Kurvendiskussion: Symmetrie, Schnittpunkte und Extrempunkte

Übersicht der Regeln

Für die Untersuchung nutzen wir folgende Logik: * Achsensymmetrie (AS): Nur gerade Exponenten. \(f(x) = f(-x)\) * Punktsymmetrie (PS): Nur ungerade Exponenten. \(f(-x) = -f(x)\) * Extrempunkte: Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\).

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Teilaufgaben a) bis f)

a) \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x\)

• Symmetrie: Nur ungerade Exponenten (3 und 1) \(\rightarrow\) Punktsymmetrie zum Ursprung.
• Schnittpunkte: \(x(\frac{1}{3}x^2 - 1) = 0 \Rightarrow N_1(0|0), N_{2,3}(\pm\sqrt{3}|0)\).
• Extrempunkte: \(f'(x) = x^2 - 1\). Nullstellen bei \(x = \pm 1\).
  • \(HP(-1|0,67)\), \(TP(1|-0,67)\).

b) \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^3\)

• Symmetrie: Gemischte Exponenten \(\rightarrow\) Keine einfache Symmetrie.
• Schnittpunkte: \(x^2(\frac{1}{2} - \frac{1}{8}x) = 0 \Rightarrow N_1(0|0), N_2(4|0)\).
• Extrempunkte: \(f'(x) = x - \frac{3}{8}x^2 = x(1 - \frac{3}{8}x)\).
  • \(TP(0|0)\), \(HP(2,67|1,19)\).

c) \(f(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3\)

• Symmetrie: Gemischt \(\rightarrow\) Keine Symmetrie.
• Schnittpunkte: \(x^3(\frac{1}{4}x + 1) = 0 \Rightarrow N_1(0|0), N_2(-4|0)\).
• Extrempunkte: \(f'(x) = x^3 + 3x^2 = x^2(x + 3)\).
  • \(TP(-3|-6,75)\), \(Sattelpunkt(0|0)\).

d) \(f(x) = \frac{5}{2}x^2 + x^4\)

• Symmetrie: Nur gerade Exponenten \(\rightarrow\) Achsensymmetrie zur y-Achse.
• Schnittpunkte: \(x^2(\frac{5}{2} + x^2) = 0\). Nur \(N(0|0)\), da Klammer immer positiv.
• Extrempunkte: \(f'(x) = 5x + 4x^3 = x(5 + 4x^2)\).
  • Nur ein \(TP(0|0)\).

e) \(f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2\)

• Symmetrie: Gemischt \(\rightarrow\) Keine Symmetrie.
• Schnittpunkte: \(x^2(\frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}) = 0 \Rightarrow N(0|0)\).
• Extrempunkte: \(f'(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{9}{4}x^2 + 3x = x(\frac{1}{2}x^2 - \frac{9}{4}x + 3)\).
  • \(TP(0|0)\). Die Klammer hat keine reellen Nullstellen.

f) \(f(x) = \frac{1}{20}x^5 - \frac{1}{6}x^3\)

• Symmetrie: Nur ungerade Exponenten \(\rightarrow\) Punktsymmetrie zum Ursprung.
• Schnittpunkte: \(x^3(\frac{1}{20}x^2 - \frac{1}{6}) = 0 \Rightarrow N_1(0|0), N_{2,3}(\pm\sqrt{3,33}|0)\).
• Extrempunkte: \(f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 = x^2(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2})\).
  • \(HP(-\sqrt{2}|0,19)\), \(TP(\sqrt{2}|-0,19)\), \(Sattelpunkt(0|0)\).

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Visualisierung der Graphen in R

Wir nutzen ein Facet-Grid, um alle Graphen auf einmal zu vergleichen.

library(ggplot2)
library(tidyr)

# Funktionen definieren
funcs <- list(
  a = function(x) (1/3)*x^3 - x,
  b = function(x) (1/2)*x^2 - (1/8)*x^3,
  c = function(x) (1/4)*x^4 + x^3,
  d = function(x) (5/2)*x^2 + x^4,
  e = function(x) (1/8)*x^4 - (3/4)*x^3 + (3/2)*x^2,
  f = function(x) (1/20)*x^5 - (1/6)*x^3
)

# Daten generieren
x <- seq(-4, 4, length.out = 200)
data <- data.frame(x = x)
for(n in names(funcs)) data[[n]] <- funcs[[n]](x)

# Umwandeln in Long-Format für ggplot
data_long <- pivot_longer(data, cols = -x, names_to = "Aufgabe", values_to = "y")

# Plotten
ggplot(data_long, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "steelblue", size = 1) +
  facet_wrap(~Aufgabe, scales = "free_y") +
  geom_hline(yintercept = 0, color = "black", alpha = 0.3) +
  geom_vline(xintercept = 0, color = "black", alpha = 0.3) +
  theme_minimal() +
  labs(title = "Übersicht der Funktionsgraphen", y = "f(x)")

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