Teil 1: Analyse des Graphen von f’

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\). Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen über den Graphen \(K_f\) der Funktion \(f\) wahr sind:

Formale Kriterien zur Lösung

Um Eigenschaften von \(f\) aus dem Graphen von \(f'\) abzuleiten, nutzen wir: 1. Wendepunkte: Extremstellen von \(f'\) (da hier \(f''(x) = 0\) mit Vorzeichenwechsel). 2. Sattelpunkte: Extremstellen von \(f'\), die gleichzeitig Nullstellen von \(f'\) sind (da \(f''(x)=0\) und \(f'(x)=0\)). 3. Wendetangentensteigung: Der Funktionswert von \(f'\) an der Wendestelle \(x_w\), also \(m = f'(x_w)\).

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Zu A (Wendepunkte): Im Graphen von \(f'\) suchen wir nach lokalen Extrempunkten: * Ein lokales Minimum bei \(x \approx 0\). * Ein lokales Maximum bei \(x \approx 1,8\). * Ein lokales Minimum bei \(x = 3\). An diesen drei Stellen ist \(f''(x) = 0\) mit Vorzeichenwechsel, somit liegen drei Wendepunkte vor.

Zu B (Sattelpunkt): An der Stelle \(x = 3\) hat der Graph von \(f'\) ein lokales Minimum (Bedingung für Wendepunkt) und berührt gleichzeitig die x-Achse (\(f'(3) = 0\)). Eine Wendestelle mit der Steigung Null ist ein Sattelpunkt.

Zu C (Wendetangenten): Wir betrachten die y-Werte (Steigungen) an den Wendestellen: * \(f'(0) \approx -1\) * \(f'(1,8) \approx 0,4\) (das Maximum liegt unterhalb der 0,5-Markierung) * \(f'(3) = 0\) Alle Werte sind kleiner als 0,5.

Teil 2: Berechnung von Wendestellen und Wendetangenten

Berechnen Sie die Wendestellen von \(f\) und bestimmen Sie jeweils die Gleichung der Wendetangenten für folgende Funktionen:

  1. \(f(x) = 4x^4 - 6x^2\)
  2. \(f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 6x^2 + 3\)
  3. \(f(x) = \sin(x); \quad x \in [-\frac{\pi}{2}; 3\frac{\pi}{2}]\)
  4. \(f(x) = \cos(x); \quad x \in [0; 2\pi]\)

Methodik

  1. Zweite Ableitung \(f''(x)\) bilden und Nullstellen berechnen (\(f''(x) = 0\)).
  2. Dritte Ableitung \(f'''(x) \neq 0\) prüfen (hinreichendes Kriterium).
  3. Wendetangente mit der Formel \(t(x) = f'(x_w) \cdot (x - x_w) + f(x_w)\) aufstellen.
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Aufgabe a: \(f(x) = 4x^4 - 6x^2\) * \(f'(x) = 16x^3 - 12x\) * \(f''(x) = 48x^2 - 12\) * \(48x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 0,25 \Rightarrow x_{w1} = 0,5; x_{w2} = -0,5\) * Tangenten: Punkt und Steigung an \(x_w\) berechnen und in Punkt-Steigungs-Form einsetzen.

Aufgabe d: \(f(x) = \sin(x)\) * \(f'(x) = \cos(x)\) * \(f''(x) = -\sin(x)\) * \(-\sin(x) = 0 \Rightarrow x_{w1} = 0; x_{w2} = \pi\) (im gegebenen Intervall) * Für \(x_{w1} = 0\): \(f(0)=0, f'(0)=1 \Rightarrow t_1(x) = x\) * Für \(x_{w2} = \pi\): \(f(\pi)=0, f'(\pi)=-1 \Rightarrow t_2(x) = -1(x-\pi)\)

(Analoge Vorgehensweise für b und e)