Diketahui

Fungsi survival:

\[ S(t) = \frac{100 - t}{100}, \quad 0 \le t \le 100 \]

(a) Probabilitas usia 20 hidup sampai usia 70

Probabilitas seseorang yang sudah hidup sampai usia 20 akan hidup sampai usia 70 adalah

\[ P(T > 70 \mid T > 20) = \frac{S(70)}{S(20)} \]

Hitung

\[ S(70) = \frac{100 - 70}{100} = \frac{30}{100} = 0.3 \]

\[ S(20) = \frac{100 - 20}{100} = \frac{80}{100} = 0.8 \]

Maka

\[ P(T > 70 \mid T > 20) = \frac{0.3}{0.8} = 0.375 = 37.5\% \]

(b) Laju kematian pada usia 50

Laju kematian (force of mortality) didefinisikan sebagai

\[ \mu(t) = -\frac{S'(t)}{S(t)} \]

Dengan

\[ S(t) = \frac{100 - t}{100} \Rightarrow S'(t) = -\frac{1}{100} \]

Maka

\[ \mu(t) = \frac{1}{100 - t} \]

Pada usia 50:

\[ \mu(50) = \frac{1}{50} = 0.02 \]

(c) Harapan hidup lengkap pada usia 20

\[ e_{20} = \int_0^{80} \frac{80 - t}{80} dt \]

\[ e_{20} = \frac{1}{80}\int_0^{80}(80 - t) dt \]

\[ = \frac{1}{80}\left[80t - \frac{1}{2}t^2\right]_0^{80} \]

\[ = \frac{1}{80}(6400 - 3200) = 40 \]

Jadi, harapan hidup lengkap pada usia 20 adalah 40 tahun.

# Fungsi survival
S <- function(t){
  (100 - t)/100
}

S20 <- S(20)
S70 <- S(70)

p_20_70 <- S70 / S20
p_20_70
## [1] 0.375
mu <- function(t){
  1/(100 - t)
}

mu_50 <- mu(50)
mu_50
## [1] 0.02
p20 <- function(t){
  (80 - t)/80
}

e20 <- integrate(p20, lower = 0, upper = 80)
e20$value
## [1] 40