Übersicht der Kriterien

Für die folgenden Aufgaben nutzen wir das Standardverfahren der Kurvendiskussion:

  1. Notwendiges Kriterium für Wendestellen: \(f''(x) = 0\).
  2. Hinreichendes Kriterium: \(f''(x) = 0\) und \(f'''(x) \neq 0\) (oder Vorzeichenwechsel von \(f''\)).
  3. Wandepunkt \(W(x_w | y_w)\): Funktionswert \(f(x_w)\) berechnen.
  4. Wendetangente \(t_w(x)\): Gleichung aufstellen mit \(y = f'(x_w) \cdot (x - x_w) + f(x_w)\).

Aufgabe 1: Wendestellen und Wendetangenten

Bestimmen Sie die Wendestellen von \(f\) und die Gleichungen der Wendetangenten.

a) \(f(x) = 4x^4 - 6x^2\)

Lösung zu 1a anzeigen

1. Ableitungen: \(f'(x) = 16x^3 - 12x\) \(f''(x) = 48x^2 - 12\) \(f'''(x) = 96x\)

2. Wendestellen: \(48x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x_{w1} = 0,5; \quad x_{w2} = -0,5\) Überprüfung: \(f'''(0,5) = 48 \neq 0\) und \(f'''(-0,5) = -48 \neq 0\).

3. Wendetangente bei \(x_{w1} = 0,5\): \(f(0,5) = 4(0,5)^4 - 6(0,5)^2 = 0,25 - 1,5 = -1,25\) \(f'(0,5) = 16(0,5)^3 - 12(0,5) = 2 - 6 = -4\) \(t_1(x) = -4 \cdot (x - 0,5) - 1,25 = -4x + 0,75\)

d) \(f(x) = \sin(x)\) für \(x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\)

Lösung zu 1d anzeigen

1. Ableitungen: \(f'(x) = \cos(x)\), \(f''(x) = -\sin(x)\), \(f'''(x) = -\cos(x)\)

2. Wendestellen: \(-\sin(x) = 0 \Rightarrow x_{w1} = 0; \quad x_{w2} = \pi\) Überprüfung: \(f'''(0) = -1 \neq 0\); \(f'''(\pi) = 1 \neq 0\).

3. Tangente bei \(x_{w1} = 0\): \(f(0) = 0, f'(0) = 1 \Rightarrow t_1(x) = 1(x - 0) + 0 \Rightarrow y = x\)

4. Tangente bei \(x_{w2} = \pi\): \(f(\pi) = 0, f'(\pi) = -1 \Rightarrow t_2(x) = -1(x - \pi) + 0 \Rightarrow y = -x + \pi\)

Aufgabe 2: Wendepunkte bestimmen

Bestimmen Sie die Wendepunkte \(W(x|y)\) der Graphen.

a) \(f(x) = 3x^2 - x^3\)

Lösung zu 2a anzeigen

1. Ableitungen: \(f'(x) = 6x - 3x^2\) \(f''(x) = 6 - 6x\) \(f'''(x) = -6\)

2. Wendestelle: \(6 - 6x = 0 \Rightarrow x_w = 1\) Überprüfung: \(f'''(1) = -6 \neq 0\).

3. Punkt berechnen: \(f(1) = 3(1)^2 - (1)^3 = 2\) Ergebnis: \(W(1 | 2)\)

b) \(f(x) = 2x^2 - \frac{1}{3}x^4 + 3\)

Lösung zu 2b anzeigen

1. Ableitungen: \(f'(x) = 4x - \frac{4}{3}x^3\) \(f''(x) = 4 - 4x^2\) \(f'''(x) = -8x\)

2. Wendestellen: \(4 - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_{w1} = 1; \quad x_{w2} = -1\) Überprüfung: \(f'''(1) = -8\) und \(f'''(-1) = 8\) (beide \(\neq 0\)).

3. Punkte berechnen: \(f(1) = 2(1)^2 - \frac{1}{3}(1)^4 + 3 = 2 - \frac{1}{3} + 3 = \frac{14}{3} \approx 4,67\) \(f(-1) = 2(-1)^2 - \frac{1}{3}(-1)^4 + 3 = \frac{14}{3}\) (da Achsensymmetrie vorliegt) Ergebnis: \(W_1(1 | \frac{14}{3})\) und \(W_2(-1 | \frac{14}{3})\)