Введение

Цель работы — изучить метод бутстрапа на примере открытого набора данных и реализовать его на двух языках программирования: Python и R.

1. Выбор датасета

В работе используется встроенный датасет mtcars, содержащий технические характеристики автомобилей.

data(mtcars)
head(mtcars)
##                    mpg cyl disp  hp drat    wt  qsec vs am gear carb
## Mazda RX4         21.0   6  160 110 3.90 2.620 16.46  0  1    4    4
## Mazda RX4 Wag     21.0   6  160 110 3.90 2.875 17.02  0  1    4    4
## Datsun 710        22.8   4  108  93 3.85 2.320 18.61  1  1    4    1
## Hornet 4 Drive    21.4   6  258 110 3.08 3.215 19.44  1  0    3    1
## Hornet Sportabout 18.7   8  360 175 3.15 3.440 17.02  0  0    3    2
## Valiant           18.1   6  225 105 2.76 3.460 20.22  1  0    3    1
summary(mtcars)
##       mpg             cyl             disp             hp       
##  Min.   :10.40   Min.   :4.000   Min.   : 71.1   Min.   : 52.0  
##  1st Qu.:15.43   1st Qu.:4.000   1st Qu.:120.8   1st Qu.: 96.5  
##  Median :19.20   Median :6.000   Median :196.3   Median :123.0  
##  Mean   :20.09   Mean   :6.188   Mean   :230.7   Mean   :146.7  
##  3rd Qu.:22.80   3rd Qu.:8.000   3rd Qu.:326.0   3rd Qu.:180.0  
##  Max.   :33.90   Max.   :8.000   Max.   :472.0   Max.   :335.0  
##       drat             wt             qsec             vs        
##  Min.   :2.760   Min.   :1.513   Min.   :14.50   Min.   :0.0000  
##  1st Qu.:3.080   1st Qu.:2.581   1st Qu.:16.89   1st Qu.:0.0000  
##  Median :3.695   Median :3.325   Median :17.71   Median :0.0000  
##  Mean   :3.597   Mean   :3.217   Mean   :17.85   Mean   :0.4375  
##  3rd Qu.:3.920   3rd Qu.:3.610   3rd Qu.:18.90   3rd Qu.:1.0000  
##  Max.   :4.930   Max.   :5.424   Max.   :22.90   Max.   :1.0000  
##        am              gear            carb      
##  Min.   :0.0000   Min.   :3.000   Min.   :1.000  
##  1st Qu.:0.0000   1st Qu.:3.000   1st Qu.:2.000  
##  Median :0.0000   Median :4.000   Median :2.000  
##  Mean   :0.4062   Mean   :3.688   Mean   :2.812  
##  3rd Qu.:1.0000   3rd Qu.:4.000   3rd Qu.:4.000  
##  Max.   :1.0000   Max.   :5.000   Max.   :8.000

2. Разведочный анализ данных (EDA)

2.1 Гистограмма расхода топлива (mpg)

ggplot(mtcars, aes(x=mpg)) +
  geom_histogram(fill="steelblue", bins=10) +
  theme_minimal() +
  labs(title="Распределение расхода топлива (mpg)",
       x="Miles per gallon",
       y="Частота")

Пояснение графика:
Гистограмма показывает распределение значений расхода топлива. Видно, что значения распределены примерно нормально с небольшим смещением.

2.2 Зависимость расхода топлива от веса автомобиля

ggplot(mtcars, aes(x=wt, y=mpg)) +
  geom_point(color="darkred") +
  theme_minimal() +
  labs(title="Зависимость mpg от веса автомобиля",
       x="Вес автомобиля",
       y="Расход топлива (mpg)")

Пояснение графика:
Чем больше вес автомобиля, тем ниже значение mpg. Наблюдается отрицательная зависимость.

3. Реализация бутстрапа на Python

library(reticulate)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Данные (расход топлива)
data = np.array([21.0,21.0,22.8,21.4,18.7,18.1,14.3,24.4,22.8,19.2,
                 17.8,16.4,17.3,15.2,10.4,10.4,14.7,32.4,30.4,33.9,
                 21.5,15.5,15.2,13.3,19.2,27.3,26.0,30.4,15.8,19.7,
                 15.0,21.4])

n_iterations = 2000
bootstrap_means = []

for i in range(n_iterations):
    sample = np.random.choice(data, size=len(data), replace=True)
    bootstrap_means.append(np.mean(sample))

# Гистограмма
plt.hist(bootstrap_means, bins=30)
plt.title("Bootstrap distribution of mean (Python)")
plt.xlabel("Mean mpg")
plt.ylabel("Frequency")
plt.show()

np.mean(bootstrap_means)
## np.float64(20.06986875)

Пояснение графика:
Гистограмма показывает распределение средних значений, полученных при многократной случайной выборке с возвращением. Распределение приближается к нормальному.

4. Реализация бутстрапа на R

set.seed(123)

data_r <- mtcars$mpg
n_iter <- 2000
boot_means <- numeric(n_iter)

for(i in 1:n_iter){
  samp <- sample(data_r, replace=TRUE)
  boot_means[i] <- mean(samp)
}

mean(boot_means)
## [1] 20.10278

Гистограмма бутстрап-распределения

hist(boot_means,
     breaks=30,
     col="lightblue",
     main="Bootstrap distribution of mean (R)",
     xlab="Mean mpg")

Пояснение графика:
Распределение средних значений похоже на нормальное. Это подтверждает центральную предельную теорему — даже при произвольном распределении данных распределение средних стремится к нормальному.

95% доверительный интервал

quantile(boot_means, probs=c(0.025,0.975))
##     2.5%    97.5% 
## 18.06867 22.18133

Пояснение:
Полученный интервал показывает диапазон, в котором с вероятностью 95% находится истинное среднее значение mpg.

Вывод

В работе был выбран датасет mtcars и проведён краткий разведочный анализ.
Метод бутстрапа был реализован на Python и R.

Гистограммы показали, что распределение средних значений приближается к нормальному.
Полученные оценки среднего и доверительные интервалы подтверждают корректность работы алгоритма.

Бутстрап позволяет оценивать параметры выборки и строить доверительные интервалы без строгих предположений о распределении данных.