Seorang peneliti di bidang psikologi pendidikan ingin membandingkan rata-rata skor motivasi belajar antara mahasiswa yang mengikuti program Project-Based Learning (PBL) dan mahasiswa yang mengikuti pembelajaran konvensional.
Dari hasil penelitian sebelumnya yang berskala nasional, diketahui bahwa variasi skor motivasi belajar pada mahasiswa PBL relatif stabil di sekitar 8 poin, sedangkan pada pembelajaran konvensional sekitar 6 poin.
Peneliti kemudian mengambil sampel acak: 40 mahasiswa dari kelompok PBL dengan rata-rata skor 78 35 mahasiswa dari kelompok konvensional dengan rata-rata skor 72 Diasumsikan bahwa skor motivasi belajar pada kedua kelompok berdistribusi normal. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata skor motivasi belajar antara kedua kelompok tersebut.
# Data
x1 <- 78
x2 <- 72
sigma1 <- 8
sigma2 <- 6
n1 <- 40
n2 <- 35
alpha <- 0.05
# 1. Selisih rata-rata
diff <- x1 - x2
diff## [1] 6# 2. Standar Error
SE <- sqrt((sigma1^2/n1) + (sigma2^2/n2))
SE## [1] 1.621287# 3. Nilai Z kritis
z <- qnorm(1 - alpha/2)
z## [1] 1.959964# 4. Interval Kepercayaan 95%
lower <- diff - z * SE
upper <- diff + z * SE
lower## [1] 2.822336upper## [1] 9.177664Dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata skor motivasi belajar mahasiswa pada program Project-Based Learning diperkirakan antara 2,71 hingga 9,29 poin lebih tinggi dibandingkan metode konvensional. Karena interval tidak mencakup 0, maka terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan secara statistik.
Seorang psikolog sosial menyatakan bahwa rata-rata skor kesejahteraan psikologis (psychological well-being) mahasiswa di Kampus A lebih tinggi dibandingkan rata-rata skor kesejahteraan psikologis mahasiswa di Kampus B. Untuk menguji pernyataan tersebut, seorang peneliti melakukan studi komparatif terhadap mahasiswa dari kedua kampus tersebut. Peneliti mengumpulkan data dari 45 mahasiswa, yang terdiri dari: 40% berasal dari Kampus A 60% berasal dari Kampus B Data yang diperoleh adalah sebagai berikut: Kelompok Rata-Rata Skor Simpangan Baku Kampus A 254 3 Kampus B 225 2
Diasumsikan bahwa: Data dari kedua kelompok berdistribusi normal Ragam (varians) kedua kelompok sama
Pertanyaan: Apakah hasil penelitian tersebut mendukung pernyataan psikolog sosial bahwa rata-rata skor kesejahteraan psikologis mahasiswa Kampus A lebih tinggi daripada Kampus B pada tingkat kepercayaan 95%?
# Data
n1 <- 18
n2 <- 27
xbar1 <- 254
xbar2 <- 225
s1 <- 3
s2 <- 2
# 1. Varians gabungan (pooled variance)
sp2 <- ((n1 - 1)*s1^2 + (n2 - 1)*s2^2) / (n1 + n2 - 2)
sp2## [1] 5.976744# 2. Standar error
SE <- sqrt(sp2 * (1/n1 + 1/n2))
SE## [1] 0.7439101# 3. Derajat bebas
df <- n1 + n2 - 2
df## [1] 43# 4. Nilai t hitung
t_hit <- (xbar1 - xbar2) / SE
t_hit## [1] 38.98321# 5. Nilai t kritis (uji satu arah, alpha = 0.05)
t_krit <- qt(0.95, df)
t_krit## [1] 1.681071# 6. Interval Kepercayaan 95%
lower <- (xbar1 - xbar2) - qt(0.975, df)*SE
upper <- (xbar1 - xbar2) + qt(0.975, df)*SE
lower## [1] 27.49976upper## [1] 30.50024Karena: t hitung > t kritis Interval kepercayaan tidak memuat 0 Maka tolak H0. Artinya, pada tingkat kepercayaan 95%, terdapat bukti yang cukup bahwa rata-rata skor kesejahteraan psikologis mahasiswa Kampus A lebih tinggi daripada Kampus B.
Seorang psikolog sosial menyatakan bahwa rata-rata skor kesejahteraan psikologis (psychological well-being) mahasiswa di Kampus A lebih tinggi dibandingkan rata-rata skor kesejahteraan psikologis mahasiswa di Kampus B.
Untuk menguji pernyataan tersebut, seorang peneliti melakukan studi komparatif terhadap mahasiswa dari kedua kampus tersebut.
Peneliti mengumpulkan data dari 45 mahasiswa, yang terdiri dari:
40% berasal dari Kampus A
60% berasal dari Kampus B
Data yang diperoleh adalah sebagai berikut:
Kelompok Rata-Rata Skor Simpangan Baku Kampus A 254 3 Kampus B 225 2
Apakah data hasil penelitian mahasiswa tersebut mendukung pernyataan psikolog sosial bahwa rata-rata skor kesejahteraan psikologis mahasiswa Kampus A lebih tinggi daripada Kampus B (SK 95%)?Asumsikan bahwa data dari kedua kelompok tersebut menyebar normal dan ragamnya TIDAK sama.
# Data
n1 <- 18
n2 <- 27
xbar1 <- 254
xbar2 <- 225
s1 <- 3
s2 <- 2
# 1. Standar Error (karena varians tidak sama)
SE <- sqrt((s1^2/n1) + (s2^2/n2))
SE## [1] 0.8050765# 2. Derajat bebas (Welch-Satterthwaite)
df <- ((s1^2/n1 + s2^2/n2)^2) /
(((s1^2/n1)^2)/(n1-1) + ((s2^2/n2)^2)/(n2-1))
df## [1] 27.01577# 3. t hitung
t_hit <- (xbar1 - xbar2) / SE
t_hit## [1] 36.02142# 4. t kritis (dua sisi, 95%)
t_krit <- qt(0.975, df)
t_krit## [1] 2.051774# 5. Interval Kepercayaan 95%
lower <- (xbar1 - xbar2) - t_krit * SE
upper <- (xbar1 - xbar2) + t_krit * SE
lower## [1] 27.34816upper## [1] 30.65184Karena: Interval kepercayaan tidak memuat 0 Seluruh interval bernilai positif Maka dapat disimpulkan bahwa pada tingkat kepercayaan 95%, rata-rata skor kesejahteraan psikologis mahasiswa Kampus A lebih tinggi dibandingkan Kampus B.
# Simulasi data agar bisa pakai t.test()
set.seed(123)
A <- rnorm(n1, mean = xbar1, sd = s1)
B <- rnorm(n2, mean = xbar2, sd = s2)
t.test(A, B, var.equal = FALSE)##
## Welch Two Sample t-test
##
## data: A and B
## t = 36.913, df = 25.459, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## 27.76438 31.04251
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## 254.4340 225.0305# Data
sebelum <- c(57,69,56,67,55,56,62,67,67,56)
sesudah <- c(55,70,56,65,54,55,64,65,67,54)
# 1. Hitung selisih (sesudah - sebelum)
d <- sesudah - sebelum
d## [1] -2 1 0 -2 -1 -1 2 -2 0 -2# 2. Rata-rata selisih
dbar <- mean(d)
dbar## [1] -0.7# 3. Simpangan baku selisih
sd_d <- sd(d)
sd_d## [1] 1.418136# 4. Banyak data
n <- length(d)
n## [1] 10# 5. Standar error
SE <- sd_d / sqrt(n)
SE## [1] 0.4484541# 6. Derajat bebas
df <- n - 1
df## [1] 9# 7. t hitung
t_hit <- dbar / SE
t_hit## [1] -1.560918# 8. t kritis (dua sisi, 95%)
t_krit <- qt(0.975, df)
t_krit## [1] 2.262157# 9. Interval Kepercayaan 95%
lower <- dbar - t_krit * SE
upper <- dbar + t_krit * SE
lower## [1] -1.714474upper## [1] 0.3144737Karena interval kepercayaan mencakup 0, maka: idak terdapat bukti yang cukup pada tingkat kepercayaan 95% bahwa vitamin tersebut benar-benar menurunkan berat badan minimal 0,5 kg dalam sebulan. Dengan kata lain, klaim perusahaan tidak terbukti secara statistik.
t.test(sebelum, sesudah, paired = TRUE)##
## Paired t-test
##
## data: sebelum and sesudah
## t = 1.5609, df = 9, p-value = 0.153
## alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -0.3144737 1.7144737
## sample estimates:
## mean difference
## 0.7(Selisih Proporsi Dua Populasi) Sebuah Lembaga Survei Masyarakat (LSM) melakukan studi tersembunyi untuk mengetahui tingkat dukungan terhadap calon Walikota X di Kota B. Hasil survei menunjukkan bahwa: Dari 500 responden di Pusat Kota B, sebanyak 275 orang menyatakan menyukai calon X. Dari 250 responden di wilayah Pinggiran Kota B, sebanyak 100 orang menyatakan menyukai calon X.
LSM tersebut ingin menguji apakah benar bahwa proporsi masyarakat yang menyukai calon X di Pusat Kota B lebih tinggi dibandingkan di Pinggiran Kota B. Gunakan taraf nyata 5% (α = 0,05) untuk menguji pernyataan tersebut.
# Data
n1 <- 500
n2 <- 250
x1 <- 275
x2 <- 100
alpha <- 0.05
# 1. Proporsi sampel
p1 <- x1 / n1
p2 <- x2 / n2
p1## [1] 0.55p2## [1] 0.4# 2. Selisih proporsi
diff <- p1 - p2
diff## [1] 0.15# 3. Standar error
SE <- sqrt((p1*(1-p1)/n1) + (p2*(1-p2)/n2))
SE## [1] 0.03814446# 4. Nilai Z kritis
z <- qnorm(1 - alpha/2)
z## [1] 1.959964# 5. Interval Kepercayaan 95%
lower <- diff - z*SE
upper <- diff + z*SE
lower## [1] 0.07523823upper## [1] 0.2247618Karena interval kepercayaan: Tidak mencakup 0 Seluruh interval bernilai positif Maka pada taraf nyata 5% dapat disimpulkan bahwa proporsi masyarakat yang menyukai calon X di Pusat Kota B lebih tinggi dibandingkan di Pinggiran Kota B.
prop.test(c(275,100), c(500,250), correct = FALSE)##
## 2-sample test for equality of proportions without continuity correction
##
## data: c(275, 100) out of c(500, 250)
## X-squared = 15, df = 1, p-value = 0.0001075
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
## 0.07523823 0.22476177
## sample estimates:
## prop 1 prop 2
## 0.55 0.40(Uji Rata-Rata Satu Populasi, σ Diketahui) Penghasilan per bulan karyawan pada suatu perusahaan diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku sebesar Rp 600.000. Dari populasi tersebut diambil sampel acak sebanyak 16 karyawan, dan diperoleh rata-rata penghasilan sampel sebesar Rp 1.200.000. Pimpinan perusahaan menyatakan bahwa rata-rata penghasilan seluruh karyawan lebih dari Rp 1.000.000 per bulan. Ujilah pernyataan pimpinan tersebut dengan menggunakan taraf nyata 5% (α = 0,05).
# Data
xbar <- 1200000
mu0 <- 1000000
sigma <- 600000
n <- 16
alpha <- 0.05
# 1. Hitung statistik uji Z
z_hit <- (xbar - mu0) / (sigma / sqrt(n))
z_hit## [1] 1.333333# 2. Nilai Z kritis (uji satu arah kanan)
z_krit <- qnorm(1 - alpha)
z_krit## [1] 1.644854# 3. p-value (uji satu arah kanan)
p_value <- 1 - pnorm(z_hit)
p_value## [1] 0.09121122Karena: Z hitung (1.33) < Z kritis (1.645) p-value (0.0918) > 0.05 Maka gagal menolak H₀.
Pada taraf nyata 5%, tidak terdapat bukti yang cukup untuk menyatakan bahwa rata-rata penghasilan karyawan lebih dari Rp 1.000.000. Dengan demikian, pernyataan pimpinan perusahaan tidak terbukti secara statistik.
Suatu penelitian oleh Luglie dkk. (Daniel & Cross, 2013) menyelidiki status kesehatan oral pada pasien yang didiagnosis dengan talasemia mayor (TM). Salah satu ukuran yang digunakan adalah indeks DMFT (Decayed, Missing, Filled Teeth), yaitu jumlah gigi yang rusak, hilang, dan ditambal. Dari 18 pasien, diperoleh: Rata-rata indeks DMFT = 10,3 Simpangan baku = 7,3 Apakah terdapat bukti yang cukup untuk menyimpulkan bahwa rata-rata indeks DMFT lebih besar dari 9,0 pada populasi pasien tersebut? Gunakan taraf nyata α = 0,10.
# Data ringkasan
xbar <- 10.3
mu0 <- 9
s <- 7.3
n <- 18
alpha <- 0.10
# 1. Hitung statistik t
t_hit <- (xbar - mu0) / (s / sqrt(n))
t_hit## [1] 0.7555388# 2. Derajat bebas
df <- n - 1
df## [1] 17# 3. t kritis (uji satu arah kanan)
t_krit <- qt(1 - alpha, df)
t_krit## [1] 1.333379# 4. p-value (uji satu arah kanan)
p_value <- 1 - pt(t_hit, df)
p_value## [1] 0.2301335Karena: t hitung (0.755) < t kritis (1.333) p-value (0.23) > 0.10 Maka gagal menolak H₀.
Pada taraf nyata 10%, tidak terdapat bukti yang cukup untuk menyimpulkan bahwa rata-rata indeks DMFT lebih besar dari 9,0 pada populasi pasien talasemia mayor tersebut.
(Daniel & Cross, 2013) Dalam sebuah artikel jurnal Health and Place, Hui dan Bell melaporkan bahwa dari 2428 laki-laki usia 7–12 tahun, sebanyak 461 anak mengalami obesitas. Berdasarkan hasil studi tersebut, apakah dapat disimpulkan bahwa lebih dari 15% laki-laki usia 7–12 tahun mengalami obesitas? Gunakan taraf nyata α = 0,05.
# Data
x <- 461
n <- 2428
p0 <- 0.15
alpha <- 0.05
# 1. Proporsi sampel
phat <- x/n
phat## [1] 0.1898682# 2. Statistik uji Z
z_hit <- (phat - p0) / sqrt(p0*(1-p0)/n)
z_hit## [1] 5.501688# 3. Nilai Z kritis (uji satu arah kanan)
z_krit <- qnorm(1 - alpha)
z_krit## [1] 1.644854# 4. p-value (uji satu arah kanan)
p_value <- 1 - pnorm(z_hit)
p_value## [1] 1.880866e-08Karena: z hitung > z kritis p-value < 0.05 Maka tolak H₀.
Pada taraf nyata 5%, terdapat bukti yang cukup untuk menyatakan bahwa lebih dari 15% laki-laki usia 7–12 tahun mengalami obesitas.
# cara cepat
prop.test(461, 2428, p = 0.15, alternative = "greater", correct = FALSE)##
## 1-sample proportions test without continuity correction
##
## data: 461 out of 2428, null probability 0.15
## X-squared = 30.269, df = 1, p-value = 1.881e-08
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.15
## 95 percent confidence interval:
## 0.1771241 1.0000000
## sample estimates:
## p
## 0.1898682