Aufgabenstellung

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\). Zeigen Sie unter Verwendung der formalen Kriterien der Differenzialrechnung, dass die folgenden Aussagen über den Graphen \(K_f\) der Ausgangsfunktion \(f\) wahr sind:

Mathematische Grundlagen (Kriterien)

Um Eigenschaften von \(f\) aus \(f'\) abzuleiten, nutzen wir folgende Zusammenhänge:

  1. Wendepunkt bei \(x_0\): - Notwendiges Kriterium: \(f''(x_0) = 0\) (entspricht einer Extremstelle im Graphen von \(f'\)).
    • Hinreichendes Kriterium: \(f''(x_0) = 0\) und Vorzeichenwechsel (VZW) von \(f''\) (entspricht einem Extrempunkt mit Vorzeichenwechsel der Steigung in \(f'\)).
  2. Sattelpunkt bei \(x_0\):
    • Ein Wendepunkt mit der zusätzlichen Bedingung \(f'(x_0) = 0\) (waagerechte Tangente).
  3. Wendetangente:
    • Die Steigung \(m_w\) an einer Wendestelle \(x_w\) ist gegeben durch \(m_w = f'(x_w)\).

Analyseschritte und Lösungen

Aussage A: Drei Wendepunkte

Ein Wendepunkt von \(f\) erfordert eine Extremstelle von \(f'\).

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Beweis: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn \(f''(x) = 0\) mit VZW gilt. Da \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, suchen wir die Stellen, an denen der Graph von \(f'\) eine waagerechte Tangente (Extremum) besitzt. Im Intervall \([-1; 3,5]\) lassen sich drei lokale Extremstellen im Graphen von \(f'\) identifizieren: 1. \(x_1 \approx 0\) (Lokales Minimum) \(\Rightarrow f''(x_1) = 0\) mit VZW von \(-\) nach \(+\). 2. \(x_2 \approx 1,8\) (Lokales Maximum) \(\Rightarrow f''(x_2) = 0\) mit VZW von \(+\) nach \(-\). 3. \(x_3 = 3\) (Lokales Minimum) \(\Rightarrow f''(x_3) = 0\) mit VZW von \(-\) nach \(+\).

Da an drei Stellen das hinreichende Kriterium für einen Wendepunkt erfüllt ist, hat \(K_f\) dort drei Wendepunkte.

Aussage B: Ein Sattelpunkt

Ein Sattelpunkt ist ein “Wendepunkt mit Steigung Null”.

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Beweis: Ein Sattelpunkt bei \(x_s\) erfordert: 1. \(f''(x_s) = 0\) mit VZW (Wendepunkt-Bedingung) 2. \(f'(x_s) = 0\) (Bedingung für waagerechte Tangente)

Betrachten wir die Stelle \(x = 3\): - Der Graph von \(f'\) berührt die x-Achse: \(f'(3) = 0\). - Gleichzeitig liegt bei \(x = 3\) ein lokaler Tiefpunkt von \(f'\) vor, woraus \(f''(3) = 0\) mit VZW folgt.

Da beide Bedingungen erfüllt sind, besitzt \(K_f\) an der Stelle \(x = 3\) einen Sattelpunkt.

Aussage C: Steigung der Wendetangenten

Die Steigung der Wendetangente ist der Funktionswert \(f'(x_w)\).

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Beweis: Wir prüfen die Funktionswerte von \(f'\) an den in Aufgabe A gefundenen Wendestellen \(x_1, x_2, x_3\): 1. \(m_1 = f'(x_1) \approx f'(0) \approx -1 < 0,5\). 2. \(m_2 = f'(x_2) \approx f'(1,8)\). Der Graph erreicht hier sein lokales Maximum. Der y-Wert liegt laut Skalierung bei ca. \(0,3\) bis \(0,4\). Somit ist \(f'(x_2) < 0,5\). 3. \(m_3 = f'(x_3) = f'(3) = 0 < 0,5\).

Da die Steigung an allen Wendestellen kleiner als 0,5 ist, ist die Aussage bewiesen.