Column

Métodos Quantitativos – PAUTA

1. Seja X a variável aleatória que representa a pressão sanguínea sistólica em indivíduos com idade entre 20 e 25 anos. Essa variável tem distribuição aproximadamente normal. Suponha que, com base em uma amostra de 10 indivíduos, foi obtida a média 123mmHg, a partir dos seguintes dados:

Tabela auxiliar para Medidas de Dispersão

\(X_i\)	136.00	103.00	126.00	116.00	129.00	143.00	113.00	866.00
\(X_i-\overline{X}\)	12.29	-20.71	2.29	-7.71	5.29	19.29	-10.71	0.00
\((X_i-\overline{X})^2\)	150.94	429.08	5.22	59.51	27.94	371.94	114.80	1159.43

1.1. Qual é o percentual da variação da pressão sanguínea, com base nos dados recolhidos. 2Pts

\[ \overline X = \frac{ \sum X_i}{n} = 123 \quad \quad \mid \quad S = \sqrt{\frac{ \sum(X_i- \overline X)^2}{n-1}} = 13,90 \quad \quad \mid \quad C.V = \frac{ S}{\overline X}\cdot 100\% = 11,24 \% \]

2. Durante sete trimestres do ano de 2007, os preços (em Euros) e quantidades vendidas de quatro produtos, numa mercearia foram os seguintes:

Tabela auxiliar para o cálculo do Índice de Preços

	I Trimestre		II Trimestre		III Trimestre		Cálculo dos Produtos
Produto	\(P_i\)	\(Q_i\)	\(P_{ii}\)	\(Q_{ii}\)	\(P_{iii}\)	\(Q_{iii}\)	\(P_i \times Q_{iii}\)	\(P_{iii} \times Q_{iii}\)
A	210	157	230	160	210	158	33180	33180
B	350	157	370	198	300	129	45150	38700
C	60	64	45	7	50	59	3540	2950
Soma	NA	NA	NA	NA	NA	NA	81870	74830

\[ I_p = \frac{ P_t}{P_0} \times 100\% \quad \quad \mid \quad L_{Q_i} = \frac{ \sum (P_0 \cdot Q_i)}{\sum (P_0 \cdot Q_0)} \times 100\% \quad \quad \mid \quad P_{P_i} = \frac{ \sum (P_i \cdot Q_i)}{\sum (P_0 \cdot Q_i)} \times 100\% \]

2.1. Calcule o Índice Simples de Preço para os produtos A e C. 2,5Pts

                A1     A2  A3  C1 C2    C3
Indice_simples 100 109.52 100 100 75 83.33

2.2. Tomando o primeiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Paasche para o último trimestre. 4Pts

O resultado do índice de quantidade de Paasche para o Trimestre III é 91.401 % 

3. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

Tabela Auxiliar para o Cálculo de Corelação ou Regressão Linear simples

\(X_i\)	\(Y_i\)	\((X_i - \overline{X})\)	\((X_i - \overline{X})^2\)	\((Y - \overline{Y})\)	\((X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y})\)	\(X_i \cdot Y_i\)	\(X_i^2\)	\(Y_i^2\)
31	5	-28.12	791.02	-5.38	151.17	155	961	25
39	7	-20.12	405.02	-3.38	67.92	273	1521	49
52	10	-7.12	50.77	-0.38	2.67	520	2704	100
59	12	-0.12	0.02	1.62	-0.20	708	3481	144
49	6	-10.12	102.52	-4.38	44.30	294	2401	36
74	17	14.88	221.27	6.62	98.55	1258	5476	289
77	15	17.88	319.52	4.62	82.67	1155	5929	225
92	11	32.88	1080.77	0.62	20.55	1012	8464	121
473	83	NA	2970.88	NA	467.62	5375	30937	989

3.1. Estime a equação da regressão linear simples. 3,5Pts

A Equação da Recta de Regressão é dada por: Y =  1.068  +  0.157 X 

3.2. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1,5Pts

Em média, por cada minuto adicional de estudo semanal, a nota na prova final aumenta 0.157 pontos, mantendo-se todo o resto constante.

3.3. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1,5Pts

         30min/semana 85min/semana 5h/semana
previsao     5.790634     14.44781  48.28948

3.4. Um aumento de 90 min de estudo faz diferença significativa no desempenho? 1,5Pts

Sim. Um aumento de 90 minutos de estudo semanal está associado a um aumento médio de cerca de 15.23 pontos na nota final, indicando que mais tempo de estudo contribui para um melhor desempenho na prova.

4. Um analista de dados do sector da Saúde pretende avaliar o perfil glicémico dos utentes atendidos num centro de saúde local. Para isso, recolheu os seguintes dados (em mg/dL):

112.8 | 100.8 | 93.3 | 83.4 | 107 | 111.5 | 83.4 | 103.9 | 97.9 | 109 | 99.5 | 75.8 | 113.6 | 75 | 94 | 101.8 | 108.9 | 89.8 | 79 | 70.9 | 69.2

4.1. Organiza os dados numa tabela de Distribuição de Frequências (Expr. Sturges), para identificar padrões na distribuição dos níveis de glicose. 3,5Pts

Tabela de Distribuição de Frequências

Classes	\(F_i\)	\(F{ri}\) (%)	\(F{i_{ac}}\)	\(F{ri_{ac}}\) (%)
[69.2,78.2)	4	19.0	4	19.05
[78.2,87.2)	3	14.3	7	33.33
[87.2,96.2)	3	14.3	10	47.62
[96.2,105)	5	23.8	15	71.43
[105,114)	6	28.6	21	100.00
NA	21	100.0	NA	NA

Column

Probabilidade & Estatística I – PAUTA

1. Um analista de dados do sector da Saúde pretende avaliar o perfil glicémico dos utentes atendidos num centro de saúde local. Para isso, recolheu os seguintes dados (em mg/dL):

112.86 | 100.87 | 93.3 | 83.42 | 112.12 | 111.51 | 83.47 | 103.96 | 97.97 | 109.13 | 99.55 | 101.69 | 113.68 | 75.74 | 94.08 | 101.87 | 108.9 | 89.81 | 95.67 | 70.94 | 69.28

1.1. Organiza os dados numa tabela de Distribuição de Frequências (Expr. Sturges), para identificar padrões na distribuição dos níveis de glicose. 3,5Pts

Tabela de Distribuição de Frequências

Classes	\(F_i\)	\(F{ri}\) (%)	\(F{i_{ac}}\)	\(F{ri_{ac}}\) (%)
[69.3,78.3)	3	14.3	3	14.29
[78.3,87.3)	2	9.5	5	23.81
[87.3,96.3)	4	19.0	9	42.86
[96.3,105)	6	28.6	15	71.43
[105,114)	6	28.6	21	100.00
NA	21	100.0	NA	NA

2. Um laboratório de análises clínicas utiliza dois analisadores de hematologia, Máquina A e Máquina B, para processar diariamente 680 hemogramas (contagens celulares no sangue). A Máquina A processa diariamente 280 hemogramas, dos quais 2,5% apresentam erro analítico (resultado defeituoso, como contagem incorrecta de leucócitos ou plaquetas). A Máquina B processa as restantes amostras, das quais 3% apresentam erro analítico.

De uma amostra processada em um determinado dia, selecciona-se aleatoriamente um hemograma.

Dados do problema:

Total de hemogramas por dia: 680; ii) Máquina A: 280; Máquina B: 680 − 280 = 400

Taxas de erro: i) Máquina A: 2,5% = 0,025; ii) Máquina B: 3% = 0,03

Apresente em percentagem, a probabilidade de:

2.1. o hemograma não ter erro analítico e ter sido processado pela Máquina A. 2,5Pts

\[ \small P(\text{SemErro} \cap A) = P(A)\times P(\text{SemErro}\mid A) = P(A)\times \frac{P(\text{SemErro} \cap A)}{P(A)}=40,147 \]

A probabilidade do hemograma não ter erro analítico e ter sido processado pela Máquina A é: 40.15 %.

2.2. o hemograma não ter erro analítico, sabendo que foi processado pela Máquina A. 2,5Pts

\[ P(\text{Sem erro}\mid A) = \frac{P(\text{SemErro} \cap A)}{P(A)}=97,5 \]

A probabilidade do hemograma não ter erro analítico, sabendo que foi processado pela Máquina A é: 97.5 %.

3. Durante sete trimestres do ano de 2007, os preços (em Euros) e quantidades vendidas de quatro produtos, numa mercearia foram os seguintes:

Tabela auxiliar para o cálculo do Índice de Preços

	I Trimestre		II Trimestre		III Trimestre		Cálculo dos Produtos
Produto	\(P_i\)	\(Q_i\)	\(P_{ii}\)	\(Q_{ii}\)	\(P_{iii}\)	\(Q_{iii}\)	\(P_i \times Q_{ii}\)	\(P_{ii} \times Q_{ii}\)	\(P_i \times Q_{iii}\)	\(P_{iii} \times Q_{iii}\)
A	143	210	157	160	240	220	22880	25120	31460	52800
B	119	300	157	138	240	380	16422	21666	45220	91200
C	392	20	455	480	8	0	188160	218400	0	0
D	45	50	64	70	50	40	3150	4480	1800	2000
Soma	NA	NA	NA	NA	NA	NA	230612	269666	78480	146000

\[ I_p = \frac{ P_t}{P_0} \times 100\% \quad \quad \mid \quad L_{Q_i} = \frac{ \sum (P_0 \cdot Q_i)}{\sum (P_0 \cdot Q_0)} \times 100\% \quad \quad \mid \quad P_{P_i} = \frac{ \sum (P_i \cdot Q_i)}{\sum (P_0 \cdot Q_i)} \times 100\% \]

3.1. Tomando o primeiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Paasche para os dois últimos trimestres. 4Pts

O resultado do índice de preço de Paasche para o Trimestre II é 116.935 % e para o Trimestre III é 186.035 % 

4. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

4.1. Estime a equação da regressão linear simples. 3,5Pts

Tabela Auxiliar para o Cálculo de Corelação ou Regressão Linear simples

\(X_i\)	\(Y_i\)	\((X_i - \overline{X})\)	\((X_i - \overline{X})^2\)	\((Y - \overline{Y})\)	\((X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y})\)	\(X_i \cdot Y_i\)	\(X_i^2\)	\(Y_i^2\)
30	5	-25.12	631.27	-5.38	135.05	150	900	25
38	7	-17.12	293.27	-3.38	57.80	266	1444	49
46	9	-9.12	83.27	-1.38	12.55	414	2116	81
54	11	-1.12	1.27	0.62	-0.70	594	2916	121
39	13	-16.12	260.02	2.62	-42.33	507	1521	169
70	6	14.88	221.27	-4.38	-65.08	420	4900	36
78	13	22.88	523.27	2.62	60.05	1014	6084	169
86	19	30.88	953.27	8.62	266.30	1634	7396	361
441	83	NA	2966.88	NA	423.62	4999	27277	1011

A Equação da Recta de Regressão é dada por: Y =  2.504  +  0.143 X 

4.2. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1,5Pts

Em média, por cada minuto adicional de estudo semanal, a nota na prova final aumenta 0.143 pontos, mantendo-se todo o resto constante.

4.3. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1,5Pts

         30min/semana 85min/semana 5h/semana
previsao     6.787529      14.6407  45.33946

4.4. Um aumento de 90 min de estudo faz diferença significativa no desempenho? 1,5Pts

Sim. Um aumento de 90 minutos de estudo semanal está associado a um aumento médio de cerca de 15.35 pontos na nota final, indicando que mais tempo de estudo contribui para um melhor desempenho na prova.

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Estatística para Economista I – PAUTA  |   Estatística I – PAUTA

1. Uma rede deseja avaliar a concentração de vendas entre suas 6 lojas, comparando a proporção acumulada de clientes (população) com a proporção acumulada do volume de vendas (renda). Isso mostra se poucas lojas concentram a maior parte das vendas:

1.1. A partir da Curva de Lorenz, a distribuição de vendas pode ser considerada pouco concentrada, moderadamente concentrada, ou altamente concentrada? 3,5Pts.

1.2. Determine o Índice de Gini. 2Pts

Tabela de Distribuição de Frequências

Loja	Clientes \(F_i\)	Vendas \(Yi\)	\(F_{i_{ac}}\)	\(Y_{i_{ac}}\)	\(Fr_{i_{ac}}\) ou \(p_i\) (%)	\(Yr_{i_{ac}}\) ou \(q_i\) (%)
1	217	26	217	26	4.77	1.01
2	433	91	650	117	14.29	4.55
3	650	195	1300	312	28.57	12.12
4	867	351	2167	663	47.63	25.76
5	1083	611	3250	1274	71.43	49.49
6	1300	1300	4550	2574	100.00	100.00
NA	4550	2574	NA	NA	NA	NA

2. Seja X a variável aleatória que representa a pressão sanguínea sistólica em indivíduos com idade entre 20 e 25 anos. Essa variável tem distribuição aproximadamente normal. Suponha que a média seja 123mmHg, com base em uma amostra seguinte.

Tabela auxiliar para Medidas de Dispersão

\(X_i\)	136	103	126	119	122	123	116	126	971
\(X_i-\overline{X}\)	13	-20	3	-4	-1	0	-7	3	-13
\((X_i-\overline{X})^2\)	169	400	9	16	1	0	49	9	653

2.1. Qual é o percentual da variação da pressão sanguínea, com base nos dados recolhidos. 2,5Pts

\[ \overline X = 123 \quad \quad \mid \quad S = \sqrt{\frac{ \sum(X_i- \overline X)^2}{n-1}} = 9,66 \quad \quad \mid \quad C.V = \frac{ S}{\overline X}\cdot 100\% = 7,852 \% \]

O coeficiente de variação da concentração do reagente é de aproximadamente 7.852 % indicando que a dispersão relativa dos valores em torno da média é baixa.

2.2. Como classificas a distribuição dos dados, com base nos conhecimentos sobre a assimetria. 2,5Pts

\[ A_{S_1}=G_1= \frac{\overline X - M_o}{S}=-0,311 \]

A distribuição dos dados é caracterizada como assimétrica positiva, cujo valor do coeficienté é: -0.311 .

3. Durante sete trimestres do ano de 2007, os preços (em Euros) e quantidades vendidas de quatro produtos, numa mercearia foram os seguintes:

Tabela auxiliar para o cálculo do Índice de Preços

Produto	I Trimestre		II Trimestre		III Trimestre		Cálculo dos Produtos
	\(P_i\)	\(Q_i\)	\(P_{ii}\)	\(Q_{ii}\)	\(P_{iii}\)	\(Q_{iii}\)	\(P_i \times Q_i\)	\(P_{ii} \times Q_i\)	\(P_{iii} \times Q_i\)
A	160	250	162	230	143	210	40000	40500	35750
B	198	380	135	370	119	300	75240	51300	45220
C	400	80	470	5	392	20	32000	37600	31360
D	7	50	68	45	45	50	350	3400	2250
Soma	NA	NA	NA	NA	NA	NA	147590	132800	114580

3.1. Tomando o primeiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Laspeyres (Curso de Economia) para o último trimestre. 3Pts

O resultado do índice de preço de Laspeyres para o Trimestre II é 89.979 % e para o Trimestre III é 77.634 % 

3.1. Tomando o primeiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Paasche (Curso de Gestão) para o último trimestre. 3Pts

Tabela auxiliar para o cálculo do Índice de Preços

Produto	I Trimestre		II Trimestre		III Trimestre		Cálculo dos Produtos
	\(P_i\)	\(Q_i\)	\(P_{ii}\)	\(Q_{ii}\)	\(P_{iii}\)	\(Q_{iii}\)	\(P_i \times Q_{ii}\)	\(P_i \times Q_{iii}\)	\(P_{ii} \times Q_{ii}\)	\(P_{iii} \times Q_{iii}\)
A	160	250	162	230	143	210	36800	33600	37260	30030
B	198	380	135	370	119	300	73260	59400	49950	35700
C	400	80	470	5	392	20	2000	8000	2350	7840
D	7	50	68	45	45	50	315	350	3060	2250
Soma	NA	NA	NA	NA	NA	NA	112375	101350	92620	75820

O resultado do índice de preço de Paasche para o Trimestre II é 82.42 % e para o Trimestre III é 74.81 % 

4. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

Tabela Auxiliar para o Cálculo de Corelação ou Regressão Linear simples

\(X_i\)	\(Y_i\)	\((X_i - \overline{X})\)	\((X_i - \overline{X})^2\)	\((Y - \overline{Y})\)	\((X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y})\)	\(X_i \cdot Y_i\)	\(X_i^2\)	\(Y_i^2\)
57	5	-1	1	-5.62	5.62	285	3249	25
69	11	11	121	0.38	4.12	759	4761	121
84	15	26	676	4.38	113.75	1260	7056	225
55	10	-3	9	-0.62	1.88	550	3025	100
61	12	3	9	1.38	4.12	732	3721	144
51	5	-7	49	-5.62	39.38	255	2601	25
31	8	-27	729	-2.62	70.88	248	961	64
56	19	-2	4	8.38	-16.75	1064	3136	361
464	85	NA	1598	NA	223.00	5153	28510	1065

\[ \small Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X \quad \mid \quad a = \beta_0 = \overline Y - \beta_1 \cdot \overline X \quad \mid \quad b = \beta_1 = \frac{ \sum (X_i - \overline X) \cdot (Y_i - \overline Y)}{\sum (X_i - \overline X)^2} = \frac{ n \cdot \sum X_i \cdot Y_i - (\sum X_i) \cdot (\sum Y_i)}{n \cdot (\sum X_i) - \sum (X_i)^2} \\ \]

4.1. Estime a equação da regressão linear simples. 3,5Pts

A Equação da Recta de Regressão é dada por: Y =  2.531  +  0.14 X 

4.2. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1Pts

[1] "Em média, por cada minuto adicional de estudo semanal, a nota na prova final aumenta 0.1395 pontos, mantendo-se todo o resto constante."

4.3. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1,5Pts

         30min/semana 85min/semana 5h/semana
previsao     6.717616     14.39283  44.39596

4.4. Um aumento de 90 min de estudo faz diferença significativa no desempenho? 1Pts

Sim. Um aumento de 90 minutos de estudo semanal está associado a um aumento médio de cerca de 15.09 pontos na nota final, indicando que mais tempo de estudo contribui para um melhor desempenho na prova.

Column

Estatística Descritiva – PAUTA

1. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

1.1. Calcule e classifique a correlação existente entre as duas variáveis. 3Pts

Tabela auxiliar para regressão linear simples

\(X_i\)	\(Y_i\)	\(\overline{X}\)	\(\overline{Y}\)	\(X_i \times Y_i\)	\(X_i^2\)	\(Y_i^2\)
32	6	63.6	12.27	192	1024	36
38	9	63.6	12.27	342	1444	81
44	12	63.6	12.27	528	1936	144
50	15	63.6	12.27	750	2500	225
56	18	63.6	12.27	1008	3136	324
60	20	63.6	12.27	1200	3600	400
30	5	63.6	12.27	150	900	25
36	8	63.6	12.27	288	1296	64
42	11	63.6	12.27	462	1764	121
70	6	63.6	12.27	420	4900	36
80	9	63.6	12.27	720	6400	81
90	12	63.6	12.27	1080	8100	144
100	15	63.6	12.27	1500	10000	225
110	18	63.6	12.27	1980	12100	324
116	20	63.6	12.27	2320	13456	400
954	184	NA	NA	12940	72556	2630

\[ \rho = r = \frac{n \cdot \sum X_i \cdot Y_i - \sum X_i \cdot \sum Y_i}{\sqrt{ \left[ n \cdot \sum X_i^2 - \left(\sum X_i \right)^2 \right] \cdot \left[ n \cdot \sum Y_i^2 - \left(\sum Y_i \right)^2 \right]}} =0,588 \]

O coeficiente de correlação obtido 0.588 , indica a existência de uma correlação linear positiva e moderada entre as variáveis em estudo.

1.2. Estime a equação da regressão linear simples. 3Pts \[ \small Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X \quad \mid \quad a = \beta_0 = \overline Y - \beta_1 \cdot \overline X \quad \mid \quad b = \beta_1 = \frac{ \sum (X_i - \overline X) \cdot (Y_i - \overline Y)}{\sum (X_i - \overline X)^2} = \frac{ n \cdot \sum X_i \cdot Y_i - (\sum X_i) \cdot (\sum Y_i)}{n \cdot (\sum X_i) - \sum (X_i)^2} \\ \]

A Equação da Recta de Regressão é dada por: Y =  5.642  +  0.104 X 

1.3. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1Pts

[1] "Em média, por cada minuto adicional de estudo semanal, a nota na prova final aumenta 0.1042 pontos, mantendo-se todo o resto constante."

1.4. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1Pts

         30min/semana 85min/semana 5h/semana
previsao     8.766855     14.49571  36.89034

1.5. Um aumento de 90 min de estudo faz diferença significativa no desempenho? 1Pts

Sim. Um aumento de 90 minutos de estudo semanal está associado a um aumento médio de cerca de 15.02 pontos na nota final, indicando que mais tempo de estudo contribui para um melhor desempenho na prova.

2. Seja X a variável aleatória que representa a pressão sanguínea sistólica em indivíduos com idade entre 20 e 25 anos. Essa variável tem distribuição aproximadamente normal. Suponha que a média seja 123mmHg, com base em uma amostra seguinte:

Tabela auxiliar para Medidas de Dispersão

\(X_i\)	136	103	126	119	122	123	116	129	143	113	1230
\(X_i-\overline{X}\)	13	-20	3	-4	-1	0	-7	6	20	-10	0
\((X_i-\overline{X})^2\)	169	400	9	16	1	0	49	36	400	100	1180

2.1. Qual é o percentual da variação da pressão sanguínea, com base nos dados recolhidos. 2Pts

\[ \overline X = 123 \quad \quad \mid \quad S = \sqrt{\frac{ \sum(X_i- \overline X)^2}{n-1}} = 11,45 \quad \quad \mid \quad C.V = \frac{ S}{\overline X}\cdot 100\% = 9,309 \% \]

O coeficiente de variação da concentração do reagente é de aproximadamente 9.309 % indicando que a dispersão relativa dos valores em torno da média é baixa.

2.2. Como classificas a distribuição dos dados, com base nos conhecimentos sobre a assimetria. 2Pts

\[ \small A_{S_2}=G_2= \frac{Q_3 + Q_1 - 2\cdot Q_2}{Q_3 + Q_1}= \frac{Q_3 + Q_1 - 2\cdot M_e}{Q_3 + Q_1}=0 \]

3. Uma rede deseja avaliar a concentração de vendas entre suas 10 lojas, comparando a proporção acumulada de clientes (população) com a proporção acumulada do volume de vendas (renda). Isso mostra se poucas lojas concentram a maior parte das vendas:

3.1. A partir da Curva de Lorenz, a distribuição de vendas pode ser considerada pouco concentrada, moderadamente concentrada, ou altamente concentrada? 2Pts.

3.2. Determine o Índice de Gini. 2Pts

Tabela de Distribuição de Frequências

Loja	Clientes \(F_i\)	Vendas \(Yi\)	\(F_{i_{ac}}\)	\(Y_{i_{ac}}\)	\(Fr_{i_{ac}}\) ou \(p_i\) (%)	\(Yr_{i_{ac}}\) ou \(q_i\) (%)
1	237	9	237	9	3.08	0.36
2	356	18	593	27	7.70	1.07
3	474	31	1067	58	13.86	2.29
4	593	51	1660	109	21.56	4.31
5	710	81	2370	190	30.78	7.51
6	829	124	3199	314	41.55	12.42
7	947	189	4146	503	53.85	19.89
8	1066	280	5212	783	67.70	30.96
9	1184	443	6396	1226	83.08	48.48
10	1303	1303	7699	2529	100.00	100.00
NA	7699	2529	NA	NA	NA	NA

4. Durante sete trimestres do ano de 2007, os preços (em Euros) e quantidades vendidas de quatro produtos, numa mercearia foram os seguintes:

Tabela auxiliar para o cálculo do Índice de Preços

Produto	I Trimestre		II Trimestre		III Trimestre		Cálculo dos Produtos
	\(P_i\)	\(Q_i\)	\(P_{ii}\)	\(Q_{ii}\)	\(P_{iii}\)	\(Q_{iii}\)	\(P_i \times Q_i\)	\(P_{iii} \times Q_i\)	\(P_{ii} \times Q_{ii}\)	\(P_{iii} \times Q_{ii}\)
A	157	138	210	157	230	160	21666	31740	32970	36110
B	455	480	350	157	370	198	218400	177600	54950	58090
C	64	70	10	455	5	400	4480	350	4550	2275
D	157	160	60	64	45	7	25120	7200	3840	2880
Soma	NA	NA	NA	NA	NA	NA	269666	216890	96310	99355

\[ I_p = \frac{ P_t}{P_0} \times 100\% \quad \quad \mid \quad L_{Q_i} = \frac{ \sum (P_0 \cdot Q_i)}{\sum (P_0 \cdot Q_0)} \times 100\% \quad \quad \mid \quad P_{P_i} = \frac{ \sum (P_i \cdot Q_i)}{\sum (P_0 \cdot Q_i)} \times 100\% \]

4.1. Tomando o terceiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Paasche para os restantes trimestres. 3Pts

O resultado do índice de preço de Paasche para o Trimestre I é 124.333 % e para o Trimestre III é 96.935 % 

Column

BioEstatística – PAUTA

1. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

Tabela Auxiliar para o Cálculo de Corelação ou Regressão Linear simples

\(X_i\)	\(Y_i\)	\((X_i - \overline{X})\)	\((X_i - \overline{X})^2\)	\((Y - \overline{Y})\)	\((X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y})\)	\(X_i \cdot Y_i\)	\(X_i^2\)	\(Y_i^2\)
30	5	-28.8	829.44	-6.4	184.32	150	900	25
38	7	-20.8	432.64	-4.4	91.52	266	1444	49
46	9	-12.8	163.84	-2.4	30.72	414	2116	81
54	11	-4.8	23.04	-0.4	1.92	594	2916	121
39	13	-19.8	392.04	1.6	-31.68	507	1521	169
70	6	11.2	125.44	-5.4	-60.48	420	4900	36
78	13	19.2	368.64	1.6	30.72	1014	6084	169
86	19	27.2	739.84	7.6	206.72	1634	7396	361
45	11	-13.8	190.44	-0.4	5.52	495	2025	121
102	20	43.2	1866.24	8.6	371.52	2040	10404	400
588	114	NA	5131.60	NA	830.80	7534	39706	1532

\[ \small Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X \quad \mid \quad a = \beta_0 = \overline Y - \beta_1 \cdot \overline X \quad \mid \quad b = \beta_1 = \frac{ \sum (X_i - \overline X) \cdot (Y_i - \overline Y)}{\sum (X_i - \overline X)^2} = \frac{ n \cdot \sum X_i \cdot Y_i - (\sum X_i) \cdot (\sum Y_i)}{n \cdot (\sum X_i) - \sum (X_i)^2} \\ \] 1.1. Estime a equação da regressão linear simples. 3Pts

A Equação da Recta de Regressão é dada por: Y =  1.88  +  0.162 X 

1.2. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1Pts

[1] "Em média, por cada minuto adicional de estudo semanal, a nota na prova final aumenta 0.1619 pontos, mantendo-se todo o resto constante."

1.3. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1Pts

         20min/semana 65min/semana 3h/semana
previsao     5.118326     12.40377  31.02214

2. Um laboratório de análises clínicas utiliza dois analisadores de hematologia, Máquina A e Máquina B, para processar diariamente 680 hemogramas (contagens celulares no sangue). A Máquina A processa diariamente 280 hemogramas, dos quais 2,5% apresentam erro analítico (resultado defeituoso, como contagem incorrecta de leucócitos ou plaquetas). A Máquina B processa as restantes amostras, das quais 3% apresentam erro analítico.

De uma amostra processada em um determinado dia, selecciona-se aleatoriamente um hemograma.

Dados do problema:

Total de hemogramas por dia: 680; ii) Máquina A: 280; Máquina B: 680 − 280 = 400

Taxas de erro: i) Máquina A: 2,5% = 0,025; ii) Máquina B: 3% = 0,03

Apresente em percentagem, a probabilidade de:

2.1. o hemograma não ter erro analítico e ter sido processado pela Máquina A. 2Pts

\[ \small P(\text{SemErro} \cap A) = P(A)\times P(\text{SemErro}\mid A) = P(A)\times \frac{P(\text{SemErro} \cap A)}{P(A)}=40,147 \]

A probabilidade do hemograma não ter erro analítico e ter sido processado pela Máquina A é: 40.15 %.

2.2. o hemograma não ter erro analítico, sabendo que foi processado pela Máquina A. 2Pts

\[ P(\text{Sem erro}\mid A) = \frac{P(\text{SemErro} \cap A)}{P(A)}=97,5 \]

A probabilidade do hemograma não ter erro analítico, sabendo que foi processado pela Máquina A é: 97.5 %.

3. Suponha que a pressão sanguínea sistólica em indivíduos com idade entre 15 e 25 anos é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal de média 120 mmHg e desvio padrão 8 mmHg.

\[ X \sim \mathcal {N}(\mu = 120, \, \, \, \sigma = 8) \]

3.1. Calcule a probabilidade de um indivíduo dessa faixa etária apresentar pressão entre 110 e 130 mmHg. 2Pts

\[ P(110 < X < 130) = P \left( \frac{110-120}{8} < z < \frac{130-120}{8} \right) = P(-1,25 < z < 1,25) = P(z < 1,25) - P(z <- 1,25) \]

\[ P(110 < X < 130) = 0{,}7887 \;(78{,}87\%) \]

A probabilidade de um indivíduo dessa faixa etária apresentar pressão entre 110 e 130 mmHg é: 78.87 %.

3.2. E a probabilidade da pressão ser maior do que 130mmHg. 1,5Pts

\[ P(X > 130) = 1 - P(X < 130) = 1 - P \left( z < \frac{130-120}{8} \right) \Leftrightarrow P(X > 130) = 1 - P(z < 1,25) = 0{,}1056 \;(10{,}56\%) \]

A probabilidade da pressão ser maior do que 130mmHg é: 10.56 %.

4. Suponha que, em uma linha de produção de frascos para reagentes químicos, a probabilidade de um frasco não apresentar defeito é 0,91. Toma-se uma amostra de 100 frascos para inspecção.

\[ X \sim \mathcal {Bin}(n = 120, \, \, \, p \, (\text{defeituoso}) = 0,09) \]

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]

4.1. Qual é a probabilidade de haver pelo menos quatro frascos defeituosos na amostra? 1,5Pts

\[ \small P(X \ge 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - \left[ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \right] \]

\[ P(X \ge 4) = 1 - 0,0173 = 0,9827 \;(98,27\%) \]

A probabilidade de existir pelo menos quatro frascos defeituosos na amostra é: 98.27 %.

5. Seja X a variável aleatória que representa a pressão sanguínea sistólica em indivíduos com idade entre 20 e 25 anos. Essa variável tem distribuição aproximadamente normal. Suponha que, com base em uma amostra de 10 indivíduos, foi obtida a média 123mmHg, a partir dos seguintes dados:

Tabela auxiliar para Medidas de Dispersão

\(X_i\)	106	113	116	119	122	123	126	129	133	143	1230
\(X_i-\overline{X}\)	-17	-10	-7	-4	-1	0	3	6	10	20	0
\((X_i-\overline{X})^2\)	289	100	49	16	1	0	9	36	100	400	1000

5.1. Determine o intervalo de 90% de confiança para a média da população. 3Pts

\[ s = \sqrt{\frac{\sum{\left(x_i - \overline x \right)^2}}{n-1}} = \sqrt{\frac{\sum{\left(x_i - 123 \right)^2}}{n-1}} = 10,5409 \]

\[ I. C._{\left[ \mu, \; \alpha \right]}: \left( \overline x \pm t_{(n-1, \; \alpha)} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \; \;; \; \; \overline x + t_{(n-1, \; \alpha)} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right) = \left( \overline x \pm 1,833 \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right) \Longleftrightarrow I. C._{\left[ \mu, \; 10\% \right]}: \left( 116,8896 \;; \quad 129,1104 \right) \]

Com 90% de confiança, o intervalo estimado para a média populacional da concentração do reagente situa-se entre 116.89  e 129.11 .

6. Em um laboratório de análises clínicas, sabe-se que, historicamente, 78% dos resultados de hemogramas automatizados (processados por analisadores de hematologia) são liberados sem necessidade de revisão manual pelo técnico (ou seja, resultados dentro de parâmetros de controle de qualidade aceitáveis, sem erros analíticos evidentes).

Após a implementação de um novo protocolo de calibração diária e treinamento da equipe, o laboratório quer verificar se essa proporção aumentou (melhorou a eficiência do processo automatizado). Com 2,5% de significância, foi recolhida uma amostra aleatória de 200 hemogramas processados no novo protocolo, e constatou-se que 170 deles foram liberados automaticamente sem revisão manual. 3Pts

\[ H_0: \rho \le 78\%=0,78 \; \; \; \; \; \; \; \; \; H_1: \rho > 78\%=0,78 \]

\[ T = \frac{\widehat p - \rho}{\sqrt{\frac{\rho \cdot (1 - \rho)}{n}}} = \frac{\frac{170}{200} - 0,78}{\sqrt{\frac{0,78 \cdot (1 - 0,78)}{200}}} = 2,3898 \]

[1] "Rejeita-se H0, pois Zobs é maior do que 1.96"

Gráfico ilustrativo da decisão (simples)

Gráfico ilustrativo da decisão (GGplot)