Clase 3 - CE

Análisis Estadístico Avanzado

1 Estandarización

1.1 Score-Z

\[ Z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]

Nota X= variable de interes
\(\mu\)=media de los datos
\(\sigma\)=desviación estandar

1.2 Usando R para estandarizar una variable

set.seed(123)

x= rnorm(60,3,0.3)
head(x)

## [1] 2.831857 2.930947 3.467612 3.021153 3.038786 3.514519

hist(x, ylab = "Frecuencia", col="skyblue")
abline(v = mean(x),
       col="red",
       lty=3,
       lwd=3)

boxplot(x, col="darkgreen")
points(mean(x), col="red", cex= 1.5, pch=16)

1.3 Score-Z de la variable X

ZX = scale(x)
head(ZX)

##              [,1]
## [1,] -0.687729949
## [2,] -0.324914908
## [3,]  1.640081452
## [4,]  0.005372616
## [5,]  0.069938613
## [6,]  1.811830980

par(mfrow=c(1,2))
hist(x)
hist(ZX, breaks=6)

plot(x, ZX, col="blue", main= "Gráfico de dispersión")

1.4 Correlacción de pearson

cor(x, ZX, method="pearson")

##      [,1]
## [1,]    1

1.5 Transformaciones lineales

1.6 Demostración

1.7 Demostración Matemática

La transformación \(Z\) se define mediante la siguiente expresión:

\[Z = \frac{x - \mu}{\sigma}\]

Podemos descomponer esta fracción para observar su estructura algebraica:

\[Z(x) = \underbrace{\left( \frac{1}{\sigma} \right)}_{a} x + \underbrace{\left( -\frac{\mu}{\sigma} \right)}_{b}\]

Al compararla con la forma general de una línea recta \(y = ax + b\), observamos que:

• Pendiente (\(a\)): \(\frac{1}{\sigma}\), que representa un cambio de escala.
• Intersección (\(b\)): \(-\frac{\mu}{\sigma}\), que representa una traslación.

Por lo tanto, al ser una función de primer grado respecto a \(x\), el Z-score es una transformación lineal (técnicamente afín).

1.8 Demostración: Incumplimiento de la Propiedad Aditiva

Para que el \(Z\)-score sea una transformación lineal estricta, debe cumplir que \(Z(x + y) = Z(x) + Z(y)\).

Sea la función del \(Z\)-score: \[Z(x) = \frac{x - \mu}{\sigma}\]

1. Evaluamos el lado izquierdo \(Z(x + y)\): \[Z(x + y) = \frac{(x + y) - \mu}{\sigma}\]

2. Evaluamos el lado derecho \(Z(x) + Z(y)\): \[Z(x) + Z(y) = \frac{x - \mu}{\sigma} + \frac{y - \mu}{\sigma} = \frac{x + y - 2\mu}{\sigma}\]

3. Comparación: Comparamos ambos resultados: \[\frac{x + y - \mu}{\sigma} \neq \frac{x + y - 2\mu}{\sigma}\]

La igualdad solo se cumpliría si \(\mu = 0\). Como en la mayoría de los conjuntos de datos la media \(\mu \neq 0\), entonces: \[Z(x + y) \neq Z(x) + Z(y)\]

Conclusión: El \(Z\)-score no es una transformación lineal estricta bajo la propiedad aditiva. Matemáticamente, es una transformación afín, ya que incluye una traslación (el término \(-\mu\)) que “rompe” la linealidad en el sentido del álgebra lineal pura.

cat( "Media de X:", mean(x));

## Media de X: 3.019685

cat("Media de ZX:", round(mean(ZX),1))

## Media de ZX: 0

var(x)

## [1] 0.07459062

var(ZX)

##      [,1]
## [1,]    1