usa en: - Finanzas (probabilidad de quiebra, opciones) - Biología (modelos de poblaciones, evolución) - Redes (análisis de tráfico, PageRank de Google) - Juegos (estrategias óptimas, teoría de juegos)
5 Objetivos Pedagógicos
Este ejercicio permite a los estudiantes:
Comprender el concepto de valor esperado en un contexto concreto y significativo
Practicar enumeración sistemática de todos los casos posibles
Desarrollar intuición probabilística contrastando soluciones intuitivas con soluciones rigurosas
Aprender Cadenas de Markov a través de un ejemplo práctico y visual
Conectar con la historia de las matemáticas conociendo el origen de la teoría de la probabilidad
5.1 Conexión Histórica
📜 El Problema de los Puntos (1654)
Este ejercicio es una adaptación directa del famoso Problema de los Puntos que el Caballero de Méré planteó a Blaise Pascal en 1654. La correspondencia entre Pascal y Pierre de Fermat para resolver este problema marcó el nacimiento de la teoría moderna de la probabilidad.
El método de solución que acabas de aprender es exactamente el mismo que desarrollaron Pascal y Fermat hace casi 400 años.
Personajes históricos:
- Blaise Pascal (1623-1662): Matemático, físico, filósofo y teólogo francés
- Pierre de Fermat (1607-1665): Jurista y matemático francés
- Caballero de Méré (1607-1684): Escritor y jugador francés
🎓 Fin del documento
Este material fue diseñado para enseñar el concepto de valor esperado y Cadenas de Markov a través del histórico Problema de los Puntos