Die Funktion

Gegeben ist die ganzrationale Funktion 4. Grades: \[f(x) = 2x^4 + 7x^3 + 5x^2\]

1. Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt mit der y-Achse (\(S_y\))

Setze \(x = 0\): \(f(0) = 2(0)^4 + 7(0)^3 + 5(0)^2 = 0\). Daraus folgt: \(S_y(0|0)\).

Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen)

Setze \(f(x) = 0\): \[2x^4 + 7x^3 + 5x^2 = 0\] Ausklammern von \(x^2\): \[x^2 \cdot (2x^2 + 7x + 5) = 0\]

  • \(x_1 = 0\) (doppelte Nullstelle, d.h. hier liegt ein Berührpunkt/Extrempunkt vor).
  • Berechnung der Klammer mit der Mitternachtsformel (\(2x^2 + 7x + 5 = 0\)): \[x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{4} = \frac{-7 \pm 3}{4}\]
  • \(x_2 = -1\)
  • \(x_3 = -2,5\)

Nullstellen: \(N_1(0|0)\), \(N_2(-1|0)\), \(N_3(-2,5|0)\).

2. Ableitungen

Für die weiteren Untersuchungen benötigen wir die ersten drei Ableitungen: * \(f'(x) = 8x^3 + 21x^2 + 10x\) * \(f''(x) = 24x^2 + 42x + 10\) * \(f'''(x) = 48x + 42\)

3. Extrempunkte

Bedingung: \(f'(x) = 0\) \[8x^3 + 21x^2 + 10x = 0 \implies x \cdot (8x^2 + 21x + 10) = 0\]

  1. \(x_{E1} = 0\)
  2. \(8x^2 + 21x + 10 = 0 \implies x = \frac{-21 \pm \sqrt{441 - 320}}{16} = \frac{-21 \pm 11}{16}\)
    • \(x_{E2} = -0,625\)
    • \(x_{E3} = -2\)

Überprüfung mit der 2. Ableitung: * \(f''(0) = 10 > 0 \implies\) Tiefpunkt bei \((0|0)\) * \(f''(-0,625) \approx -6,875 < 0 \implies\) Hochpunkt bei \((-0,625|0,549)\) * \(f''(-2) = 22 > 0 \implies\) Tiefpunkt bei \((-2|-4)\)

4. Wendepunkte

Bedingung: \(f''(x) = 0\) \[24x^2 + 42x + 10 = 0\] Durch 24 teilen und p-q-Formel oder direkt Mitternachtsformel: \[x_{W1,2} = \frac{-42 \pm \sqrt{1764 - 960}}{48} = \frac{-42 \pm \sqrt{804}}{48}\] * \(x_{W1} \approx -0,28\) * \(x_{W2} \approx -1,47\)

Da \(f'''(x) \neq 0\) für diese Werte, liegen zwei Wendepunkte vor. (Y-Werte durch Einsetzen in \(f(x)\) ermitteln: \(W_1(-0,28|0,25)\) und \(W_2(-1,47|-2,36)\)).

5. Visualisierung in R

Hier ist der Code, um den Graphen zu skizzieren:

f <- function(x) 2*x^4 + 7*x^3 + 5*x^2
curve(f, from = -3, to = 1, main = "Graph von f(x) = 2x^4 + 7x^3 + 5x^2", 
      col = "blue", lwd = 2, ylab = "f(x)")
abline(h = 0, v = 0, col = "gray", lty = 2) # Achsen
points(c(0, -1, -2.5), c(0, 0, 0), col = "red", pch = 19) # Nullstellen