Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion: \[f(x) = x^3 \cdot e^{-x}\]

a) Ermitteln des globalen Verhaltens (Grenzwerte), der Nullstellen und erste Skizze.
b) Berechnung der Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) zur Skalierung des Graphen.

Mathematische Lösung

a) Globalverhalten und Nullstellen

Grenzwerte: * Für \(x \to \infty\): \(f(x) = \frac{x^3}{e^x}\). Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion, gilt: \[\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\] (Die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote). * Für \(x \to -\infty\): \(x^3\) wird sehr groß negativ, \(e^{-x}\) wird sehr groß positiv. \[\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\]

Nullstellen (\(f(x) = 0\)): \[x^3 \cdot e^{-x} = 0\] Da \(e^{-x}\) niemals Null wird, bleibt nur: * \(x^3 = 0 \implies \mathbf{x_N = 0}\) (Dreifache Nullstelle, d.h. Sattelpunkt-Charakter im Ursprung).

b) Extrempunkte

Zur Berechnung benötigen wir die Ableitung mittels Produktregel: \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) * \(u = x^3, u' = 3x^2\) * \(v = e^{-x}, v' = -e^{-x}\)

1. Ableitung: \[f'(x) = 3x^2 \cdot e^{-x} + x^3 \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(3x^2 - x^3) = x^2 \cdot e^{-x}(3 - x)\]

Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\): * \(x_{E1} = 0\) * \(3 - x = 0 \implies x_{E2} = 3\)

2. Ableitung (zur Überprüfung): \[f''(x) = e^{-x}(x^3 - 6x^2 + 6x)\]

  • \(f''(0) = 0\) (Sattelpunkt bei (0|0), da \(f'''(0) \neq 0\))
  • \(f''(3) = e^{-3}(27 - 54 + 18) = -9e^{-3} < 0 \implies\) Hochpunkt (HP)

Y-Koordinate des HP: \(f(3) = 3^3 \cdot e^{-3} = \frac{27}{e^3} \approx 1,344\)

Visualisierung in R

library(ggplot2)

# Funktion definieren
f <- function(x) { x^3 * exp(-x) }

# Daten für Plot generieren
x_vals <- seq(-1.5, 10, length.out = 500)
df <- data.frame(x = x_vals, y = f(x_vals))

# Plot erstellen
ggplot(df, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "darkgreen", size = 1) +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "solid", color = "black") +
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "solid", color = "black") +
  # Markierung des Hochpunkts
  annotate("point", x = 3, y = f(3), color = "red", size = 3) +
  annotate("text", x = 3.5, y = f(3) + 0.5, label = "HP (3 | 1.34)") +
  # Markierung des Sattelpunkts
  annotate("point", x = 0, y = 0, color = "blue", size = 3) +
  annotate("text", x = 1, y = 0.5, label = "Sattelpunkt (0|0)") +
  labs(title = "Graph von f(x) = x^3 * e^-x",
       subtitle = "Globales Verhalten: Asymptote bei y=0 für x -> unendlich",
       x = "x-Achse", y = "f(x)") +
  theme_minimal()
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
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