Con Mi Profe: Julio Hurtado Marquez; EMAIL_TAREAS: juliohurtado210307@gmail.com

Texto guía: MR-GMAT-Focus-QuantitativeQuestionBank-7E

SEMANA 4

📊 4.1. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - ANÁLISIS DE INCREMENTO DE COSTOS EN CONSTRUCCIÓN

🏗️ PROBLEMA: INCREMENTO EN COSTOS DE CONSTRUCCIÓN 2019-2024

Cálculo de porcentaje de aumento y análisis de inflación en construcción

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Un arquitecto está actualizando el presupuesto para un proyecto de vivienda de interés social. Revisando datos históricos, encuentra que en 2019 el costo promedio del m² de construcción era $1.850.000 COP. Al consultar cifras actuales para 2024, observa que el mismo m² ahora cuesta $2.400.000 COP debido a inflación, aumento en materiales y mano de obra.”

Pregunta: ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el costo por m² de construcción entre 2019 y 2024?

A

22.92%

B

25.35%

C

27.85%

D

29.73%

E

32.43%

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Identificar datos iniciales

Costo 2019 (inicial):
$1.850.000 COP por m²
Costo 2024 (final):
$2.400.000 COP por m²
Período: 5 años (2019-2024)

Nota: Los valores están en pesos colombianos (COP)

📈 Paso 2: Calcular diferencia absoluta

Diferencia = Valor final - Valor inicial
= $2.400.000 - $1.850.000
= $550.000

Interpretación: El m² aumentó $550.000 en 5 años

🧮 Paso 3: Calcular porcentaje de aumento

Fórmula: % aumento = (Diferencia / Valor inicial) × 100
Sustitución: = (550.000 / 1.850.000) × 100
Cálculo paso a paso:
1. 550.000 ÷ 1.850.000 = 0,297297…
2. 0,297297… × 100 = 29,7297…%

✅ Paso 4: Simplificar y redondear

29,7297…% ≈ 29,73%

Fracción equivalente: 550/1850 = 11/37 ≈ 0,2973

🔍 Paso 5: Verificación del cálculo

Verificación directa:
29,73% de $1.850.000 = ?
1.850.000 × 0,2973 = 550.005 ≈ 550.000 ✓
Verificación inversa:
$1.850.000 + 29,73% = ?
1.850.000 × 1,2973 = 2.400.005 ≈ 2.400.000 ✓
Cálculo alternativo:
(2.400.000 / 1.850.000) - 1 = 1,2973 - 1 = 0,2973 = 29,73%

⚠️ Paso 6: Análisis de errores comunes

Error 1: Usar base incorrecta
(550.000/2.400.000)×100 = 22,92% (INCORRECTO)
→ Se debe usar el valor INICIAL como base

Error 2: Confundir con tasa anual
29,73% es el aumento TOTAL en 5 años
NO es la tasa anual promedio

Error 3: Mal cálculo de diferencia
2.400.000 - 1.850.000 = 550.000 ✓
No: 2.400.000 - 1.850.000 = 650.000

Error 4: No simplificar fracciones
550.000/1.850.000 = 550/1850 = 11/37

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

Opción A: 22,92%
(550.000/2.400.000)×100
Usa base incorrecta (final)
→ INCORRECTO

Opción B: 25,35%
No corresponde al cálculo
→ INCORRECTO

Opción C: 27,85%
Cálculo aproximado incorrecto
→ INCORRECTO

Opción D: 29,73%
(550.000/1.850.000)×100
Cálculo correcto
→ CORRECTO

Opción E: 32,43%
Sobrestima el aumento
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
29,73%

Opción D - Aumento porcentual correcto

📈 Paso 8: Interpretación en contexto real

Implicaciones prácticas:
• Una vivienda de 60 m² costaba:
2019: 60 × 1.850.000 = $111.000.000
2024: 60 × 2.400.000 = $144.000.000
• Aumento total: $33.000.000
• Esto representa desafíos para
vivienda de interés social

Tasa anual promedio (CAGR):
[(2.400.000/1.850.000)^(1/5)] - 1
= (1,2973^(0,2)) - 1
≈ 1,0534 - 1 = 0,0534
≈ 5,34% anual
Nota: Esto NO se pide en el problema
pero es útil para análisis financiero

📚 CONCEPTOS MATEMÁTICOS APLICADOS

📊 Cálculo de Porcentaje de Aumento

• Fórmula: % = [(Final - Inicial)/Inicial] × 100
• Base correcta: valor inicial
• Interpretación de resultados
• Aplicación en contextos reales

💰 Análisis Financiero Básico

• Comparación de valores en el tiempo
• Impacto de la inflación
• Actualización de presupuestos
• Toma de decisiones económicas

🧮 Simplificación de Fracciones

• 550.000/1.850.000 = 550/1850
• Simplificación: ÷50 → 11/37
• Conversión a decimal: 11÷37 ≈ 0,2973
• Conversión a porcentaje: ×100 = 29,73%

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

🏗️

Resumen de la Solución

1. Datos: 2019: $1.850.000/m² | 2024: $2.400.000/m²
2. Diferencia absoluta: $2.400.000 - $1.850.000 = $550.000
3. Fórmula porcentaje: (550.000 / 1.850.000) × 100
4. Cálculo: 550.000 ÷ 1.850.000 = 0,297297…
5. Conversión: 0,297297… × 100 = 29,7297…%
6. Redondeo: 29,73% (opción D)
7. Verificación: $1.850.000 × 1,2973 ≈ $2.400.000 ✓

Fórmula clave:
% aumento = [(Final - Inicial)/Inicial] × 100

Aplicación práctica:
El costo por m² aumentó
aproximadamente 30% en 5 años

Conclusión clave: Este problema ilustra el cálculo de incrementos porcentuales en contextos reales de construcción y economía. El error más común es usar el valor final como base en lugar del valor inicial. La respuesta correcta es 29,73%, lo que significa que el costo de construcción por metro cuadrado aumentó casi un 30% en el período de 5 años, reflejando impactos significativos de inflación y aumento de costos de materiales y mano de obra.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 29,73%

Cálculo de porcentajes • Análisis de incrementos • Contexto de construcción real

📊 4.2. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - CÁLCULO DE PRECIO CON AUMENTO PORCENTUAL

🪑 PROBLEMA: ACTUALIZACIÓN DE PRECIOS DE MATERIALES SOSTENIBLES

Cálculo de nuevo precio tras aumento porcentual en materiales certificados

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Un diseñador de mobiliario está preparando una colección con madera certificada FSC. En enero, el proveedor cotizó las tablas de roble ecológico a $95.000 COP por unidad. Para mayo, debido a mayor demanda global y restricciones de exportación, el proveedor anuncia un aumento del 18% en todos los materiales sostenibles.”

Pregunta: ¿Cuál será el nuevo precio por tabla de roble ecológico después del aumento del 18%?

A

$111.100 COP

B

$112.100 COP

C

$113.100 COP

D

$114.100 COP

E

$115.100 COP

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Identificar datos iniciales

Precio inicial (enero):
$95.000 COP por tabla
Porcentaje de aumento:
18% (debido a demanda y restricciones)
Tiempo: Enero a Mayo (4 meses)

Nota: FSC = Forest Stewardship Council (certificación sostenible)

📈 Paso 2: Calcular monto del aumento

Monto aumento = Precio inicial × 18%
= $95.000 × 0,18
= $17.100

Cálculo alternativo:
18% de 95.000 = (18/100) × 95.000
= 18 × 950 = 17.100

🧮 Paso 3: Calcular nuevo precio

Nuevo precio = Precio inicial + Aumento
= $95.000 + $17.100
= $112.100 COP

Método directo:
Nuevo precio = 95.000 × 1,18
= 95.000 × 1,18 = 112.100

✅ Paso 4: Verificación del cálculo

Verificación con porcentaje:
Aumento real = (112.100 - 95.000) = 17.100
% verificación = (17.100/95.000)×100 = 18% ✓
Verificación inversa:
112.100 ÷ 1,18 = 95.000 ✓
Verificación con fracciones:
18% = 18/100 = 9/50
Aumento = 95.000 × (9/50) = 95.000 × 9 ÷ 50
= 855.000 ÷ 50 = 17.100 ✓

🔍 Paso 5: Métodos alternativos de cálculo

Método 1: Factor multiplicador
Factor = 1 + 18% = 1 + 0,18 = 1,18
95.000 × 1,18 = 112.100

Método 2: Por partes
10% de 95.000 = 9.500
8% de 95.000 = 7.600
Total 18% = 9.500 + 7.600 = 17.100
Nuevo = 95.000 + 17.100 = 112.100

Método 3: Regla de tres
100% → 95.000
118% → x = (95.000 × 118)/100
x = 11.210.000/100 = 112.100

⚠️ Paso 6: Análisis de errores comunes

Error 1: Sumar 18 sin calcular porcentaje
95.000 + 18 = 95.018 (INCORRECTO)

Error 2: Calcular 18% incorrectamente
95.000 × 0,18 = 17.100 ✓ (no 17.000)

Error 3: Usar factor 0,18 en lugar de 1,18
95.000 × 0,18 = 17.100 (solo el aumento)
Falta sumar al precio original

Error 4: Confundir con descuento
Para aumento: ×1,18
Para descuento: ×0,82 (si fuera 18% menos)

Error 5: No verificar con cálculo inverso

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: $111.100
95.000 × 1,17 = 111.150
(usa 17% en lugar de 18%)
→ INCORRECTO

B: $112.100
95.000 × 1,18 = 112.100
Cálculo correcto
→ CORRECTO

C: $113.100
95.000 × 1,19 = 113.050
(aproxima 19% en lugar de 18%)
→ INCORRECTO

D: $114.100
95.000 + 19.100 = 114.100
(error en cálculo de 18%)
→ INCORRECTO

E: $115.100
95.000 × 1,21 = 114.950
(error significativo)
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
$112.100 COP

Opción B - Nuevo precio correcto tras aumento del 18%

📈 Paso 8: Interpretación en contexto real y aplicaciones

Impacto en proyecto:
• Si necesita 50 tablas:
Costo enero: 50 × 95.000 = $4.750.000
Costo mayo: 50 × 112.100 = $5.605.000
• Aumento total: $855.000
• Incremento: 18% en costos materiales

Decisiones de diseño:
Puede requerir ajustar presupuesto
o buscar alternativas sostenibles

Aplicaciones prácticas:
1. Facturación con IVA:
Si IVA = 19%
Precio + IVA = 112.100 × 1,19
= $133.399 COP

2. Descuentos futuros:
Si ofrecen 10% descuento:
112.100 × 0,90 = $100.890

3. Comparación anual:
Si aumenta 18% cada año:
Año 2: 112.100 × 1,18 = $132.278

📚 CONCEPTOS MATEMÁTICOS APLICADOS

💰 Cálculo de Aumentos Porcentuales

• Fórmula: Nuevo = Inicial × (1 + %/100)
• Factor multiplicador: 1,18 para 18%
• Cálculo del monto de aumento
• Verificación con cálculo inverso

🧮 Porcentajes Fraccionarios

• 18% = 18/100 = 9/50
• 95.000 × (9/50) = cálculo simplificado
• Descomposición: 10% + 8%
• Múltiples métodos de verificación

📊 Análisis de Costos y Presupuestos

• Impacto de variaciones en materiales
• Actualización de cotizaciones
• Planificación financiera
• Toma de decisiones en diseño

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

🪑

Resumen de la Solución

1. Datos: Precio inicial: $95.000 | Aumento: 18%
2. Cálculo aumento: 95.000 × 0,18 = $17.100
3. Nuevo precio: 95.000 + 17.100 = $112.100
4. Método directo: 95.000 × 1,18 = $112.100
5. Verificación: (112.100 - 95.000)/95.000 = 0,18 = 18% ✓
6. Respuesta: $112.100 COP (Opción B)

Fórmula clave:
Precio final = Precio inicial × (1 + % aumento/100)

Aplicación práctica:
Las tablas aumentaron $17.100
por efectos de mercado global

Conclusión clave: Este problema ilustra una aplicación común de porcentajes en contextos comerciales y de diseño. El aumento del 18% en materiales sostenibles refleja tendencias reales del mercado. Es crucial recordar que para calcular precios tras aumentos porcentuales se usa el factor multiplicador (1 + porcentaje/100), no solo el porcentaje. La respuesta correcta es $112.100 COP, que representa un incremento significativo que afectaría la viabilidad de proyectos con materiales certificados.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - $112.100 COP

Cálculo de aumentos porcentuales • Actualización de precios • Contexto de diseño sostenible

📊 4.3. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - CRECIMIENTO DE CASOS EN BUFETE DE ABOGADOS

⚖️ PROBLEMA: ANÁLISIS DE CRECIMIENTO DE CASOS JURÍDICOS

Cálculo de porcentaje de crecimiento anual y evaluación de estrategias de marketing

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Un bufete de abogados especializado en derecho de familia está evaluando su crecimiento. En su primer año de operación (Año 1), atendió 80 casos. Después de implementar una estrategia de marketing digital y recibir referencias, en el segundo año (Año 2) logró atender 92 casos.”

Pregunta: ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento en el número de casos atendidos del Año 1 al Año 2?

A

12.0%

B

13.0%

C

14.5%

D

15.0%

E

15.5%

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Identificar datos iniciales

Año 1 (casos iniciales):
80 casos atendidos
Año 2 (casos finales):
92 casos atendidos
Período: 1 año de crecimiento

El crecimiento se debe a marketing digital y referencias

📈 Paso 2: Calcular diferencia absoluta

Diferencia = Casos Año 2 - Casos Año 1
= 92 - 80
= 12 casos adicionales

Interpretación: 12 casos más que el año anterior

🧮 Paso 3: Calcular porcentaje de crecimiento

Fórmula: % crecimiento = (Diferencia / Valor inicial) × 100
Sustitución: = (12 / 80) × 100
Cálculo paso a paso:
1. 12 ÷ 80 = 0,15
2. 0,15 × 100 = 15%

Fracción simplificada: 12/80 = 3/20 = 0,15

✅ Paso 4: Métodos alternativos de cálculo

Método 1: Factor multiplicador
92 ÷ 80 = 1,15
Crecimiento = 1,15 - 1 = 0,15 = 15%

Método 2: Por partes
10% de 80 = 8 casos
5% de 80 = 4 casos
Total 15% = 8 + 4 = 12 casos ✓

Método 3: Regla de tres
80 casos → 100%
92 casos → x = (92 × 100)/80
x = 9.200/80 = 115%
Crecimiento = 115% - 100% = 15%

🔍 Paso 5: Verificación del cálculo

Verificación directa:
15% de 80 casos = 80 × 0,15 = 12 ✓
80 + 12 = 92 casos ✓
Verificación con factor:
80 × 1,15 = 92 ✓
Verificación inversa:
92 ÷ 1,15 = 80 ✓
Cálculo exacto:
(92/80 - 1) × 100 = (1,15 - 1) × 100 = 15%

⚠️ Paso 6: Análisis de errores comunes

Error 1: Usar base incorrecta
(12/92)×100 = 13,04% (INCORRECTO)
→ Debe usarse el valor inicial (80)

Error 2: Confundir con diferencia simple
92 - 80 = 12 (solo diferencia absoluta)
Falta convertir a porcentaje

Error 3: Calcular mal la fracción
12/80 = 0,15 ✓ (no 0,12 ni 0,125)

Error 4: No simplificar fracciones
12/80 = 3/20 = 0,15 = 15%

Error 5: Confundir crecimiento con porcentaje final
92/80 = 1,15 = 115% (valor final)
Crecimiento = 115% - 100% = 15%

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: 12,0%
12/100 = 0,12
Usa 100 como base (error)
→ INCORRECTO

B: 13,0%
12/92 ≈ 0,1304
Usa base incorrecta
→ INCORRECTO

C: 14,5%
11,6/80 = 0,145
Calcula mal la diferencia
→ INCORRECTO

D: 15,0%
12/80 = 0,15 = 15%
Cálculo correcto
→ CORRECTO

E: 15,5%
12,4/80 = 0,155
Sobreestima el crecimiento
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
15,0%

Opción D - Crecimiento anual correcto

📈 Paso 8: Interpretación en contexto profesional

Implicaciones del crecimiento:
• Crecimiento del 15% anual es saludable
• De 80 a 92 casos representa expansión
• Estrategia de marketing efectiva
• Referencias funcionando bien

Proyección futura:
Si mantiene 15% anual:
Año 3: 92 × 1,15 = 106 casos
Año 4: 106 × 1,15 = 122 casos
Año 5: 122 × 1,15 = 140 casos

Análisis de productividad:
Supuesto: 230 días laborales/año
• Año 1: 80 casos ÷ 230 = 0,35 casos/día
• Año 2: 92 casos ÷ 230 = 0,40 casos/día
• Aumento productividad: 14,3%

Impacto económico (ejemplo):
Si caso promedio = $2.000.000
• Año 1: 80 × 2M = $160.000.000
• Año 2: 92 × 2M = $184.000.000
• Crecimiento ingresos: $24.000.000
(15% aumento en ingresos)

📚 CONCEPTOS MATEMÁTICOS APLICADOS

📊 Cálculo de Crecimiento Porcentual

• Fórmula: % = [(Final - Inicial)/Inicial] × 100
• Base correcta: valor inicial
• Simplificación de fracciones
• Verificación con cálculo inverso

📈 Análisis de Datos Empresariales

• Evaluación de crecimiento organizacional
• Métrica de rendimiento (KPI)
• Impacto de estrategias de marketing
• Proyecciones y planificación

🧮 Fracciones y Porcentajes

• 12/80 = 3/20 = 0,15 = 15%
• Conversión fracción-decimal-porcentaje
• Cálculo mental: 10% + 5% = 15%
• Factor multiplicador: 1,15

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

⚖️

Resumen de la Solución

1. Datos: Año 1: 80 casos | Año 2: 92 casos
2. Diferencia absoluta: 92 - 80 = 12 casos
3. Fórmula porcentaje: (12 / 80) × 100
4. Cálculo: 12 ÷ 80 = 0,15
5. Conversión: 0,15 × 100 = 15%
6. Verificación: 80 × 1,15 = 92 ✓
7. Respuesta: 15,0% (Opción D)

Fórmula clave:
% crecimiento = [(Final - Inicial)/Inicial] × 100

Interpretación:
El bufete creció 15% anual
Gracias a marketing y referencias

Conclusión clave: Este problema demuestra cómo calcular porcentajes de crecimiento en contextos empresariales y profesionales. El crecimiento del 15% del bufete de abogados indica una expansión saludable gracias a estrategias efectivas de marketing digital y referencias. Es esencial recordar usar el valor inicial como base para el cálculo del porcentaje de crecimiento, no el valor final. La fracción 12/80 se simplifica a 3/20, que equivale exactamente a 15%, sin necesidad de redondeo.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 15,0%

Cálculo de crecimiento porcentual • Análisis empresarial • Evaluación de estrategias

📊 4.4. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - ANÁLISIS DE EFECTIVIDAD TERAPÉUTICA

🧠 PROBLEMA: ANÁLISIS DE EFECTIVIDAD TERAPÉUTICA EN SALUD MENTAL

Cálculo de porcentaje de mejora y evaluación de resultados clínicos

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Una psicóloga clínica está evaluando la efectividad de un tratamiento para trastorno de ansiedad generalizada. Al iniciar la terapia, un paciente obtuvo 72 puntos en la escala GAD-7 (rango 0-84, donde >60 indica ansiedad severa). Después de 12 sesiones de terapia cognitivo-conductual, el paciente fue reevaluado y obtuvo 55 puntos.”

Pregunta: ¿Cuál es el porcentaje de reducción en los síntomas de ansiedad después del tratamiento?

A

17.0%

B

20.5%

C

23.6%

D

26.4%

E

30.8%

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Identificar datos clínicos

Evaluación inicial (pre-tratamiento):
72 puntos en GAD-7
Evaluación final (post-tratamiento):
55 puntos en GAD-7
Escala de referencia: 0-84 puntos
Umbral severidad: >60 = ansiedad severa

Inicial: 72 pts (SEVERA) | Final: 55 pts (MODERADA)

📉 Paso 2: Calcular mejora absoluta

Reducción de síntomas =
Puntuación inicial - Puntuación final
= 72 - 55
= 17 puntos de reducción

Interpretación clínica: Disminución significativa de síntomas

🧮 Paso 3: Calcular porcentaje de reducción

Fórmula: % reducción = [(Inicial - Final) / Inicial] × 100
Sustitución: = [(72 - 55) / 72] × 100
Cálculo paso a paso:
1. 72 - 55 = 17
2. 17 ÷ 72 = 0,236111…
3. 0,236111… × 100 = 23,61%

Redondeo clínico: Aproximadamente 23,6%

✅ Paso 4: Métodos alternativos de cálculo

Método 1: Fracción simplificada
17/72 ≈ 0,2361
Multiplicar × 100 = 23,61%

Método 2: Por partes aproximadas
10% de 72 = 7,2 puntos
20% de 72 = 14,4 puntos
23,6% ≈ entre 20% y 25%

Método 3: Factor de reducción
55 ÷ 72 = 0,7639
Reducción = 1 - 0,7639 = 0,2361
0,2361 × 100 = 23,61%

🔍 Paso 5: Verificación del cálculo

Verificación con porcentaje:
23,6% de 72 puntos = 72 × 0,236 = 17,0 puntos ✓
72 - 17 = 55 puntos ✓
Verificación con factor:
72 × (1 - 0,236) = 72 × 0,764 = 55,0 ✓
Verificación inversa:
55 ÷ (1 - 0,236) = 55 ÷ 0,764 ≈ 72 ✓
Cálculo exacto:
17/72 = 0,236111… = 23,6111…%

⚠️ Paso 6: Análisis de errores comunes

Error 1: Usar base incorrecta
(17/55)×100 = 30,9% (INCORRECTO)
→ Debe usarse el valor inicial (72)

Error 2: Confundir con diferencia simple
17 puntos (solo diferencia absoluta)
Falta convertir a porcentaje

Error 3: Calcular % de la escala completa
17/84 = 20,2% (INCORRECTO)
→ Usa base incorrecta (84 en vez de 72)

Error 4: Calcular % final sobre inicial
55/72 = 76,4% (porcentaje final)
Reducción = 100% - 76,4% = 23,6% ✓

Error 5: Mal cálculo de la fracción
17/72 ≈ 0,236 (no 0,17 ni 0,25)

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: 17,0%
17/100 = 0,17
Usa 100 como base (error)
→ INCORRECTO

B: 20,5%
(17/83)×100 ≈ 20,5%
Usa escala completa -1
→ INCORRECTO

C: 23,6%
17/72 = 0,236 ≈ 23,6%
Cálculo correcto
→ CORRECTO

D: 26,4%
19/72 = 0,264
Sobreestima reducción
→ INCORRECTO

E: 30,8%
(17/55)×100 ≈ 30,9%
Usa base incorrecta (final)
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
23,6%

Opción C - Reducción clínica significativa

📈 Paso 8: Interpretación en contexto clínico

Significancia clínica:
• Reducción del 23,6% es significativa
• Cambio de categoría: Severa → Moderada
• Respuesta BUENA al tratamiento
• TCC demostró efectividad

Criterios clínicos de respuesta:
≥50%: Respuesta EXCELENTE
≥25%: Respuesta BUENA
≥10%: Respuesta MÍNIMA
<10%: Sin respuesta clínica

Impacto funcional:
Mejora en calidad de vida:
• Reducción síntomas físicos
• Mejor funcionamiento diario
• Disminución preocupación

Evaluación de tratamiento:
• 12 sesiones fueron suficientes
• Paciente responde a TCC
• Considerar continuar tratamiento
• Posible reducir frecuencia

📚 CONCEPTOS MATEMÁTICOS APLICADOS

📊 Cálculo de Reducción Porcentual

• Fórmula: % = [(Inicial - Final)/Inicial] × 100
• Base correcta: valor inicial (72 puntos)
• Fracción: 17/72 = 0,236111…
• Redondeo clínico: 23,6%

📈 Interpretación Clínica

• Escala GAD-7: instrumento validado
• Umbrales de severidad clínica
• Criterios de respuesta al tratamiento
• Significancia estadística vs. clínica

🧮 Fracciones y Porcentajes en Salud

• 17/72 ≈ 0,236 = 23,6%
• Conversión para reportes clínicos
• Precisión requerida en salud mental
• Contextualización de resultados

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

🧠

Resumen de la Solución

1. Datos: Pre-tratamiento: 72 pts | Post-tratamiento: 55 pts
2. Reducción absoluta: 72 - 55 = 17 puntos
3. Fórmula porcentaje: (17 / 72) × 100
4. Cálculo: 17 ÷ 72 = 0,236111…
5. Conversión: 0,2361 × 100 = 23,61%
6. Redondeo clínico: 23,6%
7. Respuesta: 23,6% (Opción C)

Fórmula clave:
% reducción = [(Inicial - Final)/Inicial] × 100

Interpretación:
El tratamiento redujo síntomas
en 23,6% - Respuesta BUENA

Conclusión clave: Este problema demuestra cómo aplicar cálculos porcentuales en contextos de salud mental para evaluar efectividad terapéutica. La reducción del 23,6% en síntomas de ansiedad indica una respuesta BUENA al tratamiento con terapia cognitivo-conductual. Es crucial usar el valor inicial (72 puntos) como base para el cálculo, no el valor final ni la escala completa. La fracción 17/72 se aproxima a 23,6%, lo que representa una mejora clínicamente significativa que cambia la clasificación del paciente de ansiedad severa a moderada.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 23,6%

Cálculo de reducción porcentual • Evaluación clínica • Significancia terapéutica

SEMANA 5

📊 5.1. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - IMPACTO DE ESTRATEGIA DE MARKETING DIGITAL

📈 PROBLEMA: ANÁLISIS DE EFECTIVIDAD EN MARKETING DIGITAL

Cálculo de crecimiento porcentual y evaluación de estrategias de remarketing

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Un especialista en marketing digital está evaluando el impacto de una nueva estrategia de remarketing. En el trimestre anterior (baseline), la campaña de email marketing generó 980 conversiones (descargas de ebook gratuito como lead magnet). Después de implementar secuencias automatizadas de seguimiento y rediseñar los CTAs, en el trimestre actual logró 1,520 conversiones.”

Pregunta: ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento en conversiones después de implementar la nueva estrategia de remarketing?

A

35.1%

B

45.5%

C

52.0%

D

55.1%

E

64.5%

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Identificar métricas de marketing

Trimestre anterior (baseline):
980 conversiones
Trimestre actual (post-mejoras):
1,520 conversiones
Tipo de conversión:
Descargas ebook (lead magnet)
Estrategias implementadas:
• Secuencias automatizadas
• Rediseño de CTAs

KPI: Conversiones por email marketing

📈 Paso 2: Calcular incremento absoluto

Incremento en conversiones =
Conversiones actuales - Conversiones anteriores
= 1,520 - 980
= 540 conversiones adicionales

Interpretación: 540 leads más que el trimestre anterior

🧮 Paso 3: Calcular porcentaje de crecimiento

Fórmula: % crecimiento = [(Actual - Anterior) / Anterior] × 100
Sustitución: = [(1,520 - 980) / 980] × 100
Cálculo paso a paso:
1. 1,520 - 980 = 540
2. 540 ÷ 980 = 0,551020…
3. 0,551020… × 100 = 55,102%

Redondeo profesional: Aproximadamente 55,1%

✅ Paso 4: Métodos alternativos de cálculo

Método 1: Factor multiplicador
1,520 ÷ 980 = 1,55102
Crecimiento = 1,55102 - 1 = 0,55102
0,55102 × 100 = 55,102%

Método 2: Cálculo por partes
10% de 980 = 98 conversiones
50% de 980 = 490 conversiones
55% ≈ 490 + 49 = 539 conversiones
(aproximación cercana a 540)

Método 3: Fracción simplificada
540/980 = 54/98 = 27/49 ≈ 0,55102

🔍 Paso 5: Verificación del cálculo

Verificación con porcentaje:
55,1% de 980 = 980 × 0,551 = 539,98 ≈ 540 ✓
980 + 540 = 1,520 ✓
Verificación con factor:
980 × 1,551 = 1,519,98 ≈ 1,520 ✓
Verificación inversa:
1,520 ÷ 1,551 ≈ 980 ✓
Cálculo exacto:
540/980 = 0,551020408… = 55,1020408…%

⚠️ Paso 6: Análisis de errores comunes

Error 1: Usar base incorrecta
(540/1,520)×100 = 35,5% (INCORRECTO)
→ Debe usarse el valor inicial (980)

Error 2: Confundir con diferencia simple
540 conversiones (solo incremento absoluto)
Falta convertir a porcentaje

Error 3: Calcular % sobre total incorrecto
540/2,500 = 21,6% (INCORRECTO)
→ Suma ambos períodos innecesariamente

Error 4: Error de cálculo decimal
540/980 ≠ 0,55 exactamente (es 0,55102)

Error 5: Redondeo prematuro
540/980 ≈ 0,55 → 55% (aproximado)
Pero el cálculo exacto es 55,1%

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: 35,1%
(540/1,540)×100 ≈ 35,1%
Usa base incorrecta
→ INCORRECTO

B: 45,5%
540/1,187 ≈ 45,5%
Error en cálculo base
→ INCORRECTO

C: 52,0%
510/980 = 0,520
Subestima crecimiento
→ INCORRECTO

D: 55,1%
540/980 = 0,551 = 55,1%
Cálculo correcto
→ CORRECTO

E: 64,5%
632/980 = 0,645
Sobreestima crecimiento
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
55,1%

Opción D - Crecimiento significativo en conversiones

📈 Paso 8: Interpretación en contexto de marketing

Impacto de las estrategias:
• Crecimiento del 55,1% es EXCELENTE
• Secuencias automatizadas: +eficiencia
• Rediseño CTAs: +tasa de conversión
• ROI positivo de las mejoras

Benchmarks del sector:
• Crecimiento típico email: 15-25%
• Crecimiento >50%: EXCEPCIONAL
• Estrategias de remarketing efectivas
• Optimización exitosa

Análisis de valor del lead:
Supuesto: Valor promedio lead = $50
• Trimestre anterior: 980 × $50 = $49,000
• Trimestre actual: 1,520 × $50 = $76,000
• Incremento valor: $27,000 (+55,1%)

Implicaciones estratégicas:
• Escalar estrategias exitosas
• Invertir más en remarketing
• Optimizar otras campañas
• Replicar en otros canales

📚 CONCEPTOS MATEMÁTICOS APLICADOS

📊 Cálculo de Crecimiento Porcentual

• Fórmula: % = [(Actual - Anterior)/Anterior] × 100
• Base correcta: valor inicial (980 conversiones)
• Fracción: 540/980 = 0,55102
• Redondeo profesional: 55,1%

📈 Análisis de KPIs de Marketing

• Conversiones como métrica principal
• Evaluación A/B testing (CTAs)
• ROI de estrategias de optimización
• Benchmarks del sector digital

🧮 Fracciones y Porcentajes en Negocios

• 540/980 = 27/49 ≈ 0,551
• Precisión en reportes ejecutivos
• Interpretación de crecimiento
• Toma de decisiones basada en datos

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

📧

Resumen de la Solución

1. Datos: Trimestre anterior: 980 conversiones | Trimestre actual: 1,520 conversiones
2. Incremento absoluto: 1,520 - 980 = 540 conversiones
3. Fórmula porcentaje: (540 / 980) × 100
4. Cálculo: 540 ÷ 980 = 0,5510204…
5. Conversión: 0,5510 × 100 = 55,102%
6. Redondeo: 55,1% de crecimiento
7. Respuesta: 55,1% (Opción D)

Fórmula clave:
% crecimiento = [(Actual - Anterior)/Anterior] × 100

Interpretación:
Estrategias de remarketing
aumentaron conversiones 55,1%

Conclusión clave: Este problema ilustra cómo aplicar cálculos porcentuales para evaluar la efectividad de estrategias de marketing digital. El crecimiento del 55,1% en conversiones demuestra el impacto positivo de implementar secuencias automatizadas de seguimiento y rediseñar los CTAs. Es esencial usar el valor inicial (980 conversiones) como base para el cálculo, no el valor final. La fracción 540/980 equivale aproximadamente a 55,1%, indicando un desempeño excepcional en el sector de email marketing donde crecimientos superiores al 50% son considerados sobresalientes.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 55,1%

Cálculo de crecimiento porcentual • Análisis de marketing • Evaluación de estrategias digitales

📊 5.2. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - CRECIMIENTO DE AUDIENCIA RADIAL

📻 PROBLEMA: ANÁLISIS DE CRECIMIENTO DE AUDIENCIA RADIAL

Cálculo de porcentaje de crecimiento y evaluación de estrategias de programación

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“El director de una emisora comunitaria está evaluando el impacto de un nuevo programa matutino. En el primer mes de medición, el programa tenía un promedio de 25,000 oyentes diarios según ratings. Después de 6 meses de ajustes en contenido, incorporación de segmentos interactivos y promoción cruzada, el programa alcanzó 31,000 oyentes diarios en el último mes.”

Pregunta: ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento en la audiencia diaria después de implementar las mejoras en el programa?

A

19.4%

B

22.0%

C

24.0%

D

26.0%

E

27.5%

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Identificar métricas de audiencia

Primer mes (baseline):
25,000 oyentes diarios
Sexto mes (post-mejoras):
31,000 oyentes diarios
Período de evaluación:
6 meses de implementación
Mejoras implementadas:
• Ajustes en contenido
• Segmentos interactivos
• Promoción cruzada

KPI: Promedio diario de oyentes (ratings)

📈 Paso 2: Calcular incremento absoluto

Crecimiento en audiencia =
Audiencia final - Audiencia inicial
= 31,000 - 25,000
= 6,000 oyentes adicionales

Interpretación: 6,000 nuevos oyentes diarios

🧮 Paso 3: Calcular porcentaje de crecimiento

Fórmula: % crecimiento = [(Final - Inicial) / Inicial] × 100
Sustitución: = [(31,000 - 25,000) / 25,000] × 100
Cálculo paso a paso:
1. 31,000 - 25,000 = 6,000
2. 6,000 ÷ 25,000 = 0,24
3. 0,24 × 100 = 24%

Resultado exacto: 24% (sin redondeo necesario)

✅ Paso 4: Métodos alternativos de cálculo

Método 1: Factor multiplicador
31,000 ÷ 25,000 = 1,24
Crecimiento = 1,24 - 1 = 0,24
0,24 × 100 = 24%

Método 2: Cálculo por partes
10% de 25,000 = 2,500 oyentes
20% de 25,000 = 5,000 oyentes
4% de 25,000 = 1,000 oyentes
Total 24% = 5,000 + 1,000 = 6,000 ✓

Método 3: Fracción simplificada
6,000/25,000 = 6/25 = 24/100 = 0,24 = 24%

🔍 Paso 5: Verificación del cálculo

Verificación con porcentaje:
24% de 25,000 = 25,000 × 0,24 = 6,000 ✓
25,000 + 6,000 = 31,000 ✓
Verificación con factor:
25,000 × 1,24 = 31,000 ✓
Verificación inversa:
31,000 ÷ 1,24 = 25,000 ✓
Cálculo exacto:
6,000/25,000 = 0,24 = 24% exacto

⚠️ Paso 6: Análisis de errores comunes

Error 1: Usar base incorrecta
(6,000/31,000)×100 = 19,35% (INCORRECTO)
→ Debe usarse el valor inicial (25,000)

Error 2: Confundir con diferencia simple
6,000 oyentes (solo incremento absoluto)
Falta convertir a porcentaje

Error 3: Error en cálculo decimal
6,000/25,000 = 0,24 (no 0,25 ni 0,20)

Error 4: No simplificar fracción
6,000/25,000 = 6/25 = 24/100 = 24%

Error 5: Confundir crecimiento con porcentaje final
31,000/25,000 = 1,24 = 124% (valor final)
Crecimiento = 124% - 100% = 24% ✓

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: 19,4%
(6,000/31,000)×100 ≈ 19,4%
Usa base incorrecta
→ INCORRECTO

B: 22,0%
5,500/25,000 = 0,22
Subestima crecimiento
→ INCORRECTO

C: 24,0%
6,000/25,000 = 0,24 = 24%
Cálculo correcto
→ CORRECTO

D: 26,0%
6,500/25,000 = 0,26
Sobreestima crecimiento
→ INCORRECTO

E: 27,5%
6,875/25,000 = 0,275
Error significativo
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
24,0%

Opción C - Crecimiento saludable en audiencia

📈 Paso 8: Interpretación en contexto radial

Impacto de las mejoras:
• Crecimiento del 24% en 6 meses
• Ajustes en contenido: +relevancia
• Segmentos interactivos: +engagement
• Promoción cruzada: +descubrimiento

Benchmarks del sector radial:
• Crecimiento típico: 5-15% anual
• Crecimiento >20%: SOBRESALIENTE
• En 6 meses: ritmo anualizado de 48%
• Desempeño excepcional

Análisis de impacto económico:
Supuesto: Valor por oyente = $0,10/día
• Mes 1: 25,000 × $0,10 = $2,500/día
• Mes 6: 31,000 × $0,10 = $3,100/día
• Incremento: $600/día (+24%)
• Anualizado: $219,000 adicionales

Implicaciones estratégicas:
• Replicar estrategias exitosas
• Invertir en más interacción
• Expandir promoción cruzada
• Evaluar nuevos segmentos

📚 CONCEPTOS MATEMÁTICOS APLICADOS

📊 Cálculo de Crecimiento Porcentual

• Fórmula: % = [(Final - Inicial)/Inicial] × 100
• Base correcta: valor inicial (25,000 oyentes)
• Fracción: 6,000/25,000 = 6/25 = 24/100
• Resultado exacto: 24% (sin redondeo)

📈 Análisis de Ratings y Audiencia

• Métricas de audiencia radial
• Evaluación de programación
• Impacto de estrategias de contenido
• Benchmarks del sector de medios

🧮 Simplificación de Fracciones

• 6,000/25,000 = 6/25 = 0,24
• Multiplicación por 100 para porcentaje
• Cálculo mental: 10% + 10% + 4% = 24%
• Verificación con múltiplos

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

📻

Resumen de la Solución

1. Datos: Mes 1: 25,000 oyentes | Mes 6: 31,000 oyentes
2. Crecimiento absoluto: 31,000 - 25,000 = 6,000 oyentes
3. Fórmula porcentaje: (6,000 / 25,000) × 100
4. Cálculo: 6,000 ÷ 25,000 = 0,24
5. Conversión: 0,24 × 100 = 24%
6. Verificación: 25,000 × 1,24 = 31,000 ✓
7. Respuesta: 24,0% (Opción C)

Fórmula clave:
% crecimiento = [(Final - Inicial)/Inicial] × 100

Interpretación:
Mejoras en programación
aumentaron audiencia 24%

Conclusión clave: Este problema demuestra cómo aplicar cálculos porcentuales para evaluar el crecimiento de audiencia en medios de comunicación. El aumento del 24% en oyentes diarios refleja el éxito de las estrategias implementadas: ajustes de contenido, segmentos interactivos y promoción cruzada. La fracción 6,000/25,000 se simplifica a 6/25, que equivale exactamente a 24/100 o 24%, un resultado limpio sin necesidad de redondeo. En el contexto radial, un crecimiento del 24% en 6 meses es considerado sobresaliente y justifica la inversión en optimización de programación.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 24,0%

Cálculo de crecimiento porcentual • Análisis de audiencia • Evaluación de estrategias radiales

📊 5.3. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - ANÁLISIS DE PARTICIPACIÓN ELECTORAL POR GÉNERO

🗳️ PROBLEMA: ANÁLISIS DE RELACIONES Y PROPORCIONES EN ESTUDIOS ELECTORALES

Interpretación de escalas y relaciones entre cantidades en análisis de participación electoral

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Un centro de estudios políticos está investigando patrones de participación electoral desagregados por género. En una muestra representativa de 1,400 votantes encuestados post-elección, la relación hombre:mujer es 3:4. Esto significa que por cada 3 hombres votantes hay 4 mujeres votantes. El estudio busca entender si existen diferencias significativas en comportamiento electoral por género.”

Pregunta: ¿Cuántas mujeres votantes hay en la muestra de 1,400 encuestados?

A

500

B

600

C

700

D

800

E

900

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Interpretar la relación de proporción

Relación hombre:mujer = 3:4
Significado: Por cada 3 hombres hay 4 mujeres
Interpretación como fracción:
• Hombres = 3 partes
• Mujeres = 4 partes
• Total partes = 3 + 4 = 7 partes

Tamaño muestra total:
1,400 votantes encuestados

La relación 3:4 establece la estructura proporcional de la muestra

📈 Paso 2: Calcular valor de cada parte

Método de partes proporcionales:
Total partes = 3 + 4 = 7 partes
Total votantes = 1,400 personas
Valor de cada parte =
Total ÷ Número de partes
= 1,400 ÷ 7
= 200 votantes por parte

Verificación: 200 × 7 = 1,400 ✓

🧮 Paso 3: Calcular número de mujeres

Mujeres representan 4 partes
Cada parte = 200 votantes
Número de mujeres =
Partes de mujeres × Valor por parte
= 4 × 200
= 800 mujeres

Verificación rápida: 4 partes × 200 = 800 ✓

✅ Paso 4: Métodos alternativos de cálculo

Método 1: Fracción directa
Mujeres = (4/7) × 1,400
= 4 × 200 = 800

Método 2: Regla de tres
7 partes → 1,400 votantes
4 partes → x = (4 × 1,400)/7
x = 5,600/7 = 800

Método 3: Sistema de ecuaciones
H + M = 1,400
H/M = 3/4 → 4H = 3M
Resolviendo: M = 800, H = 600

🔍 Paso 5: Verificación completa

Verificación de proporción:
Hombres: 3 partes × 200 = 600
Mujeres: 4 partes × 200 = 800
Total: 600 + 800 = 1,400 ✓

Verificación de relación:
600:800 = simplificando ÷200 = 3:4 ✓

Verificación porcentual:
Mujeres = 800/1,400 = 4/7 ≈ 57,14%
Hombres = 600/1,400 = 3/7 ≈ 42,86%
Total = 100% ✓

⚠️ Paso 6: Análisis de errores comunes

Error 1: Malinterpretar la relación
3:4 ≠ 3/7 hombres y 4/7 mujeres (CORRECTO)
3:4 ≠ 3/4 hombres del total (INCORRECTO)

Error 2: Calcular partes incorrectamente
1,400 ÷ 4 = 350 (INCORRECTO)
→ Debe dividirse entre 7 partes totales

Error 3: Confundir hombres y mujeres
(3/7)×1,400 = 600 hombres ✓
(4/7)×1,400 = 800 mujeres ✓
No intercambiar fracciones

Error 4: No simplificar relación
600:800 = 3:4 (simplificada)
Mantener proporción original

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: 500
(5/14)×1,400 = 500
Interpreta 3:4 como 3/10 y 4/10
→ INCORRECTO

B: 600
(3/7)×1,400 = 600
Calcula hombres en vez de mujeres
→ INCORRECTO (es el número de hombres)

C: 700
Mitad de 1,400 = 700
Asume distribución 50%-50%
→ INCORRECTO (ignora relación 3:4)

D: 800
(4/7)×1,400 = 800
Cálculo correcto
→ CORRECTO

E: 900
(9/14)×1,400 = 900
Suma 3+4=7 pero multiplica mal
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
800 mujeres

Opción D - Cálculo proporcional correcto

📈 Paso 8: Interpretación en contexto de ciencias políticas

Análisis de la distribución:
• Hombres: 600 (42.9% de la muestra)
• Mujeres: 800 (57.1% de la muestra)
• Relación: 3:4 significa 3 hombres por cada 4 mujeres
• Mayor participación femenina en la muestra

Implicaciones metodológicas:
• Muestra representativa de 1,400 casos
• Diseño de investigación con desagregación por género
• Posible sobre-representación femenina
• Necesidad de ponderación estadística

Aplicación en estudios electorales:
Para análisis comparativo:
• Si relación población general es 1:1
• Hay sobrerrepresentación femenina en muestra
• Puede indicar mayor participación electoral femenina

Para proyecciones:
• Si población votante = 10 millones
• Proporción 3:4 → 4.29M hombres, 5.71M mujeres
• Importante para diseño de campañas
• Estrategias diferenciadas por género

📚 CONCEPTOS MATEMÁTICOS APLICADOS

📊 Interpretación de Relaciones y Proporciones

• Relación 3:4 = 3 partes hombres, 4 partes mujeres
• Total partes = 3 + 4 = 7
• Fracción hombres = 3/7 del total
• Fracción mujeres = 4/7 del total

📈 Cálculo con Partes Proporcionales

• Valor por parte = Total ÷ Partes totales
• 1,400 ÷ 7 = 200 por parte
• Mujeres = 4 partes × 200 = 800
• Hombres = 3 partes × 200 = 600

🧮 Aplicación en Ciencias Sociales

• Análisis de muestras representativas
• Desagregación de datos por variables
• Interpretación de relaciones estadísticas
• Proyecciones poblacionales

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

🗳️

Resumen de la Solución

1. Datos: Muestra total = 1,400 votantes | Relación H:M = 3:4
2. Interpretación: 3 partes hombres + 4 partes mujeres = 7 partes totales
3. Valor por parte: 1,400 ÷ 7 = 200 votantes por parte
4. Cálculo mujeres: 4 partes × 200 = 800 mujeres
5. Verificación hombres: 3 partes × 200 = 600 hombres
6. Verificación total: 800 + 600 = 1,400 ✓
7. Respuesta: 800 mujeres (Opción D)

Fórmula clave:
Valor por parte = Total ÷ Suma de partes

Aplicación:
En estudios electorales para análisis
de participación por género

Conclusión clave: Este problema ilustra la aplicación de relaciones proporcionales en ciencias sociales, específicamente en estudios electorales. La relación 3:4 entre hombres y mujeres significa que la muestra se divide en 7 partes iguales, donde 3 partes corresponden a hombres y 4 partes a mujeres. Con un total de 1,400 encuestados, cada parte vale 200 personas, resultando en 600 hombres y 800 mujeres. Este tipo de análisis es fundamental para entender patrones de participación electoral y diseñar investigaciones representativas en ciencias políticas.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 800 MUJERES

Interpretación de relaciones proporcionales • Análisis de muestras • Ciencias sociales aplicadas

SEMANA 6

📊 6.1. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - ANÁLISIS DE CRECIMIENTO DE SUSCRIPCIONES

📈 PROBLEMA: ANÁLISIS DE TASAS DE CRECIMIENTO EN PLATAFORMAS EDUCATIVAS

Cálculo e interpretación de variaciones porcentuales en datos trimestrales de suscripciones

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Una plataforma de educación en línea está analizando el crecimiento de sus suscripciones premium durante el último año. Los datos trimestrales muestran: Q1: 12,500 suscriptores, Q2: 14,000 suscriptores, Q3: 16,800 suscriptores, Q4: 19,600 suscriptores. El equipo de análisis busca identificar patrones de crecimiento y comparar las tasas de variación entre trimestres.”

Pregunta: ¿Cuál es la tasa de crecimiento porcentual del Q3 al Q4 y cómo se compara con la tasa del Q2 al Q3?

A

Q3→Q4: 14.3%
Q2→Q3: 20.0%
Menor crecimiento

B

Q3→Q4: 16.7%
Q2→Q3: 20.0%
Menor crecimiento

C

Q3→Q4: 16.7%
Q2→Q3: 16.7%
Mismo crecimiento

D

Q3→Q4: 16.7%
Q2→Q3: 14.3%
Mayor crecimiento

E

Q3→Q4: 20.0%
Q2→Q3: 16.7%
Mayor crecimiento

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Organizar datos trimestrales

Datos de suscripciones:
• Q1: 12,500 suscriptores
• Q2: 14,000 suscriptores
• Q3: 16,800 suscriptores
• Q4: 19,600 suscriptores

Variaciones trimestrales:
Q1→Q2: 14,000 - 12,500 = 1,500
Q2→Q3: 16,800 - 14,000 = 2,800
Q3→Q4: 19,600 - 16,800 = 2,800

Observación: El incremento absoluto Q2→Q3 y Q3→Q4 es igual (2,800)

📈 Paso 2: Recordar fórmula de tasa de crecimiento

Fórmula clave:
Tasa de crecimiento % =
[(Valor final - Valor inicial) / Valor inicial] × 100

Simplificada:
% = (Incremento / Valor inicial) × 100

Ejemplo:
Si crece de 100 a 120:
% = [(120-100)/100]×100 = 20%

Importante: El denominador es el valor INICIAL del período

🧮 Paso 3: Calcular Q2→Q3 (julio-septiembre)

Datos:
Inicial (Q2): 14,000
Final (Q3): 16,800
Incremento: 2,800

Cálculo:
% = (2,800 / 14,000) × 100
% = 0.20 × 100
% = 20.0%

Verificación: 14,000 × 1.20 = 16,800 ✓

📊 Paso 4: Calcular Q3→Q4 (octubre-diciembre)

Datos:
Inicial (Q3): 16,800
Final (Q4): 19,600
Incremento: 2,800

Cálculo:
% = (2,800 / 16,800) × 100
% = 1/6 × 100
% = 16.67% ≈ 16.7%

Verificación: 16,800 × 1.1667 ≈ 19,600 ✓

🔍 Paso 5: Comparación de tasas

Resultados calculados:
• Q2→Q3: 20.0% crecimiento
• Q3→Q4: 16.7% crecimiento

Diferencia: 20.0% - 16.7% = 3.3% puntos

Comparación:
La tasa Q3→Q4 (16.7%) es menor que la tasa Q2→Q3 (20.0%)

Interpretación:
Aunque el incremento absoluto es igual (2,800),
la base inicial es mayor en Q3→Q4, por lo que
el porcentaje de crecimiento es menor.

⚠️ Paso 6: Análisis de errores comunes

Error 1: Usar base incorrecta
(2,800/19,600)×100 = 14.3% (INCORRECTO)
→ Base debe ser valor INICIAL (16,800)

Error 2: Confundir tasas
Q2→Q3: 20% correcto, Q3→Q4: 16.7% correcto
No intercambiar valores

Error 3: Ignorar comparación
Decir solo tasas sin compararlas
→ Pregunta pide comparación explícita

Error 4: Redondeo incorrecto
16.67% ≈ 16.7% (correcto)
No redondear a 17% o 16%

Error 5: Confundir igualdad de incrementos
Incrementos iguales (2,800) ≠ Tasas iguales

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: Q3→Q4: 14.3%
Q2→Q3: 20.0%
Calcula Q3→Q4 con base final
→ INCORRECTO

B: Q3→Q4: 16.7%
Q2→Q3: 20.0%
Cálculos correctos
Menor crecimiento
→ CORRECTO

C: Q3→Q4: 16.7%
Q2→Q3: 16.7%
Q2→Q3 incorrecto (debe ser 20%)
→ INCORRECTO

D: Q3→Q4: 16.7%
Q2→Q3: 14.3%
Q2→Q3 incorrecto (debe ser 20%)
→ INCORRECTO

E: Q3→Q4: 20.0%
Q2→Q3: 16.7%
Intercambia tasas
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
Opción B

Q3→Q4: 16.7% | Q2→Q3: 20.0% | La tasa Q3→Q4 es menor

📈 Paso 8: Análisis completo del patrón anual

Cálculo de todas las tasas:
• Q1→Q2: (14,000-12,500)/12,500 × 100
  = 1,500/12,500 × 100 = 12.0%
• Q2→Q3: = 20.0% (calculado)
• Q3→Q4: = 16.7% (calculado)

Patrón observado:
12.0% → 20.0% → 16.7%

Crecimiento anual total:
(19,600-12,500)/12,500 × 100
= 7,100/12,500 × 100 = 56.8%

Interpretación en negocio educativo:
Pico en Q2→Q3 (20%):
• Posible inicio año académico
• Campañas de back-to-school
• Mayor inversión en marketing

Desaceleración Q3→Q4 (16.7%):
• Aunque menor %, aún saludable
• Crecimiento sobre base mayor
• Mercado alcanzando madurez

Implicaciones estratégicas:
• Mantener crecimiento sobre bases crecientes
• Invertir en retención de suscriptores

📚 CONCEPTOS MATEMÁTICOS Y DE NEGOCIO APLICADOS

📊 Cálculo de Tasas de Crecimiento

• Fórmula: % = [(Final-Inicial)/Inicial] × 100
• Incremento absoluto vs. porcentual
• Base de cálculo = valor inicial del período
• Redondeo apropiado (16.67% ≈ 16.7%)

📈 Análisis Comparativo

• Comparación de tasas porcentuales
• Interpretación de “mayor/menor/igual”
• Diferencia en puntos porcentuales
• Contexto del problema completo

💼 Aplicación en Negocios Digitales

• Análisis trimestral de métricas
• Interpretación de crecimiento sobre bases crecientes
• Patrones estacionales en educación
• Toma de decisiones basada en datos

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

📈

Resumen de la Solución

1. Datos: Q2=14,000; Q3=16,800; Q4=19,600 suscriptores
2. Cálculo Q2→Q3: (2,800/14,000)×100 = 20.0%
3. Cálculo Q3→Q4: (2,800/16,800)×100 = 16.67% ≈ 16.7%
4. Comparación: 20.0% > 16.7% → tasa Q3→Q4 es menor
5. Respuesta: Q3→Q4: 16.7%, Q2→Q3: 20.0%, menor crecimiento
6. Opción correcta: B

Fórmula clave:
Tasa % = [(Final - Inicial)/Inicial] × 100

Insight de negocio:
Incrementos absolutos iguales pueden dar
tasas porcentuales diferentes según la base

Conclusión clave: Este problema ilustra la diferencia crucial entre incremento absoluto y tasa de crecimiento porcentual. Aunque tanto Q2→Q3 como Q3→Q4 tienen un incremento absoluto de 2,800 suscriptores, la tasa porcentual difiere porque las bases son distintas (14,000 vs 16,800). Q2→Q3 crece 20.0% mientras Q3→Q4 crece 16.7%, mostrando una desaceleración en el ritmo porcentual de crecimiento. Este análisis es fundamental para interpretar correctamente métricas de negocio en plataformas digitales y tomar decisiones informadas basadas en tendencias reales.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B

Q3→Q4: 16.7% crecimiento | Q2→Q3: 20.0% crecimiento | La tasa Q3→Q4 es menor

📊 ** 6.2. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - ANÁLISIS DE PATRONES DE CRECIMIENTO EN E-COMMERCE**

📈 PROBLEMA: IDENTIFICACIÓN DE PATRONES DE CRECIMIENTO EN VENTAS ONLINE

Análisis de secuencias numéricas para determinar patrones de crecimiento geométrico

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Un analista de e-commerce está estudiando el patrón de crecimiento de ventas durante el primer semestre. Las ventas mensuales (en miles de dólares) fueron: Enero: $85, Febrero: $93.5, Marzo: $102.85, Abril: $113.14, Mayo: $124.45, Junio: $136.9. Se observa un patrón de crecimiento que el analista quiere caracterizar matemáticamente.”

Pregunta: ¿Qué tipo de patrón de crecimiento exhiben las ventas y cuál es la tasa de crecimiento mensual constante?

A

Crecimiento lineal
Tasa: $8.5 mil/mes

B

Crecimiento geométrico
Tasa: 10% mensual

C

Crecimiento geométrico
Tasa: 8.5% mensual

D

Crecimiento exponencial
Tasa: 15% mensual

E

Crecimiento cuadrático
Tasa variable

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Organizar datos y observar patrón

Ventas mensuales (en miles):
• Enero: $85.00
• Febrero: $93.50
• Marzo: $102.85
• Abril: $113.14
• Mayo: $124.45
• Junio: $136.90

Incrementos absolutos:
Feb-Ene: 93.5 - 85 = 8.5
Mar-Feb: 102.85 - 93.5 = 9.35
Abr-Mar: 113.14 - 102.85 = 10.29
May-Abr: 124.45 - 113.14 = 11.31
Jun-May: 136.9 - 124.45 = 12.45

Observación: Los incrementos NO son constantes → NO es crecimiento lineal

📈 Paso 2: Probar si es crecimiento geométrico

Característica crecimiento geométrico:
Cada término = anterior × factor constante (r)
r = término posterior / término anterior

Cálculo de razones:
Feb/Ene: 93.5 ÷ 85 = 1.10
Mar/Feb: 102.85 ÷ 93.5 = 1.10
Abr/Mar: 113.14 ÷ 102.85 = 1.10
May/Abr: 124.45 ÷ 113.14 = 1.10
Jun/May: 136.9 ÷ 124.45 = 1.10

Todas las razones = 1.10 ✓

Conclusión: Factor constante de 1.10 indica crecimiento geométrico

🧮 Paso 3: Calcular tasa de crecimiento porcentual

Factor de crecimiento r = 1.10
Tasa porcentual = (r - 1) × 100%

Cálculo:
Tasa = (1.10 - 1) × 100%
Tasa = 0.10 × 100%
Tasa = 10% mensual

Verificación con fórmula:
Feb = 85 × 1.10 = 93.5 ✓
Mar = 93.5 × 1.10 = 102.85 ✓
Abr = 102.85 × 1.10 = 113.14 ✓
May = 113.14 × 1.10 = 124.45 ✓
Jun = 124.45 × 1.10 = 136.90 ✓

📊 Paso 4: Identificar tipo de patrón exacto

Tipos de crecimiento:
1. Lineal: Incremento absoluto constante
  → NO aplica (8.5, 9.35, 10.29…)

2. Geométrico/Exponencial discreto:
  Razón constante entre términos consecutivos
  → SÍ aplica (1.10 constante)

3. Cuadrático:
  Sigue fórmula n² o similar
  → NO aplica

4. Exponencial continuo:
  Generalmente e^(kt)
  → En datos discretos mensuales,
    equivalente a geométrico

Conclusión: Crecimiento geométrico con tasa 10%

🔍 Paso 5: Verificación con fórmula general

Fórmula crecimiento geométrico:
Vₙ = V₁ × rⁿ⁻¹
Donde:
• Vₙ = ventas mes n
• V₁ = ventas enero = 85
• r = factor = 1.10
• n = número de mes

Verificación para junio (n=6):
V₆ = 85 × (1.10)⁵
V₆ = 85 × 1.61051
V₆ = 136.89 ≈ 136.90 ✓

Verificación para marzo (n=3):
V₃ = 85 × (1.10)²
V₃ = 85 × 1.21
V₃ = 102.85 ✓

Patrón confirmado: Todas las ventas siguen Vₙ = 85 × 1.10ⁿ⁻¹

⚠️ Paso 6: Análisis de errores comunes

Error 1: Confundir incrementos absolutos
Primer incremento = 8.5 → pensar que todos son 8.5
→ Pero 93.5 → 102.85 = 9.35 (diferente)

Error 2: Calcular tasa incorrecta
8.5/85 = 0.10 = 10% (CORRECTO)
Pero pensar 8.5/93.5 ≈ 9.1% (INCORRECTO)

Error 3: Confundir geométrico con exponencial
En datos discretos mensuales: equivalentes
Geométrico: Vₙ = V₁ × rⁿ⁻¹
Exponencial: V(t) = V₀ × eᵏᵗ

Error 4: No verificar todos los meses
Verificar solo 2-3 meses, no toda la secuencia

Error 5: Calcular promedio incorrecto
Promedio incrementos ≠ tasa geométrica
(8.5+9.35+10.29+11.31+12.45)/5 = 10.38 ≠ 10%

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: Lineal, $8.5k/mes
Solo primer incremento es 8.5
Los siguientes crecen → NO lineal
→ INCORRECTO

B: Geométrico, 10%
Razón constante 1.10 = 10%
Verificado en todos los meses
→ CORRECTO

C: Geométrico, 8.5%
8.5/100 = 8.5% error común
Pero tasa es 10%, no 8.5%
→ INCORRECTO

D: Exponencial, 15%
Tasa incorrecta (15% ≠ 10%)
Además, exponencial continuo ≠ geométrico discreto
→ INCORRECTO

E: Cuadrático, variable
No sigue patrón cuadrático
Tasa es constante (10%)
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
Opción B

Crecimiento geométrico con tasa constante de 10% mensual

📈 Paso 8: Interpretación en contexto de e-commerce

Análisis del crecimiento 10% mensual:
• Factor mensual: 1.10
• Tasa mensual: 10%
• Tasa acumulada 6 meses:
  1.10⁶ - 1 = 1.7716 - 1 = 77.16%

Ventas proyectadas (si continúa):
• Julio: 136.9 × 1.10 = $150.59k
• Agosto: 150.59 × 1.10 = $165.65k
• Diciembre: 136.9 × 1.10⁶ = $242.46k

Crecimiento anualizado:
1.10¹² = 3.1384
→ 213.84% crecimiento anual

Implicaciones para negocio:
Ventas doblando cada:
ln(2)/ln(1.10) ≈ 7.27 meses
→ Cada 7-8 meses las ventas se duplican

Interpretación del 10% mensual:
• Crecimiento muy saludable en e-commerce
• Posible efecto de marketing viral
• Retención y adquisición balanceadas
• Mercado en fase de crecimiento rápido

Precauciones:
• Tasas tan altas difícil de mantener
• Eventual saturación de mercado
• Necesidad de reinversión en crecimiento

📚 CONCEPTOS MATEMÁTICOS Y DE NEGOCIO APLICADOS

📊 Crecimiento Geométrico/Exponencial

• Razón constante entre términos consecutivos
• Fórmula: Vₙ = V₁ × rⁿ⁻¹
• Tasa porcentual: (r - 1) × 100%
• En datos discretos: equivalente a exponencial

📈 Identificación de Patrones

• Lineal: diferencias constantes
• Geométrico: razones constantes
• Cuadrático: segunda diferencia constante
• Verificación múltiple puntos

💻 Aplicación en E-commerce Analytics

• Análisis de crecimiento mensual compuesto
• Proyecciones de ventas
• Evaluación de efectividad de marketing
• Identificación de puntos de inflexión

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

📊

Resumen de la Solución

1. Datos: Secuencia: 85, 93.5, 102.85, 113.14, 124.45, 136.9
2. Prueba lineal: Incrementos: 8.5, 9.35, 10.29… → NO constante
3. Prueba geométrica: Razones: 93.5/85=1.10, 102.85/93.5=1.10… → SÍ constante
4. Tasa cálculo: r=1.10 → tasa=(1.10-1)×100%=10%
5. Verificación: Todos los meses cumplen Vₙ = 85 × 1.10ⁿ⁻¹
6. Patrón: Crecimiento geométrico/exponencial discreto
7. Respuesta: Crecimiento geométrico, tasa 10% mensual (Opción B)

Fórmula clave:
r = Vₙ₊₁ / Vₙ
Tasa % = (r - 1) × 100

Insight de analytics:
10% mensual = 77% semestral
= Ventas se duplican cada ~7 meses

Conclusión clave: Las ventas muestran un claro patrón de crecimiento geométrico con una tasa constante del 10% mensual. Esto se verifica calculando la razón entre cada mes consecutivo (93.5/85=1.10, 102.85/93.5=1.10, etc.), obteniendo siempre el mismo factor de 1.10. En contexto de e-commerce, un crecimiento compuesto del 10% mensual es excepcionalmente fuerte, representando una duplicación de ventas aproximadamente cada 7 meses. Este tipo de análisis permite al equipo de negocios hacer proyecciones realistas, evaluar campañas de marketing y planificar la escalabilidad de operaciones.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B

Crecimiento geométrico con tasa constante de 10% mensual

📊 6.3. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - COMPARACIÓN DE RENDIMIENTOS DE FONDOS

📈 PROBLEMA: ANÁLISIS DE TASAS DE CRECIMIENTO CONSISTENTES EN FONDOS

Evaluación comparativa de rendimientos y consistencia en inversiones financieras

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Un asesor financiero está comparando el rendimiento de dos fondos de inversión durante un período de 3 años. El Fondo A tuvo los siguientes valores por acción: Año 1: $50, Año 2: $57.50, Año 3: $66.13. El Fondo B: Año 1: $100, Año 2: $112, Año 3: $125.44. El asesor necesita determinar qué fondo tuvo una tasa de crecimiento anual más consistente y cuál fue esa tasa.”

Pregunta: ¿Qué fondo tuvo una tasa de crecimiento anual más consistente y cuál fue esa tasa?

A

Fondo A
Tasa: 13% anual

B

Fondo A
Tasa: 15% anual

C

Fondo B
Tasa: 12% anual

D

Ambos igualmente consistentes
Tasa: 14.5%

E

Fondo B
Tasa: 14% anual

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Organizar datos y entender “consistencia”

Fondo A:
Año 1: $50.00
Año 2: $57.50
Año 3: $66.13

Fondo B:
Año 1: $100.00
Año 2: $112.00
Año 3: $125.44

“Consistencia” en finanzas:
Tasa de crecimiento constante año tras año
Crecimiento geométrico perfecto
Misma tasa % cada período

Para ser consistente: cada año debe crecer al mismo % (no misma $)

📈 Paso 2: Calcular tasas anuales Fondo A

Tasa = (Valor_final/Valor_inicial - 1) × 100%

Año 1→2:
(57.50/50.00 - 1) × 100%
= (1.15 - 1) × 100%
= 0.15 × 100% = 15%

Año 2→3:
(66.13/57.50 - 1) × 100%
= (1.15 - 1) × 100%
= 0.15 × 100% = 15%

Verificación exacta:
57.50/50 = 1.150000
66.13/57.50 = 1.150000 ✓

🧮 Paso 3: Calcular tasas anuales Fondo B

Año 1→2:
(112.00/100.00 - 1) × 100%
= (1.12 - 1) × 100%
= 0.12 × 100% = 12%

Año 2→3:
(125.44/112.00 - 1) × 100%
= (1.12 - 1) × 100%
= 0.12 × 100% = 12%

Verificación exacta:
112/100 = 1.120000
125.44/112 = 1.120000 ✓

Nota: 125.44/112 = 1.12 exacto

📊 Paso 4: Comparar consistencia

Resultados:
Fondo A: 15% ambos años → perfectamente consistente
Fondo B: 12% ambos años → perfectamente consistente

Análisis de consistencia:
• Ambos fondos tienen tasas constantes
• No varían año a año
• Crecimiento geométrico perfecto
• Ambos igualmente consistentes

Tasas diferentes pero constantes:
A: 15% constante ≠ B: 12% constante
Pero ambos son “consistentes”

Matemáticamente:
Consistente = varianza cero en tasas anuales

🔍 Paso 5: Verificación con fórmula general

Para crecimiento consistente:
Valorₙ = Valor₁ × (1 + r)ⁿ⁻¹

Fondo A (r=0.15):
Año 3 = 50 × (1.15)²
= 50 × 1.3225 = 66.125 ≈ 66.13 ✓

Fondo B (r=0.12):
Año 3 = 100 × (1.12)²
= 100 × 1.2544 = 125.44 ✓

También desde año 2:
Fondo A: 57.50 × 1.15 = 66.125 ✓
Fondo B: 112.00 × 1.12 = 125.44 ✓

Conclusión:
Ambos siguen crecimiento geométrico perfecto
→ Ambos igualmente consistentes
Tasas diferentes: A=15%, B=12%

⚠️ Paso 6: Errores comunes y trampas

Trampa 1: Confundir consistencia con tasa más alta
“Consistente” ≠ “mayor rendimiento”
Consistente = constante, no variable

Trampa 2: Calcular tasas incorrectamente
Fondo A: (66.13-50)/50 = 32.26% en 2 años
Luego dividir entre 2 = 16.13% (INCORRECTO)
→ Debe calcular año por año

Trampa 3: Ignorar que ambos son consistentes
Pensar que solo uno puede ser consistente
Ambos pueden serlo con tasas diferentes

Trampa 4: Interpretar “más consistente”
Si ambos son perfectamente consistentes
→ Ambos igualmente consistentes
No hay “más” o “menos”

Trampa 5: No verificar precisión decimal
57.50/50 = 1.15 exacto
66.13/57.50 = 1.15 exacto
→ Redondeos no afectan

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: Fondo A, 13%
Tasa incorrecta (es 15%, no 13%)
Además, B también es consistente
→ INCORRECTO

B: Fondo A, 15%
Tasa correcta para A
Pero B también es consistente
→ PARCIAL (falta reconocer ambos)

C: Fondo B, 12%
Tasa correcta para B
Pero A también es consistente
→ PARCIAL (falta reconocer ambos)

D: Ambos, 14.5%
Reconoce ambos consistentes
Tasa promedio 14.5%
→ MÁS PRÓXIMO AL CORRECTO

E: Fondo B, 14%
Tasa incorrecta (es 12%, no 14%)
Además, A también es consistente
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
Opción D (con matiz)

Ambos son igualmente consistentes | Tasa promedio ~14.5%
Nota: Opción D dice “tasa: 14.5%” que es el promedio, no las tasas individuales

Análisis detallado: Ambas opciones B y C identifican correctamente las tasas (15% y 12% respectivamente) pero fallan al no reconocer que ambos fondos son consistentes. La opción D es la única que reconoce que ambos son consistentes, aunque menciona “tasa: 14.5%” que es el promedio aritmético de 15% y 12%, no una tasa real de ningún fondo.

📈 Paso 8: Interpretación financiera y análisis completo

Análisis de consistencia:
Fondo A:
• Año 1→2: +15%
• Año 2→3: +15%
• Varianza: 0% (perfecta consistencia)

Fondo B:
• Año 1→2: +12%
• Año 2→3: +12%
• Varianza: 0% (perfecta consistencia)

Conclusión matemática:
Ambos tienen varianza cero en tasas
→ Ambos perfectamente consistentes
→ Igual grado de consistencia

Perspectiva de asesor financiero:
Para cliente que valora predictibilidad:
• Ambos fondos excelentes
• Rendimientos estables año a año
• Sin sorpresas negativas

Para cliente que busca máximo rendimiento:
• Fondo A: 15% anual > Fondo B: 12%
• Pero mayor rendimiento ≠ más consistente

Crecimiento acumulado 3 años:
• Fondo A: 50 → 66.13 = +32.26%
• Fondo B: 100 → 125.44 = +25.44%
• Tasa anualizada compuesta:
  A: 15%, B: 12% (coincide con anual)

Importante: En finanzas, “consistencia” se refiere a baja volatilidad/varianza en rendimientos, no al nivel de los rendimientos. Ambos fondos tienen volatilidad cero en sus tasas anuales.

📚 CONCEPTOS FINANCIEROS Y MATEMÁTICOS APLICADOS

📊 Consistencia en Rendimientos

• Consistente = tasa constante período a período
• Matemáticamente: varianza/desviación cero
• No confundir con nivel de rendimiento
• Crecimiento geométrico perfecto

📈 Cálculo de Tasas Anuales

• Tasa = (Valorₜ₊₁/Valorₜ - 1) × 100%
• Verificación múltiple períodos
• Precisión decimal importante
• Diferencia entre tasa anual y acumulada

💰 Análisis Financiero Comparativo

• Rendimiento vs. consistencia
• Volatilidad como medida de riesgo
• Tasa compuesta anual (CAGR)
• Evaluación de fondos de inversión

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

💰

Resumen de la Solución

1. Datos: Fondo A: 50, 57.50, 66.13 | Fondo B: 100, 112, 125.44
2. Cálculo tasas A: Año1→2: 57.50/50=1.15=15% | Año2→3: 66.13/57.50=1.15=15%
3. Cálculo tasas B: Año1→2: 112/100=1.12=12% | Año2→3: 125.44/112=1.12=12%
4. Análisis consistencia: Ambos tienen tasas constantes año a año
5. Comparación: Ambos son perfectamente consistentes (varianza cero)
6. Tasas: A=15% anual constante, B=12% anual constante
7. Mejor opción disponible: D (ambos consistentes, tasa promedio 14.5%)

Clave conceptual:
Consistencia = constancia en el tiempo
≠ alto rendimiento

Insight financiero:
Ambos fondos ideales para
inversores que buscan predictibilidad

Conclusión clave: Ambos fondos muestran una consistencia perfecta en sus tasas de crecimiento anual. El Fondo A crece exactamente 15% cada año, y el Fondo B crece exactamente 12% cada año. Matemáticamente, ambos tienen varianza cero en sus rendimientos anuales, lo que significa igual grado de consistencia. La opción D es la que mejor captura esta realidad al reconocer que ambos son consistentes, aunque menciona una tasa de 14.5% que corresponde al promedio aritmético de las dos tasas, no a la tasa de ningún fondo individual. Para un asesor financiero, esta información es valiosa: el Fondo A ofrece mayor rendimiento (15% vs 12%) con la misma consistencia perfecta.

✅ RESPUESTA MÁS ACERTADA: OPCIÓN D

Ambos fondos son igualmente consistentes | Fondo A: 15% anual | Fondo B: 12% anual

📊 6.4. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - ANÁLISIS DE PATRONES DE CONSUMO ENERGÉTICO

⚡ PROBLEMA: IDENTIFICACIÓN DE PATRONES DE CRECIMIENTO EN CONSUMO ELÉCTRICO

Análisis comparativo de tendencias anuales y trimestrales en datos energéticos

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Un analista energético está estudiando el consumo eléctrico de una ciudad durante 4 años. Los consumos anuales (en GWh) fueron: Año 1: 1,200, Año 2: 1,320, Año 3: 1,452, Año 4: 1,597.2. Además, el consumo del primer trimestre de cada año muestra: A1: 300, A2: 330, A3: 363, A4: 399.3. Se busca identificar el patrón de crecimiento general y compararlo con la tendencia trimestral.”

Pregunta: ¿Qué tipo de patrón de crecimiento exhiben los datos anuales y trimestrales, y cuál es la tasa de crecimiento común?

A

Lineal ambos
Tasa: 120 GWh/año

B

Geométrico ambos
Tasa: 10% anual

C

Anual: geométrico 10%
Trimestral: geométrico 10%

D

Anual: geométrico 10%
Trimestral: geométrico 12%

E

Anual: lineal 10%
Trimestral: geométrico 10%

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Organizar y analizar datos anuales

Consumo anual (GWh):
Año 1: 1,200.0
Año 2: 1,320.0
Año 3: 1,452.0
Año 4: 1,597.2

Incrementos absolutos:
A2-A1: 1,320 - 1,200 = 120.0
A3-A2: 1,452 - 1,320 = 132.0
A4-A3: 1,597.2 - 1,452 = 145.2

Razones (crecimiento geométrico):
A2/A1: 1,320/1,200 = 1.10
A3/A2: 1,452/1,320 = 1.10
A4/A3: 1,597.2/1,452 = 1.10

Observación: Razones constantes = 1.10 → crecimiento geométrico

📈 Paso 2: Analizar datos trimestrales (primer trimestre)

1er trimestre cada año (GWh):
Año 1: 300.0
Año 2: 330.0
Año 3: 363.0
Año 4: 399.3

Incrementos absolutos:
A2-A1: 330 - 300 = 30.0
A3-A2: 363 - 330 = 33.0
A4-A3: 399.3 - 363 = 36.3

Razones trimestrales:
330/300 = 1.10
363/330 = 1.10
399.3/363 = 1.10

Verificación exacta: 399.3/363 = 1.10 exacto

🧮 Paso 3: Calcular tasas de crecimiento

Para ambas series:
Factor de crecimiento r = 1.10

Tasa porcentual anual:
Tasa = (r - 1) × 100%
Tasa = (1.10 - 1) × 100%
Tasa = 0.10 × 100%
Tasa = 10% anual

Verificación con fórmula:
Año n = Año 1 × (1.10)ⁿ⁻¹
Año 4 = 1,200 × (1.10)³
= 1,200 × 1.331 = 1,597.2 ✓

Trimestre A4:
= 300 × (1.10)³
= 300 × 1.331 = 399.3 ✓

📊 Paso 4: Relación entre datos anuales y trimestrales

Observación importante:
Consumo anual A1 = 1,200 GWh
1er trimestre A1 = 300 GWh

Relación: 300/1,200 = 0.25 = 25%

Verificación año 2:
330/1,320 = 0.25 = 25%

Verificación año 3:
363/1,452 = 0.25 = 25%

Verificación año 4:
399.3/1,597.2 = 0.25 = 25%

Conclusión:
• Misma tasa crecimiento (10% anual)
• Misma proporción (25% anual en 1er trim)
• Patrón idéntico en ambas series

🔍 Paso 5: Verificar consistencia del patrón

Prueba de crecimiento geométrico:
Para ser geométrico: Vₙ = V₁ × rⁿ⁻¹

Datos anuales:
Año 2: 1,200 × 1.10¹ = 1,320 ✓
Año 3: 1,200 × 1.10² = 1,452 ✓
Año 4: 1,200 × 1.10³ = 1,597.2 ✓

Datos trimestrales:
A2: 300 × 1.10¹ = 330 ✓
A3: 300 × 1.10² = 363 ✓
A4: 300 × 1.10³ = 399.3 ✓

Relación constante:
300/1,200 = 330/1,320 = 363/1,452 = 0.25

Interpretación:
El primer trimestre siempre representa el 25%
del consumo anual, y ambos crecen al 10% anual

⚠️ Paso 6: Errores comunes en interpretación

Error 1: Confundir con crecimiento lineal
Primer incremento anual: 120 GWh
Pero segundo: 132 GWh ≠ 120
→ NO es lineal

Error 2: Calcular tasa trimestral diferente
30/300 = 10% (correcto anual)
No es tasa trimestral dentro del año
Es comparación año-a-año

Error 3: Pensar tasas diferentes
Algunos piensan: anual 10%, trimestral 12%
Pero 330/300 = 1.10 = 10% igual

Error 4: Ignorar relación 25%
No notar que trimestre es exactamente 25%
→ Sugiere estacionalidad constante

Error 5: Confundir tasa anual con mensual
10% es tasa anual de crecimiento año a año
No es tasa mensual o trimestral interna

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: Lineal ambos, 120 GWh/año
Incrementos no constantes (120, 132, 145.2)
→ INCORRECTO

B: Geométrico ambos, 10% anual
Correcto en esencia, pero falta precisión
→ PARCIALMENTE CORRECTO

C: Anual geom 10%, Trim geom 10%
Describe precisamente ambos patrones
→ CORRECTO

D: Anual geom 10%, Trim geom 12%
Tasa trimestral incorrecta (es 10%, no 12%)
→ INCORRECTO

E: Anual lineal 10%, Trim geom 10%
Anual no es lineal ni 10% lineal
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
Opción C

Ambas series muestran crecimiento geométrico con tasa constante de 10% anual

📈 Paso 8: Interpretación energética y proyecciones

Análisis de patrones:
Crecimiento anual:
• Año 1: 1,200 GWh
• Año 2: +10% = 1,320 GWh
• Año 3: +10% = 1,452 GWh
• Año 4: +10% = 1,597.2 GWh

Estacionalidad constante:
1er trimestre = 25% anual cada año
→ Patrón estacional estable

Proyecciones año 5:
Anual: 1,597.2 × 1.10 = 1,756.92 GWh
1er trim: 399.3 × 1.10 = 439.23 GWh
Verificación: 439.23/1,756.92 = 25% ✓

Implicaciones para planificación energética:
Para el analista energético:
• Crecimiento predecible del 10% anual
• Estacionalidad constante (25% en Q1)
• Fácil proyección de demanda
• Planeación de capacidad de generación

Interpretación del 10% anual:
• Crecimiento robusto en consumo
• Posible expansión económica
• Aumento población/industrialización
• Necesidad de inversión en infraestructura

Doble verificación:
Si Q1 crece 10% anual → anual crece 10%
Consistencia matemática perfecta

📚 CONCEPTOS ENERGÉTICOS Y MATEMÁTICOS APLICADOS

📊 Crecimiento Geométrico en Series Temporales

• Vₙ = V₁ × rⁿ⁻¹ (r constante)
• Identificación: razones constantes entre períodos
• Tasa porcentual: (r - 1) × 100%
• Aplicación en proyecciones energéticas

📈 Análisis de Estacionalidad

• Proporciones constantes entre subperíodos
• Q1 = 25% anual cada año
• Estacionalidad estable en el tiempo
• Implicaciones para distribución mensual

⚡ Planificación Energética

• Proyección de demanda eléctrica
• Análisis de tendencias de consumo
• Planificación de capacidad de generación
• Gestión de infraestructura eléctrica

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

⚡

Resumen de la Solución

1. Datos anuales: 1,200, 1,320, 1,452, 1,597.2 GWh
2. Datos trimestrales (Q1): 300, 330, 363, 399.3 GWh
3. Análisis anual: Razones: 1,320/1,200=1.10, 1,452/1,320=1.10, 1,597.2/1,452=1.10
4. Análisis trimestral: Razones: 330/300=1.10, 363/330=1.10, 399.3/363=1.10
5. Tasa común: Factor 1.10 = 10% de crecimiento anual
6. Relación constante: Q1 = 25% del consumo anual cada año
7. Patrón: Ambas series muestran crecimiento geométrico con tasa 10% anual
8. Respuesta: Opción C (Anual: geométrico 10%, Trimestral: geométrico 10%)

Fórmula clave:
r = Vₙ₊₁/Vₙ (constante)
Tasa = (r - 1) × 100%

Insight energético:
10% crecimiento anual compuesto
+ estacionalidad constante 25% Q1

Conclusión clave: Tanto el consumo anual como el del primer trimestre muestran un patrón idéntico de crecimiento geométrico con una tasa constante del 10% anual. Esto se verifica calculando las razones entre años consecutivos (1,320/1,200=1.10, 1,452/1,320=1.10, etc.) y entre los consumos del primer trimestre año a año (330/300=1.10, 363/330=1.10, etc.). Adicionalmente, se observa una relación constante: el primer trimestre representa exactamente el 25% del consumo anual en cada año. Para un analista energético, este patrón predecible es valioso para la planificación de capacidad, proyecciones de demanda y gestión de la infraestructura eléctrica.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C

Ambas series: crecimiento geométrico con tasa constante de 10% anual

📊 6.5. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - ANÁLISIS DE CRECIMIENTO EN APLICACIONES DE FITNESS

📱 PROBLEMA: ANÁLISIS COMPARATIVO DE ADOPCIÓN TECNOLÓGICA EN APLICACIONES DE SALUD

Estudio de patrones de crecimiento de usuarios en el contexto de adopción tecnológica y comportamiento social

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“El equipo de crecimiento de una aplicación de fitness está analizando la evolución de usuarios activos mensuales (UAM). Los datos semestrales muestran: Aplicación A: Mes 1: 10,000, Mes 2: 11,000, Mes 3: 12,100, Mes 4: 13,310, Mes 5: 14,641, Mes 6: 16,105. Paralelamente, una aplicación competidora (Aplicación B) mostró: Mes 1: 20,000, Mes 2: 21,000, Mes 3: 22,050, Mes 4: 23,153, Mes 5: 24,311, Mes 6: 25,526. El análisis busca entender patrones de adopción tecnológica y comportamiento de usuarios en el ámbito de salud digital.”

Pregunta: ¿Qué tipo de crecimiento exhibe cada aplicación y cómo se compara la tasa de crecimiento mensual entre ambas?

A

Ambas lineales
A: +1,000/mes, B: +1,000/mes

B

Ambas geométricas
A: 10%, B: 5%

C

A: geométrica 10%
B: lineal 5%

D

A: geométrica 5%
B: geométrica 10%

E

A: geométrica 10%
B: geométrica 5%

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📱 Paso 1: Analizar Aplicación A (datos)

Aplicación A - Usuarios activos:
Mes 1: 10,000
Mes 2: 11,000
Mes 3: 12,100
Mes 4: 13,310
Mes 5: 14,641
Mes 6: 16,105

Incrementos absolutos:
M2-M1: 11,000 - 10,000 = 1,000
M3-M2: 12,100 - 11,000 = 1,100
M4-M3: 13,310 - 12,100 = 1,210

Razones (crecimiento relativo):
11,000/10,000 = 1.10
12,100/11,000 = 1.10
13,310/12,100 = 1.10

Observación: Razón constante 1.10 → crecimiento geométrico

📊 Paso 2: Analizar Aplicación B (competencia)

Aplicación B - Usuarios activos:
Mes 1: 20,000
Mes 2: 21,000
Mes 3: 22,050
Mes 4: 23,153
Mes 5: 24,311
Mes 6: 25,526

Incrementos absolutos:
M2-M1: 21,000 - 20,000 = 1,000
M3-M2: 22,050 - 21,000 = 1,050
M4-M3: 23,153 - 22,050 = 1,103

Razones (crecimiento relativo):
21,000/20,000 = 1.05
22,050/21,000 = 1.05
23,153/22,050 ≈ 1.05

Verificación exacta: 23,153/22,050 = 1.05 exacto

📈 Paso 3: Determinar tasas de crecimiento

Para crecimiento geométrico:
Tasa = (r - 1) × 100%
Donde r = razón constante

Aplicación A:
r = 1.10
Tasa = (1.10 - 1) × 100%
= 0.10 × 100% = 10% mensual

Aplicación B:
r = 1.05
Tasa = (1.05 - 1) × 100%
= 0.05 × 100% = 5% mensual

Verificación con fórmula:
A: Mes 6 = 10,000 × (1.10)⁵ = 16,105 ✓
B: Mes 6 = 20,000 × (1.05)⁵ = 25,526 ✓

🔍 Paso 4: Verificar consistencia de patrones

Prueba completa Aplicación A:
Mes 2: 10,000 × 1.10 = 11,000 ✓
Mes 3: 11,000 × 1.10 = 12,100 ✓
Mes 4: 12,100 × 1.10 = 13,310 ✓
Mes 5: 13,310 × 1.10 = 14,641 ✓
Mes 6: 14,641 × 1.10 = 16,105 ✓

Prueba completa Aplicación B:
Mes 2: 20,000 × 1.05 = 21,000 ✓
Mes 3: 21,000 × 1.05 = 22,050 ✓
Mes 4: 22,050 × 1.05 = 23,152.5 ≈ 23,153 ✓
Mes 5: 23,153 × 1.05 = 24,310.65 ≈ 24,311 ✓
Mes 6: 24,311 × 1.05 = 25,526.55 ≈ 25,526 ✓

Conclusión:
• Ambas muestran crecimiento geométrico
• A: 10% mensual constante
• B: 5% mensual constante

📊 Paso 5: Comparación cuantitativa

Crecimiento en 6 meses:
Aplicación A:
Inicio: 10,000 usuarios
Fin: 16,105 usuarios
Crecimiento absoluto: +6,105 (61.05%)
Tasa mensual: 10%
Factor total: (1.10)⁵ = 1.6105

Aplicación B:
Inicio: 20,000 usuarios
Fin: 25,526 usuarios
Crecimiento absoluto: +5,526 (27.63%)
Tasa mensual: 5%
Factor total: (1.05)⁵ = 1.2763

Comparación:
• A crece al doble de tasa que B (10% vs 5%)
• B tiene base inicial mayor (20k vs 10k)
• En términos absolutos: A +6,105 vs B +5,526
• A supera crecimiento absoluto de B

⚠️ Paso 6: Errores comunes en análisis social

Error 1: Confundir crecimiento absoluto inicial
A: +1,000 (M1→M2) vs B: +1,000 (M1→M2)
Pero luego divergen → NO son lineales

Error 2: Sobregeneralizar del primer incremento
“Ambas añaden 1,000 primeros meses”
Pero A: 1,000, 1,100, 1,210…
B: 1,000, 1,050, 1,103…

Error 3: Interpretar tasas como porcentaje de base
“B crece 5% de 20,000 = 1,000” correcto
“A crece 10% de 10,000 = 1,000” correcto
Pero tasas diferentes: 10% ≠ 5%

Error 4: Ignorar implicaciones de crecimiento compuesto
10% mensual → duplicación en ~7.3 meses
5% mensual → duplicación en ~14.2 meses

Error 5: Confundir base inicial con tasa
B tiene más usuarios iniciales ≠ mayor tasa
De hecho, A tiene tasa mayor (10% > 5%)

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: Ambas lineales
Incrementos no constantes
1,000, 1,100, 1,210… vs 1,000, 1,050, 1,103…
→ INCORRECTO

B: Ambas geométricas
A: 10%, B: 5%
Describe precisamente ambos patrones
→ CORRECTO

C: A geom 10%, B lineal 5%
B no es lineal (incrementos: 1,000, 1,050…)
→ INCORRECTO

D: A geom 5%, B geom 10%
Intercambia tasas (A es 10%, B es 5%)
→ INCORRECTO

E: A geom 10%, B geom 5%
Mismo que opción B (correcto)
→ CORRECTO

Respuesta correcta:
Opciones B y E

Ambas aplicaciones muestran crecimiento geométrico: A al 10% mensual, B al 5% mensual

Nota: Las opciones B y E son esencialmente equivalentes, ambas correctas. Esto podría indicar un pequeño error en la formulación de las opciones, pero ambas transmiten la misma información correcta.

📱 Paso 8: Interpretación en ciencias sociales y comportamiento humano

Análisis desde teoría de adopción tecnológica:
Aplicación A (10% mensual):
• Crecimiento acelerado típico de adopción temprana
• Posible efecto de marketing viral
• Atracción de “early adopters”
• Mercado más receptivo a innovación

Aplicación B (5% mensual):
• Crecimiento más estable y maduro
• Posible posición de mercado establecida
• Base de usuarios más conservadora
• Menor tasa pero mayor base inicial

Curva de adopción de Rogers:
A: Posiblemente en fase de early majority
B: Posiblemente en fase de late majority

Implicaciones para estrategia de crecimiento:
Para Aplicación A:
• Capitalizar momentum de crecimiento rápido
• Invertir en retención (churn podría ser mayor)
• Escalar infraestructura para demanda creciente
• Mantener tasa de crecimiento alta

Para Aplicación B:
• Enfocarse en consolidación de mercado
• Mejorar engagement de usuarios existentes
• Expandir a nuevos segmentos demográficos
• Defender posición de mercado

Proyección a 12 meses:
A: 10,000 × (1.10)¹¹ ≈ 28,531 usuarios
B: 20,000 × (1.05)¹¹ ≈ 34,120 usuarios
→ B mantendría ventaja absoluta pero A cerraría brecha

Insight sociológico: El crecimiento del 10% mensual en A podría reflejar fenómenos de red social y contagio comportamental, donde cada nuevo usuario atrae a otros mediante recomendaciones y visibilidad social, típico en aplicaciones de fitness donde el componente social es clave.

📚 CONCEPTOS DE CIENCIAS SOCIALES Y ANÁLISIS CUANTITATIVO

📊 Teoría de Adopción Tecnológica

• Innovators, Early Adopters, Early Majority
• Late Majority, Laggards (Rogers)
• Curva en S de adopción
• Tasas de crecimiento como indicador de fase

📈 Comportamiento en Salud Digital

• Adopción de apps de fitness y wellness
• Factor social en aplicaciones de salud
• Retención vs. adquisición en salud digital
• Gamificación y engagement

📱 Análisis Cuantitativo Social

• Crecimiento geométrico como modelo de contagio social
• Comparación de tasas de adopción
• Interpretación de datos en contexto social
• Proyecciones basadas en patrones comportamentales

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

🏃‍♂️

Resumen de la Solución

1. Datos A: 10k, 11k, 12.1k, 13.31k, 14.641k, 16.105k
2. Datos B: 20k, 21k, 22.05k, 23.153k, 24.311k, 25.526k
3. Análisis A: Razones constantes 1.10 → crecimiento geométrico 10% mensual
4. Análisis B: Razones constantes 1.05 → crecimiento geométrico 5% mensual
5. Verificación: A: 10k×(1.10)⁵=16,105 ✓ B: 20k×(1.05)⁵=25,526 ✓
6. Comparación: Ambas geométricas, A crece al doble de tasa que B (10% vs 5%)
7. Interpretación social: A muestra patrón de adopción acelerada, B crecimiento más maduro
8. Respuesta: Opciones B y E (Ambas geométricas: A 10%, B 5%)

Fórmula clave sociológica:
Adopción ∝ Usuarios existentes × Tasa de recomendación

Insight comportamental:
10% mensual sugiere efecto de red fuerte
5% mensual sugiere mercado más maduro

Conclusión clave: Ambas aplicaciones exhiben crecimiento geométrico, indicando patrones de adopción tecnológica típicos en mercados digitales. La Aplicación A muestra una tasa del 10% mensual, característica de adopción acelerada posiblemente impulsada por efectos de red y marketing viral. La Aplicación B, con una tasa del 5% mensual, refleja un crecimiento más estable típico de mercados más maduros. Desde la perspectiva de ciencias sociales, esta diferencia en tasas podría explicarse por factores como la composición demográfica de los usuarios, la efectividad de las estrategias de engagement, y la etapa del ciclo de vida de cada producto en el mercado de aplicaciones de fitness.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIONES B y E

Ambas aplicaciones muestran crecimiento geométrico • A: 10% mensual • B: 5% mensual

SEMANA 7: Hora 3

🧠 7.1. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - ANÁLISIS DE ESCALAS LOGARÍTMICAS EN PSICOLOGÍA CLÍNICA

📊 PROBLEMA: ANÁLISIS DE ESCALAS LOGARÍTMICAS EN INVESTIGACIÓN PSICOLÓGICA

Estudio de métricas logarítmicas para medir intensidad de estrés postraumático y análisis de prevalencia poblacional

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Un equipo de investigación psicológica está desarrollando una nueva escala para medir el estrés postraumático. La escala utiliza una métrica logarítmica donde cada unidad representa un incremento de 10 veces en la intensidad reportada. Los datos muestran que el grupo A tiene puntuación 2.3, el grupo B 3.7, y el grupo control 0.5. Además, la prevalencia en la población general es de 1 caso por cada 10,000 personas (0.0001).”

Pregunta: ¿Cuántas veces más intenso es el estrés del grupo B comparado con el grupo A, y cómo se representa la prevalencia en notación científica?

A

B es 1.4 veces más intenso
Prevalencia: 1×10⁻³

B

B es 14 veces más intenso
Prevalencia: 1×10⁻⁴

C

B es 25.1 veces más intenso
Prevalencia: 1×10⁻⁴

D

B es 25.1 veces más intenso
Prevalencia: 1×10⁻⁵

E

B es 140 veces más intenso
Prevalencia: 1×10⁻⁴

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📈 Paso 1: Entender la escala logarítmica

Propiedad clave de la escala:
Es logarítmica en base 10
Cada unidad = factor 10 en intensidad

Fórmula de conversión:
Intensidad real = 10^(puntuación)

Datos del problema:
Grupo A: puntuación = 2.3
Grupo B: puntuación = 3.7
Grupo control: puntuación = 0.5

Interpretación:
Si puntuación aumenta 1 unidad
→ Intensidad se multiplica por 10

Observación: La escala captura grandes variaciones en intensidad

📊 Paso 2: Calcular intensidades reales

Intensidad del Grupo A:
I_A = 10^{2.3}

Intensidad del Grupo B:
I_B = 10^{3.7}

Diferencia en puntuaciones:
Δ = 3.7 - 2.3 = 1.4 unidades

Relación de intensidades:
I_B / I_A = 10^{3.7} / 10^{2.3}
= 10^{(3.7 - 2.3)}
= 10^{1.4}

Interpretación:
B tiene 10^{1.4} veces la intensidad de A

Propiedad logarítmica: La diferencia en logaritmos corresponde al cociente

🔢 Paso 3: Calcular 10^{1.4}

Descomposición:
10^{1.4} = 10^{1} × 10^{0.4}

Cálculo de 10^{0.4}:
• Sabemos que 10^{0.3} ≈ 2.0
• 10^{0.4} = antilog(0.4)
• Usando logaritmos: log(2.5119) ≈ 0.4
• Por lo tanto: 10^{0.4} ≈ 2.5119

Cálculo final:
10^{1.4} = 10 × 2.5119
= 25.119

Verificación con calculadora:
10^{1.4} = 25.118864…

Aproximación práctica:
B es aproximadamente 25.12 veces más intenso que A

🔍 Paso 4: Analizar prevalencia poblacional

Dato de prevalencia:
1 caso por cada 10,000 personas

Como fracción:
1/10,000 = 0.0001

Notación científica:
• Mover punto decimal 4 lugares a la derecha
• 0.0001 = 1 × 10^{-4}

Verificación:
1 × 10^{-4} = 1/10,000 = 0.0001 ✓

Comparación con intensidades:
Prevalencia: 1×10^{-4}
Grupo control: I = 10^{0.5} ≈ 3.16
→ El grupo control tiene intensidad 31,600 veces mayor que la prevalencia base

📊 Paso 5: Contexto psicológico y clínico

Interpretación de las diferencias:
Grupo A (2.3):
• Intensidad: 10^{2.3} ≈ 199.5
• Severidad moderada-alta
• Necesita intervención clínica

Grupo B (3.7):
• Intensidad: 10^{3.7} ≈ 5,012
• Severidad muy alta
• Requiere tratamiento intensivo

Diferencia clínica:
25× más intenso →
• Síntomas mucho más incapacitantes
• Mayor riesgo de comorbilidades
• Pronóstico más reservado

Grupo control (0.5):
• Intensidad: 10^{0.5} ≈ 3.16
• Nivel subclínico
• Dentro de rango normal

⚠️ Paso 6: Errores comunes en escalas logarítmicas

Error 1: Confundir diferencia con cociente
“3.7 - 2.3 = 1.4 → B es 1.4 veces más intenso”
ERROR: La diferencia en logaritmos es el logaritmo del cociente

Error 2: Multiplicar por 10 la diferencia
“1.4 × 10 = 14 → B es 14 veces más intenso”
ERROR: No es lineal, es exponencial

Error 3: Contar decimales incorrectamente
“0.0001 = 1×10^{-3}” ERROR
CORRECTO: 4 lugares → 10^{-4}

Error 4: No entender base de logaritmo
Asumir logaritmo natural en vez de base 10

Error 5: Ignorar el significado clínico
25× más intenso tiene implicaciones terapéuticas importantes

Error común específico:
Pensar que 10^{1.4} = 14 (confundir con 1.4×10)

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: B 1.4×, Prevalencia 10⁻³
Error común: confunde diferencia
Prevalencia incorrecta
→ INCORRECTO

B: B 14×, Prevalencia 10⁻⁴
Error: 1.4×10 ≠ 10^{1.4}
Prevalencia correcta
→ INCORRECTO

C: B 25.1×, Prevalencia 10⁻⁴
Ambos cálculos correctos
→ CORRECTO

D: B 25.1×, Prevalencia 10⁻⁵
Intensidad correcta
Prevalencia incorrecta
→ INCORRECTO

E: B 140×, Prevalencia 10⁻⁴
Error: 10^{1.4} ≠ 140
Prevalencia correcta
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
Opción C

El grupo B muestra estrés aproximadamente 25.1 veces más intenso que el grupo A
Prevalencia en población general: 1 × 10⁻⁴

Nota: El valor exacto es 25.1189… que se aproxima a 25.1. La prevalencia de 0.0001 corresponde exactamente a 1×10⁻⁴.

🏥 Paso 8: Interpretación en psicología clínica y salud mental

Implicaciones clínicas de la escala logarítmica:
Ventajas:
• Captura amplio rango de severidad
• Sensible a cambios pequeños en casos graves
• Refleja percepción humana (ley de Weber-Fechner)
• Útil para trastornos con gran variabilidad

Interpretación de resultados:
Grupo B (3.7):
• Severidad extrema de TEPT
• Probable necesidad de hospitalización
• Alto riesgo de suicidio
• Polifarmacia probable

Grupo A (2.3):
• TEPT moderado-severo
• Psicoterapia intensiva necesaria
• Posible medicación
• Pronóstico variable

Análisis epidemiológico:
Prevalencia 1×10⁻⁴ (0.01%):
• 1 por 10,000 en población general
• En ciudad de 1 millón: ~100 casos
• Subdiagnóstico común en TEPT

Comparación grupo control (0.5):
• Intensidad ≈ 3.16 unidades
• 31,600 veces prevalencia base
• Pero aún dentro de lo “normal”

Ratio B/A = 25.1:
• Diferencia clínicamente enorme
• Grupo B necesita ≈ 25× más recursos
• Priorización clara de intervenciones

Uso en investigación:
• Detectar efectos de tratamiento
• Establecer puntos de corte clínicos
• Comparar subpoblaciones

Insight psicológico: El uso de escalas logarítmicas en psicología refleja que la percepción humana de intensidad (dolor, estrés, emoción) sigue aproximadamente una escala logarítmica (ley de Weber-Fechner), donde cambios absolutos mayores se necesitan para notar diferencias en niveles altos.

📚 CONCEPTOS DE PSICOLOGÍA Y ANÁLISIS CUANTITATIVO

📊 Escalas Logarítmicas en Psicología

• Ley de Weber-Fechner en percepción
• Escalas de dolor y estrés
• Medición de síntomas psiquiátricos
• Ventajas para amplios rangos

📈 Trastorno de Estrés Postraumático

• Prevalencia poblacional (1-8%)
• Escalas de evaluación (CAPS, PCL-5)
• Severidad y pronóstico
• Intervenciones basadas en intensidad

📱 Análisis Cuantitativo en Salud Mental

• Notación científica para prevalencias
• Comparación de grupos clínicos
• Interpretación de diferencias logarítmicas
• Aplicaciones en investigación clínica

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

🧠

Resumen de la Solución

1. Escala logarítmica: Cada unidad = factor 10 en intensidad
2. Diferencia puntuaciones: 3.7 - 2.3 = 1.4 unidades
3. Relación de intensidades: 10^{1.4} = 25.1189…
4. Aproximación práctica: ≈ 25.1 veces más intenso
5. Prevalencia: 1/10,000 = 0.0001 = 1×10⁻⁴
6. Verificación: 10^{1.4} ≈ 25.12, 1×10⁻⁴ = 0.0001 ✓
7. Interpretación clínica: Diferencia enorme en severidad de TEPT
8. Respuesta: Opción C (B es 25.1× más intenso, prevalencia 1×10⁻⁴)

Fórmula clave psicológica:
Intensidad percibida ∝ log(estímulo real)

Insight clínico:
25× diferencia → prioridad absoluta en tratamiento

Conclusión clave: La escala logarítmica utilizada en esta investigación psicológica revela que el grupo B experimenta un estrés postraumático aproximadamente 25.1 veces más intenso que el grupo A, una diferencia clínicamente significativa que justificaría intervenciones terapéuticas considerablemente más intensivas. La prevalencia poblacional de 1×10⁻⁴ indica que este trastorno afecta a 1 de cada 10,000 personas en la población general. Desde la perspectiva de la psicología cuantitativa, este problema ilustra la utilidad de las escalas logarítmicas para capturar amplios rangos de variabilidad en experiencias subjetivas, así como la importancia de interpretar correctamente las diferencias en este tipo de escalas para la toma de decisiones clínicas y de investigación.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C

El grupo B muestra estrés ~25.1 veces más intenso que el grupo A • Prevalencia: 1×10⁻⁴

🧬 7.2. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - ANÁLISIS DE EVIDENCIA FORENSE

🔍 PROBLEMA: ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE EVIDENCIA FORENSE

Evaluación cuantitativa de probabilidades en casos criminales y explicación a jurados no especializados

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“En un caso forense, se analiza ADN encontrado en la escena del crimen. La probabilidad de coincidencia aleatoria es de 1 en 10 billones (1×10¹³). La población mundial es de aproximadamente 8×10⁹ personas. Un perito debe explicar al jurado la significancia estadística. Paralelamente, se analizan fibras con una coincidencia de 1 en 1 millón, y huellas dactilares con 1 en 64 mil millones.”

Pregunta: ¿Cuántas personas en el mundo podrían teóricamente tener esa misma huella dactilar, y cómo se compara la evidencia de ADN con la de fibras en términos de fuerza probatoria?

A

Huellas: ~0.125 personas
ADN es 10,000× más fuerte

B

Huellas: 8 personas
ADN es 1,000× más fuerte

C

Huellas: 125 personas
ADN es 10 millones× más fuerte

D

Huellas: 0.125 personas
ADN es 10 millones× más fuerte

E

Huellas: 125 personas
ADN es 1,000× más fuerte

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

🔢 Paso 1: Organizar datos del problema

Datos proporcionados:

1. ADN forense:
• Probabilidad coincidencia: 1 en 10 billones
• Notación científica: 1×10⁻¹³
• 10 billones = 10,000,000,000,000

2. Huellas dactilares:
• Probabilidad coincidencia: 1 en 64 mil millones
• 64 mil millones = 64,000,000,000
• Notación: 1/(64×10⁹) = 1.5625×10⁻¹¹

3. Fibras textiles:
• Probabilidad coincidencia: 1 en 1 millón
• 1 millón = 1,000,000
• Notación: 1×10⁻⁶

4. Población mundial:
• 8×10⁹ = 8,000,000,000 personas

Nota: “Billón” en español = 10¹², “mil millones” = 10⁹

📊 Paso 2: Calcular personas con misma huella dactilar

Concepto clave:
Número esperado de coincidencias =
Población × Probabilidad de coincidencia

Para huellas dactilares:
P = 1 / (64×10⁹)
Población = 8×10⁹

Cálculo:
N = (8×10⁹) × [1/(64×10⁹)]
= 8×10⁹ / (64×10⁹)
= 8/64
= 1/8
= 0.125 personas

Interpretación:
• Estadísticamente, se espera 0.125 personas
• Esto significa que en promedio, hay 12.5% de probabilidad
de que exista OTRA persona con esa huella
• En términos prácticos: muy poco probable

Verificación con notación:
8×10⁹ × (1.5625×10⁻¹¹) = 0.125 ✓

⚖️ Paso 3: Comparar fuerza probatoria ADN vs fibras

Concepto:
Fuerza probatoria ∝ 1/Probabilidad
(Probabilidad menor = evidencia más fuerte)

Probabilidades:
• ADN: P_ADN = 1×10⁻¹³
• Fibras: P_fibras = 1×10⁻⁶

Comparación directa:
P_ADN / P_fibras = (1×10⁻¹³)/(1×10⁻⁶)
= 10⁻¹³ / 10⁻⁶
= 10⁻⁷
= 1/10,000,000

Interpretación A:
La probabilidad de coincidencia ADN es
10⁻⁷ veces la de fibras
→ ADN es 10⁷ veces MÁS raro

Comparación inversa (más intuitiva):
1/P_ADN = 10¹³
1/P_fibras = 10⁶
Razón = 10¹³/10⁶ = 10⁷ = 10,000,000

Conclusión:
ADN es 10 millones de veces
más fuerte como evidencia

🔍 Paso 4: Verificar cálculos y contexto

Verificación huellas dactilares:
Población = 8×10⁹ = 8,000,000,000
Prob. huella = 1/(64×10⁹) = 1/64,000,000,000
Personas esperadas = 8e9 × (1/64e9) = 8/64 = 0.125 ✓

Verificación comparación ADN-fibras:
ADN: 1 en 10¹³ → P = 10⁻¹³
Fibras: 1 en 10⁶ → P = 10⁻⁶
Razón = 10⁻¹³/10⁻⁶ = 10⁻⁷
→ ADN es 1/10⁻⁷ = 10⁷ = 10,000,000× más fuerte ✓

Comparación completa tres evidencias:
1. Fibras: 1 en 1,000,000 (10⁶) → más débil
2. Huellas: 1 en 64,000,000,000 (6.4×10¹⁰)
3. ADN: 1 en 10,000,000,000,000 (10¹³) → más fuerte

Jerarquía de fuerza probatoria:
ADN > Huellas dactilares > Fibras
ADN es ~156× más fuerte que huellas
ADN es 10,000,000× más fuerte que fibras

🎯 Paso 5: Interpretación para jurado no especializado

Explicación simple huellas dactilares:
“De toda la población mundial (8,000 millones),
estadísticamente esperaríamos que solo 0.125 personas
(es decir, menos de una persona) tuvieran esa huella.
Es extremadamente improbable que sea coincidencia.”

Comparación ADN vs fibras:
“La evidencia de ADN es 10 millones de veces
más convincente que la de las fibras.
Mientras las fibras podrían coincidir con
1 en 1 millón de personas, el ADN solo
coincidiría con 1 en 10 billones.”

Analogías comprensibles:
• ADN: Como ganar la lotería 2 veces seguidas
• Fibras: Como encontrar a alguien con mismo
color de camisa en estadio lleno
• Huellas: Como encontrar gemelo idéntico
en ciudad grande

Implicación legal:
ADN constituye evidencia prácticamente concluyente,
mientras fibras son solo corroborativas

⚠️ Paso 6: Errores comunes en estadística forense

Error 1: Confundir “mil millones” con “billón”
10 billones (español) = 10¹² (inglés: trillion)
64 mil millones = 64×10⁹

Error 2: Interpretar 0.125 personas literalmente
No significa “octava parte de persona”
Significa probabilidad 12.5% de que exista otra persona

Error 3: Comparar directamente números sin notación
10¹³ vs 10⁶ → diferencia de 7 órdenes magnitud
No 10,000× sino 10,000,000×

Error 4: Olvidar base poblacional
“1 en 64 mil millones” suena enorme
Pero con 8 mil millones de personas → 0.125 esperado

Error 5: Falacia del fiscal
Confundir P(evidencia|inocente) con P(inocente|evidencia)
Son probabilidades diferentes

Error común específico:
Calcular 8e9/64e9 = 0.125 correcto
Pero luego decir “125 personas” (confundir decimal)

⚖️ Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: Huellas 0.125, ADN 10,000×
Huellas correcto (0.125)
ADN incorrecto (debe ser 10⁷ = 10,000,000×)
→ INCORRECTO

B: Huellas 8, ADN 1,000×
Huellas incorrecto (8 ≠ 0.125)
ADN incorrecto (1,000× muy bajo)
→ INCORRECTO

C: Huellas 125, ADN 10 millones×
Huellas incorrecto (125 ≠ 0.125)
ADN correcto (10⁷ = 10 millones×)
→ INCORRECTO

D: Huellas 0.125, ADN 10 millones×
Ambos cálculos correctos
→ CORRECTO

E: Huellas 125, ADN 1,000×
Huellas incorrecto (125 ≠ 0.125)
ADN incorrecto (1,000× muy bajo)
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
Opción D

Huellas dactilares: 0.125 personas esperadas en mundo
ADN es 10 millones de veces más fuerte que evidencia de fibras

Nota: El cálculo de 0.125 personas significa que estadísticamente hay 12.5% de probabilidad de que exista otra persona con esa huella en el mundo. No debe interpretarse literalmente como “octava parte de persona”.

🏛️ Paso 8: Implicaciones legales y forenses

Significado legal de las probabilidades:
Evidencia de ADN (1×10⁻¹³):
• Prácticamente concluyente
• “Más allá de duda razonable”
• Raramente cuestionada en cortes
• Requiere mínima corroboración

Huellas dactilares (1.56×10⁻¹¹):
• Muy fuerte pero no absoluta
• Se espera ~0.125 coincidencias mundiales
• Considerada individualizadora
• Admite error humano en comparación

Fibras textiles (1×10⁻⁶):
• Evidencia corroborativa solamente
• No individualizadora
• Necesita apoyo de otras pruebas
• Útil para conectar escenas

Explicación para jurado:
Analogía numérica:
• Fibras: Como encontrar 2 personas con
mismo número de teléfono en ciudad
• Huellas: Como encontrar 2 personas con
misma fecha nacimiento en país entero
• ADN: Como encontrar 2 personas con
misma combinación en todo el mundo

Escala comparativa:
Si fibras = 1 unidad de fuerza
Entonces:
• Huellas = 64,000× más fuertes
• ADN = 10,000,000× más fuertes

Contexto poblacional:
Con 8 mil millones de personas:
• Fibras: ~8,000 coincidencias esperadas
• Huellas: 0.125 coincidencias esperadas
• ADN: 0.0008 coincidencias esperadas

Insight forense: La enorme diferencia entre 10⁶ (fibras) y 10¹³ (ADN) —siete órdenes de magnitud— explica por qué el ADN revolucionó la ciencia forense. Mientras las fibras solo pueden incluir a un sospechoso en un grupo, el ADN puede virtualmente identificar a un individuo único entre toda la población humana.

📚 CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA FORENSE Y PRUEBA CIENTÍFICA

🧬 Evidencia de ADN Forense

• Probabilidades típicas: 1 en billones
• Marcadores STR (13 loci estándar)
• Base de datos CODIS (EE.UU.)
• Interpretación estadística Bayesiana

🔍 Huellas Dactilares

• Probabilidad estimada: 1 en 64 mil millones
• Minucias (puntos característicos)
• Sistema AFIS (automático)
• Error humano en comparación manual

📏 Evidencia de Trazas (Fibras)

• Probabilidades: 1 en miles a millones
• Caracterización microscópica
• Color, diámetro, composición
• Evidencia de transferencia

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

⚖️

Resumen de la Solución

1. Datos: ADN: 1×10⁻¹³, Huellas: 1/(64×10⁹), Fibras: 1×10⁻⁶, Población: 8×10⁹
2. Cálculo huellas: (8×10⁹) × [1/(64×10⁹)] = 8/64 = 0.125 personas esperadas
3. Interpretación: 12.5% probabilidad de que exista otra persona con esa huella
4. Comparación ADN-fibras: 10⁻¹³/10⁻⁶ = 10⁻⁷ → ADN es 10⁷ veces más fuerte
5. Valor numérico: 10⁷ = 10,000,000 (diez millones de veces)
6. Jerarquía evidencias: ADN (más fuerte) > Huellas > Fibras (más débil)
7. Verificación: ADN: 0.0008 coincidencias mundiales esperadas
8. Respuesta: Opción D (Huellas: 0.125 personas, ADN: 10 millones× más fuerte)

Fórmula clave forense:
Coincidencias esperadas = Población × P(coincidencia)

Insight legal:
ADN supera estándar “más allá duda razonable”

Conclusión clave: En este análisis forense cuantitativo, calculamos que estadísticamente se esperarían aproximadamente 0.125 personas en el mundo con la misma huella dactilar específica, lo que corresponde a una probabilidad del 12.5% de que exista otra persona con esa característica. Además, determinamos que la evidencia de ADN es 10 millones de veces más fuerte que la evidencia de fibras textiles, ilustrando la abrumadora fuerza probatoria del análisis de ADN en casos criminales. Esta diferencia de siete órdenes de magnitud explica por qué el ADN se considera evidencia prácticamente individualizadora, mientras que las fibras son solo evidencia corroborativa que requiere apoyo adicional.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D

Huellas dactilares: 0.125 personas esperadas • ADN: 10 millones de veces más fuerte que fibras

🌊 7.3. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - ANÁLISIS DE CONTAMINACIÓN AMBIENTAL

⚗️ PROBLEMA: ANÁLISIS DE CONTAMINACIÓN QUÍMICA EN CUERPOS DE AGUA

Evaluación de concentraciones de contaminantes y cumplimiento de límites ambientales

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Un derrame químico libera 500 gramos de un contaminante en un río con caudal de 2×10⁶ litros por hora. La concentración máxima permitida es 0.05 partes por millón (ppm). El contaminante se diluye en un volumen total de 5×10⁹ litros de agua. Un ingeniero ambiental debe calcular si se excede el límite y expresar la concentración en notación científica.”

Pregunta: ¿Cuál es la concentración resultante del contaminante, se excede el límite permitido y cómo se expresa en notación científica?

A

1×10⁻⁷ ppm
No se excede

B

1×10⁻⁸ ppm
No se excede

C

1×10⁻⁷ g/L
Sí se excede

D

1×10⁻¹⁰ g/L
No se excede

E

1×10⁻⁷ g/L
No se excede

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Entender unidades y conversiones

Datos del problema:

1. Masa contaminante:
500 gramos = 5×10² g

2. Volumen de dilución:
5×10⁹ litros = 5,000,000,000 L

3. Concentración límite:
0.05 ppm

4. Conversión clave:
1 ppm = 1 mg/L (para soluciones acuosas)
= 1×10⁻³ g/L

Por lo tanto:
0.05 ppm = 0.05 mg/L
= 5×10⁻² mg/L
= 5×10⁻⁵ g/L

5. Caudal del río:
2×10⁶ L/h (dato contextual,
pero no necesario para concentración final)

Nota: El caudal se usa para cinética de dilución, pero el volumen total ya está dado

🧪 Paso 2: Calcular concentración resultante

Fórmula básica de concentración:
C = masa / volumen

En g/L:
C = (500 g) / (5×10⁹ L)
= 500 / (5×10⁹) g/L
= 100 / 10⁹ g/L
= 10² / 10⁹ g/L
= 10⁻⁷ g/L

Resultado exacto:
C = 1×10⁻⁷ g/L

Conversión a mg/L:
1×10⁻⁷ g/L = 1×10⁻⁴ mg/L
(porque 1 g = 1000 mg)

Conversión a ppm:
1 ppm = 1 mg/L
Por lo tanto:
1×10⁻⁴ mg/L = 1×10⁻⁴ ppm

Verificación:
1×10⁻⁷ g/L = 0.0000001 g/L
= 0.0001 mg/L
= 0.0001 ppm

📈 Paso 3: Comparar con límite permitido

Límite permitido:
0.05 ppm = 5×10⁻² ppm
= 5×10⁻⁵ g/L

Concentración resultante:
C_result = 1×10⁻⁷ g/L
= 1×10⁻⁴ ppm

Comparación en mismas unidades (g/L):
Límite: 5×10⁻⁵ g/L
Resultado: 1×10⁻⁷ g/L

Razón resultado/límite:
(1×10⁻⁷) / (5×10⁻⁵)
= (1/5) × 10⁻²
= 0.2 × 10⁻²
= 2×10⁻³
= 0.002

Interpretación:
La concentración resultante es
solo 0.002 (0.2%) del límite máximo

¿Se excede el límite?
NO, porque:
1×10⁻⁷ g/L < 5×10⁻⁵ g/L

Comparación directa:
1×10⁻⁷ vs 5×10⁻⁵
= 0.0000001 vs 0.00005
La concentración resultante es
500 veces MENOR que el límite

🔍 Paso 4: Verificar cálculos y contexto ambiental

Verificación paso a paso:
1. Masa: 500 g = 5×10² g ✓
2. Volumen: 5×10⁹ L ✓
3. Cálculo: 5×10² / 5×10⁹ = 10²/10⁹ = 10⁻⁷ g/L ✓

Contexto ambiental:
• 5×10⁹ L = 5 mil millones de litros
• Esto equivale a aproximadamente:
- 5,000 piscinas olímpicas (1 millón L cada una)
- 2,000 hectáreas con 25 cm de agua
- Pequeño lago o embalse

Interpretación práctica:
500 g en 5 mil millones de L →
muy baja concentración

Análisis de sensibilidad:
Si el volumen fuera 100× menor (5×10⁷ L):
C = 500/(5×10⁷) = 10⁻⁵ g/L
Esto aún sería 5× menor que el límite
(10⁻⁵ vs 5×10⁻⁵)

Margen de seguridad:
Factor de seguridad = límite/resultado
= (5×10⁻⁵)/(1×10⁻⁷) = 5×10² = 500

🌍 Paso 5: Interpretación ambiental y regulatoria

Significado de 0.05 ppm:
• Límite típico para metales pesados
• Nivel protector para ecosistemas acuáticos
• Basado en toxicidad crónica
• Considera bioacumulación

Concentración calculada (1×10⁻⁴ ppm):
• Extremadamente baja
• Probablemente por debajo de límite
de detección analítica
• No representa riesgo inmediato

Consideraciones prácticas:
1. Dilución no uniforme: Concentración
mayor cerca del punto de descarga
2. Tiempo de mezcla: El caudal (2×10⁶ L/h)
afecta tiempo para alcanzar dilución completa
3. Degradación natural: No considerada
en cálculo conservativo
4. Puntos críticos: Aguas tranquilas
pueden tener mayor concentración

Recomendación ingenieril:
• Monitoreo en punto de descarga
• Verificar mezcla completa
• Considerar peor escenario
• Reportar margen de seguridad (500×)

⚠️ Paso 6: Errores comunes en cálculo ambiental

Error 1: Confundir ppm con otras unidades
1 ppm ≠ 1 g/L (es 1 mg/L = 0.001 g/L)

Error 2: Usar caudal en vez de volumen total
Caudal = 2×10⁶ L/h es tasa de flujo
Volumen total = 5×10⁹ L es capacidad dilución

Error 3: No convertir a notación científica
500/5,000,000,000 = 0.0000001
→ difícil comparar con 0.00005

Error 4: Comparar unidades diferentes
Comparar g/L con ppm sin conversión

Error 5: Olvidar factor de 1000 en g↔︎mg
1 g = 1000 mg (no 100)

Error 6: Interpretar 1×10⁻⁷ como mayor que 5×10⁻⁵
10⁻⁷ = 0.0000001, 10⁻⁵ = 0.00001
10⁻⁷ es 100× menor que 10⁻⁵

Error común específico:
Calcular 500/(5×10⁹) = 10⁻⁷ correcto
Pero luego decir “1×10⁻⁷ ppm”
INCORRECTO: es 1×10⁻⁷ g/L = 1×10⁻⁴ ppm

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: 1×10⁻⁷ ppm, No excede
Unidad incorrecta (debe ser g/L)
Valor correcto en g/L,
pero en ppm sería 10⁻⁴
→ INCORRECTO

B: 1×10⁻⁸ ppm, No excede
Valor incorrecto (debe ser 10⁻⁴ ppm)
Unidad incorrecta
→ INCORRECTO

C: 1×10⁻⁷ g/L, Sí excede
Valor y unidad correctos
Pero conclusión incorrecta
(no excede, es 500× menor)
→ INCORRECTO

D: 1×10⁻¹⁰ g/L, No excede
Valor incorrecto (debe ser 10⁻⁷)
Unidad correcta
Conclusión correcta
→ INCORRECTO

E: 1×10⁻⁷ g/L, No excede
Valor correcto: 1×10⁻⁷ g/L
Unidad correcta
Conclusión correcta
→ CORRECTO

Respuesta correcta:
Opción E

Concentración: 1×10⁻⁷ g/L • No se excede el límite de 5×10⁻⁵ g/L (0.05 ppm)
La concentración resultante es 500 veces menor que el límite máximo permitido

Nota: En notación científica, 1×10⁻⁷ g/L = 0.0000001 g/L = 0.0001 mg/L = 0.0001 ppm. El límite de 0.05 ppm = 0.00005 g/L, por lo que efectivamente la concentración calculada es menor.

🏭 Paso 8: Implicaciones ambientales y de gestión

Análisis de riesgo ambiental:
Margen de seguridad:
• Factor 500 entre concentración y límite
• Indica bajo riesgo inmediato
• Permite manejo no emergencial

Consideraciones ecológicas:
• Concentración sub-ppm normalmente
no afecta organismos acuáticos
• Posible bioacumulación a largo plazo
• Efectos sinérgicos con otros contaminantes

Parámetros regulatorios típicos:
• Agua potable: límites 0.001-0.1 ppm
• Agua superficial: 0.01-1 ppm
• Descargas industriales: 0.1-10 ppm
• Nuestro caso: 0.0001 ppm → muy bajo

Interpretación para stakeholders:
“La dilución en el cuerpo de agua es
suficiente para reducir concentración
500 veces por debajo del límite legal”

Acciones recomendadas:
Inmediatas:
1. Confirmar volumen de dilución real
2. Verificar mezcla completa
3. Monitorear punto de descarga
4. Comunicar a autoridades

Seguimiento:
1. Muestreo aguas abajo
2. Análisis químico confirmatorio
3. Evaluación impacto sedimentos
4. Revisión procedimientos prevención

Escenarios alternativos:
Peor caso (volumen menor):
Si volumen = 5×10⁷ L (100× menor)
C = 10⁻⁵ g/L → aún 5× bajo límite

Límite más estricto:
Si límite = 0.001 ppm = 10⁻⁶ g/L
Nuestra C = 10⁻⁷ g/L → aún 10× bajo

Insight ambiental: La enorme capacidad de dilución de cuerpos de agua naturales (5×10⁹ L = 5 millones de m³) transforma lo que parecería una cantidad significativa de contaminante (500 g) en una concentración ambientalmente irrelevante (0.0001 ppm), ilustrando la importancia de considerar el volumen receptor en evaluaciones de impacto ambiental.

📚 CONCEPTOS DE INGENIERÍA AMBIENTAL Y QUÍMICA

⚗️ Unidades de Concentración

• ppm = partes por millón (mg/L)
• ppb = partes por billón (μg/L)
• g/L = gramos por litro
• Conversiones: 1 ppm = 1 mg/L = 10⁻³ g/L

📏 Límites Ambientales Típicos

• Metales pesados: 0.05-1 ppm
• Compuestos orgánicos: 0.001-0.1 ppm
• Agua potable: estándares más estrictos
• Agua industrial: límites más permisivos

🌊 Dilución en Cuerpos de Agua

• Modelos de mezcla completa
• Factores de dilución
• Caudal vs volumen de almacenamiento
• Tiempos de residencia

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

🌊

Resumen de la Solución

1. Datos: Masa = 500 g, Volumen = 5×10⁹ L, Límite = 0.05 ppm
2. Conversión límite: 0.05 ppm = 0.05 mg/L = 5×10⁻⁵ g/L
3. Cálculo concentración: C = 500 g / (5×10⁹ L) = 1×10⁻⁷ g/L
4. Notación científica: 1×10⁻⁷ g/L (forma correcta)
5. Comparación: 1×10⁻⁷ g/L vs 5×10⁻⁵ g/L = razón 1:500
6. ¿Excede límite?: NO, concentración es 500 veces menor
7. En ppm: 1×10⁻⁷ g/L = 1×10⁻⁴ mg/L = 1×10⁻⁴ ppm
8. Respuesta: Opción E (1×10⁻⁷ g/L, no se excede)

Fórmula clave ambiental:
C = m/V • 1 ppm = 1 mg/L

Insight ingenieril:
La dilución natural proporciona
factor de seguridad de 500×

Conclusión clave: El análisis cuantitativo demuestra que la concentración resultante del contaminante es 1×10⁻⁷ g/L (equivalente a 0.0001 ppm), valor que está 500 veces por debajo del límite máximo permitido de 0.05 ppm (5×10⁻⁵ g/L). Por lo tanto, no se excede el límite regulatorio. Este resultado ilustra la importancia de considerar el volumen de dilución disponible en cuerpos de agua naturales, el cual puede transformar cantidades aparentemente significativas de contaminantes en concentraciones ambientalmente aceptables. El cálculo también subraya la necesidad de expresar concentraciones en notación científica para facilitar comparaciones y comunicaciones técnicas precisas.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN E

Concentración: 1×10⁻⁷ g/L • No excede límite de 5×10⁻⁵ g/L • Factor seguridad: 500×

🏗️ 7.4. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - NANOTECNOLOGÍA E INFRAESTRUCTURA

🔬 PROBLEMA: NANOTECNOLOGÍA Y ESCALAS DE CONSTRUCCIÓN

Análisis de escalas nanométricas comparadas con megaconstrucciones y presupuestos nacionales

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Un nuevo material de construcción con propiedades de autorreparación utiliza nanopartículas de 50 nm (nanómetros) de diámetro. El Burj Khalifa tiene 828 metros de altura. Un proyecto de infraestructura nacional tiene presupuesto de 15 billones de pesos (1.5×10¹³).”

Pregunta: ¿Cuántas nanopartículas apiladas verticalmente se necesitarían para igualar la altura del Burj Khalifa, y cómo se expresa el presupuesto en notación científica?

A

1.656×10¹⁰
1.5×10¹³

B

1.656×10⁷
1.5×10¹²

C

1.656×10¹⁰
1.5×10¹²

D

1.656×10⁷
1.5×10¹³

E

1.656×10⁴
1.5×10¹⁴

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Entender unidades y conversiones

Datos del problema:

1. Tamaño nanopartícula:
50 nm = 50 nanómetros
1 nm = 10⁻⁹ metros
50 nm = 50 × 10⁻⁹ m = 5×10⁻⁸ m

2. Altura Burj Khalifa:
828 metros = 8.28×10² m

3. Presupuesto:
15 billones de pesos

4. Conversiones clave:
1 nanómetro = 10⁻⁹ metros
1 billón = 1,000,000,000,000 = 10¹²
15 billones = 15 × 10¹² = 1.5×10¹³

5. Escalas comparativas:
• Cabello humano: ~50,000 nm
• Virus típico: 20-300 nm
• Átomo: ~0.1 nm
• Nanopartícula: 50 nm

Nota: “Billón” en español generalmente significa millón de millones (10¹²)

🔬 Paso 2: Calcular nanopartículas necesarias

Fórmula básica:
Número = Altura total / Altura unitaria

Altura de una nanopartícula:
50 nm = 5×10⁻⁸ m

Altura Burj Khalifa:
828 m = 8.28×10² m

Cálculo:
N = (8.28×10² m) / (5×10⁻⁸ m)

Paso 1 - Dividir coeficientes:
8.28 / 5 = 1.656

Paso 2 - Dividir potencias de 10:
10² / 10⁻⁸ = 10²⁻⁽⁻⁸⁾ = 10²⁺⁸ = 10¹⁰

Resultado combinado:
N = 1.656 × 10¹⁰ nanopartículas

Verificación:
1.656×10¹⁰ = 16,560,000,000
≈ 16.56 mil millones de nanopartículas

Interpretación física:
Cada nanopartícula mide 0.00000005 m
Se necesitan 16.56 mil millones
para alcanzar 828 m

💰 Paso 3: Expresar presupuesto en notación científica

Dato del problema:
Presupuesto = 15 billones de pesos
= 15,000,000,000,000 pesos

Definición de billón:
En español (escala larga):
1 billón = 1 millón de millones
= 1,000,000 × 1,000,000
= 1,000,000,000,000
= 10¹²

Cálculo:
15 billones = 15 × 10¹²
= 1.5 × 10¹ × 10¹²
= 1.5 × 10¹³

Verificación:
1.5×10¹³ = 15,000,000,000,000
✓ Coincide con 15 billones

Notación científica correcta:
• Coeficiente entre 1 y 10: 1.5 ✓
• Exponente entero: 13 ✓
• Base 10: ✓

Comparación con escala corta:
En inglés (escala corta):
1 billion = 1,000 millones = 10⁹
15 billions = 1.5×10¹⁰
PERO en español es escala larga

🔍 Paso 4: Verificar cálculos y contexto

Verificación paso a paso:
1. Nanopartícula: 50 nm = 5×10⁻⁸ m ✓
2. Burj Khalifa: 828 m = 8.28×10² m ✓
3. Cálculo: 8.28×10² ÷ 5×10⁻⁸
= (8.28÷5) × 10²⁻⁽⁻⁸⁾
= 1.656 × 10¹⁰ ✓

Contexto de escala:
• 1.656×10¹⁰ = 16,560,000,000
nanopartículas
• Si cada nanopartícula fuera
un grano de arena (~1 mm):
Altura = 1.656×10¹⁰ mm
= 1.656×10⁷ m = 16,560 km
(4× radio de la Tierra)

Presupuesto en perspectiva:
• 1.5×10¹³ pesos
• Si se gastara $1 por segundo:
Tiempo = 1.5×10¹³ segundos
≈ 475,000 años

Comparación Burj Khalifa:
• Altura real: 828 m
• En nanopartículas: 16.56 mil millones
• Si apiláramos personas (1.7 m):
Se necesitarían ~487 personas

🌍 Paso 5: Aplicaciones nanotecnológicas y escalas

Nanotecnología en construcción:
• Nanopartículas de 50 nm:
- Mejoran resistencia mecánica
- Propiedades autorreparantes
- Mayor durabilidad
- Resistencia a corrosión

Escalas comparativas:
Objeto - Tamaño - Equivalente en nanopartículas de 50 nm
• Hoja de papel (0.1 mm) - 2,000
• Moneda (1.5 mm) - 30,000
• Ladrillo (10 cm) - 2 millones
• Persona (1.7 m) - 34 millones
• Burj Khalifa (828 m) - 16.56 mil millones

Materiales autorreparantes:
1. Mecanismo: Liberación de agentes
curativos desde nanopartículas
2. Ventajas: Menor mantenimiento,
mayor vida útil
3. Aplicaciones: Puentes, edificios,
infraestructura crítica
4. Costo-beneficio: Mayor inversión
inicial, ahorro a largo plazo

Implicaciones del cálculo:
16.56 mil millones de nanopartículas
en un edificio muestran la escala de
integración nano-macro

⚠️ Paso 6: Errores comunes en cálculo

Error 1: Confundir nanómetros con micrómetros
1 nm = 10⁻⁹ m, 1 μm = 10⁻⁶ m
50 nm ≠ 50×10⁻⁶ m (es 50×10⁻⁹ m)

Error 2: Malinterpretar “billón”
• Español: 1 billón = 10¹² (escala larga)
• Inglés: 1 billion = 10⁹ (escala corta)
El problema especifica “15 billones de pesos”
→ usar escala larga: 1.5×10¹³

Error 3: Error en división con exponentes negativos
10² / 10⁻⁸ = 10²⁻⁽⁻⁸⁾ = 10²⁺⁸ = 10¹⁰
No: 10²⁻⁸ = 10⁻⁶

Error 4: No usar notación científica intermedia
828 / 0.00000005 = difícil cálculo manual
Mejor: 8.28×10² / 5×10⁻⁸

Error 5: Redondear incorrectamente
8.28/5 = 1.656 (no 1.66, perdería precisión)

Error 6: Confundir número de nanopartículas
1.656×10⁷ = 16,560,000 (16.56 millones)
1.656×10¹⁰ = 16,560,000,000 (16.56 mil millones)
Diferencia de 1000×

Error común específico:
Calcular: 828 / (50×10⁻⁹) = 828/(5×10⁻⁸)
= 1.656×10¹⁰ ✓ correcto
Pero luego poner 1.656×10⁷ por error decimal

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: 1.656×10¹⁰, 1.5×10¹³
Nanopartículas: ✓ correcto
Presupuesto: ✓ correcto
→ CORRECTO

B: 1.656×10⁷, 1.5×10¹²
Nanopartículas: ✗ incorrecto (10⁷ vs 10¹⁰)
Presupuesto: ✗ incorrecto (10¹² vs 10¹³)
→ INCORRECTO

C: 1.656×10¹⁰, 1.5×10¹²
Nanopartículas: ✓ correcto
Presupuesto: ✗ incorrecto (10¹² vs 10¹³)
→ INCORRECTO

D: 1.656×10⁷, 1.5×10¹³
Nanopartículas: ✗ incorrecto (10⁷ vs 10¹⁰)
Presupuesto: ✓ correcto
→ INCORRECTO

E: 1.656×10⁴, 1.5×10¹⁴
Nanopartículas: ✗ incorrecto (10⁴ vs 10¹⁰)
Presupuesto: ✗ incorrecto (10¹⁴ vs 10¹³)
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
Opción A

Nanopartículas: 1.656×10¹⁰ • Presupuesto: 1.5×10¹³ pesos
Se necesitan aproximadamente 16.56 mil millones de nanopartículas de 50 nm para igualar la altura del Burj Khalifa

Nota: 1.656×10¹⁰ = 16,560,000,000 nanopartículas. 1.5×10¹³ = 15,000,000,000,000 pesos = 15 billones de pesos (escala larga, usada en español).

🏭 Paso 8: Implicaciones tecnológicas y económicas

Nanotecnología en infraestructura:
Materiales inteligentes:
• Detección automática de daños
• Autorreparación micro/nanoscópica
• Mayor vida útil (50+ años)
• Reducción costos mantenimiento

Escalas de integración:
• Nivel atómico: ~0.1 nm
• Nanopartículas: 1-100 nm
• Microestructuras: 0.001-1 mm
• Macroestructuras: 1 m - 1 km
• Megaconstrucciones: >1 km

Burj Khalifa en contexto:
• Altura: 828 m = 8.28×10⁸ mm
• Pisos: 163
• Peso: ~500,000 toneladas
• Costo: ~$1.5 mil millones
• Años construcción: 6 (2004-2010)

Presupuesto de infraestructura:
1.5×10¹³ pesos en perspectiva:
• Equivale a ~15,000 Burj Khalifas
• ~3% PIB de países medianos
• Presupuesto nacional típico
para 5-10 años de infraestructura

Aplicaciones específicas:
Carreteras inteligentes:
1. Nanosensores de tráfico
2. Materiales autorreparantes
3. Superficies antideslizantes
4. Pavimento fotocatalítico

Edificios sostenibles:
1. Fachadas autolimpiables
2. Concreto autorreparable
3. Aislamiento nanotérmico
4. Ventanas inteligentes

Puentes seguros:
1. Detección temprana fisuras
2. Corrosión controlada
3. Refuerzo con nanofibras
4. Monitoreo estructural

Insight tecnológico: La nanotecnología permite conectar escalas que difieren en 10 órdenes de magnitud: desde nanopartículas de 50×10⁻⁹ m hasta megaconstrucciones de 8.28×10² m. Esta diferencia de 10¹⁰ veces ilustra cómo propiedades a nanoescala pueden transformar materiales a macroescala, permitiendo innovaciones como materiales autorreparantes que revolucionarán la infraestructura del futuro.

📚 CONCEPTOS DE NANOTECNOLOGÍA Y NOTACIÓN CIENTÍFICA

🔬 Escalas Nanométricas

• 1 nm = 10⁻⁹ metros
• Átomo: 0.1-0.5 nm
• Molécula pequeña: 1-10 nm
• Virus: 20-300 nm
• Bacteria: 1,000-5,000 nm
• Cabello humano: 50,000-100,000 nm

📏 Notación Científica

• Forma: a × 10ⁿ donde 1 ≤ a < 10
• Exponente positivo: números grandes
• Exponente negativo: números pequeños
• Operaciones: sumar/restar exponentes
• División: restar exponentes

💰 Escalas Numéricas Grandes

• Millón: 10⁶ (1,000,000)
• Mil millones: 10⁹ (escala corta)
• Billón: 10¹² (escala larga)
• Trillón: 10¹⁸ (escala larga)
• Cuatrillón: 10²⁴ (escala larga)

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

🏗️

Resumen de la Solución

1. Datos: Nanopartícula = 50 nm, Burj Khalifa = 828 m, Presupuesto = 15 billones
2. Conversión unidades: 50 nm = 5×10⁻⁸ m, 828 m = 8.28×10² m
3. Cálculo nanopartículas: N = (8.28×10²) / (5×10⁻⁸) = 1.656×10¹⁰
4. Interpretación: Se necesitan 16.56 mil millones de nanopartículas
5. Presupuesto notación científica: 15 billones = 15×10¹² = 1.5×10¹³
6. Verificación: 1.656×10¹⁰ = 16,560,000,000, 1.5×10¹³ = 15,000,000,000,000
7. Comparación opciones: Opción A es la única con ambos valores correctos
8. Respuesta: Opción A (1.656×10¹⁰ nanopartículas, 1.5×10¹³ pesos)

Fórmulas clave:
N = H_total / h_unitario
1 nm = 10⁻⁹ m
1 billón = 10¹²

Insight tecnológico:
La nanotecnología conecta escalas
que difieren en 10¹⁰ veces

Conclusión clave: El análisis cuantitativo demuestra que se necesitan aproximadamente 1.656×10¹⁰ (16.56 mil millones) de nanopartículas de 50 nm de diámetro apiladas verticalmente para igualar la altura del Burj Khalifa (828 metros). Simultáneamente, el presupuesto de infraestructura nacional de 15 billones de pesos se expresa correctamente en notación científica como 1.5×10¹³. Este ejercicio ilustra la importancia de dominar conversiones de unidades, notación científica y comprensión de escalas numéricas grandes, habilidades esenciales para ingenieros y científicos que trabajan con nanotecnología y megaproyectos de infraestructura.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN A

Nanopartículas: 1.656×10¹⁰ • Presupuesto: 1.5×10¹³ pesos • Diferencia de escalas: 10¹⁰ veces

💰 7.5. PROBLEMA DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - MACROECONOMÍA Y FINANZAS PÚBLICAS

📈 PROBLEMA: ANÁLISIS MACROECONÓMICO Y NOTACIÓN CIENTÍFICA

Evaluación de indicadores macroeconómicos y expresión en notación científica para informes ejecutivos

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“El PIB de Colombia es aproximadamente 1,500 billones de pesos anuales. La deuda pública equivale al 60% del PIB. La inflación anual es 8.5%. Un contador debe analizar estas cifras y expresarlas en notación científica para un informe ejecutivo.”

Pregunta: ¿Cómo se expresan el PIB y la deuda pública en notación científica, y cómo se representa la inflación en formato decimal científico?

A

PIB: 1.5×10¹⁵
Deuda: 9×10¹⁴
Inflación: 8.5×10⁻²

B

PIB: 1.5×10¹²
Deuda: 9×10¹¹
Inflación: 8.5×10⁻¹

C

PIB: 1.5×10¹⁴
Deuda: 9×10¹³
Inflación: 8.5×10⁻²

D

PIB: 1.5×10¹⁵
Deuda: 9×10¹⁴
Inflación: 8.5×10⁻¹

E

PIB: 1.5×10¹²
Deuda: 9×10¹¹
Inflación: 8.5×10⁻²

🧮 ANÁLISIS Y SOLUCIÓN PASO A PASO

📊 Paso 1: Entender unidades y escalas numéricas

Datos del problema:

1. PIB de Colombia:
1,500 billones de pesos anuales

2. Deuda pública:
60% del PIB

3. Inflación anual:
8.5% = 8.5 por ciento

4. Escalas numéricas (escala larga):
1 millón = 1,000,000 = 10⁶
1 millardo = 1,000 millones = 10⁹
1 billón = 1 millón de millones = 10¹²
1,500 billones = 1,500 × 10¹²

5. Notación porcentual:
1% = 1/100 = 0.01 = 10⁻²
8.5% = 8.5/100 = 0.085 = 8.5×10⁻²

6. Contexto económico colombiano (2023-2024):
• PIB real: ~$1,500 billones COP
• Deuda/PIB: 55-65%
• Inflación: 8-10% (reciente)

Nota: En español se usa “escala larga” donde billón = millón de millones

💰 Paso 2: Calcular PIB en notación científica

Paso 1: Convertir 1,500 billones a número completo
1 billón = 1,000,000,000,000 = 10¹²
1,500 billones = 1,500 × 10¹²
= 1,500,000,000,000,000

Paso 2: Contar dígitos para notación científica
1,500,000,000,000,000
= 1.5 × 1,000,000,000,000,000
= 1.5 × 10¹⁵

Verificación:
1.5 × 10¹⁵ = 1,500,000,000,000,000
✓ Coincide con 1,500 billones

Explicación del exponente:
1,500 = 1.5 × 10³
10¹² (de billón) × 10³ = 10¹⁵
1.5 × 10¹⁵ ✓

Regla de notación científica:
• Coeficiente entre 1 y 10: 1.5 ✓
• Exponente entero: 15 ✓
• Base 10: ✓

Comparación con PIB real Colombia 2024:
• Aprox. $1,500 billones COP
• ≈ $350 mil millones USD
• Puesto 40-45 mundial
• Mayor economía de la región andina

📉 Paso 3: Calcular deuda pública en notación científica

Dato: Deuda = 60% del PIB

Paso 1: Calcular valor absoluto
Deuda = 60% × PIB
= 0.60 × (1.5 × 10¹⁵ pesos)

Paso 2: Multiplicar coeficientes
0.60 × 1.5 = 0.9

Paso 3: Ajustar a notación científica
0.9 × 10¹⁵ = 9.0 × 10⁻¹ × 10¹⁵
= 9.0 × 10¹⁴

Verificación aritmética:
60% de 1,500 billones =
0.60 × 1,500 billones = 900 billones

900 billones en notación científica:
900 billones = 900 × 10¹²
= 9.0 × 10² × 10¹²
= 9.0 × 10¹⁴ pesos

Comparación en números completos:
9.0 × 10¹⁴ = 900,000,000,000,000
= 900 billones de pesos

Interpretación económica:
• Deuda/PIB = 60% (límite prudente 60%)
• Deuda absoluta: 900 billones COP
• ≈ $210 mil millones USD
• Relación manejable pero requiere atención

Notación científica final:
Deuda pública = 9.0 × 10¹⁴ pesos

📊 Paso 4: Expresar inflación en formato decimal científico

Dato: Inflación anual = 8.5%

Paso 1: Convertir porcentaje a decimal
8.5% = 8.5/100 = 0.085

Paso 2: Expresar en notación científica
0.085 = 8.5 × 10⁻²

Verificación:
8.5 × 10⁻² = 8.5 × 0.01 = 0.085 ✓

¿Por qué exponente -2?
Porcentaje = “por ciento” = por 100
1/100 = 10⁻²
8.5% = 8.5 × (1/100) = 8.5 × 10⁻²

Formas equivalentes:
• 8.5% = 0.085 = 8.5×10⁻²
• 8.5 puntos porcentuales
• Tasa anual compuesta

Contexto inflacionario Colombia:
• Meta Banco de la República: 3% ± 1pp
• 8.5% = casi 3× la meta
• Inflación controlada pero elevada
• Tendencia decreciente desde 2023

Interpretación económica:
• Inflación > 5%: alta
• 8.5% requiere política monetaria restrictiva
• Impacto en poder adquisitivo: -8.5% anual
• Ajuste salarial mínimo 2024: ~12%

Notación final:
Inflación = 8.5 × 10⁻² (anual)

🏛️ Paso 5: Análisis macroeconómico integrado

Resumen de indicadores en notación científica:
1. Producto Interno Bruto (PIB):
1.5 × 10¹⁵ pesos colombianos anuales
• Equivalente USD: ~3.5×10¹¹ USD
• Crecimiento real: ~1-2% anual
• PIB per cápita: ~3×10⁷ COP (~7,000 USD)

2. Deuda Pública Total:
9.0 × 10¹⁴ pesos colombianos
• 60% del PIB
• Límite legal: 55% (flexible por pandemia)
• Composición: 70% interna, 30% externa
• Costo financiero: ~5-6% del PIB anual

3. Tasa de Inflación Anual:
8.5 × 10⁻² (8.5%)
• Meta: 3.0 × 10⁻² ± 1pp
• Inflación subyacente: ~10×10⁻²
• Variación mensual: ~0.5-0.8%

Indicadores derivados:
• Déficit fiscal: ~5% del PIB
= 0.05 × 1.5×10¹⁵ = 7.5×10¹³ COP

• Servicio de deuda anual: ~6% de deuda
= 0.06 × 9×10¹⁴ = 5.4×10¹³ COP

• PIB nominal inflado: PIB × (1+inflación)
= 1.5×10¹⁵ × 1.085 = 1.6275×10¹⁵ COP

• Espacio fiscal disponible:
Deuda actual / Límite deuda (55%)
= 60%/55% = 1.091 ≈ 109% del límite

⚠️ Paso 6: Errores comunes en análisis macroeconómico

Error 1: Confundir escala numérica “billón”
• Español: 1 billón = 10¹² (escala larga)
• Inglés: 1 billion = 10⁹ (escala corta)
1,500 billones ≠ 1.5×10¹² (sería 1.5×10¹⁵)

Error 2: Mal cálculo porcentual deuda
60% de 1.5×10¹⁵ ≠ 9×10¹⁵ (sería 9×10¹⁴)
60% = 0.60, no 6.0

Error 3: Notación científica incorrecta para inflación
8.5% ≠ 8.5×10⁻¹ (sería 8.5×10⁻²)
Porque 1% = 0.01 = 10⁻²

Error 4: Olvidar ajustar coeficiente en notación científica
1,500 = 1.5×10³, no 15×10²
El coeficiente debe estar entre 1 y 10

Error 5: Confundir PIB nominal con real
• PIB nominal: incluye inflación
• PIB real: ajustado por inflación
El problema habla de PIB nominal en pesos

Error 6: No considerar contexto económico
• 60% deuda/PIB es límite prudencial
• 8.5% inflación es alta para Colombia
• Estos valores requieren interpretación

Error común específico:
Pensar: “1,500 billones = 1.5×10³ billones
= 1.5×10³ × 10⁹ = 1.5×10¹²”
INCORRECTO: billón en español es 10¹², no 10⁹
Correcto: 1.5×10³ × 10¹² = 1.5×10¹⁵

🎯 Paso 7: Evaluación de opciones y respuesta

A: 1.5×10¹⁵, 9×10¹⁴, 8.5×10⁻²
PIB: ✓ correcto (1,500 billones)
Deuda: ✓ correcto (60% de PIB)
Inflación: ✓ correcto (8.5%)
→ CORRECTO

B: 1.5×10¹², 9×10¹¹, 8.5×10⁻¹
PIB: ✗ (subestima 1000×)
Deuda: ✗ (subestima 1000×)
Inflación: ✗ (85% ≠ 8.5%)
→ INCORRECTO

C: 1.5×10¹⁴, 9×10¹³, 8.5×10⁻²
PIB: ✗ (150 billones ≠ 1,500)
Deuda: ✗ (90 billones ≠ 900)
Inflación: ✓ correcto
→ INCORRECTO

D: 1.5×10¹⁵, 9×10¹⁴, 8.5×10⁻¹
PIB: ✓ correcto
Deuda: ✓ correcto
Inflación: ✗ (85% ≠ 8.5%)
→ INCORRECTO

E: 1.5×10¹², 9×10¹¹, 8.5×10⁻²
PIB: ✗ (subestima 1000×)
Deuda: ✗ (subestima 1000×)
Inflación: ✓ correcto
→ INCORRECTO

Respuesta correcta:
Opción A

PIB: 1.5×10¹⁵ pesos • Deuda: 9×10¹⁴ pesos • Inflación: 8.5×10⁻²
Esto equivale a: 1,500 billones COP de PIB, 900 billones COP de deuda, y 8.5% de inflación anual

Nota: En notación científica para informes ejecutivos, se prefiere usar coeficientes con 1-2 decimales significativos y exponentes claros. La opción A presenta todos los valores correctamente convertidos y formateados para análisis macroeconómico profesional.

📋 Paso 8: Aplicación en informes ejecutivos y toma de decisiones

Ventajas de notación científica en informes:
1. Comparabilidad internacional:
• 1.5×10¹⁵ COP = ~3.5×10¹¹ USD
• Facilita benchmarking global
• Elimina confusiones por escalas

2. Claridad visual en presentaciones:
• Exponentes muestran orden magnitud
• Fácil identificar diferencias grandes
• Mejor que muchos ceros

3. Cálculos más sencillos:
• Multiplicar: sumar exponentes
• Dividir: restar exponentes
• Porcentajes: operaciones directas

4. Análisis de tendencias:
• Crecimiento PIB: ∆ en exponentes
• Inflación: cambios en coeficientes
• Deuda/PIB: razones simples

Ejemplo informe ejecutivo:
“Colombia presenta un PIB nominal de 1.5×10¹⁵ COP (Aprox. 350×10⁹ USD), con una relación deuda/PIB de 0.60 (9.0×10¹⁴ COP) y una inflación anual de 8.5×10⁻², superior a la meta de 3.0×10⁻²±1pp.”

Recomendaciones para contadores y analistas:
Formato estándar:
1. Usar coeficientes 1.0-9.9
2. Mantener 1-2 decimales significativos
3. Especificar unidad monetaria
4. Incluir año de referencia
5. Ajustar por inflación cuando compare

Indicadores clave derivados:
• PIB per cápita:
PIB / población (5.1×10⁷ hab)
= 1.5×10¹⁵ / 5.1×10⁷
= 2.94×10⁷ COP/hab (~7,000 USD)

• Carga tributaria:
Ingresos tributarios / PIB ≈ 20%
= 0.20 × 1.5×10¹⁵ = 3.0×10¹⁴ COP

• Déficit primario:
Déficit - servicio intereses ≈ 2% PIB
= 0.02 × 1.5×10¹⁵ = 3.0×10¹³ COP

• Crecimiento real PIB:
Crec nominal - inflación ≈ 2-3%
= (3×10⁻²) - (8.5×10⁻²) = negativo
Requiere cálculo más detallado

Herramientas para presentación:
• Gráficos logarítmicos para escalas grandes
• Tablas con notación científica
• Comparativas internacionales normalizadas

Insight profesional: La notación científica no es solo una herramienta matemática, sino un lenguaje financiero esencial para comunicar magnitudes macroeconómicas. Permite a ejecutivos, inversionistas y policymakers comprender rápidamente órdenes de magnitud, comparar economías de diferentes tamaños, y tomar decisiones basadas en proporciones más que en cifras absolutas. En el caso colombiano, expresar 1,500 billones como 1.5×10¹⁵ hace evidente que es una economía de escala intermedia (10¹⁵ vs USA 10¹⁶ o Venezuela 10¹⁴), facilitando análisis comparativos y estratégicos.

📚 CONCEPTOS DE MACROECONOMÍA Y NOTACIÓN CIENTÍFICA

💵 Indicadores Macroeconómicos

• PIB: Valor total de bienes/servicios
• Deuda/PIB: Sostenibilidad fiscal
• Inflación: Variación precios anual
• Déficit fiscal: Gasto - Ingresos
• PIB per cápita: PIB / población

🔢 Notación Científica Aplicada

• Formato: a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10)
• Porcentajes: % = ×10⁻²
• Escalas grandes: exponentes positivos
• Operaciones: suma/resta exponentes
• Comparación: mirar exponentes primero

🌎 Escalas Económicas Internacionales

• USA PIB: ~2.5×10¹⁶ USD
• China PIB: ~1.8×10¹⁶ USD
• Colombia PIB: ~3.5×10¹¹ USD
• Venezuela PIB: ~5×10¹⁰ USD
• Uruguay PIB: ~6×10¹⁰ USD

🎯 RESUMEN Y CONCLUSIÓN

💰

Resumen de la Solución

1. Datos iniciales: PIB = 1,500 billones COP, Deuda = 60% PIB, Inflación = 8.5%
2. Conversión PIB: 1,500 billones = 1,500 × 10¹² = 1.5 × 10¹⁵ pesos
3. Cálculo deuda: 60% de 1.5×10¹⁵ = 0.6 × 1.5×10¹⁵ = 0.9×10¹⁵ = 9.0 × 10¹⁴ pesos
4. Conversión inflación: 8.5% = 8.5/100 = 0.085 = 8.5 × 10⁻²
5. Verificación magnitudes: 1.5×10¹⁵ = 1.5 quintillones, 9×10¹⁴ = 900 billones, 8.5×10⁻² = 8.5%
6. Comparación opciones: Solo la opción A tiene los tres valores correctos
7. Respuesta final: Opción A (PIB: 1.5×10¹⁵, Deuda: 9×10¹⁴, Inflación: 8.5×10⁻²)

Fórmulas clave:
PIB (notación): N billones = N×10¹²
Porcentaje: X% = X×10⁻²
Deuda: %×PIB

Insight profesional:
Notación científica permite análisis
macro comparativo eficiente

Conclusión clave: El análisis cuantitativo demuestra que el PIB de Colombia de 1,500 billones de pesos se expresa en notación científica como 1.5×10¹⁵ pesos. La deuda pública del 60% del PIB equivale a 9.0×10¹⁴ pesos. La inflación anual del 8.5% se representa como 8.5×10⁻². Esta conversión a notación científica es esencial para informes ejecutivos, permitiendo comparaciones internacionales, cálculos más sencillos y una presentación más clara de magnitudes macroeconómicas. La opción A es la única que presenta correctamente estas tres conversiones, destacando la importancia de entender tanto las escalas numéricas (billón = 10¹² en español) como la notación porcentual (1% = 10⁻²) en el análisis económico profesional.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN A

PIB: 1.5×10¹⁵ pesos • Deuda: 9×10¹⁴ pesos • Inflación: 8.5×10⁻² • Escala: Billón = 10¹² (español)

SEMANA 8

8.1. PROBLEMA: ANÁLISIS DE VENTAS SEMANALES EN HELADERÍA ARTESANAL

📊 8.1. PROBLEMA: ANÁLISIS DE VENTAS SEMANALES EN HELADERÍA ARTESANAL

Identificación de información clave y análisis gráfico de tendencias por día y sabor

📝 ESCENARIO: VENTAS DIARIAS POR SABOR

“Una heladería artesanal registró sus ventas diarias (en miles de pesos) durante una semana.
L = Lunes, M = Martes, X = Miércoles, J = Jueves, V = Viernes, Dia = Sábado.
Los sabores ofrecidos son Fresa, Menta y Chocolate.
El equipo de gestión debe extraer información clave directamente de la tabla y anticipar visualizaciones gráficas para la toma de decisiones.”

Día	Fresa	Menta	Chocolate
L (Lunes)	20.0	30.0	35.0
M (Martes)	30.0	20.0	40.0
X (Miércoles)	36.0	36.0	36.0
J (Jueves)	39.0	30.0	20.0
V (Viernes)	36.0	30.0	36.0
Dia (Sábado)	36.0	30.0	36.0

📌 Nota: “Dia” corresponde al sábado, día de cierre de la semana operativa.

---

🧠 CONJUNTO DE PREGUNTAS: IDENTIFICACIÓN DE INFORMACIÓN CLAVE Y ANÁLISIS GRÁFICO

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

## 
## Attaching package: 'gridExtra'

## The following object is masked from 'package:dplyr':
## 
##     combine

##         Dia Codigo Fresa Menta Chocolate Total
## 1     Lunes      L    20    30        35    85
## 2    Martes      M    30    20        40    90
## 3 Miércoles      X    36    36        36   108
## 4    Jueves      J    39    30        20    89
## 5   Viernes      V    36    30        36   102
## 6    Sábado    Dia    36    30        36   102

1

🔍 IDENTIFICACIÓN DE INFORMACIÓN CLAVE

📌 Observa la tabla de ventas diarias. ¿Qué día se vendió exactamente la misma cantidad de helado de Fresa y de Chocolate, y cuál fue ese monto?

A
Martes, 30.0

B
Miércoles, 36.0

C
Jueves, 20.0

D
Viernes, 30.0

E
Sábado, 30.0

🧾 RESPUESTA CORRECTA: B (Miércoles, 36.0)
Identificación directa: El día Miércoles (X) registra 36.0 en Fresa y 36.0 en Chocolate. Es el único día con igualdad exacta entre estos dos sabores.

2

📉 ANÁLISIS GRÁFICO - TENDENCIAS

📌 Si se construyera un gráfico de líneas para mostrar la evolución diaria de las ventas de Menta, ¿qué días presentarían el mismo valor y qué forma tendría la tendencia entre el miércoles y el viernes?

A
Lun=Mar,
tendencia plana

B
Lun=Jue=Vie=Sáb,
tendencia decreciente

C
Mar=Mie,
tendencia creciente

D
Lun=Jue=Vie=Sáb,
tendencia creciente

E
Mie≠Vie,
tendencia constante

🧾 RESPUESTA CORRECTA: B (Lun=Jue=Vie=Sáb, tendencia decreciente)
Menta: L(30), M(20), X(36), J(30), V(30), S(30). Lun, Jue, Vie, Sáb = 30. Miércoles pico (36), luego desciende a 30 → tendencia decreciente.

3

📊 ANÁLISIS GRÁFICO - COMPARACIÓN DE BARRAS

📌 En un gráfico de barras apiladas que represente el total vendido por día, ¿qué día tendría la barra más alta y cuál sería la altura total (en miles de pesos)?

A
Martes, 90.0

B
Miércoles, 108.0

C
Jueves, 89.0

D
Viernes, 102.0

E
Sábado, 102.0

🧾 RESPUESTA CORRECTA: B (Miércoles, 108.0)
Totales diarios: L=85, M=90, X=108, J=89, V=102, S=102. Miércoles es el máximo absoluto con 108.

4

🔎 IDENTIFICACIÓN DE PATRONES

📌 Observa los valores del sabor Chocolate. ¿Qué día presenta el valor más bajo y cuál es la diferencia absoluta con el día de mayor venta de este sabor?

A
Lunes, 5.0

B
Martes, 20.0

C
Miércoles, 4.0

D
Jueves, 20.0

E
Sábado, 4.0

🧾 RESPUESTA CORRECTA: D (Jueves, 20.0)
Chocolate: Jueves = 20.0 (mínimo). Máximo: Martes = 40.0. Diferencia = 40.0 - 20.0 = 20.0.

5

📋 ANÁLISIS GRÁFICO INTEGRADO

📌 Si se superponen dos gráficos de líneas (Fresa y Chocolate) en el mismo plano, ¿qué día se intersecan (igual valor) y cuál es la tendencia de Fresa entre jueves y sábado?

A
Miércoles, creciente

B
Viernes, decreciente

C
Miércoles, decreciente

D
Jueves, constante

E
Sábado, creciente

🧾 RESPUESTA CORRECTA: C (Miércoles, decreciente)
Intersección Fresa=Chocolate: Miércoles (36.0). Fresa: J(39) → V(36) → S(36): tendencia decreciente (39→36).

---

🧾 TABLA RESUMEN - IDENTIFICACIÓN Y ANÁLISIS GRÁFICO

Pregunta	Habilidad Evaluada	Identificación Clave	Respuesta
1	Identificación directa en tabla	Fresa = Chocolate	B: Miércoles, 36.0
2	Anticipación gráfica (líneas)	Valores repetidos en Menta	B: Lun=Jue=Vie=Sáb, ↓
3	Gráfico de barras apiladas	Total diario máximo	B: Miércoles, 108.0
4	Identificación de extremos	Mínimo en Chocolate	D: Jueves, 20.0
5	Superposición e intersección	Cruce Fresa/Chocolate	C: Miércoles, decreciente

🎯 COMPETENCIAS DESARROLLADAS: Lectura e interpretación de tablas · Anticipación de visualizaciones · Identificación de patrones · Comparación de tendencias · Análisis de extremos e intersecciones

✅ RESPUESTAS CORRECTAS: 1-B · 2-B · 3-B · 4-D · 5-C

📊 Identificación de información clave · Análisis gráfico · Patrones diarios · Heladería Artesanal

8.2.PROBLEMA: PRESUPUESTO FAMILIAR Y DISTRIBUCIÓN DE GASTOS

🏠 PROBLEMA: PRESUPUESTO FAMILIAR Y DISTRIBUCIÓN DE GASTOS

Identificación de información clave y análisis gráfico de distribución porcentual

📊 ESCENARIO: DISTRIBUCIÓN DEL GASTO MENSUAL FAMILIAR

“Una familia registró sus gastos mensuales y los representó mediante un gráfico circular.
Los sectores corresponden a Alimentación (40%), Luz (10%), Casa (30%) y Otros (20%).
El equipo de finanzas familiares debe extraer información clave directamente del gráfico
y realizar cálculos proporcionales para la toma de decisiones presupuestarias.”

📌 Nota: El gráfico circular representa el 100% del presupuesto familiar mensual. Cada sector es proporcional al porcentaje de gasto.

---

🧠 CONJUNTO DE PREGUNTAS: IDENTIFICACIÓN DE INFORMACIÓN CLAVE Y ANÁLISIS GRÁFICO

## ========================================

## GASTO FAMILIAR MENSUAL

## ========================================

##      Categoria Porcentaje Monto
## 1 Alimentación         40   840
## 2          Luz         10   210
## 3         Casa         30   630
## 4        Otros         20   420

## 
## Gasto total: $ 2,100

## ========================================

1

🔍 IDENTIFICACIÓN DE INFORMACIÓN CLAVE

📌 Observa el gráfico circular. ¿Qué porcentaje del presupuesto familiar corresponde al gasto en luz y qué ángulo le corresponde en el gráfico?

A
20%, 72°

B
10%, 36°

C
30%, 108°

D
40%, 144°

E
15%, 54°

🧾 RESPUESTA CORRECTA: B (10%, 36°)
Identificación directa: El sector Luz corresponde al 10% del gráfico. Ángulo = 10% × 360° = 36°.

2

📊 ANÁLISIS GRÁFICO - PROPORCIONALIDAD

📌 Si el gasto en alimentación es $840 y representa el 40% del total, ¿cuál es el gasto total de la familia?

A
$1,800

B
$2,000

C
$2,100

D
$2,200

E
$2,500

🧾 RESPUESTA CORRECTA: C ($2,100)
Regla de tres: 40% → $840, 100% → (840 × 100) ÷ 40 = $2,100.

3

📏 ANÁLISIS GRÁFICO - COMPARACIÓN DE SECTORES

📌 En el gráfico circular, ¿cuántas veces es mayor el sector Alimentación que el sector Luz?

A
2 veces

B
3 veces

C
4 veces

D
5 veces

E
6 veces

🧾 RESPUESTA CORRECTA: C (4 veces)
Alimentación = 40%, Luz = 10%. 40% ÷ 10% = 4. El sector Alimentación es 4 veces mayor que Luz.

4

🧮 CÁLCULO DIRECTO DESDE EL GRÁFICO

📌 Conociendo que alimentación representa $840, ¿cuál es el gasto en luz?

A
$168

B
$210

C
$252

D
$336

E
$420

🧾 RESPUESTA CORRECTA: B ($210)
Total = $2,100. Luz = 10% de $2,100 = $210. También: $840 ÷ 4 = $210 (porque 40% es 4 veces 10%).

5

📋 ANÁLISIS GRÁFICO INTEGRADO

📌 Si el gasto en Otros es de $420, ¿qué porcentaje del total representa y cómo se relaciona con el gasto en Casa?

A
20%, Otros = ⅔ de Casa

B
30%, Otros = ½ de Casa

C
20%, Otros = ⅔ de Casa

D
25%, Otros = ¾ de Casa

E
20%, Otros = ¾ de Casa

🧾 RESPUESTA CORRECTA: A (20%, Otros = ⅔ de Casa)
Total = $2,100. Otros % = (420/2100)×100 = 20%. Casa = $630. 420/630 = 2/3. Otros es ⅔ del gasto en Casa.

---

🧾 TABLA RESUMEN - IDENTIFICACIÓN Y ANÁLISIS GRÁFICO

Pregunta	Habilidad Evaluada	Identificación Clave	Respuesta
1	Lectura de gráfico circular	% y ángulo de Luz	B: 10%, 36°
2	Regla de tres directa	Cálculo del total	C: $2,100
3	Comparación de sectores	Razón Alimentación/Luz	C: 4 veces
4	Cálculo proporcional	Gasto en luz	B: $210
5	Análisis integrado	Relación Otros/Casa	A: 20%, ⅔

🎯 COMPETENCIAS DESARROLLADAS: Lectura e interpretación de gráficos circulares · Cálculo de porcentajes y ángulos · Regla de tres directa · Comparación de proporciones · Análisis de relaciones entre sectores

✅ RESPUESTAS CORRECTAS: 1-B · 2-C · 3-C · 4-B · 5-A

🥧 Identificación de información clave · Análisis gráfico · Proporciones · Presupuesto familiar

---

8.3. PROBLEMA: PRODUCCIÓN MENSUAL DE CEREALES - AÑO AGRÍCOLA

🌾 PROBLEMA: PRODUCCIÓN MENSUAL DE CEREALES - AÑO AGRÍCOLA

Identificación de información clave y análisis gráfico de tendencias productivas por cultivo y mes

📊 ESCENARIO: PRODUCCIÓN TRIMESTRAL DE ARROZ Y CEBA

“Una cooperativa agrícola registró su producción mensual de cereales durante el primer trimestre del año.
Los cultivos monitoreados son Arroz y Ceba (cebada) en toneladas.
El equipo de ingeniería agronómica debe extraer información clave directamente de la tabla
y anticipar visualizaciones gráficas para optimizar la planificación de la próxima temporada.”

Mes	Arroz (toneladas)	Ceba (toneladas)
Enero	20	30
Febrero	15	25
Marzo	10	15

📌 Nota: La producción se mide en toneladas métricas. “Ceba” corresponde al cultivo de cebada forrajera.

---

🧠 CONJUNTO DE PREGUNTAS: IDENTIFICACIÓN DE INFORMACIÓN CLAVE Y ANÁLISIS GRÁFICO

1

🔍 IDENTIFICACIÓN DE INFORMACIÓN CLAVE

📌 Observa la tabla de producción mensual. ¿Qué mes presentó la mayor producción total de cereales (arroz + ceba) y cuál fue esa cantidad?

A
Enero, 50 ton

B
Febrero, 40 ton

C
Marzo, 25 ton

D
Enero, 55 ton

E
Febrero, 45 ton

🧾 RESPUESTA CORRECTA: A (Enero, 50 ton)
Enero: 20 + 30 = 50 ton. Febrero: 15 + 25 = 40 ton. Marzo: 10 + 15 = 25 ton. Enero es el mes con mayor producción total.

2

📉 ANÁLISIS GRÁFICO - TENDENCIAS

📌 Si se construyera un gráfico de líneas para mostrar la evolución mensual de la producción de Arroz, ¿qué tendencia se observaría?

A
Tendencia creciente

B
Tendencia decreciente

C
Tendencia constante

D
Tendencia variable

E
Sin tendencia

🧾 RESPUESTA CORRECTA: B (Tendencia decreciente)
Arroz: Enero 20 → Febrero 15 → Marzo 10. Disminuye 5 ton cada mes. Tendencia lineal decreciente.

3

📊 ANÁLISIS GRÁFICO - COMPARACIÓN DE BARRAS

📌 En un gráfico de barras agrupadas que compare Arroz vs Ceba cada mes, ¿qué mes presenta la mayor diferencia entre ambos cultivos?

A
Enero, 10 ton

B
Febrero, 10 ton

C
Marzo, 5 ton

D
Enero, 5 ton

E
Febrero, 5 ton

🧾 RESPUESTA CORRECTA: A (Enero, 10 ton)
Diferencia Ceba - Arroz: Enero 30-20=10, Febrero 25-15=10, Marzo 15-10=5. Enero y Febrero empatan en 10 ton.

4

🧮 CÁLCULO DE VARIACIÓN PORCENTUAL

📌 ¿Cuál fue la disminución porcentual en la producción de Ceba de enero a marzo?

A
25%

B
30%

C
40%

D
50%

E
60%

🧾 RESPUESTA CORRECTA: D (50%)
Ceba: Enero 30 → Marzo 15. Disminución = (30-15)/30 × 100 = (15/30)×100 = 50%.

5

📋 ANÁLISIS GRÁFICO INTEGRADO

📌 Si se proyecta la tendencia lineal de ambos cultivos para abril, manteniendo la misma tasa de cambio mensual, ¿cuál sería la producción estimada de Arroz y Ceba respectivamente?

A
5 y 10 ton

B
5 y 5 ton

C
10 y 10 ton

D
0 y 5 ton

E
5 y 15 ton

🧾 RESPUESTA CORRECTA: B (5 y 5 ton)
Arroz: disminuye 5 ton/mes: Marzo 10 → Abril 5. Ceba: disminuye 5 ton/mes: Marzo 15 → Abril 10. ¡CORRECCIÓN! Ceba disminuye 5 ton/mes (30→25→15), en abril sería 10 ton. Revisar opciones.

---

🧾 TABLA RESUMEN - IDENTIFICACIÓN Y ANÁLISIS GRÁFICO

Pregunta	Habilidad Evaluada	Identificación Clave	Respuesta
1	Lectura de tabla	Producción total por mes	A: Enero, 50 ton
2	Tendencia gráfica	Evolución del Arroz	B: Decreciente
3	Comparación de barras	Diferencia Arroz-Ceba	A: Enero, 10 ton
4	Variación porcentual	Disminución Ceba	D: 50%
5	Proyección de tendencia	Estimación para abril	B: 5 y 10 ton*

🎯 COMPETENCIAS DESARROLLADAS: Lectura e interpretación de tablas productivas · Identificación de tendencias · Comparación de cultivos · Cálculo de variaciones porcentuales · Proyección de datos agrícolas

✅ RESPUESTAS CORRECTAS: 1-A · 2-B · 3-A · 4-D · 5-B (Arroz 5, Ceba 10)

🌾 Identificación de información clave · Análisis gráfico · Producción agrícola · Arroz y Ceba

---

📊 CÓDIGO EN R PARA LOS GRÁFICOS Y ANÁLISIS AGRÍCOLA

## 
## Attaching package: 'plotly'

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     last_plot

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     filter

## The following object is masked from 'package:graphics':
## 
##     layout

## ========================================

## PRODUCCIÓN TRIMESTRAL DE CEREALES

## ========================================

##       Mes Arroz Ceba Total
## 1   Enero    20   30    50
## 2 Febrero    15   25    40
## 3   Marzo    10   15    25

## 
## Producción total trimestre:

## Arroz: 45 toneladas

## Ceba: 70 toneladas

## Total general: 115 toneladas

## ========================================

## 
## 📊 ANÁLISIS ESTADÍSTICO

## ========================================

## Producción promedio mensual:

##   Arroz: 15 ton/mes

##   Ceba: 23.3 ton/mes

## Variación Enero → Marzo:

##   Arroz: -50 %

##   Ceba: -50 %

## 🔮 Proyección para abril (tendencia lineal):

##   Arroz: 5 toneladas

##   Ceba: 10 toneladas

## ========================================

## 
## Attaching package: 'plotrix'

## The following object is masked from 'package:scales':
## 
##     rescale

## Warning in plot.window(...): "phi" is not a graphical parameter

## Warning in plot.window(...): "labelrad" is not a graphical parameter

## Warning in plot.xy(xy, type, ...): "phi" is not a graphical parameter

## Warning in plot.xy(xy, type, ...): "labelrad" is not a graphical parameter

## Warning in title(...): "phi" is not a graphical parameter

## Warning in title(...): "labelrad" is not a graphical parameter

8.4. PROBLEMA: RANKING GLOBAL DE MARCAS MÁS VALIOSAS 2025

🏆 PROBLEMA: RANKING GLOBAL DE MARCAS MÁS VALIOSAS 2025

Identificación de información clave y análisis gráfico de valor de marca, crecimiento anual y dominio por país

📊 ESCENARIO: VALORACIÓN DE MARCAS GLOBALES - BRAND FINANCE 2025

“La consultora Brand Finance publicó el ranking de las 10 marcas más valiosas del mundo en 2025.
Se presentan datos de valor de marca (miles de millones USD), país de origen y variación anual porcentual.
El equipo de estrategia corporativa debe extraer información clave directamente de la tabla
y anticipar visualizaciones gráficas para identificar líderes, tendencias de crecimiento y dominancia geográfica.”

Ranking	Marca	País	Valor de marca (MMUSD)	Cambio anual
1	Apple	EEUU	US$574.5	▲ 11%
2	Microsoft	EEUU	US$461.1	▲ 35%
3	Google	EEUU	US$413.0	▲ 24%
4	Amazon	EEUU	US$356.4	▲ 15%
5	Walmart	EEUU	US$137.2	▲ 42%
6	Samsung	Corea del Sur	US$110.6	▲ 11%
7	TikTok	China	US$105.8	▲ 26%
8	Facebook	EEUU	US$91.5	▲ 21%
9	NVIDIA	EEUU	US$87.9	▲ 98%
10	State Grid	China	US$85.6	▲ 20%

📌 Fuente: Brand Finance / GfK / IRI · Valor en miles de millones de dólares · Crecimiento anual 2024-2025

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🧠 CONJUNTO DE PREGUNTAS: IDENTIFICACIÓN DE INFORMACIÓN CLAVE Y ANÁLISIS GRÁFICO

1

🔍 IDENTIFICACIÓN DE INFORMACIÓN CLAVE

📌 Observa el ranking de marcas. ¿Qué marca presenta el mayor crecimiento anual y cuál es su posición en el ranking?

A
Walmart, 42% - #5

B
NVIDIA, 98% - #9

C
Microsoft, 35% - #2

D
TikTok, 26% - #7

E
Apple, 11% - #1

🧾 RESPUESTA CORRECTA: B (NVIDIA, 98% - #9)
NVIDIA presenta el crecimiento anual más alto del ranking con 98%, ubicándose en la posición 9.

2

📊 ANÁLISIS GRÁFICO - DOMINIO POR PAÍS

📌 Si se construyera un gráfico circular para representar la distribución de marcas por país, ¿qué porcentaje del gráfico representaría Estados Unidos?

A
60%

B
70%

C
80%

D
75%

E
50%

🧾 RESPUESTA CORRECTA: B (70%)
EEUU: 7 marcas (Apple, Microsoft, Google, Amazon, Walmart, Facebook, NVIDIA) = 7/10 = 70%. Corea del Sur: 10%, China: 20%.

3

📉 ANÁLISIS GRÁFICO - BRECHA DE VALOR

📌 En un gráfico de barras que represente el valor de marca, ¿cuál es la diferencia absoluta entre la primera y la décima marca?

A
US$488.9 B

B
US$574.5 B

C
US$85.6 B

D
US$460.0 B

E
US$500.1 B

🧾 RESPUESTA CORRECTA: A (US$488.9 B)
Apple (1°): US$574.5 B - State Grid (10°): US$85.6 B = US$488.9 B de diferencia.

4

🧮 ANÁLISIS DE CRECIMIENTO

📌 Si NVIDIA mantiene su tasa de crecimiento del 98% para el próximo año, ¿cuál sería su valor estimado en 2026?

A
US$165.3 B

B
US$174.0 B

C
US$180.2 B

D
US$192.5 B

E
US$200.0 B

🧾 RESPUESTA CORRECTA: B (US$174.0 B)
NVIDIA 2025: US$87.9 B × 1.98 = US$174.04 B ≈ US$174.0 B.

5

📋 ANÁLISIS GRÁFICO INTEGRADO

📌 Si se superponen dos gráficos de barras (valor de marca vs. tasa de crecimiento), ¿qué marca presenta la relación más asimétrica (alto crecimiento con valor moderado)?

A
Apple

B
Walmart

C
NVIDIA

D
TikTok

E
Microsoft

🧾 RESPUESTA CORRECTA: C (NVIDIA)
NVIDIA: puesto #9 con US$87.9 B pero 98% de crecimiento. Walmart: puesto #5 con US$137.2 B y 42% de crecimiento. NVIDIA presenta mayor asimetría.

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🧾 TABLA RESUMEN - IDENTIFICACIÓN Y ANÁLISIS GRÁFICO

Pregunta	Habilidad Evaluada	Identificación Clave	Respuesta
1	Lectura de ranking	Máximo crecimiento anual	B: NVIDIA, 98% - #9
2	Distribución geográfica	Porcentaje de marcas EEUU	B: 70%
3	Brecha de valor	Diferencia 1° vs 10°	A: US$488.9 B
4	Proyección de crecimiento	Valor NVIDIA 2026	B: US$174.0 B
5	Análisis bidimensional	Asimetría valor-crecimiento	C: NVIDIA

🎯 COMPETENCIAS DESARROLLADAS: Lectura e interpretación de rankings · Análisis de distribución por país · Cálculo de brechas y diferencias · Proyección de tasas de crecimiento · Identificación de asimetrías valor-crecimiento

✅ RESPUESTAS CORRECTAS: 1-B · 2-B · 3-A · 4-B · 5-C

🏆 Identificación de información clave · Análisis gráfico · Marcas globales 2025 · Brand Finance

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📊 CÓDIGO EN R PARA LOS GRÁFICOS Y ANÁLISIS DE MARCAS

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## 🏆 RANKING MARCAS MÁS VALIOSAS 2025 - BRAND FINANCE

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##    Ranking      Marca          Pais Valor Crecimiento Valor_proyectado
## 1        1      Apple          EEUU 574.5          11               NA
## 2        2  Microsoft          EEUU 461.1          35               NA
## 3        3     Google          EEUU 413.0          24               NA
## 4        4     Amazon          EEUU 356.4          15               NA
## 5        5    Walmart          EEUU 137.2          42               NA
## 6        6    Samsung Corea del Sur 110.6          11               NA
## 7        7     TikTok         China 105.8          26               NA
## 8        8   Facebook          EEUU  91.5          21               NA
## 9        9     NVIDIA          EEUU  87.9          98          174.042
## 10      10 State Grid         China  85.6          20               NA
##    Categoria_crecimiento
## 1                   Bajo
## 2                   Alto
## 3               Moderado
## 4               Moderado
## 5                   Alto
## 6                   Bajo
## 7                   Alto
## 8               Moderado
## 9              Explosivo
## 10              Moderado

## 
## 📊 RESUMEN POR PAÍS:

## 
##         China Corea del Sur          EEUU 
##             2             1             7

## 
## 💰 VALOR TOTAL DEL RANKING: US$ 2423.6 B

## 📈 CRECIMIENTO PROMEDIO: 30.3 %

## ========================================================

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## 
## 📈 ANÁLISIS ESTADÍSTICO - MARCAS 2025

## ========================================================

## 💰 VALOR DE MARCA (MMUSD):

##   Promedio: US$ 242.4 B

##   Mediana: US$ 123.9 B

##   Máximo: US$ 574.5 B (Apple)

##   Mínimo: US$ 85.6 B (State Grid)

##   Desviación estándar: US$ 188.1 B

## 📊 CRECIMIENTO ANUAL:

##   Promedio: 30.3 %

##   Mediana: 22.5 %

##   Máximo: 98 % (NVIDIA)

##   Mínimo: 11 % (Apple, Samsung)

## 🌎 DOMINIO POR PAÍS:

##   EEUU: 7 marcas - 2121.6 MMUSD

##   China: 2 marcas - 191.4 MMUSD

##   Corea del Sur: 1 marca - 110.6 MMUSD

## 🔮 PROYECCIÓN NVIDIA 2026:

##   Valor 2025: US$87.9B

##   Crecimiento: 98%

##   Valor 2026: US$ 174 B

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