Aufgabe

Für eine Funktion \(f\) und deren Ableitungen \(f'\) und \(f''\) sind folgende Werte bekannt:

  1. \(f(-2) = 1\), \(f'(-2) = 0\), \(f''(-2) = -3\)
  2. \(f(3) = 5\), \(f'(3) = 0\), \(f''(3) = 0{,}5\)
  3. \(f(1) = 0\), \(f'(1) = 0\), \(f''(1) = 0\), \(f'''(1) = 0\)

Welche Aussagen lassen sich daraus über den Graphen von \(f\) machen?

Lösung 1: Punkt bei \(x = -2\)

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  • \(f'(-2) = 0\) bedeutet, dass bei \(x = -2\) ein möglicher Extrempunkt (Hoch-/Tiefpunkt oder Sattelpunkt) vorliegt.
  • \(f''(-2) = -3 < 0\) zeigt, dass die Funktion dort konkav nach unten ist.
  • Daher liegt bei \(x = -2\) ein lokales Maximum vor.
  • Der Funktionswert ist \(f(-2) = 1\), also befindet sich das lokale Maximum bei (−2|1).

Lösung 2: Punkt bei \(x = 3\)

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  • \(f'(3) = 0\) wieder ein möglicher Extrempunkt.
  • \(f''(3) = 0{,}5 > 0\) bedeutet, dass die Funktion dort konkav nach oben ist.
  • Somit liegt bei \(x = 3\) ein lokales Minimum vor.
  • Der Funktionswert ist \(f(3) = 5\), der Tiefpunkt liegt also bei (3|5).

Lösung 3: Punkt bei \(x = 1\)

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  • \(f'(1) = 0\) deutet auf einen möglichen Extrempunkt oder Sattelpunkt hin.
  • \(f''(1) = 0\) gibt keine Auskunft über die Krümmung an diesem Punkt, die zweite Ableitung ist nicht aussagekräftig.
  • \(f'''(1) = 0\) heißt auch, dass die dritte Ableitung verschwindet, was auf einen sehr speziellen Punkt hindeutet:
    Es könnte ein höherer Sattelpunkt oder ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente sein, genauere Untersuchung oder höhere Ableitungen wären nötig.
  • Der Funktionswert ist \(f(1)=0\), an diesem Punkt berührt die Funktion die x-Achse.

Zusammenfassung

An den Stellen mit \(f'(x) = 0\) liegen wichtige Punkte auf dem Graphen:

R-Code zum Visualisieren (optional)

Hier ein kleiner R-Code zur Veranschaulichung der Punkte auf einem Beispielgraph:


library(ggplot2)

# Beispiel-Funktion (Symbolisch, keine echte Funktion)
# Punkte und Interpretationen visualisieren
points <- data.frame(
  x = c(-2, 3, 1),
  y = c(1, 5, 0),
  label = c("Max (-2,1)", "Min (3,5)", "Sattel/Wendepunkt (1,0)")
)

ggplot(points, aes(x, y)) + 
  geom_point(color = "blue", size = 4) +
  geom_text(aes(label=label), vjust = -1, size = 5) +
  xlim(-4, 4) + ylim(-1, 6) +
  ggtitle("Wichtige Punkte auf dem Funktionsgraphen") +
  theme_minimal()