Latihan Soal Sebaran

Binomial

  1. Dalam suatu inspeksi kendaraan di Los Angeles, 60% dari seluruh mobil memiliki emisi yang tidak memenuhi peraturan EPA. Untuk sebuah sampel acak yang terdiri dari sepuluh mobil, hitung peluang berikut:
  1. Semua sepuluh mobil gagal dalam inspeksi.
  2. Tepat enam dari sepuluh mobil gagal dalam inspeksi.
  3. Enam atau lebih mobil gagal dalam inspeksi.
  4. Semua sepuluh mobil lulus dalam inspeksi.
# a. Semua gagal P(X=10)
dbinom(10, size = 10, prob = 0.6)
## [1] 0.006046618
# b. Tepat 6 dari 10 mobil gagal P(X=6)
dbinom(6, size = 10, prob = 0.6)
## [1] 0.2508227
# c. Enam atau lebih mobil gagal P(X≥6)
1 - pbinom(5, size = 10, prob = 0.6)
## [1] 0.6331033
# (karena P(X≥6)=1−P(X≤5))
# Semua 10 mobil lulus
# Kalau gagal = 0.6, maka lulus = 0.4 Artinya:P(X=0)
dbinom(0, size = 10, prob = 0.6)
## [1] 0.0001048576
  1. Sebuah lembaga penelitian sosial menyatakan bahwa hanya 12% dari seluruh program intervensi perilaku yang terbukti efektif pada studi percontohan (pilot study) yang akhirnya berhasil diimplementasikan secara luas dan berkelanjutan di masyarakat. Jika sebuah lembaga memiliki 15 program intervensi yang telah menunjukkan efektivitas pada studi percontohan, tentukan peluang berikut:
  1. Tidak ada program yang berhasil diimplementasikan secara luas.
  2. Satu atau lebih program berhasil diimplementasikan secara luas.
  3. Dua atau lebih program berhasil diimplementasikan secara luas.

Dik: Peluang sukses (program diimplementasikan luas): p=0.12 Jumlah program: n=15 X = jumlah program yang berhasil diimplementasikan luas X∼Binomial(15,0.12)

# a. Tidak ada program berhasil
dbinom(0, size = 15, prob = 0.12)
## [1] 0.1469739
# b. Satu atau lebih program berhasil
1 - pbinom(0, size = 15, prob = 0.12)
## [1] 0.8530261
# c. Dua atau lebih program berhasil
1 - pbinom(1, size = 15, prob = 0.12)
## [1] 0.5523978

Normal

  1. Angkatan Udara Amerika Serikat (U.S. Air Force) Untuk bergabung dengan Angkatan Udara Amerika Serikat sebagai seorang perwira, seseorang tidak boleh berusia di bawah 18 tahun atau di atas 34 tahun. Distribusi usia penduduk Amerika Serikat pada tahun 2012 mengikuti distribusi normal dengan rata-rataμ=38 tahun, dan simpangan baku σ=22,67 tahun. Berapa proporsi warga negara AS yang tidak memenuhi syarat untuk menjadi perwira karena batasan usia tersebut?
p_under_18 <- pnorm(18, mean = 38, sd = 22.67)
p_over_34  <- 1 - pnorm(34, mean = 38, sd = 22.67)

p_under_18 + p_over_34
## [1] 0.7588557

Catatn: Berdasarkan perhitungan manual menggunakan tabel Z, proporsi warga negara AS yang tidak memenuhi syarat usia adalah sekitar 0.7608, sedangkan perhitungan numerik menggunakan R memberikan hasil 0.7589. Perbedaan kecil disebabkan oleh pembulatan pada tabel Z.

  1. Sebuah studi nasional tentang kesejahteraan psikososial di suatu negara melaporkan bahwa skor tingkat stres kerja pada populasi orang dewasa memiliki rata-rata 121 dan simpangan baku 16. Skor di atas 140 dikategorikan sebagai tingkat stres tinggi.

Asumsikan skor tingkat stres mengikuti distribusi normal.

  1. Berapakah nilai z-score untuk seseorang dengan skor stres sebesar 140?
  2. Berapakah proporsi individu yang mengalami stres tinggi?
  3. Berapakah proporsi individu yang memiliki skor stres dalam rentang 100 hingga 140?
  4. Tentukan persentil ke-90 dari skor tingkat stres.

Diketahui: Skor tingkat stres kerja: X∼N(μ=121, σ=16)

Kategori: Stres tinggi jika X>140

# a. Nilai z-score untuk skor 140
(140 - 121) / 16
## [1] 1.1875
# b. Proporsi individu dengan stres tinggi (X>140)
1 - pnorm(140, mean = 121, sd = 16)
## [1] 0.1175152
# c. Proporsi individu dengan skor 100–140
pnorm(140, 121, 16) - pnorm(100, 121, 16)
## [1] 0.787809
# d. Persentil ke90
qnorm(0.9, mean = 121, sd = 16)
## [1] 141.5048

Latihan Soal Sebaran Percontohan (SEBARAN PENARIKAN CONTOH BAGI RATAAN POPULASI)

# Diketahui
mu <- 100
sigma <- 20
n <- 40

# Rataan distribusi Xbar
mean_xbar <- mu

# Simpangan baku distribusi Xbar (standard error)
sd_xbar <- sigma / sqrt(n)

mean_xbar
## [1] 100
sd_xbar
## [1] 3.162278
# Diketahui
sigma <- 12
n <- 40

# Ragam populasi
var_pop <- sigma^2

# Ragam rata-rata sampel
var_xbar <- var_pop / n

var_xbar
## [1] 3.6
# Diketahui
mu <- 300
sigma <- 15
n <- 100
xbar <- 303

# Standard error
SE <- sigma / sqrt(n)

# Nilai Z
z <- (xbar - mu) / SE

# Probabilitas
prob <- pnorm(z)

prob
## [1] 0.9772499

4.a

mu <- 4
sigma <- 1

# a
p_a <- 1 - pnorm(4.5, mean=mu, sd=sigma)
p_a
## [1] 0.3085375

4.b

# b
p_b <- pnorm(6, mean=mu, sd=sigma) - 
       pnorm(2, mean=mu, sd=sigma)
p_b
## [1] 0.9544997

4.c

# c
a <- qnorm(0.025)
a
## [1] -1.959964
X_value <- mu + a*sigma
X_value
## [1] 2.040036

SOAL LATIHAN SEBARAN T-STUDENTS

df <- 8
t_value <- 2.306

prob <- pt(t_value, df) - pt(-t_value, df)
prob
## [1] 0.9499997
alpha <- 0.05
df <- 8

t_value <- qt(1 - alpha, df)
t_value
## [1] 1.859548
df <- 18
t_value <- -2.10

prob <- pt(t_value, df)
prob
## [1] 0.0250452
df <- 19
t_value <- -1.79

prob <- 1 - pt(t_value, df)  # P(T > -1.79)
prob
## [1] 0.9552978

atau

pt(1.79, df)
## [1] 0.9552978
mu <- 100
xbar <- 103.25
s <- 5
n <- 16
df <- n - 1

t_value <- (xbar - mu) / (s / sqrt(n))

prob <- 1 - pt(t_value, df)

t_value
## [1] 2.6
prob
## [1] 0.0100495

SOAL LATIHAN SEBARAN PENARIKAN CONTOH BAGI PROPORSI CONTOH

p <- 0.8
n <- 1000

SE <- sqrt(p*(1-p)/n)
SE
## [1] 0.01264911

Pendugaan Parameter Satu Populasi

  1. Soal Ragam Dik
# Diketahui
xbar <- 1200000      # rata-rata sampel
sigma <- 600000      # simpangan baku populasi
n <- 16              # ukuran sampel
alpha <- 0.05        # tingkat signifikansi

# Nilai z
z <- qnorm(1 - alpha/2)

# Standard error
SE <- sigma / sqrt(n)

# Selang kepercayaan
lower <- xbar - z * SE
upper <- xbar + z * SE

lower
## [1] 906005.4
upper
## [1] 1493995
  1. soal ragam tidak diketahui
# Diketahui
xbar <- 1200000     # rata-rata sampel
s <- 600000         # simpangan baku sampel
n <- 16             # ukuran sampel
alpha <- 0.05       # taraf nyata

# Derajat bebas
df <- n - 1

# Nilai t
t_value <- qt(1 - alpha/2, df)

# Standard error
SE <- s / sqrt(n)

# Selang kepercayaan
lower <- xbar - t_value * SE
upper <- xbar + t_value * SE

# Output
t_value
## [1] 2.13145
lower
## [1] 880282.6
upper
## [1] 1519717
  1. proporsi
# Data
x <- 28
n <- 90
alpha <- 0.05

# Proporsi sampel
phat <- x / n

# Nilai Z
z <- qnorm(1 - alpha/2)

# Standard Error
SE <- sqrt(phat * (1 - phat) / n)

# Selang kepercayaan
lower <- phat - z * SE
upper <- phat + z * SE

# Output
phat
## [1] 0.3111111
lower
## [1] 0.2154668
upper
## [1] 0.4067554