hitung:

1. Probabilitas seseorang berusia 20 tahun hidup hingga usia 70

Jawab:

Hitung nilai fungsi survival pada usia 20 dan 70: \[ S(20) = \frac{100 - 20}{100} = 0.8, \] \[ S(70) = \frac{100 - 70}{100} = 0.3. \]

Dengan demikian, \[ P(T \ge 70 \mid T \ge 20) = \frac{0.3}{0.8} = 0.375. \]

Jadi, probabilitas seseorang yang telah berusia 20 tahun dapat hidup hingga usia 70 tahun adalah sebesar \[\boxed{37.5\%}.\]

2. Laju kematian pada usia 50 harapan hidup lengkap pada usia 20

Diketahui fungsi survival \[ S(t) = \frac{100 - t}{100}, \quad 0 \le t \le 100. \]

Laju kematian (hazard rate) didefinisikan sebagai \[ \mu(t) = -\frac{S'(t)}{S(t)}. \]

Turunan dari fungsi survival adalah \[ S'(t) = -\frac{1}{100}. \]

Dengan demikian, \[ \mu(t) = -\frac{-\frac{1}{100}}{\frac{100 - t}{100}} = \frac{1}{100 - t}. \]

Untuk usia 50 tahun diperoleh \[ \mu(50) = \frac{1}{100 - 50} = \frac{1}{50}. \]

Harapan hidup lengkap pada usia \(x\) didefinisikan sebagai \[ e_x = \frac{1}{S(x)} \int_x^{\infty} S(t)\, dt. \]

Karena \(S(t) = 0\) untuk \(t > 100\), maka \[ e_{20} = \frac{1}{S(20)} \int_{20}^{100} S(t)\, dt. \]

Hitung integral: \[ \int_{20}^{100} \frac{100 - t}{100}\, dt = \frac{1}{100} \int_{20}^{100} (100 - t)\, dt \]

\[ = \frac{1}{100} \left[100t - \frac{t^2}{2}\right]_{20}^{100} = \frac{1}{100} (5000 - 1800) = 32. \]

Karena \[ S(20) = \frac{100 - 20}{100} = 0.8, \] maka harapan hidup lengkap pada usia 20 tahun adalah \[ e_{20} = \frac{32}{0.8} = 40. \]

\[ \boxed{e_{20} = 40 \text{ tahun}} \]