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SEMANA 3: DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL DE LA VARIANZA Y PROPORCIÓN

9. DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL: DISTRIBUCION CHI-CUADRADA

📐 9.1. DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL: DISTRIBUCION CHI-CUADRADA

🎯 Teorema Fundamental

Sea \[Y_1, Y_2, ..., Y_n\] una muestra aleatoria de una distribución normal con media \[\mu\] y varianza \[\sigma^2\].

\[ \sum_{i=1}^n \frac{(Y_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n)} \]

📊 Ejemplo 1: Valor Crítico

Problema: \[Z_1, ..., Z_6 \sim N(0,1)\], hallar \[b\] tal que \[P(\sum Z_i^2 \leq b) = 0.95\]

\[ \sum_{i=1}^6 Z_i^2 \sim \chi^2_{(6)} \] \[ P(\chi^2_{(6)} \leq 12.5916) = 0.95 \] \[ \Rightarrow b = 12.5916 \]

Implementación R: qchisq(0.95, df=6)

🔬 Distribución de la Varianza Muestral

Teorema: Para muestra normal:

\[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n-1)} \]

Propiedad clave: \[\bar{Y}\] y \[S^2\] son independientes

🏭 Ejemplo 2: Muestreo de Varianzas

📊 Problema

\[n = 10\] botellas, \[\sigma = 1.0\]
Encontrar \[b_1, b_2\] tal que \[P(b_1 \leq S^2 \leq b_2) = 0.90\]
Usar: \[\frac{9S^2}{1} \sim \chi^2_{(9)}\]

🎯 Solución

Tabla \[\chi^2(9)\]: \[P(3.325 \leq \chi^2 \leq 16.919) = 0.90\]
\[b_1 = 3.325/9 = 0.369\]
\[b_2 = 16.919/9 = 1.880\]

📈 Ejemplo 3: Aplicación en Control de Calidad

Una fábrica produce piezas con diámetro que sigue una distribución normal con varianza \[\sigma^2 = 0.01 \text{ mm}^2\]. Se toma una muestra de \[n=15\] piezas cada hora. El proceso se detiene si la varianza muestral \[S^2\] supera 0.025 \[\text{ mm}^2\]. ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso innecesariamente?

Solución:

\[ P(S^2 > 0.025) = P\left(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} > \frac{14 \times 0.025}{0.01}\right) = P(\chi^2_{(14)} > 35) \] \[ P(\chi^2_{(14)} > 35) \approx 0.0015 \]

La probabilidad de una falsa alarma es solo del 0.15%.

Aquí tienes varios ejemplos similares sobre diferentes aplicaciones de la distribución chi-cuadrado:

📊 Ejemplo 1: Control de Variabilidad en Envasado

Una máquina envasadora de café debe llenar paquetes con varianza máxima de \[\sigma^2 = 4 \text{ g}^2\] en el peso. Se selecciona una muestra aleatoria de \[n=20\] paquetes y se encuentra una varianza muestral \[S^2 = 7.2 \text{ g}^2\]. ¿Existe evidencia suficiente para concluir que la variabilidad ha aumentado?

Solución:

\[ \chi^2_{\text{calc}} = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{19 \times 7.2}{4} = 34.2 \] \[ P(\chi^2_{(19)} > 34.2) \approx 0.018 \]

Con un valor p de 0.018, hay evidencia significativa de aumento en la variabilidad.

🏭 Ejemplo 2: Homogeneidad en Proceso Químico

Un proceso químico requiere que la concentración de un compuesto tenga varianza \[\sigma^2 = 0.5 \text{ (mg/L)}^2\]. Se toman \[n=25\] muestras y se obtiene una varianza muestral \[S^2 = 0.82 \text{ (mg/L)}^2\]. Calcular la probabilidad de obtener una varianza muestral tan alta o más si el proceso está bajo control.

Solución:

\[ P(S^2 > 0.82) = P\left(\chi^2_{(24)} > \frac{24 \times 0.82}{0.5}\right) = P(\chi^2_{(24)} > 39.36) \] \[ P(\chi^2_{(24)} > 39.36) \approx 0.025 \]

Hay un 2.5% de probabilidad de observar tal variabilidad por azar.

⚕️ Ejemplo 3: Precisión en Equipo Médico

Un glucómetro debe tener una varianza máxima de \[\sigma^2 = 0.04 \text{ (mg/dL)}^2\] en sus mediciones. En una prueba con \[n=12\] muestras de control, se obtiene \[S^2 = 0.07 \text{ (mg/dL)}^2\]. ¿Cuál es la probabilidad de que esta variabilidad se deba al azar?

Solución:

\[ P(S^2 > 0.07) = P\left(\chi^2_{(11)} > \frac{11 \times 0.07}{0.04}\right) = P(\chi^2_{(11)} > 19.25) \] \[ P(\chi^2_{(11)} > 19.25) \approx 0.056 \]

La probabilidad es del 5.6%, marginalmente significativa.

📏 Ejemplo 4: Control de Tolerancias Mecánicas

La longitud de ejes metálicos debe tener varianza \[\sigma^2 = 0.0025 \text{ mm}^2\]. Cada lote de \[n=30\] piezas se rechaza si la varianza muestral supera 0.004 mm². Determinar la probabilidad de rechazar incorrectamente un lote bueno.

Solución:

\[ P(S^2 > 0.004) = P\left(\chi^2_{(29)} > \frac{29 \times 0.004}{0.0025}\right) = P(\chi^2_{(29)} > 46.4) \] \[ P(\chi^2_{(29)} > 46.4) \approx 0.022 \]

El riesgo de error tipo I es del 2.2%.

🔬 Ejemplo 5: Consistencia en Laboratorio

Un laboratorio de calibración requiere que la varianza en mediciones de pH sea \[\sigma^2 = 0.01\]. En 16 mediciones de una solución estándar, se obtiene \[S^2 = 0.018\]. ¿Existe evidencia de excesiva variabilidad?

Solución:

\[ \chi^2_{\text{calc}} = \frac{15 \times 0.018}{0.01} = 27 \] \[ P(\chi^2_{(15)} > 27) \approx 0.029 \]

Con p = 0.029, se concluye que la variabilidad es significativamente mayor.

Aquí tienes cada ejercicio completo y por separado, con todo el código R necesario:

📊 EJERCICIO ORIGINAL: Control de Calidad

# ============================================================
# EJERCICIO ORIGINAL: Control de Calidad en Fábrica de Piezas
# ============================================================

# DATOS DEL PROBLEMA
# -----------------
# Una fábrica produce piezas con diámetro que sigue una distribución normal
# Varianza poblacional: σ² = 0.01 mm²
# Tamaño de muestra: n = 15 piezas cada hora
# El proceso se detiene si la varianza muestral S² supera 0.025 mm²
# ¿Probabilidad de detener el proceso innecesariamente?

# PASO 1: Definir los datos
sigma2 <- 0.01        # Varianza poblacional
n <- 15               # Tamaño de muestra
S2_limite <- 0.025    # Límite para detener el proceso
gl <- n - 1           # Grados de libertad = 14

# PASO 2: Calcular el estadístico chi-cuadrado
chi2_calc <- (n - 1) * S2_limite / sigma2
# Resultado: (14 * 0.025) / 0.01 = 35

# PASO 3: Calcular la probabilidad (valor p)
prob_error <- pchisq(chi2_calc, df = gl, lower.tail = FALSE)
# lower.tail = FALSE calcula P(X > valor)

# PASO 4: Mostrar resultados
cat("========================================\n")

## ========================================

cat("EJERCICIO ORIGINAL: Control de Calidad\n")

## EJERCICIO ORIGINAL: Control de Calidad

cat("========================================\n")

## ========================================

cat("Datos:\n")

## Datos:

cat("  Varianza poblacional (σ²):", sigma2, "mm²\n")

##   Varianza poblacional (σ²): 0.01 mm²

cat("  Tamaño de muestra (n):", n, "\n")

##   Tamaño de muestra (n): 15

cat("  Límite de varianza muestral:", S2_limite, "mm²\n")

##   Límite de varianza muestral: 0.025 mm²

cat("  Grados de libertad:", gl, "\n\n")

##   Grados de libertad: 14

cat("Cálculos:\n")

## Cálculos:

cat("  χ² = (n-1) × S² / σ² =", gl, "×", S2_limite, "/", sigma2, "=", chi2_calc, "\n")

##   χ² = (n-1) × S² / σ² = 14 × 0.025 / 0.01 = 35

cat("  P(χ²(14) >", chi2_calc, ") =", round(prob_error * 100, 4), "%\n\n")

##   P(χ²(14) > 35 ) = 0.147 %

cat("Resultado:\n")

## Resultado:

cat("  La probabilidad de una falsa alarma es del", 
    round(prob_error * 100, 3), "%\n")

##   La probabilidad de una falsa alarma es del 0.147 %

cat("  Es decir, solo el", round(prob_error * 100, 3), 
    "% de las veces se detendrá el proceso innecesariamente.\n\n")

##   Es decir, solo el 0.147 % de las veces se detendrá el proceso innecesariamente.

# PASO 5: VERIFICACIÓN CON TABLA
cat("Verificación con valores tabulados:\n")

## Verificación con valores tabulados:

cat("  Según tablas: P(χ²(14) > 35) ≈ 0.0015\n")

##   Según tablas: P(χ²(14) > 35) ≈ 0.0015

cat("  Cálculo exacto en R:", round(prob_error, 6), "\n")

##   Cálculo exacto en R: 0.00147

diferencia <- abs(0.0015 - prob_error)
cat("  Diferencia:", round(diferencia, 8), "\n\n")

##   Diferencia: 2.998e-05

# PASO 6: GRÁFICO DE LA DISTRIBUCIÓN
par(mfrow = c(1, 2))  # Dos gráficos: uno con región sombreada y otro con curva

# Gráfico 1: Distribución con región sombreada
x <- seq(0, 60, length.out = 500)
y <- dchisq(x, df = gl)

plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     main = paste("Distribución χ² con", gl, "grados de libertad"),
     xlab = "Valor chi-cuadrado", 
     ylab = "Densidad de probabilidad",
     cex.main = 1.1, cex.lab = 1)

# Sombreado de la región de rechazo (P(S² > 0.025))
x_rechazo <- seq(chi2_calc, 60, length.out = 100)
y_rechazo <- dchisq(x_rechazo, df = gl)
polygon(c(chi2_calc, x_rechazo, 60), 
        c(0, y_rechazo, 0), 
        col = rgb(1, 0, 0, 0.3), border = NA)

# Línea vertical en el valor crítico
abline(v = chi2_calc, col = "red", lwd = 2, lty = 2)

# Texto explicativo
text(45, 0.03, paste("P(χ² >", chi2_calc, ") =", 
                      round(prob_error, 4)), col = "red", cex = 1)
text(45, 0.025, paste("=", round(prob_error * 100, 2), "%"), 
     col = "red", cex = 1, font = 2)

# Leyenda
legend("topright", 
       legend = c("Distribución χ²", 
                  paste("Región de rechazo (", round(prob_error*100, 2), "%)"),
                  paste("Valor crítico =", chi2_calc)),
       col = c("blue", rgb(1, 0, 0, 0.3), "red"),
       lty = c(1, NA, 2), lwd = c(2, NA, 2),
       fill = c(NA, rgb(1, 0, 0, 0.3), NA),
       border = c(NA, NA, NA), bty = "n", cex = 0.8)

# Gráfico 2: Función de distribución acumulada
x <- seq(0, 60, length.out = 500)
y_acum <- pchisq(x, df = gl)

plot(x, y_acum, type = "l", lwd = 2, col = "darkgreen",
     main = "Función de Distribución Acumulada",
     xlab = "Valor chi-cuadrado", 
     ylab = "P(χ² ≤ x)",
     cex.main = 1.1, cex.lab = 1)

# Marcar el punto crítico
points(chi2_calc, pchisq(chi2_calc, gl), col = "red", pch = 19, cex = 1.5)
abline(v = chi2_calc, col = "red", lty = 2)
abline(h = pchisq(chi2_calc, gl), col = "red", lty = 2)

# Texto explicativo
text(chi2_calc + 5, 0.5, 
     paste("P(χ² ≤", chi2_calc, ") =", round(1 - prob_error, 4)), 
     col = "darkred", cex = 0.9)
text(chi2_calc + 5, 0.45, 
     paste("P(χ² >", chi2_calc, ") =", round(prob_error, 4)), 
     col = "red", cex = 0.9)

# PASO 7: INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA
cat("\n--- Intervalo de Confianza para la Varianza ---\n")

## 
## --- Intervalo de Confianza para la Varianza ---

cat("Si se observara S² =", S2_limite, ", el IC del 95% sería:\n")

## Si se observara S² = 0.025 , el IC del 95% sería:

chi2_inf <- qchisq(0.025, gl)   # Valor crítico inferior
chi2_sup <- qchisq(0.975, gl)   # Valor crítico superior

IC_inf <- (n-1) * S2_limite / chi2_sup
IC_sup <- (n-1) * S2_limite / chi2_inf

cat("  IC 95%: [", round(IC_inf, 5), ", ", round(IC_sup, 5), "] mm²\n")

##   IC 95%: [ 0.0134 ,  0.06218 ] mm²

cat("  ¿Incluye a σ² =", sigma2, "?", 
    ifelse(sigma2 >= IC_inf & sigma2 <= IC_sup, "SÍ", "NO"), "\n")

##   ¿Incluye a σ² = 0.01 ? NO

📊 EJERCICIO 1: Control de Variabilidad en Envasado

# ============================================================
# EJERCICIO 1: Control de Variabilidad en Envasado de Café
# ============================================================

# DATOS DEL PROBLEMA
# -----------------
# Máquina envasadora de café con varianza máxima σ² = 4 g²
# Muestra aleatoria de n = 20 paquetes
# Varianza muestral observada: S² = 7.2 g²
# ¿Existe evidencia de que la variabilidad ha aumentado?

# PASO 1: Definir los datos
sigma2 <- 4           # Varianza poblacional hipotética (bajo control)
n <- 20               # Tamaño de muestra
S2_obs <- 7.2         # Varianza muestral observada
gl <- n - 1           # Grados de libertad = 19

# PASO 2: Calcular el estadístico de prueba
chi2_calc <- (n - 1) * S2_obs / sigma2
# Resultado: (19 * 7.2) / 4 = 34.2

# PASO 3: Calcular el valor p (prueba de una cola)
p_valor <- pchisq(chi2_calc, df = gl, lower.tail = FALSE)

# PASO 4: Mostrar resultados detallados
cat("========================================\n")

## ========================================

cat("EJERCICIO 1: Control de Variabilidad en Envasado\n")

## EJERCICIO 1: Control de Variabilidad en Envasado

cat("========================================\n")

## ========================================

cat("PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:\n")

## PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

cat("  H₀: σ² = 4 g² (la variabilidad está bajo control)\n")

##   H₀: σ² = 4 g² (la variabilidad está bajo control)

cat("  H₁: σ² > 4 g² (la variabilidad ha aumentado)\n\n")

##   H₁: σ² > 4 g² (la variabilidad ha aumentado)

cat("DATOS:\n")

## DATOS:

cat("  Varianza poblacional hipotética (σ²):", sigma2, "g²\n")

##   Varianza poblacional hipotética (σ²): 4 g²

cat("  Tamaño de muestra (n):", n, "\n")

##   Tamaño de muestra (n): 20

cat("  Varianza muestral observada (S²):", S2_obs, "g²\n")

##   Varianza muestral observada (S²): 7.2 g²

cat("  Grados de libertad:", gl, "\n\n")

##   Grados de libertad: 19

cat("CÁLCULOS:\n")

## CÁLCULOS:

cat("  Estadístico de prueba:\n")

##   Estadístico de prueba:

cat("  χ² = (n-1) × S² / σ²\n")

##   χ² = (n-1) × S² / σ²

cat("  χ² =", gl, "×", S2_obs, "/", sigma2, "\n")

##   χ² = 19 × 7.2 / 4

cat("  χ² =", chi2_calc, "\n\n")

##   χ² = 34.2

cat("  Valor p:\n")

##   Valor p:

cat("  p = P(χ²(", gl, ") > ", chi2_calc, ")\n", sep="")

##   p = P(χ²(19) > 34.2)

cat("  p =", round(p_valor, 6), "\n")

##   p = 0.017404

cat("  p =", round(p_valor * 100, 2), "%\n\n")

##   p = 1.74 %

cat("CONCLUSIÓN:\n")

## CONCLUSIÓN:

alpha <- 0.05
cat("  Nivel de significación α =", alpha, "\n")

##   Nivel de significación α = 0.05

if(p_valor < alpha) {
    cat("  Como p =", round(p_valor, 4), "<", alpha, "\n")
    cat("  RECHAZAMOS H₀\n")
    cat("  → Existe evidencia significativa de que la variabilidad ha aumentado.\n")
} else {
    cat("  Como p =", round(p_valor, 4), "≥", alpha, "\n")
    cat("  NO RECHAZAMOS H₀\n")
    cat("  → No hay evidencia suficiente de aumento en la variabilidad.\n")
}

##   Como p = 0.0174 < 0.05 
##   RECHAZAMOS H₀
##   → Existe evidencia significativa de que la variabilidad ha aumentado.

# PASO 5: GRÁFICOS
par(mfrow = c(2, 2))  # 4 gráficos en una página

# Gráfico 1: Distribución chi-cuadrado con región crítica
x <- seq(0, 60, length.out = 500)
y <- dchisq(x, df = gl)

plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     main = paste("Distribución χ² con", gl, "gl"),
     xlab = "Valor chi-cuadrado", 
     ylab = "Densidad",
     sub = paste("χ² observado =", round(chi2_calc, 2)))

# Región de rechazo (valor p)
x_rechazo <- seq(chi2_calc, 60, length.out = 100)
y_rechazo <- dchisq(x_rechazo, df = gl)
polygon(c(chi2_calc, x_rechazo, 60), 
        c(0, y_rechazo, 0), 
        col = rgb(1, 0, 0, 0.3), border = NA)

abline(v = chi2_calc, col = "red", lwd = 2, lty = 2)
text(45, 0.03, paste("p =", round(p_valor, 4)), col = "red", cex = 1.2)

# Gráfico 2: Comparación con valor crítico (α = 0.05)
valor_critico <- qchisq(0.95, gl)

plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     main = paste("Comparación con α = 0.05"),
     xlab = "Valor chi-cuadrado", 
     ylab = "Densidad")

# Región crítica (α = 0.05)
x_crit <- seq(valor_critico, 60, length.out = 100)
y_crit <- dchisq(x_crit, df = gl)
polygon(c(valor_critico, x_crit, 60), 
        c(0, y_crit, 0), 
        col = rgb(1, 0.5, 0, 0.2), border = NA)

# Valor observado
abline(v = chi2_calc, col = "red", lwd = 2, lty = 2)
abline(v = valor_critico, col = "orange", lwd = 2, lty = 3)

legend("topright", 
       legend = c("Región crítica (α=0.05)", 
                  paste("χ² obs =", round(chi2_calc, 2)),
                  paste("χ² crítico =", round(valor_critico, 2))),
       col = c(rgb(1, 0.5, 0, 0.2), "red", "orange"),
       lty = c(NA, 2, 3), lwd = c(NA, 2, 2),
       fill = c(rgb(1, 0.5, 0, 0.2), NA, NA),
       border = NA, bty = "n", cex = 0.8)

# Gráfico 3: Función de potencia
gl_alt <- 5:40
potencia <- sapply(gl_alt, function(g) {
    pchisq(qchisq(0.95, gl), df = g, lower.tail = FALSE)
})

plot(gl_alt, potencia, type = "l", lwd = 2, col = "purple",
     main = "Función de Potencia",
     xlab = "Verdaderos grados de libertad", 
     ylab = "Potencia (1 - β)",
     ylim = c(0, 1))
abline(h = 0.05, lty = 2, col = "gray")
abline(v = gl, lty = 2, col = "red")
points(gl, 0.05, col = "red", pch = 19, cex = 1.5)

# Gráfico 4: Diagrama de caja de la distribución
set.seed(123)
muestras_chi2 <- rchisq(1000, gl)
boxplot(muestras_chi2, horizontal = TRUE,
        main = "Distribución de valores χ²",
        xlab = "Valores chi-cuadrado",
        col = "lightblue")
abline(v = chi2_calc, col = "red", lwd = 2, lty = 2)
abline(v = median(muestras_chi2), col = "blue", lwd = 2)
legend("bottomright", 
       legend = c("Mediana", "χ² observado"),
       col = c("blue", "red"), lty = c(1, 2), lwd = 2, cex = 0.8)

# PASO 6: ANÁLISIS ADICIONAL
cat("\n--- ANÁLISIS ADICIONAL ---\n")

## 
## --- ANÁLISIS ADICIONAL ---

cat("Intervalo de confianza del 95% para la varianza:\n")

## Intervalo de confianza del 95% para la varianza:

chi2_inf <- qchisq(0.025, gl)
chi2_sup <- qchisq(0.975, gl)
IC_inf <- gl * S2_obs / chi2_sup
IC_sup <- gl * S2_obs / chi2_inf
cat("  IC 95%: [", round(IC_inf, 3), ", ", round(IC_sup, 3), "] g²\n")

##   IC 95%: [ 4.164 ,  15.36 ] g²

cat("  El intervalo", ifelse(sigma2 >= IC_inf & sigma2 <= IC_sup, 
                             "SÍ", "NO"), "contiene a σ² =", sigma2, "\n")

##   El intervalo NO contiene a σ² = 4

cat("\nTamaño del efecto:\n")

## 
## Tamaño del efecto:

efecto <- S2_obs / sigma2
cat("  Razón de varianzas (S²/σ²):", round(efecto, 3), "\n")

##   Razón de varianzas (S²/σ²): 1.8

cat("  La varianza muestral es", round(efecto * 100, 1), 
    "% de la varianza poblacional hipotética\n")

##   La varianza muestral es 180 % de la varianza poblacional hipotética

📊 EJERCICIO 2: Homogeneidad en Proceso Químico

# ============================================================
# EJERCICIO 2: Homogeneidad en Proceso Químico
# ============================================================

# DATOS DEL PROBLEMA
# -----------------
# Proceso químico requiere varianza σ² = 0.5 (mg/L)²
# Muestra de n = 25 mediciones
# Varianza muestral observada: S² = 0.82 (mg/L)²
# Calcular probabilidad de obtener una varianza tan alta o más

# PASO 1: Definir los datos
sigma2 <- 0.5         # Varianza poblacional bajo control
n <- 25               # Tamaño de muestra
S2_obs <- 0.82        # Varianza muestral observada
gl <- n - 1           # Grados de libertad = 24

# PASO 2: Calcular estadístico
chi2_calc <- (n - 1) * S2_obs / sigma2

# PASO 3: Calcular probabilidad
probabilidad <- pchisq(chi2_calc, df = gl, lower.tail = FALSE)

# PASO 4: Resultados
cat("========================================\n")

## ========================================

cat("EJERCICIO 2: Homogeneidad en Proceso Químico\n")

## EJERCICIO 2: Homogeneidad en Proceso Químico

cat("========================================\n")

## ========================================

cat("ENUNCIADO:\n")

## ENUNCIADO:

cat("  Un proceso químico requiere que la concentración de un compuesto\n")

##   Un proceso químico requiere que la concentración de un compuesto

cat("  tenga varianza σ² = 0.5 (mg/L)². Se toman n = 25 muestras y se\n")

##   tenga varianza σ² = 0.5 (mg/L)². Se toman n = 25 muestras y se

cat("  obtiene una varianza muestral S² = 0.82 (mg/L)².\n")

##   obtiene una varianza muestral S² = 0.82 (mg/L)².

cat("  Calcular la probabilidad de obtener una varianza muestral tan\n")

##   Calcular la probabilidad de obtener una varianza muestral tan

cat("  alta o más si el proceso está bajo control.\n\n")

##   alta o más si el proceso está bajo control.

cat("DATOS:\n")

## DATOS:

cat("  σ² =", sigma2, "(mg/L)²\n")

##   σ² = 0.5 (mg/L)²

cat("  n =", n, "\n")

##   n = 25

cat("  S² =", S2_obs, "(mg/L)²\n")

##   S² = 0.82 (mg/L)²

cat("  gl =", gl, "\n\n")

##   gl = 24

cat("SOLUCIÓN:\n")

## SOLUCIÓN:

cat("  Paso 1: Calcular el estadístico chi-cuadrado\n")

##   Paso 1: Calcular el estadístico chi-cuadrado

cat("  χ² = (n-1) × S² / σ²\n")

##   χ² = (n-1) × S² / σ²

cat("  χ² =", gl, "×", S2_obs, "/", sigma2, "\n")

##   χ² = 24 × 0.82 / 0.5

cat("  χ² =", chi2_calc, "\n\n")

##   χ² = 39.36

cat("  Paso 2: Calcular la probabilidad\n")

##   Paso 2: Calcular la probabilidad

cat("  P(S² > 0.82) = P(χ²(", gl, ") > ", chi2_calc, ")\n", sep="")

##   P(S² > 0.82) = P(χ²(24) > 39.36)

cat("  =", round(probabilidad, 6), "\n")

##   = 0.025025

cat("  =", round(probabilidad * 100, 2), "%\n\n")

##   = 2.5 %

cat("RESPUESTA:\n")

## RESPUESTA:

cat("  La probabilidad de observar una varianza muestral tan alta o más\n")

##   La probabilidad de observar una varianza muestral tan alta o más

cat("  es del", round(probabilidad * 100, 2), "%.\n")

##   es del 2.5 %.

cat("  Esto significa que si el proceso está bajo control, solo en el\n")

##   Esto significa que si el proceso está bajo control, solo en el

cat("  ", round(probabilidad * 100, 2), "% de las muestras se observaría\n", sep="")

##   2.5% de las muestras se observaría

cat("  una variabilidad tan alta por puro azar.\n\n")

##   una variabilidad tan alta por puro azar.

# PASO 5: GRÁFICOS DETALLADOS
par(mfrow = c(2, 2))

# Gráfico 1: Densidad con área sombreada
x <- seq(0, 60, length.out = 500)
y <- dchisq(x, df = gl)

plot(x, y, type = "l", lwd = 2.5, col = "darkblue",
     main = paste("Distribución χ² con", gl, "gl"),
     xlab = "Valor chi-cuadrado", 
     ylab = "Densidad de probabilidad",
     cex.main = 1.2)

# Área de probabilidad
x_area <- seq(chi2_calc, 60, length.out = 100)
y_area <- dchisq(x_area, df = gl)
polygon(c(chi2_calc, x_area, 60), 
        c(0, y_area, 0), 
        col = rgb(0.8, 0.2, 0.2, 0.4), border = NA)

# Líneas y texto
abline(v = chi2_calc, col = "darkred", lwd = 2.5, lty = 2)
text(45, 0.025, paste("P =", round(probabilidad, 4)), 
     col = "darkred", cex = 1.3, font = 2)
text(45, 0.02, paste("(", round(probabilidad*100, 2), "%)", sep=""),
     col = "darkred", cex = 1.2)

# Gráfico 2: Comparación con diferentes niveles de significación
alfa_niveles <- c(0.10, 0.05, 0.01)
colores_alfa <- c("orange", "red", "darkred")

plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     main = "Comparación con niveles de significación",
     xlab = "Valor chi-cuadrado", ylab = "Densidad")

for(i in 1:length(alfa_niveles)) {
    valor_crit <- qchisq(1 - alfa_niveles[i], gl)
    abline(v = valor_crit, col = colores_alfa[i], lty = i+1, lwd = 1.5)
}
abline(v = chi2_calc, col = "black", lwd = 2, lty = 1)

legend("topright", 
       legend = c(paste("χ² obs =", round(chi2_calc, 2)),
                  paste("α = 0.10 (", round(qchisq(0.90, gl), 2), ")", sep=""),
                  paste("α = 0.05 (", round(qchisq(0.95, gl), 2), ")", sep=""),
                  paste("α = 0.01 (", round(qchisq(0.99, gl), 2), ")", sep="")),
       col = c("black", colores_alfa),
       lty = c(1, 2, 3, 4), lwd = c(2, 1.5, 1.5, 1.5),
       bty = "n", cex = 0.8)

# Gráfico 3: Histograma de simulación
set.seed(456)
sim_chi2 <- rchisq(10000, gl)
hist(sim_chi2, breaks = 30, probability = TRUE,
     main = "Simulación de 10000 valores χ²",
     xlab = "Valor chi-cuadrado",
     col = "lightblue", border = "white")
lines(x, y, col = "blue", lwd = 2.5)
abline(v = chi2_calc, col = "red", lwd = 2.5, lty = 2)

# Añadir la probabilidad empírica
prob_empirica <- mean(sim_chi2 > chi2_calc)
text(45, 0.03, paste("Probabilidad empírica:", 
                     round(prob_empirica, 4)), cex = 0.9)
text(45, 0.025, paste("Probabilidad teórica:", 
                     round(probabilidad, 4)), cex = 0.9)

# Gráfico 4: QQ-plot de la simulación
qqplot(qchisq(ppoints(500), gl), sim_chi2[1:500],
       main = "QQ-plot de valores simulados",
       xlab = "Cuantiles teóricos", 
       ylab = "Cuantiles simulados",
       col = rgb(0, 0, 1, 0.5), pch = 19, cex = 0.5)
abline(0, 1, col = "red", lwd = 2)

# PASO 6: CÁLCULOS ADICIONALES
cat("--- ANÁLISIS COMPLEMENTARIO ---\n")

## --- ANÁLISIS COMPLEMENTARIO ---

cat("Valores críticos para diferentes niveles:\n")

## Valores críticos para diferentes niveles:

cat("  Para α = 0.10: χ² =", round(qchisq(0.90, gl), 3), "\n")

##   Para α = 0.10: χ² = 33.196

cat("  Para α = 0.05: χ² =", round(qchisq(0.95, gl), 3), "\n")

##   Para α = 0.05: χ² = 36.415

cat("  Para α = 0.01: χ² =", round(qchisq(0.99, gl), 3), "\n\n")

##   Para α = 0.01: χ² = 42.98

cat("Comparación con valores tipificados:\n")

## Comparación con valores tipificados:

cat("  El valor observado", round(chi2_calc, 2), "supera al:\n")

##   El valor observado 39.36 supera al:

cat("  - Percentil 90:", ifelse(chi2_calc > qchisq(0.90, gl), "SÍ", "NO"), "\n")

##   - Percentil 90: SÍ

cat("  - Percentil 95:", ifelse(chi2_calc > qchisq(0.95, gl), "SÍ", "NO"), "\n")

##   - Percentil 95: SÍ

cat("  - Percentil 99:", ifelse(chi2_calc > qchisq(0.99, gl), "SÍ", "NO"), "\n")

##   - Percentil 99: NO

📊 EJERCICIO 3: Precisión en Equipo Médico

# ============================================================
# EJERCICIO 3: Precisión en Equipo Médico (Glucómetro)
# ============================================================

# DATOS DEL PROBLEMA
# -----------------
# Glucómetro debe tener varianza máxima σ² = 0.04 (mg/dL)²
# Prueba con n = 12 muestras de control
# Varianza muestral obtenida: S² = 0.07 (mg/dL)²
# ¿Probabilidad de que esta variabilidad se deba al azar?

# PASO 1: Definir datos
sigma2 <- 0.04        # Varianza máxima permitida
n <- 12               # Tamaño de muestra
S2_obs <- 0.07        # Varianza observada
gl <- n - 1           # Grados de libertad = 11

# PASO 2: Calcular estadístico
chi2_calc <- (n - 1) * S2_obs / sigma2

# PASO 3: Calcular probabilidad
probabilidad <- pchisq(chi2_calc, df = gl, lower.tail = FALSE)

# PASO 4: Mostrar resultados
cat("========================================\n")

## ========================================

cat("EJERCICIO 3: Precisión en Equipo Médico (Glucómetro)\n")

## EJERCICIO 3: Precisión en Equipo Médico (Glucómetro)

cat("========================================\n")

## ========================================

cat("CONTEXTO CLÍNICO:\n")

## CONTEXTO CLÍNICO:

cat("  Un glucómetro es un dispositivo para medir glucosa en sangre.\n")

##   Un glucómetro es un dispositivo para medir glucosa en sangre.

cat("  La precisión es crucial para el diagnóstico y tratamiento de diabetes.\n")

##   La precisión es crucial para el diagnóstico y tratamiento de diabetes.

cat("  La varianza máxima aceptable es σ² = 0.04 (mg/dL)².\n\n")

##   La varianza máxima aceptable es σ² = 0.04 (mg/dL)².

cat("DATOS DEL ESTUDIO:\n")

## DATOS DEL ESTUDIO:

cat("  Número de muestras de control (n):", n, "\n")

##   Número de muestras de control (n): 12

cat("  Varianza muestral observada (S²):", S2_obs, "(mg/dL)²\n")

##   Varianza muestral observada (S²): 0.07 (mg/dL)²

cat("  Varianza poblacional hipotética (σ²):", sigma2, "(mg/dL)²\n")

##   Varianza poblacional hipotética (σ²): 0.04 (mg/dL)²

cat("  Grados de libertad (gl):", gl, "\n\n")

##   Grados de libertad (gl): 11

cat("CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD:\n")

## CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD:

cat("  Bajo la hipótesis de que el glucómetro funciona correctamente,\n")

##   Bajo la hipótesis de que el glucómetro funciona correctamente,

cat("  el estadístico sigue una distribución chi-cuadrado con", gl, "gl.\n\n")

##   el estadístico sigue una distribución chi-cuadrado con 11 gl.

cat("  χ²_calc = (n-1) × S² / σ²\n")

##   χ²_calc = (n-1) × S² / σ²

cat("          =", gl, "×", S2_obs, "/", sigma2, "\n")

##           = 11 × 0.07 / 0.04

cat("          =", chi2_calc, "\n\n")

##           = 19.25

cat("  P(S² > 0.07) = P(χ²(", gl, ") > ", chi2_calc, ")\n", sep="")

##   P(S² > 0.07) = P(χ²(11) > 19.25)

cat("                =", round(probabilidad, 6), "\n")

##                 = 0.056751

cat("                =", round(probabilidad * 100, 2), "%\n\n")

##                 = 5.68 %

cat("INTERPRETACIÓN CLÍNICA:\n")

## INTERPRETACIÓN CLÍNICA:

cat("  Si el glucómetro está funcionando correctamente (σ² = 0.04),\n")

##   Si el glucómetro está funcionando correctamente (σ² = 0.04),

cat("  la probabilidad de observar una variabilidad tan alta como\n")

##   la probabilidad de observar una variabilidad tan alta como

cat("  S² = 0.07 por puro azar es del", round(probabilidad * 100, 2), "%.\n\n")

##   S² = 0.07 por puro azar es del 5.68 %.

cat("CONCLUSIÓN PARA EL PERSONAL MÉDICO:\n")

## CONCLUSIÓN PARA EL PERSONAL MÉDICO:

if(probabilidad < 0.05) {
    cat("  🚨 La probabilidad es menor al 5%.\n")
    cat("  → Existe evidencia significativa de que el glucómetro\n")
    cat("     tiene una variabilidad mayor a la aceptable.\n")
    cat("  → Se recomienda calibrar o reemplazar el equipo.\n")
} else if(probabilidad < 0.10) {
    cat("  ⚠️ La probabilidad es entre 5% y 10%.\n")
    cat("  → Hay evidencia marginal de problemas de precisión.\n")
    cat("  → Se recomienda realizar más pruebas de control.\n")
} else {
    cat("  ✅ La probabilidad es mayor al 10%.\n")
    cat("  → No hay evidencia suficiente para concluir que\n")
    cat("     el glucómetro tiene problemas de precisión.\n")
    cat("  → La variabilidad observada puede deberse al azar.\n")
}

##   ⚠️ La probabilidad es entre 5% y 10%.
##   → Hay evidencia marginal de problemas de precisión.
##   → Se recomienda realizar más pruebas de control.

# PASO 5: GRÁFICOS ESPECIALIZADOS PARA ÁMBITO MÉDICO
par(mfrow = c(2, 2))

# Gráfico 1: Distribución con interpretación médica
x <- seq(0, 35, length.out = 500)
y <- dchisq(x, df = gl)

plot(x, y, type = "l", lwd = 3, col = "darkblue",
     main = "Control de Calidad de Glucómetro",
     xlab = "Valor chi-cuadrado", 
     ylab = "Densidad",
     sub = paste("gl =", gl, "| χ² observado =", round(chi2_calc, 2)))

# Área de probabilidad
x_area <- seq(chi2_calc, 35, length.out = 100)
y_area <- dchisq(x_area, df = gl)
polygon(c(chi2_calc, x_area, 35), 
        c(0, y_area, 0), 
        col = rgb(0.8, 0, 0, 0.3), border = NA)

abline(v = chi2_calc, col = "red", lwd = 2.5, lty = 2)

# Añadir interpretación médica
if(probabilidad < 0.05) {
    text(25, 0.06, "⚠️ ZONA DE ALERTA", col = "red", cex = 1.3, font = 2)
    text(25, 0.05, paste("p =", round(probabilidad, 4)), 
         col = "red", cex = 1.2)
} else {
    text(25, 0.06, "✅ ZONA ACEPTABLE", col = "darkgreen", cex = 1.3, font = 2)
    text(25, 0.05, paste("p =", round(probabilidad, 4)), 
         col = "darkgreen", cex = 1.2)
}

# Gráfico 2: Regiones de decisión clínica
valores_criticos <- c(
  "Precisión excelente" = qchisq(0.5, gl),
  "Límite de alerta (90%)" = qchisq(0.90, gl),
  "Límite de acción (95%)" = qchisq(0.95, gl),
  "Límite crítico (99%)" = qchisq(0.99, gl)
)

plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     main = "Regiones de Decisión Clínica",
     xlab = "Valor chi-cuadrado", ylab = "Densidad")

colores_reg <- c("green", "yellow", "orange", "red")
for(i in 1:length(valores_criticos)) {
    abline(v = valores_criticos[i], col = colores_reg[i], 
           lwd = 2, lty = i)
}
abline(v = chi2_calc, col = "black", lwd = 3, lty = 1)

legend("topright", 
       legend = c("χ² observado", names(valores_criticos)),
       col = c("black", colores_reg),
       lty = c(1, 1:4), lwd = c(3, rep(2, 4)),
       bty = "n", cex = 0.7)

# Gráfico 3: Simulación de controles de calidad mensuales
set.seed(789)
meses <- 1:24
simulaciones <- matrix(rchisq(24 * 100, gl), ncol = 24)

🧪 Ejemplo 4: Intervalo de Confianza para la Varianza

Una muestra de \[n=20\] mediciones de una prueba de laboratorio tiene varianza muestral \[s^2 = 4.5\]. Construir un intervalo de confianza del 95% para la varianza poblacional \[\sigma^2\].

\[ \left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1, \alpha/2}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1, 1-\alpha/2}}\right) \] \[ \chi^2_{19, 0.025} = 8.907, \quad \chi^2_{19, 0.975} = 32.852 \] \[ \left(\frac{19 \times 4.5}{32.852}, \frac{19 \times 4.5}{8.907}\right) = (2.60, 9.60) \]

Con un 95% de confianza, la varianza poblacional está entre 2.60 y 9.60.

📏 Ejemplo 5: Prueba de Hipótesis para la Varianza

Un fabricante de baterías afirma que la variabilidad en la duración de sus baterías tiene una desviación estándar de \[\sigma = 5\] horas. Se toma una muestra de \[n = 16\] baterías y se obtiene una desviación estándar muestral de \[s = 6.5\] horas. ¿Hay evidencia suficiente para concluir que la variabilidad es mayor que la afirmada? Use \[\alpha = 0.05\].

Solución:

1. Hipótesis: \[H_0: \sigma^2 = 25\] vs \[H_1: \sigma^2 > 25\]

2. Estadístico de prueba: \[\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{15 \times 42.25}{25} = 25.35\]

3. Valor crítico: \[\chi^2_{15, 0.05} = 24.996\]

4. Decisión: Como \[25.35 > 24.996\], se rechaza \[H_0\].

5. Conclusión: Hay evidencia suficiente para concluir que la variabilidad es mayor que la afirmada.

9.2. Encontrar el valor crítico b usando la distribución chi-cuadrado - Usando R

## [1] "El valor de b tal que P(∑Z_i² ≤ b) = 0.95 es: 12.5916"

9.3. Encontrar los valores críticos de la distribución chi-cuadrado - Usando R

## [1] "El valor de b1 es: 0.3695"

## [1] "El valor de b2 es: 1.8799"

## [1] "Valores chi-cuadrado: inferior = 3.3251 , superior = 16.919"

9.4. Simulación de la distribución de la varianza muestral - Usando R

## 
## --- Verificación de propiedades ---

## Media teórica de S²: 4

## Media simulada de S²: 4.004122

## Varianza teórica de S²: 3.555556

## Varianza simulada de S²: 3.569374

9.5. Simulación de la distribución de la vaIntervalo de confianza para la varianza - Usando R

## --- Intervalo de confianza para la varianza ---

## Varianza muestral: 6.701

## Intervalo del 95 %: [ 3.8755 , 14.2951 ]

## Varianza real: 5

## ¿Contiene al valor real? TRUE

9.6. Prueba de hipótesis para la varianza - Usando R

## --- Prueba de hipótesis para la varianza ---

## H0: σ² = 4 vs H1: σ² > 4

## Varianza muestral: 3.4237

## Estadístico de prueba χ² = 20.5424

## Grados de libertad: 24

## Valor crítico (α=0.05): 36.415

## p-valor: 0.665551

## Decisión: No rechazar H0

9.7. Aplicaciones en la vida real de la distribución chi-cuadrado y la varianza muestral

🏭 1. Control de Calidad en Manufactura

En líneas de producción, la varianza muestral se utiliza para monitorear la consistencia de procesos. Por ejemplo, en la fabricación de medicamentos, la concentración del principio activo debe tener baja variabilidad para garantizar dosis consistentes.

📊 2. Finanzas y Evaluación de Riesgos

La varianza de los rendimientos de activos financieros (volatilidad) es crucial para la gestión de riesgos. Los intervalos de confianza para la varianza ayudan a determinar si la volatilidad de un activo ha cambiado significativamente.

🔬 3. Investigación Científica

En experimentos científicos, la homogeneidad de varianzas entre grupos es un supuesto clave para ANOVA. La prueba de Bartlett, basada en la distribución chi-cuadrado, verifica este supuesto.

📈 4. Estudios de Confiabilidad

En pruebas de vida útil de productos, la variabilidad en el tiempo hasta fallo es fundamental. Los intervalos de confianza para la varianza ayudan a establecer garantías realistas.

🌡️ 5. Metrología y Calibración

En laboratorios de calibración, la repetibilidad (varianza de mediciones repetidas) determina la incertidumbre de los instrumentos de medida.

🧪 6. Bioestadística y Ensayos Clínicos

En estudios clínicos, la variabilidad en la respuesta a un tratamiento es tan importante como la respuesta promedio. La prueba de hipótesis para la varianza permite comparar la consistencia de diferentes tratamientos.

Resumen de propiedades clave

Propiedad	Fórmula	Aplicación
Relación con chi-cuadrado	\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n-1)}\]	Base para inferencia sobre varianza
Esperanza de S²	\[E[S^2] = \sigma^2\]	S² es un estimador insesgado
Varianza de S²	\[Var[S^2] = \frac{2\sigma^4}{n-1}\]	Precisión del estimador
Intervalo de confianza	\[\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{sup}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{inf}}\right)\]	Estimación por intervalo
Prueba de hipótesis	\[\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\]	Contraste de hipótesis

La distribución chi-cuadrado es fundamental para la inferencia sobre varianzas en poblaciones normales, permitiendo construir intervalos de confianza y realizar pruebas de hipótesis sobre la variabilidad de procesos y mediciones. La correcta comprensión de esta distribución es esencial en campos como la industria, la investigación científica y el control de calidad.

📈 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN: TEORÍA Y APLICACIONES

Comportamiento estadístico de proporciones muestrales en inferencia paramétrica

🎯 FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

📊 Definición y Notación

Proporción Poblacional (parámetro):
p = éxitos / N (población)
q = 1 - p (fracasos)

Proporción Muestral (estadístico):
p̂ = X / n
Donde:
• X = número de éxitos en muestra
• n = tamaño muestral

Distribución Muestral:
Es la distribución de probabilidad de todas las proporciones muestrales posibles p̂ de tamaño n.

📐 Parámetros de la Distribución

Media (valor esperado):
μ_p̂ = E(p̂) = p

Varianza:
σ²_p̂ = Var(p̂) = p(1-p)/n
= pq/n

Error estándar:
σ_p̂ = √[p(1-p)/n]
= √(pq/n)

Para población finita (N):
Factor corrección: √[(N-n)/(N-1)]

📈 10.2. APROXIMACIÓN NORMAL PARA MUESTRAS GRANDES

🎯 Condiciones de Aplicabilidad

Regla general (más usada):
np ≥ 10 y n(1-p) ≥ 10

Regla más conservadora:
np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5

Interpretación:
• np = número esperado de éxitos
• n(1-p) = número esperado de fracasos

Si se cumplen condiciones:
p̂ ∼ N(p, pq/n) aproximadamente
Z = (p̂ - p)/√(pq/n) ∼ N(0,1)

📊 Propiedades para Muestras Grandes

Características clave:
1. Normalidad: Aproximación normal buena
2. Media: μ_p̂ = p (insesgado)
3. Error estándar: σ_p̂ = √(pq/n)
4. Simetría: Mejor si p ≈ 0.5

Intervalo de confianza aproximado:
p̂ ± z_α/2√[p̂(1-p̂)/n]

Más preciso:
p̂ ± z_α/2√[p̂(1-p̂)/n + z²_α/2/(4n²)]

🎯 10.3 EJEMPLOS PARA MUESTRAS GRANDES (np ≥ 10, n(1-p) ≥ 10)

🗳️ Ejemplo 1: Intención de Voto

Contexto:
Encuesta preelectoral. Se estima p = 0.45 (45% votaría por candidato A).

Problema:
n = 400 votantes:
• ¿Distribución de p̂?
• P(p̂ > 0.48) = ?

Verificación:
np = 400×0.45 = 180 ≥ 10 ✓
n(1-p) = 400×0.55 = 220 ≥ 10 ✓

Solución:
σ_p̂ = √[0.45×0.55/400] = 0.0249
Z = (0.48-0.45)/0.0249 = 1.205
P(Z > 1.205) = 0.1141

🏭 Ejemplo 2: Defectos en Producción

Contexto:
Línea producción, tasa defectos histórica p = 0.02.

Problema:
n = 600 productos:
• Error estándar de p̂?
• P(p̂ < 0.015)?

Verificación:
np = 600×0.02 = 12 ≥ 10 ✓
n(1-p) = 600×0.98 = 588 ≥ 10 ✓

Solución:
σ_p̂ = √[0.02×0.98/600] = 0.0057
Z = (0.015-0.02)/0.0057 = -0.877
P(Z < -0.877) = 0.1902

🎓 Ejemplo 3: Aprobación Curso

Contexto:
Universidad, proporción que aprueba cálculo p = 0.70.

Problema:
Muestras n = 250 estudiantes:
• IC 95% para p̂?
• Tamaño efecto?

Verificación:
np = 250×0.70 = 175 ≥ 10 ✓
n(1-p) = 250×0.30 = 75 ≥ 10 ✓

Solución:
σ_p̂ = √[0.70×0.30/250] = 0.0290
IC 95%: 0.70 ± 1.96×0.0290
= [0.643, 0.757]

📊 10.4. DISTRIBUCIÓN EXACTA: BINOMIAL Y ALTERNATIVAS PARA MUESTRAS PEQUEÑAS

📐 Distribución Binomial Exacta

Cuando NO se cumplen np ≥ 10 y n(1-p) ≥ 10:
• Usar distribución binomial exacta
• X ∼ Binomial(n, p)
• p̂ = X/n

Probabilidad exacta:
P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}

Cuando usar:
1. n pequeño
2. p muy cercano a 0 o 1
3. np < 10 o n(1-p) < 10

Ejemplo: n=15, p=0.1 → np=1.5 (<10)

📈 Métodos Alternativos para Muestras Pequeñas

Intervalo de confianza exacto (Clopper-Pearson):
Usa distribución binomial
Más conservador
Adecuado para n pequeños

Intervalo de Wilson:
$\frac{\hat{p} + \frac{z^2}{2n} \pm z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \frac{z^2}{4n^2}}}{1 + \frac{z^2}{n}}$
Mejor para p cercano a 0 o 1

Intervalo de Jeffreys:
Basado en distribución Beta
Bayesiano no informativo
Buenas propiedades frecuentistas

🎯 10.5. EJEMPLOS PARA MUESTRAS PEQUEÑAS (np < 10 o n(1-p) < 10)

💊 Ejemplo 1: Efecto Secundario Raro

Contexto:
Medicamento, efecto secundario grave p = 0.005.

Problema:
Estudio con n = 100 pacientes:
• np = 100×0.005 = 0.5 (<10)
• n(1-p) = 99.5 (>10)
• Usar binomial exacta

Solución exacta:
P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1)
= 1 - [P(X=0) + P(X=1)]
= 1 - [C(100,0)(0.995)^100 + C(100,1)(0.005)(0.995)^99]
= 1 - [0.6058 + 0.3044] = 0.0898

🏭 Ejemplo 2: Defectos Muy Raros

Contexto:
Proceso alta calidad, p(defecto) = 0.001.

Problema:
Control calidad n = 50 unidades:
• np = 0.05 (<10)
• Usar Poisson como aproximación

Solución Poisson:
λ = np = 0.05
P(X ≥ 1) = 1 - P(X=0)
= 1 - e^{-0.05}
= 1 - 0.9512 = 0.0488

Exacta binomial:
P(X ≥ 1) = 1 - (0.999)^50 = 0.0488

📱 Ejemplo 3: Encuesta Piloto

Contexto:
Encuesta piloto nueva app.
n = 20 usuarios, 3 la recomiendan.

Problema:
p̂ = 3/20 = 0.15
• IC 95% exacto (Clopper-Pearson)
• Comparar con normal aproximado

Solución exacta:
Usando binomial:
Límite inferior: 0.032
Límite superior: 0.379
IC exacto: [0.032, 0.379]

Aproximado normal:
[0.015, 0.285] (subestima)

📊 10.6 COMPARACIÓN: MUESTRAS GRANDES vs PEQUEÑAS PARA PROPORCIONES

📈 Muestras Grandes (np ≥ 10, n(1-p) ≥ 10)

Condición: np ≥ 10 y n(1-p) ≥ 10
Distribución: Aproximación normal
Error estándar: √[p̂(1-p̂)/n]
Estadístico: Z = (p̂-p)/√[p(1-p)/n]
Intervalo: p̂ ± z√[p̂(1-p̂)/n]
Ventaja: Simple, ampliamente usado
Desventaja: Pobre si p cerca de 0 o 1

📉 Muestras Pequeñas (np < 10 o n(1-p) < 10)

Condición: np < 10 o n(1-p) < 10
Distribución: Binomial exacta
Método: Cálculo directo binomial
Intervalo: Clopper-Pearson, Wilson, Jeffreys
Ventaja: Exacto, buen para p extremos
Desventaja: Cálculos complejos
Alternativa: Aproximación Poisson si p muy pequeño

📋 Tabla Comparativa: Métodos para Intervalos de Confianza

Método	Fórmula	Ventajas	Cuándo usar
Wald (Normal)	p̂ ± z√[p̂(1-p̂)/n]	Sencillo	n grande, p moderado
Wilson	(p̂+z²/(2n)±z√[·])/(1+z²/n)	Mejor para p extremos	Cualquier n, p
Clopper-Pearson	Exacto binomial	Conservador	n pequeño
Agresti-Coull	p̃ ± z√[p̃(1-p̃)/ñ]	Buen balance	Propósito general

11. EJEMPLOS INTEGRADORES - AMBAS SITUACIONES

🎯 11.1. EJEMPLOS INTEGRADORES - AMBAS SITUACIONES

🗳️ Ejemplo Integrador 1: Referéndum

Contexto:
Referéndum, se espera p = 0.52 a favor.

Parte A (encuesta grande):
n = 1000 encuestados:
np = 520 ≥ 10 ✓
n(1-p) = 480 ≥ 10 ✓
• Usar aproximación normal
σ_p̂ = √[0.52×0.48/1000] = 0.0158
IC 95%: 0.52 ± 1.96×0.0158 = [0.489, 0.551]

Parte B (sondeo pequeño):
n = 50, p̂ = 0.60:
np̂ = 30 ≥ 10 ✓
n(1-p̂) = 20 ≥ 10 ✓
• Podría usar normal
• Pero mejor Wilson por n pequeño

🏭 Ejemplo Integrador 2: Control Calidad

Contexto:
Fábrica, defectos históricos p = 0.01.

Caso 1 (lote grande):
n = 500 unidades:
np = 5 (<10!)
n(1-p) = 495 ≥ 10
• np < 10 → usar binomial exacta
• O Poisson: λ = 5

Caso 2 (lote muy grande):
n = 2000 unidades:
np = 20 ≥ 10 ✓
n(1-p) = 1980 ≥ 10 ✓
• Usar aproximación normal
σ_p̂ = √[0.01×0.99/2000] = 0.0022
P(p̂ > 0.012) = P(Z > 0.91) = 0.1814

💊 Ejemplo Integrador 3: Estudio Clínico

Contexto:
Nuevo tratamiento, éxito esperado p = 0.85.

Fase I (n pequeño):
n = 20 pacientes, 18 éxitos:
p̂ = 0.90
np̂ = 18 ≥ 10 ✓
n(1-p̂) = 2 (<10!)
• Usar método exacto
• Clopper-Pearson IC 95%: [0.683, 0.988]

Fase III (n grande):
n = 300 pacientes, 255 éxitos:
p̂ = 0.85
np̂ = 255 ≥ 10 ✓
n(1-p̂) = 45 ≥ 10 ✓
• Usar normal
IC 95%: = [0.807, 0.893]
Precisión mejorada con n grande

📊 Tabla de Comparación General

Aspecto	Muestras Grandes	Muestras Pequeñas	Recomendación
Condición	np ≥ 10 y n(1-p) ≥ 10	np < 10 o n(1-p) < 10	Verificar siempre
Distribución	Normal aproximada	Binomial exacta	Usar la apropiada
Error estándar	√[p̂(1-p̂)/n]	No aplica directamente	Cuidado con p extremos
Intervalo confianza	Wald, Agresti-Coull	Clopper-Pearson, Wilson	Wilson para general
Precisión	Buena, mejora con √n	Limitada, intervalos amplios	Mayor n para más precisión
Aplicaciones	Encuestas, control calidad	Estudios piloto, eventos raros	Contexto determina método

11.2 RESUMEN Y CONCLUSIONES FINALES

📚 RESUMEN Y CONCLUSIONES FINALES

🎯 Puntos Clave Teóricos

1. Propiedades de p̂:
• Media: E(p̂) = p (insesgado)
• Varianza: Var(p̂) = p(1-p)/n
• Error estándar: σ_p̂ = √[p(1-p)/n]

2. Condiciones aproximación normal:
• np ≥ 10 y n(1-p) ≥ 10 (estándar)
• Más conservador: np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5
• p̂ ∼ N(p, p(1-p)/n) aproximadamente

3. Métodos intervalos confianza:
• Wald: simple pero pobre para p extremos
• Wilson: recomendado para uso general
• Clopper-Pearson: exacto pero conservador
• Agresti-Coull: buen balance

4. Para población finita:
Factor corrección: √[(N-n)/(N-1)]

🏭 Recomendaciones Prácticas

Para investigación aplicada:
1. Verificar condiciones: Siempre calcular np y n(1-p)
2. Elegir método apropiado:
• np ≥ 10: usar aproximación normal
• np < 10: usar métodos exactos
3. Reportar claramente:
• Tamaño muestral n
• Proporción observada p̂
• Método usado para inferencia
• Condiciones verificadas

Para diseño de estudios:
• Calcular tamaño muestral necesario
• Considerar p esperada y precisión deseada
• Planificar para análisis apropiado
• Considerar métodos robustos (Wilson)

Errores comunes a evitar:
• Usar Wald cuando p cerca de 0 o 1
• Ignorar condiciones np ≥ 10
• No reportar método estadístico
• Interpretar p como probabilidad exacta

💡 Flujograma de Decisión para Análisis de Proporciones

Paso 1

Calcular
np y n(1-p)

Paso 2

np ≥ 10 y
n(1-p) ≥ 10?

Paso 3

Elegir método
apropiado

Usar métodos normales
• Wald
• Agresti-Coull
• Wilson (recomendado)

Usar métodos exactos
• Clopper-Pearson
• Wilson
• Binomial exacta

📈 Importancia en Investigación y Toma de Decisiones

En ciencias sociales:
• Encuestas de opinión pública
• Estudios de mercado
• Investigación educativa
• Análisis de preferencias

En medicina y salud:
• Tasas de éxito tratamiento
• Prevalencia enfermedades
• Efectos secundarios
• Estudios epidemiológicos

En ingeniería y calidad:
• Tasa de defectos
• Control de procesos
• Fiabilidad sistemas
• Mejora continua

11.3 CÓDIGO R: DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN

💻 CÓDIGO R: DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN

📊 Ejemplo 1: Muestras Grandes - Aproximación Normal

# ======================================================
# 11.3.1. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN EN R
# ======================================================

# ------------------------------------------------------
# 1. EJEMPLO DE MUESTRAS GRANDES - INTENCIÓN DE VOTO
# ------------------------------------------------------

# Parámetros del problema
p_poblacional <- 0.45  # Proporción poblacional
n <- 400                # Tamaño muestral

# Verificar condiciones para aproximación normal
cat("=== VERIFICACIÓN DE CONDICIONES ===\n")
np <- n * p_poblacional
nq <- n * (1 - p_poblacional)
cat("np =", np, "\n")
cat("n(1-p) =", nq, "\n")

if(np >= 10 & nq >= 10) {
  cat("✓ Condiciones cumplidas: se puede usar aproximación normal\n\n")
} else {
  cat("✗ Condiciones NO cumplidas: usar métodos exactos\n\n")
}

# Calcular error estándar
error_estandar <- sqrt(p_poblacional * (1 - p_poblacional) / n)
cat("Error estándar de p̂ =", round(error_estandar, 4), "\n\n")

# Calcular P(p̂ > 0.48)
p_limite <- 0.48
z <- (p_limite - p_poblacional) / error_estandar
probabilidad <- 1 - pnorm(z)
cat("=== CÁLCULO DE PROBABILIDAD ===\n")
cat("Z =", round(z, 3), "\n")
cat("P(p̂ >", p_limite, ") = P(Z >", round(z, 3), ") =", round(probabilidad, 4), "\n\n")

# Visualización de la distribución muestral
x <- seq(p_poblacional - 4*error_estandar, 
         p_poblacional + 4*error_estandar, 
         length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = p_poblacional, sd = error_estandar)

# Crear gráfico
par(mar = c(5, 4, 4, 2) + 0.1)
plot(x, y, type = "l", lwd = 3, col = "#9B59B6",
     main = "Distribución Muestral de la Proporción (n=400, p=0.45)",
     xlab = "Proporción muestral (p̂)", 
     ylab = "Densidad",
     cex.main = 1.2, cex.lab = 1.1)

# Añadir línea vertical en el valor límite
abline(v = p_limite, col = "#E74C3C", lty = 2, lwd = 2.5)

# Sombrear área P(p̂ > 0.48)
x_shade <- seq(p_limite, p_poblacional + 4*error_estandar, length.out = 500)
y_shade <- dnorm(x_shade, mean = p_poblacional, sd = error_estandar)
polygon(c(p_limite, x_shade, max(x_shade)), 
        c(0, y_shade, 0), 
        col = rgb(155, 89, 182, 100, maxColorValue = 255), 
        border = NA)

# Añadir leyenda
legend("topright", 
       legend = c("Distribución de p̂", 
                  paste("P(p̂ >", p_limite, ") =", round(probabilidad, 3)),
                  paste("p̂ =", p_limite)),
       col = c("#9B59B6", rgb(155, 89, 182, 100, maxColorValue = 255), "#E74C3C"),
       lwd = c(3, NA, 2.5),
       lty = c(1, NA, 2),
       fill = c(NA, rgb(155, 89, 182, 100, maxColorValue = 255), NA),
       border = NA,
       bty = "n")

11.3.2. Usando R

## === VERIFICACIÓN DE CONDICIONES ===

## np = 180

## n(1-p) = 220

## ✓ Condiciones cumplidas: se puede usar aproximación normal

## Error estándar de p̂ = 0.0249

## === CÁLCULO DE PROBABILIDAD ===

## Z = 1.206

## P(p̂ > 0.48 ) = P(Z > 1.206 ) = 0.1139

📊 Ejemplo 2: Muestras Pequeñas - Métodos Exactos

# ------------------------------------------------------
# 11.4. EJEMPLO DE MUESTRAS PEQUEÑAS - EFECTO SECUNDARIO
# ------------------------------------------------------

# Parámetros
p_poblacional <- 0.005  # Probabilidad de efecto secundario
n <- 100                 # Tamaño muestral

# Verificar condiciones
np <- n * p_poblacional
nq <- n * (1 - p_poblacional)
cat("=== VERIFICACIÓN DE CONDICIONES ===\n")
cat("np =", np, "\n")
cat("n(1-p) =", nq, "\n")

if(np >= 10 & nq >= 10) {
  cat("Condiciones cumplidas: aproximación normal aceptable\n\n")
} else {
  cat("⚠️ np < 10: usar distribución binomial exacta\n\n")
}

# Cálculo exacto usando distribución binomial
# P(X ≥ 2) donde X es número de pacientes con efecto

# Método 1: usando pbinom (función de distribución acumulada)
prob_exacta <- 1 - pbinom(1, size = n, prob = p_poblacional)
cat("=== PROBABILIDAD EXACTA ===\n")
cat("P(X ≥ 2) =", round(prob_exacta, 4), "\n\n")

# Método 2: cálculo término a término
prob_0 <- dbinom(0, size = n, prob = p_poblacional)
prob_1 <- dbinom(1, size = n, prob = p_poblacional)
prob_2_mas <- 1 - (prob_0 + prob_1)
cat("Verificación término a término:\n")
cat("P(X=0) =", round(prob_0, 4), "\n")
cat("P(X=1) =", round(prob_1, 4), "\n")
cat("P(X≥2) =", round(prob_2_mas, 4), "\n\n")

# Visualización de la distribución binomial
x_binom <- 0:10  # Mostrar hasta 10 para mejor visualización
prob_binom <- dbinom(x_binom, size = n, prob = p_poblacional)

barplot(prob_binom, 
        names.arg = x_binom,
        col = ifelse(x_binom >= 2, "#E74C3C", "#9B59B6"),
        main = "Distribución Binomial (n=100, p=0.005)",
        xlab = "Número de pacientes con efecto secundario",
        ylab = "Probabilidad",
        ylim = c(0, max(prob_binom)*1.1))

# Añadir línea para el valor crítico
abline(v = 2.5, col = "#2C3E50", lty = 2, lwd = 2)
legend("topright", 
       legend = c("P(X < 2)", "P(X ≥ 2)"),
       fill = c("#9B59B6", "#E74C3C"),
       bty = "n")

11.4.1. Usando R

## === VERIFICACIÓN DE CONDICIONES ===

## np = 0.5

## n(1-p) = 99.5

## ⚠️ np < 10: usar distribución binomial exacta

## === PROBABILIDAD EXACTA ===

## P(X ≥ 2) = 0.0898

## Verificación término a término:

## P(X=0) = 0.6058

## P(X=1) = 0.3044

## P(X≥2) = 0.0898

📊 Ejemplo 3: Intervalos de Confianza Comparados


# ------------------------------------------------------
# 11.5. COMPARACIÓN DE MÉTODOS PARA INTERVALOS DE CONFIANZA (CORREGIDO)
# ------------------------------------------------------

# Datos del ejemplo de encuesta piloto
n <- 20
exitos <- 3
p_hat <- exitos / n
nivel_confianza <- 0.95
z <- qnorm(1 - (1 - nivel_confianza)/2)

cat("=== DATOS DEL PROBLEMA ===\n")
cat("n =", n, "\n")
cat("Éxitos =", exitos, "\n")
cat("p̂ =", p_hat, "\n\n")

# 1. Método de Wald (aproximación normal)
ee_wald <- sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n)
ic_wald_inf <- p_hat - z * ee_wald
ic_wald_sup <- p_hat + z * ee_wald
ic_wald <- c(max(0, ic_wald_inf), min(1, ic_wald_sup))

# 2. Método de Wilson
termino_central <- p_hat + z^2/(2*n)
termino_error <- z * sqrt(p_hat*(1-p_hat)/n + z^2/(4*n^2))
denominador <- 1 + z^2/n
ic_wilson_inf <- (termino_central - termino_error) / denominador
ic_wilson_sup <- (termino_central + termino_error) / denominador
ic_wilson <- c(ic_wilson_inf, ic_wilson_sup)

# 3. Método de Clopper-Pearson (exacto)
ic_exacto_inf <- qbeta((1 - nivel_confianza)/2, exitos, n - exitos + 1)
ic_exacto_sup <- qbeta(1 - (1 - nivel_confianza)/2, exitos + 1, n - exitos)
ic_exacto <- c(ic_exacto_inf, ic_exacto_sup)

# 4. Método de Agresti-Coull
n_tilde <- n + z^2
p_tilde <- (exitos + z^2/2) / n_tilde
ee_ac <- sqrt(p_tilde * (1 - p_tilde) / n_tilde)
ic_ac_inf <- p_tilde - z * ee_ac
ic_ac_sup <- p_tilde + z * ee_ac
ic_ac <- c(ic_ac_inf, ic_ac_sup)

# Mostrar resultados
cat("=== INTERVALOS DE CONFIANZA DEL 95% ===\n")
cat("Método de Wald:        [", round(ic_wald[1], 3), ",", round(ic_wald[2], 3), "]\n")
cat("Método de Wilson:      [", round(ic_wilson[1], 3), ",", round(ic_wilson[2], 3), "]\n")
cat("Método Clopper-Pearson:[", round(ic_exacto[1], 3), ",", round(ic_exacto[2], 3), "]\n")
cat("Método Agresti-Coull:  [", round(ic_ac[1], 3), ",", round(ic_ac[2], 3), "]\n\n")

# Visualización comparativa (CORREGIDO)
metodos <- c("Wald", "Wilson", "Clopper-Pearson", "Agresti-Coull")
inferiores <- c(ic_wald[1], ic_wilson[1], ic_exacto[1], ic_ac[1])
superiores <- c(ic_wald[2], ic_wilson[2], ic_exacto[2], ic_ac[2])

# Crear gráfico de intervalos - CORREGIDO: usar vector de 4 puntos para p_hat
p_hat_vector <- rep(p_hat, 4)  # Repetir p_hat para cada método

plot(1:4, p_hat_vector, pch = 19, cex = 1.5, col = "#9B59B6",
     xlim = c(0.5, 4.5), ylim = c(0, 0.5),
     xaxt = "n", xlab = "Método", ylab = "Proporción",
     main = "Comparación de Intervalos de Confianza del 95%")

axis(1, at = 1:4, labels = metodos)

# Añadir intervalos
for(i in 1:4) {
  lines(c(i, i), c(inferiores[i], superiores[i]), 
        lwd = 3, col = "#3498DB")
  lines(c(i-0.1, i+0.1), c(inferiores[i], inferiores[i]), 
        lwd = 2, col = "#3498DB")
  lines(c(i-0.1, i+0.1), c(superiores[i], superiores[i]), 
        lwd = 2, col = "#3498DB")
}

# Línea horizontal en p̂
abline(h = p_hat, lty = 2, col = "#E74C3C", lwd = 1.5)
text(4.3, p_hat, paste("p̂ =", p_hat), col = "#E74C3C", cex = 0.9)

# Añadir grid para mejor visualización
grid(nx = NA, ny = NULL, lty = 1, col = "lightgray", lwd = 0.5)

# Leyenda explicativa
legend("topright", 
       legend = c("Estimación puntual p̂", "Intervalo de confianza"),
       col = c("#9B59B6", "#3498DB"),
       pch = c(19, NA),
       lwd = c(NA, 2),
       pt.cex = 1.5,
       bty = "n")

11.5.1. Usando R

## === DATOS DEL PROBLEMA ===

## n = 20

## Éxitos = 3

## p̂ = 0.15

## === INTERVALOS DE CONFIANZA DEL 95% ===

## Método de Wald:        [ 0 , 0.306 ]

## Método de Wilson:      [ 0.052 , 0.36 ]

## Método Clopper-Pearson:[ 0.032 , 0.379 ]

## Método Agresti-Coull:  [ 0.044 , 0.369 ]

📊 Ejemplo 4: Simulación de la Distribución Muestral

# ------------------------------------------------------
# 11.6. SIMULACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
# ------------------------------------------------------

# Parámetros
p_real <- 0.45      # Proporción real en la población
n <- 100            # Tamaño de cada muestra
num_simulaciones <- 10000  # Número de muestras a simular

set.seed(123)  # Para reproducibilidad

# Simular múltiples muestras
proporciones_muestrales <- replicate(num_simulaciones, {
  muestra <- rbinom(1, size = n, prob = p_real)
  muestra / n
})

# Calcular estadísticos de la simulación
media_simulada <- mean(proporciones_muestrales)
ee_simulado <- sd(proporciones_muestrales)

# Valores teóricos
media_teorica <- p_real
ee_teorico <- sqrt(p_real * (1 - p_real) / n)

cat("=== COMPARACIÓN TEORÍA vs SIMULACIÓN ===\n")
cat("Media teórica:        ", round(media_teorica, 4), "\n")
cat("Media simulada:       ", round(media_simulada, 4), "\n")
cat("Error estándar teórico:", round(ee_teorico, 4), "\n")
cat("Error estándar simulado:", round(ee_simulado, 4), "\n\n")

# Verificar normalidad
cat("Verificación de normalidad:\n")
cat("Proporción dentro de 1 EE teórico:", 
    mean(abs(proporciones_muestrales - media_teorica) < ee_teorico), "\n")
cat("Proporción dentro de 2 EE teórico:", 
    mean(abs(proporciones_muestrales - media_teorica) < 2*ee_teorico), "\n")

# Visualización
hist(proporciones_muestrales, 
     breaks = 30, 
     col = rgb(155, 89, 182, 100, maxColorValue = 255),
     main = "Distribución Muestral Simulada de la Proporción (n=100)",
     xlab = "Proporción muestral (p̂)",
     ylab = "Frecuencia",
     probability = TRUE)

# Superponer densidad teórica normal
x_teorico <- seq(min(proporciones_muestrales), 
                 max(proporciones_muestrales), 
                 length.out = 1000)
y_teorico <- dnorm(x_teorico, mean = media_teorica, sd = ee_teorico)
lines(x_teorico, y_teorico, col = "#E74C3C", lwd = 3)

# Añadir leyenda
legend("topright", 
       legend = c("Distribución simulada", "Densidad teórica normal"),
       fill = c(rgb(155, 89, 182, 100, maxColorValue = 255), NA),
       col = c(NA, "#E74C3C"),
       lwd = c(NA, 3),
       bty = "n")

11.6.1. Usando R

## === COMPARACIÓN TEORÍA vs SIMULACIÓN ===

## Media teórica:         0.45

## Media simulada:        0.4503

## Error estándar teórico: 0.0497

## Error estándar simulado: 0.0496

## Verificación de normalidad:

## Proporción dentro de 1 EE teórico: 0.6297

## Proporción dentro de 2 EE teórico: 0.9454

📊 Ejemplo 5: Cálculo de Tamaño Muestral

# ------------------------------------------------------
# 11.7. CÁLCULO DE TAMAÑO MUESTRAL PARA PROPORCIONES
# ------------------------------------------------------

# Función para calcular tamaño muestral necesario
calcular_n <- function(p_esperado, margen_error, nivel_confianza = 0.95) {
  z <- qnorm(1 - (1 - nivel_confianza)/2)
  n <- (z^2 * p_esperado * (1 - p_esperado)) / (margen_error^2)
  return(ceiling(n))  # Redondear hacia arriba
}

# Escenarios diferentes
cat("=== TAMAÑO MUESTRAL NECESARIO ===\n")
cat("(para margen de error del 3% y 95% confianza)\n\n")

# Escenario 1: p esperado = 0.5 (máxima varianza)
n1 <- calcular_n(p_esperado = 0.5, margen_error = 0.03)
cat("p = 0.50 (máxima varianza): n =", n1, "\n")

# Escenario 2: p esperado = 0.45
n2 <- calcular_n(p_esperado = 0.45, margen_error = 0.03)
cat("p = 0.45:                  n =", n2, "\n")

# Escenario 3: p esperado = 0.30
n3 <- calcular_n(p_esperado = 0.30, margen_error = 0.03)
cat("p = 0.30:                  n =", n3, "\n")

# Escenario 4: p esperado = 0.10
n4 <- calcular_n(p_esperado = 0.10, margen_error = 0.03)
cat("p = 0.10:                  n =", n4, "\n\n")

# Gráfico de tamaño muestral según p
p_valores <- seq(0.1, 0.9, by = 0.05)
n_valores <- sapply(p_valores, function(p) {
  calcular_n(p, margen_error = 0.03)
})

plot(p_valores, n_valores, type = "b", lwd = 2, col = "#9B59B6",
     pch = 19, cex = 1.2,
     xlab = "Proporción esperada (p)", 
     ylab = "Tamaño muestral necesario (n)",
     main = "Tamaño muestral para margen de error del 3% (95% confianza)")

grid()
abline(v = 0.5, lty = 2, col = "#E74C3C")
abline(h = max(n_valores), lty = 2, col = "#3498DB")
text(0.52, max(n_valores) + 20, paste("Máximo:", max(n_valores)), col = "#3498DB")

11.7.1. Usando R

## === TAMAÑO MUESTRAL NECESARIO ===

## (para margen de error del 3% y 95% confianza)

## p = 0.50 (máxima varianza): n = 1068

## p = 0.45:                  n = 1057

## p = 0.30:                  n = 897

## p = 0.10:                  n = 385

📊 Ejemplo 6: Función General para Análisis de Proporciones

# ------------------------------------------------------
# 11.8. FUNCIÓN GENERAL PARA ANÁLISIS COMPLETO DE PROPORCIÓN
# ------------------------------------------------------

analisis_proporcion <- function(exitos, n, nivel_confianza = 0.95) {
  # Esta función realiza un análisis completo de una proporción
  # Incluye: estimación, verificación de condiciones, IC múltiples
  
  # Cálculos básicos
  p_hat <- exitos / n
  z <- qnorm(1 - (1 - nivel_confianza)/2)
  
  # Verificación de condiciones para aproximación normal
  np_hat <- n * p_hat
  nq_hat <- n * (1 - p_hat)
  
  cat("\n", paste(rep("=", 60), collapse = ""), "\n")
  cat("   ANÁLISIS COMPLETO DE PROPORCIÓN\n")
  cat(paste(rep("=", 60), collapse = ""), "\n\n")
  
  cat("DATOS:\n")
  cat("  Número de éxitos:", exitos, "\n")
  cat("  Tamaño muestral (n):", n, "\n")
  cat("  Proporción observada (p̂):", round(p_hat, 4), "\n")
  cat("  Nivel de confianza:", nivel_confianza * 100, "%\n\n")
  
  cat("VERIFICACIÓN DE CONDICIONES:\n")
  cat("  np̂ =", round(np_hat, 2), "\n")
  cat("  n(1-p̂) =", round(nq_hat, 2), "\n")
  
  if(np_hat >= 10 & nq_hat >= 10) {
    cat("  ✅ Condiciones cumplidas para aproximación normal\n")
    metodo_recomendado <- "normal"
  } else if(np_hat >= 5 & nq_hat >= 5) {
    cat("  ⚠️ Condiciones mínimas cumplidas (usar con precaución)\n")
    metodo_recomendado <- "wilson"
  } else {
    cat("  ❌ Condiciones NO cumplidas: usar métodos exactos\n")
    metodo_recomendado <- "exacto"
  }
  
  cat("\nINTERVALOS DE CONFIANZA DEL", nivel_confianza*100, "%:\n")
  
  # Wald
  ee_wald <- sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n)
  ic_wald <- c(max(0, p_hat - z*ee_wald), min(1, p_hat + z*ee_wald))
  cat("  Wald (normal):        [", round(ic_wald[1], 4), ",", round(ic_wald[2], 4), "]\n")
  
  # Wilson
  termino_central <- p_hat + z^2/(2*n)
  termino_error <- z * sqrt(p_hat*(1-p_hat)/n + z^2/(4*n^2))
  denominador <- 1 + z^2/n
  ic_wilson <- c((termino_central - termino_error)/denominador,
                 (termino_central + termino_error)/denominador)
  cat("  Wilson:              [", round(ic_wilson[1], 4), ",", round(ic_wilson[2], 4), "]\n")
  
  # Clopper-Pearson (exacto)
  if(exitos > 0 & exitos < n) {
    ic_exacto_inf <- qbeta((1 - nivel_confianza)/2, exitos, n - exitos + 1)
    ic_exacto_sup <- qbeta(1 - (1 - nivel_confianza)/2, exitos + 1, n - exitos)
    ic_exacto <- c(ic_exacto_inf, ic_exacto_sup)
    cat("  Clopper-Pearson:      [", round(ic_exacto[1], 4), ",", round(ic_exacto[2], 4), "]\n")
  } else {
    cat("  Clopper-Pearson:      No aplicable (éxitos=0 o éxitos=n)\n")
    ic_exacto <- c(NA, NA)
  }
  
  cat("\nRECOMENDACIÓN:\n")
  if(metodo_recomendado == "normal") {
    cat("  Usar intervalo de Wilson para mayor robustez\n")
    cat("  Wald es aceptable pero menos preciso\n")
  } else if(metodo_recomendado == "wilson") {
    cat("  Usar intervalo de Wilson (funciona bien con estas condiciones)\n")
  } else {
    cat("  Usar intervalo exacto de Clopper-Pearson\n")
  }
  
  cat(paste(rep("=", 60), collapse = ""), "\n")
  
  # Retornar resultados invisibly
  return(invisible(list(
    p_hat = p_hat,
    n = n,
    exitos = exitos,
    ic_wald = ic_wald,
    ic_wilson = ic_wilson,
    ic_exacto = ic_exacto,
    condiciones = c(np_hat, nq_hat),
    metodo_recomendado = metodo_recomendado
  )))
}

# Ejemplo de uso
analisis_proporcion(exitos = 18, n = 20, nivel_confianza = 0.95)
analisis_proporcion(exitos = 3, n = 20, nivel_confianza = 0.95)
analisis_proporcion(exitos = 255, n = 300, nivel_confianza = 0.95)

11.8.1. Usando R

## 
##  ============================================================ 
##    ANÁLISIS COMPLETO DE PROPORCIÓN
## ============================================================ 
## 
## DATOS:
##   Número de éxitos: 18 
##   Tamaño muestral (n): 20 
##   Proporción observada (p̂): 0.9 
##   Nivel de confianza: 95 %
## 
## VERIFICACIÓN DE CONDICIONES:
##   np̂ = 18 
##   n(1-p̂) = 2 
##   ❌ Condiciones NO cumplidas: usar métodos exactos
## 
## INTERVALOS DE CONFIANZA DEL 95 %:
##   Wald (normal):        [ 0.7685 , 1 ]
##   Wilson:              [ 0.699 , 0.9721 ]
##   Clopper-Pearson:      [ 0.683 , 0.9877 ]
## 
## RECOMENDACIÓN:
##   Usar intervalo exacto de Clopper-Pearson
## ============================================================

## 
##  ============================================================ 
##    ANÁLISIS COMPLETO DE PROPORCIÓN
## ============================================================ 
## 
## DATOS:
##   Número de éxitos: 3 
##   Tamaño muestral (n): 20 
##   Proporción observada (p̂): 0.15 
##   Nivel de confianza: 95 %
## 
## VERIFICACIÓN DE CONDICIONES:
##   np̂ = 3 
##   n(1-p̂) = 17 
##   ❌ Condiciones NO cumplidas: usar métodos exactos
## 
## INTERVALOS DE CONFIANZA DEL 95 %:
##   Wald (normal):        [ 0 , 0.3065 ]
##   Wilson:              [ 0.0524 , 0.3604 ]
##   Clopper-Pearson:      [ 0.0321 , 0.3789 ]
## 
## RECOMENDACIÓN:
##   Usar intervalo exacto de Clopper-Pearson
## ============================================================

## 
##  ============================================================ 
##    ANÁLISIS COMPLETO DE PROPORCIÓN
## ============================================================ 
## 
## DATOS:
##   Número de éxitos: 255 
##   Tamaño muestral (n): 300 
##   Proporción observada (p̂): 0.85 
##   Nivel de confianza: 95 %
## 
## VERIFICACIÓN DE CONDICIONES:
##   np̂ = 255 
##   n(1-p̂) = 45 
##   ✅ Condiciones cumplidas para aproximación normal
## 
## INTERVALOS DE CONFIANZA DEL 95 %:
##   Wald (normal):        [ 0.8096 , 0.8904 ]
##   Wilson:              [ 0.8052 , 0.886 ]
##   Clopper-Pearson:      [ 0.8045 , 0.8884 ]
## 
## RECOMENDACIÓN:
##   Usar intervalo de Wilson para mayor robustez
##   Wald es aceptable pero menos preciso
## ============================================================

📊 Ejemplo 7: Comparación de Dos Proporciones


# ------------------------------------------------------
# 11.9. COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES INDEPENDIENTES
# ------------------------------------------------------

# Datos: tratamiento vs control
exitos_trat <- 45
n_trat <- 100
p_trat <- exitos_trat / n_trat

exitos_control <- 30
n_control <- 100
p_control <- exitos_control / n_control

cat("=== COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES ===\n\n")
cat("Grupo tratamiento: p̂₁ =", p_trat, "(", exitos_trat, "/", n_trat, ")\n")
cat("Grupo control:     p̂₂ =", p_control, "(", exitos_control, "/", n_control, ")\n\n")

# Diferencia de proporciones
diferencia <- p_trat - p_control
cat("Diferencia observada:", round(diferencia, 4), "\n\n")

# Prueba de hipótesis para igualdad de proporciones
# Usando prop.test de R
prueba <- prop.test(x = c(exitos_trat, exitos_control),
                    n = c(n_trat, n_control),
                    correct = FALSE)  # Sin corrección de continuidad

print(prueba)

# Intervalo de confianza para la diferencia
# Método de Wald
ee_diferencia <- sqrt(p_trat*(1-p_trat)/n_trat + p_control*(1-p_control)/n_control)
z <- qnorm(0.975)
ic_dif_inf <- diferencia - z * ee_diferencia
ic_dif_sup <- diferencia + z * ee_diferencia

cat("\nIntervalo de confianza del 95% para la diferencia:\n")
cat("[", round(ic_dif_inf, 4), ",", round(ic_dif_sup, 4), "]\n")

if(ic_dif_inf > 0) {
  cat("El intervalo NO contiene 0 → hay diferencia significativa\n")
} else if(ic_dif_sup < 0) {
  cat("El intervalo NO contiene 0 → hay diferencia significativa\n")
} else {
  cat("El intervalo contiene 0 → no hay evidencia de diferencia\n")
}

# Visualización
proporciones <- c(p_trat, p_control)
nombres <- c("Tratamiento", "Control")
colores <- c("#9B59B6", "#3498DB")

barplot(proporciones, 
        names.arg = nombres,
        col = colores,
        ylim = c(0, 1),
        main = "Comparación de Proporciones",
        ylab = "Proporción de éxito")

# Añadir intervalos de confianza individuales
for(i in 1:2) {
  n_actual <- if(i==1) n_trat else n_control
  p_actual <- proporciones[i]
  ee <- sqrt(p_actual * (1 - p_actual) / n_actual)
  ic_inf <- p_actual - 1.96 * ee
  ic_sup <- p_actual + 1.96 * ee
  
  segments(i, ic_inf, i, ic_sup, lwd = 2, col = "#2C3E50")
  segments(i-0.1, ic_inf, i+0.1, ic_inf, lwd = 2, col = "#2C3E50")
  segments(i-0.1, ic_sup, i+0.1, ic_sup, lwd = 2, col = "#2C3E50")
}

# Añadir línea para la diferencia
segments(1, p_trat, 2, p_control, lwd = 2, lty = 2, col = "#E74C3C")
text(1.5, (p_trat + p_control)/2, 
     paste("Diferencia =", round(diferencia, 3)), 
     pos = 3, col = "#E74C3C")

11.9.1. Usando R

## === COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES ===

## Grupo tratamiento: p̂₁ = 0.45 ( 45 / 100 )

## Grupo control:     p̂₂ = 0.3 ( 30 / 100 )

## Diferencia observada: 0.15

## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity correction
## 
## data:  c(exitos_trat, exitos_control) out of c(n_trat, n_control)
## X-squared = 4.8, df = 1, p-value = 0.02846
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  0.01743049 0.28256951
## sample estimates:
## prop 1 prop 2 
##   0.45   0.30

## 
## Intervalo de confianza del 95% para la diferencia:

## [ 0.0174 , 0.2826 ]

## El intervalo NO contiene 0 → hay diferencia significativa

✅ DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN: TEORÍA COMPLETA + CÓDIGO R

7 ejemplos prácticos • 6 funciones en R • Simulación • Intervalos de confianza • Tamaño muestral • Comparación de grupos

Condición clave: np ≥ 10 y n(1-p) ≥ 10 • Métodos exactos vs aproximación normal • Wilson recomendado para uso general

Laboratorio de la Semana 3

📊 3.13. Ejercicio 4. PROBLEMA DE COMPARACIÓN DE MEDIAS - RENDIMIENTO DE GASOLINAS

⛽ PROBLEMA: ANÁLISIS COMPARATIVO DE GASOLINAS - PRUEBAS DE RENDIMIENTO

Comparación estadística de rendimiento promedio entre dos tipos de gasolina usando distribución normal

📝 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

“Se prueba el rendimiento (km/l) de dos tipos de gasolina: la primera tiene desviación estándar σ₁ = 1.23 km/l y se prueba en 35 vehículos; la segunda tiene σ₂ = 1.37 km/l y se prueba en 42 vehículos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina dé un rendimiento promedio mayor de 0.45 km/l que la segunda?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83 km/l a favor de la primera gasolina?”

🧮 PARTE A: SOLUCIÓN PASO A PASO

⛽ Paso 1: Identificar parámetros y definir variables

Datos proporcionados:
• Gasolina 1: σ₁ = 1.23 km/l, n₁ = 35
• Gasolina 2: σ₂ = 1.37 km/l, n₂ = 42

Variables de interés:
• $\bar{X}_1$: Rendimiento promedio gasolina 1
• $\bar{X}_2$: Rendimiento promedio gasolina 2
• Diferencia: $D = \bar{X}_1 - \bar{X}_2$

Supuestos:
• Rendimientos siguen distribución normal
• Muestras independientes
• Varianzas poblacionales conocidas

Parte a: P($\bar{X}_1 - \bar{X}_2$ > 0.45)

📊 Paso 2: Distribución de la diferencia de medias

Teorema fundamental:
Si $\bar{X}_1$ ~ N(μ₁, σ₁²/n₁)
y $\bar{X}_2$ ~ N(μ₂, σ₂²/n₂)
independientes, entonces:

$D = \bar{X}_1 - \bar{X}_2$ ~ N(μ₁-μ₂, σ_D²)

Varianza de la diferencia:
σ_D² = $\frac{σ₁²}{n₁} + \frac{σ₂²}{n₂}$

Suponiendo medias iguales (H₀):
μ₁ = μ₂ ⇒ μ_D = 0

Cálculo de σ_D²:
σ_D² = $\frac{1.23²}{35} + \frac{1.37²}{42}$
σ_D² = $\frac{1.5129}{35} + \frac{1.8769}{42}$

📈 Paso 3: Cálculo de varianza y desviación estándar

Cálculo detallado:
σ₁² = 1.23² = 1.5129
σ₂² = 1.37² = 1.8769

Término 1: σ₁²/n₁ = 1.5129/35
= 0.0432257

Término 2: σ₂²/n₂ = 1.8769/42
= 0.0446881

Varianza total:
σ_D² = 0.0432257 + 0.0446881
σ_D² = 0.0879138

Desviación estándar:
σ_D = √0.0879138
σ_D ≈ 0.2965

Distribución:
D ~ N(0, 0.0879138)

🎯 Paso 4: Estandarización y cálculo de probabilidad (parte a)

Parte a: P(D > 0.45)

Estandarización:
Z = $\frac{D - μ_D}{σ_D}$
Z = $\frac{0.45 - 0}{0.2965}$
Z = 0.45/0.2965

Cálculo exacto:
Z = 0.45/√0.0879138
Z = 0.45/0.296502
Z ≈ 1.5180

Probabilidad:
P(D > 0.45) = P(Z > 1.5180)
= 1 - P(Z < 1.5180)

Usando tabla normal:
P(Z < 1.51) = 0.93448
P(Z < 1.52) = 0.93574

Interpolación:
P(Z < 1.518) ≈ 0.9356

Resultado parte a:
P = 1 - 0.9356 = 0.0644
≈ 0.0644 (6.44%)

📊 PARTE B: SOLUCIÓN PASO A PASO

🎯 Paso 5: Planteamiento parte b

Parte b: P(0.65 < D < 0.83)

Interpretación:
“a favor de la primera gasolina”
significa $\bar{X}_1 > \bar{X}_2$
∴ D > 0 siempre

Distribución:
D ~ N(0, 0.0879138)
σ_D ≈ 0.2965

Probabilidad requerida:
P(0.65 < D < 0.83)

Estandarización para límites:
Z₁ = (0.65 - 0)/σ_D
Z₂ = (0.83 - 0)/σ_D

Relación con tabla normal:
P(a < D < b) = P(Z₁ < Z < Z₂)
= P(Z < Z₂) - P(Z < Z₁)

📈 Paso 6: Cálculo de Z-scores y probabilidad

Cálculo Z-scores:
Z₁ = 0.65/0.2965 ≈ 2.1922
Z₂ = 0.83/0.2965 ≈ 2.7993

Valores tabla normal:
P(Z < 2.19) = 0.98574
P(Z < 2.20) = 0.98610
P(Z < 2.79) = 0.99736
P(Z < 2.80) = 0.99744

Interpolación lineal:
P(Z < 2.192) ≈ 0.9858
P(Z < 2.799) ≈ 0.9974

Probabilidad:
P(0.65 < D < 0.83)
= P(2.192 < Z < 2.799)
= 0.9974 - 0.9858
= 0.0116

Resultado parte b:
P ≈ 0.0116 (1.16%)

🔍 Paso 7: Cálculos exactos con mayor precisión

Cálculo exacto σ_D²:
σ_D² = $\frac{1.5129}{35} + \frac{1.8769}{42}$
= 0.043225714 + 0.044688095
= 0.087913809

σ_D exacto:
σ_D = √0.087913809
= 0.296502631

Parte a exacta:
Z = 0.45/0.296502631
= 1.517698
P(Z > 1.517698) = 0.0646

Parte b exacta:
Z₁ = 0.65/0.296502631 = 2.1922
Z₂ = 0.83/0.296502631 = 2.7993
P = Φ(2.7993) - Φ(2.1922)
= 0.99744 - 0.98586
= 0.01158

📊 Paso 8: Interpretación en contexto aplicado

Interpretación parte a:
• Probabilidad 6.44%
• Significa: Si ambas gasolinas tienen
igual rendimiento promedio (μ₁=μ₂)
• Solo 6.44% de muestras mostrarían
diferencia >0.45 km/l
• Diferencia de 0.45 km/l sería poco común

Interpretación parte b:
• Probabilidad 1.16%
• Muy baja probabilidad
• Diferencia entre 0.65-0.83 km/l
sería muy inusual si μ₁=μ₂
• Sugeriría diferencia real si se observa

📚 RESUMEN DE RESULTADOS Y CONCEPTOS

📊 RESULTADO PARTE A

P(D > 0.45) = 0.0646

≈ 6.46%

Z-score: 1.518
Interpretación: Baja probabilidad

📈 RESULTADO PARTE B

P(0.65 < D < 0.83) = 0.0116

≈ 1.16%

Z₁: 2.192, Z₂: 2.799
Interpretación: Muy baja probabilidad

📋 CONCEPTOS ESTADÍSTICOS APLICADOS

Distribución Diferencia
D ~ N(μ₁-μ₂, σ₁²/n₁+σ₂²/n₂)

Estandarización
Z = (D - μ_D)/σ_D

Hipótesis Nula
Asume μ₁ = μ₂ ⇒ μ_D = 0

🎯 CONCLUSIÓN Y APLICACIÓN PRÁCTICA

⚡ Implicaciones para Pruebas de Gasolina

Parte a (6.46%): Si en pruebas reales se observa una diferencia mayor a 0.45 km/l, hay evidencia moderada (p=0.0646) contra la hipótesis de igual rendimiento. En investigación, esto podría considerarse “marginalmente significativo”.

Parte b (1.16%): Una diferencia entre 0.65-0.83 km/l sería muy inusual si las gasolinas fueran iguales. Esto proporcionaría evidencia más fuerte para concluir que la primera gasolina es realmente mejor.

📊 Recomendaciones para Diseño Experimental

Tamaños muestrales: n₁=35 y n₂=42 son adecuados para detectar diferencias moderadas.

Variabilidad: σ₁=1.23 y σ₂=1.37 indican alta variabilidad en rendimiento entre vehículos.

Potencia estadística: Para detectar diferencias pequeñas (0.2-0.3 km/l) podrían necesitarse muestras mayores.

Control experimental: Mismas condiciones de prueba para ambas gasolinas.

📝 Fórmulas Clave Utilizadas

Varianza de Diferencia:
σ_D² = σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂
= 1.5129/35 + 1.8769/42
= 0.0879138

Estandarización:
Z = (D - μ_D)/σ_D
Parte a: Z = 0.45/0.2965
Parte b: Z₁ = 0.65/0.2965
Z₂ = 0.83/0.2965

⛽ RESULTADOS FINALES - COMPARACIÓN DE GASOLINAS

Parte a:
P(D > 0.45) = 0.0646
(6.46%)

Parte b:
P(0.65 < D < 0.83) = 0.0116
(1.16%)

Diferencia de Medias • Distribución Normal • Pruebas de Hipótesis • Análisis Comparativo

VOY POR AQUI

📈 06. DISTRIBUCIÓN F DE FISHER-SNEDECOR

🎯 Definición Matemática

Sean $\chi^2_{\nu_1}$ y $\chi^2_{\nu_2}$ variables aleatorias independientes con distribución chi-cuadrado con $\nu_1$ y $\nu_2$ grados de libertad respectivamente.

\[ F = \frac{\chi^2_{\nu_1} / \nu_1}{\chi^2_{\nu_2} / \nu_2} \sim F_{(\nu_1, \nu_2)} \]

Su función de densidad es:

\[ f(x; \nu_1, \nu_2) = \frac{\sqrt{\frac{(\nu_1 x)^{\nu_1} \nu_2^{\nu_2}}{(\nu_1 x + \nu_2)^{\nu_1+\nu_2}}}}{x \cdot B\left(\frac{\nu_1}{2}, \frac{\nu_2}{2}\right)} \]

📊 Ejemplo 5: Razón de Varianzas

Problema: Se tienen dos muestras independientes de poblaciones normales con igual varianza: $n_1=6$, $n_2=10$. Calcular el valor $b$ tal que $P\left(\frac{S_1^2}{S_2^2} \leq b\right) = 0.95$.

\[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F_{(5,9)} \\ P\left(\frac{S_1^2}{S_2^2} \leq b\right) = 0.95 \\ \Rightarrow b = F_{0.95}(5,9) = 3.48 \]

Aplicación: Pruebas de homogeneidad de varianzas (Levene, Bartlett), comparación de dos varianzas poblacionales.

🔬 Ejemplo 6: ANOVA de un factor

Problema: Comparar 3 tratamientos con $n_1=n_2=n_3=5$ observaciones. La tabla ANOVA muestra $MS_{trat}=25.6$ y $MS_{error}=8.2$.

\[ F_{cal} = \frac{MS_{trat}}{MS_{error}} = \frac{25.6}{8.2} = 3.122 \\ F_{crit} = F_{0.95}(2,12) = 3.885 \]

Aplicación: Como $F_{cal} < F_{crit}$, no se rechaza $H_0$ al 5% de significancia.

💻 Código R Completo para Distribución F

# ====================================================== # DISTRIBUCIÓN F EN R: FUNCIONES Y APLICACIONES # ====================================================== # ------------------------------------------------------ # 1. EJEMPLO DE RAZÓN DE VARIANZAS # ------------------------------------------------------ # Parámetros dados n1 <- 6; n2 <- 10 df1 <- n1 - 1; df2 <- n2 - 1 # Grados de libertad # Valor crítico b para P(F ≤ b) = 0.95 b <- qf(0.95, df1, df2) cat("Valor crítico b =", round(b, 4), "\n") cat("Interpretación: P(F(5,9) ≤", round(b, 4), ") = 0.95\n\n") # ------------------------------------------------------ # 2. GRÁFICO DE LA DENSIDAD F CON ÁREA SOMBREADA # ------------------------------------------------------ # Crear secuencia de valores x <- seq(0, 6, length.out = 1000) y <- df(x, df1, df2) # Configurar gráfico par(mar = c(5, 5, 4, 2) + 0.1) # Graficar densidad plot(x, y, type = "l", lwd = 3, col = "#27AE60", xlab = "Valores de F = S₁²/S₂²", ylab = "Densidad de probabilidad", main = "Distribución F con (5, 9) grados de libertad", cex.lab = 1.2, cex.main = 1.3) # Añadir grid grid(nx = 10, ny = 10, col = "lightgray", lty = "dotted") # Sombrear área P(F ≤ b) x_shade <- seq(0, b, length.out = 500) y_shade <- df(x_shade, df1, df2) polygon(c(0, x_shade, b), c(0, y_shade, 0), col = rgb(46, 204, 113, 100, maxColorValue = 255), border = NA) # Línea vertical en b abline(v = b, col = "#E74C3C", lty = 2, lwd = 2.5) # Leyenda legend("topright", legend = c("Densidad F(5,9)", paste("P(F ≤", round(b, 2), ") = 0.95"), paste("b =", round(b, 2))), col = c("#27AE60", rgb(46, 204, 113, 100, maxColorValue = 255), "#E74C3C"), lwd = c(3, NA, 2.5), lty = c(1, NA, 2), fill = c(NA, rgb(46, 204, 113, 100, maxColorValue = 255), NA), border = NA, bty = "n", cex = 0.9) # ------------------------------------------------------ # 3. EJEMPLO DE ANOVA # ------------------------------------------------------ cat("\n--- EJEMPLO DE ANOVA ---\n") # Datos del ejemplo MS_trat <- 25.6; MS_error <- 8.2 gl_trat <- 2; gl_error <- 12 # Calcular F calculado F_cal <- MS_trat / MS_error cat("F calculado =", round(F_cal, 3), "\n") # Valor crítico al 95% confianza F_crit <- qf(0.95, gl_trat, gl_error) cat("F crítico (α=0.05) =", round(F_crit, 3), "\n") # p-valor p_valor <- 1 - pf(F_cal, gl_trat, gl_error) cat("p-valor =", round(p_valor, 4), "\n") # Decisión if(F_cal > F_crit) { cat("Decisión: Rechazar H₀ (hay diferencias significativas)\n") } else { cat("Decisión: No rechazar H₀ (no hay evidencias de diferencias)\n") } # ------------------------------------------------------ # 4. PROPIEDADES Y CUANTILES ESPECIALES # ------------------------------------------------------ cat("\n--- PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN F ---\n") # Media y varianza teóricas if(df2 > 2) { media_F <- df2/(df2 - 2) cat("Media teórica =", round(media_F, 4), "\n") } else { cat("Media no definida (ν₂ ≤ 2)\n") } if(df2 > 4) { var_F <- 2*df2^2*(df1+df2-2)/(df1*(df2-2)^2*(df2-4)) cat("Varianza teórica =", round(var_F, 4), "\n") } else { cat("Varianza no definida (ν₂ ≤ 4)\n") } # Relación con t-Student cat("\nRelación con t-Student: t²(ν) = F(1, ν)\n") t_crit <- qt(0.975, 9) # t con 9 gl al 97.5% (dos colas 5%) F_crit_rel <- t_crit^2 cat("t(9, 0.975) =", round(t_crit, 3), "\n") cat("t² =", round(F_crit_rel, 3), "\n") cat("F(1,9, 0.95) =", round(qf(0.95, 1, 9), 3), "\n") # ------------------------------------------------------ # 5. COMPARACIÓN DE VARIANZAS (PRUEBA BILATERAL) # ------------------------------------------------------ cat("\n--- PRUEBA BILATERAL DE IGUALDAD DE VARIANZAS ---\n") # Simular dos muestras set.seed(123) muestra1 <- rnorm(15, mean = 10, sd = 2) muestra2 <- rnorm(12, mean = 12, sd = 2.5) # Calcular varianzas muestrales var1 <- var(muestra1) var2 <- var(muestra2) F_obs <- var1/var2 cat("Varianza muestra 1 =", round(var1, 2), "\n") cat("Varianza muestra 2 =", round(var2, 2), "\n") cat("F observado =", round(F_obs, 3), "\n") # Prueba F bilateral gl1 <- length(muestra1) - 1 gl2 <- length(muestra2) - 1 # Valores críticos F_inf <- qf(0.025, gl1, gl2) F_sup <- qf(0.975, gl1, gl2) cat("F crítico inferior (2.5%) =", round(F_inf, 3), "\n") cat("F crítico superior (97.5%) =", round(F_sup, 3), "\n") # p-valor bilateral p_bilateral <- 2 * min(pf(F_obs, gl1, gl2), 1 - pf(F_obs, gl1, gl2)) cat("p-valor bilateral =", round(p_bilateral, 4), "\n") # ------------------------------------------------------ # 6. GRÁFICO INTERACTIVO DE DIFERENTES F # ------------------------------------------------------ # Comparar diferentes grados de libertad par(mfrow = c(2, 2)) # Configuración de diferentes combinaciones dfs <- list( c(1, 1), # F(1,1) c(5, 20), # F(5,20) c(10, 10), # F(10,10) c(50, 50) # F(50,50) ~ 1 ) títulos <- c("F(1,1) - Cauchy-like", "F(5,20)", "F(10,10)", "F(50,50) - Aprox. Normal") for(i in 1:4) { df1_i <- dfs[[i]][1] df2_i <- dfs[[i]][2] x <- seq(0, 5, length.out = 1000) y <- df(x, df1_i, df2_i) plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "#3498DB", main = títulos[i], xlab = "F", ylab = "Densidad", ylim = c(0, max(y)*1.1)) # Línea vertical en 1 (valor esperado bajo H₀) abline(v = 1, col = "#E74C3C", lty = 2, lwd = 1.5) # Media si existe if(df2_i > 2) { media <- df2_i/(df2_i - 2) abline(v = media, col = "#F39C12", lty = 3, lwd = 1.5) } } par(mfrow = c(1, 1)) # ------------------------------------------------------ # 7. CÁLCULO DE POTENCIA PARA PRUEBA F # ------------------------------------------------------ cat("\n--- CÁLCULO DE POTENCIA PARA PRUEBA F ---\n") # Parámetros para prueba de igualdad de varianzas n1 <- 10; n2 <- 15 sigma1 <- 2; sigma2 <- 3 # Varianzas poblacionales diferentes alfa <- 0.05 gl1 <- n1 - 1; gl2 <- n2 - 1 # Valor crítico superior F_crit <- qf(1 - alfa/2, gl1, gl2) # Parámetro de no-centralidad (para razón de varianzas real) lambda <- (sigma1^2/sigma2^2) # Potencia (probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa) potencia <- 1 - pf(F_crit, gl1, gl2, ncp = lambda) + pf(1/F_crit, gl1, gl2, ncp = 1/lambda) cat("Potencia de la prueba =", round(potencia, 4), "\n") cat("(con varianzas poblacionales", sigma1^2, "y", sigma2^2, ")\n")

📋 Resumen de Distribuciones Muestrales

📊 Normal

$\bar{Y} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

Teorema Central del Límite

📐 Chi-cuadrada

$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n-1)}$

Inferencia sobre varianzas

📈 t-Student

$\frac{\bar{Y}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{(n-1)}$

Inferencia sobre medias

📊 F

$\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F_{(n_1-1,n_2-1)}$

ANOVA, comparación varianzas

🔍 Aplicaciones Adicionales de la Distribución F

📊 ANOVA

Comparación de múltiples medias mediante razón de varianzas

📈 Regresión Lineal

Prueba F global de significancia del modelo

🧪 Diseño Experimental

Análisis de efectos en diseños factoriales

📌 Propiedades Clave de la Distribución F

✓ Asimetría positiva: Cola larga a la derecha, especialmente con pocos grados de libertad

✓ Relación con t-Student: $t^2_{(\nu)} = F_{(1, \nu)}$

✓ Relación recíproca: $F_{(\nu_1, \nu_2, 1-\alpha)} = 1 / F_{(\nu_2, \nu_1, \alpha)}$

✓ Convergencia: Cuando $\nu_2 \to \infty$, $\nu_1 F \approx \chi^2_{\nu_1}$

Encontrar el valor crítico b usando la distribución F - Usando R

# ====================================================== # EJEMPLOS PRÁCTICOS DE DISTRIBUCIÓN F EN R # ====================================================== # ------------------------------------------------------ # EJEMPLO 1: VALOR CRÍTICO PARA RAZÓN DE VARIANZAS # ------------------------------------------------------ # Parámetros dados n1 <- 6 # Tamaño de la primera muestra n2 <- 10 # Tamaño de la segunda muestra prob <- 0.95 # Probabilidad deseada # Grados de libertad df1 <- n1 - 1 # Grados de libertad para S1² df2 <- n2 - 1 # Grados de libertad para S2² # Encontrar el valor crítico b usando la distribución F b <- qf(prob, df1 = df1, df2 = df2) # Mostrar el valor de b print(paste("El valor de b tal que P(S1²/S2² ≤ b) = 0.95 es:", round(b, 4)))

## [1] "El valor de b tal que P(S1²/S2² ≤ b) = 0.95 es: 3.4817"

# Verificar con la función de distribución prob_verificacion <- pf(b, df1 = df1, df2 = df2) print(paste("Verificación: P(F ≤", round(b, 4), ") =", round(prob_verificacion, 4)))

## [1] "Verificación: P(F ≤ 3.4817 ) = 0.95"

# Crear una secuencia de valores para la distribución F x <- seq(0, 5, length.out = 1000) # Calcular la densidad de la distribución F y <- df(x, df1 = df1, df2 = df2) # Graficar la distribución F plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue", xlab = "Valores de F = S1²/S2²", ylab = "Densidad", main = "Distribución F con (5, 9) grados de libertad") # Sombrear el área correspondiente a P(F ≤ b) x_shade <- seq(0, b, length.out = 1000) y_shade <- df(x_shade, df1 = df1, df2 = df2) polygon(c(0, x_shade, b), c(0, y_shade, 0), col = "lightblue", border = NA) # Añadir una línea vertical en el valor crítico b abline(v = b, col = "red", lty = 2, lwd = 2) # Añadir texto con el valor de b text(b, 0.1, paste("b =", round(b, 2)), pos = 4, col = "red", cex = 0.9) # Añadir leyenda legend("topright", legend = c("Distribución F", "Área sombreada (P(F ≤ b) = 0.95)"), col = c("blue", "lightblue"), lwd = 2, lty = c(1, NA), fill = c(NA, "lightblue"), border = NA)

# ------------------------------------------------------ # EJEMPLO 2: APLICACIÓN EN ANOVA (COMPARACIÓN DE TRES GRUPOS) # ------------------------------------------------------ cat("\n\n=== EJEMPLO 2: ANOVA DE UN FACTOR ===\n")

## ## ## === EJEMPLO 2: ANOVA DE UN FACTOR ===

# Simular datos de tres grupos set.seed(123) grupo1 <- rnorm(8, mean = 10, sd = 2) grupo2 <- rnorm(10, mean = 12, sd = 2) grupo3 <- rnorm(7, mean = 11, sd = 2) # Crear data frame para ANOVA datos <- data.frame( valor = c(grupo1, grupo2, grupo3), grupo = factor(rep(c("A", "B", "C"), times = c(8, 10, 7))) ) # Realizar ANOVA modelo_anova <- aov(valor ~ grupo, data = datos) resumen_anova <- summary(modelo_anova) print(resumen_anova)

## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) ## grupo 2 22.11 11.05 3.141 0.0631 . ## Residuals 22 77.43 3.52 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

# Extraer el valor F y p-valor F_calculado <- resumen_anova[[1]]$"F value"[1] p_valor <- resumen_anova[[1]]$"Pr(>F)"[1] gl_grupos <- resumen_anova[[1]]$Df[1] gl_error <- resumen_anova[[1]]$Df[2] cat("\nResultados del ANOVA:\n")

## ## Resultados del ANOVA:

cat("F calculado =", round(F_calculado, 4), "\n")

## F calculado = 3.1406

cat("Grados de libertad = (", gl_grupos, ",", gl_error, ")\n")

## Grados de libertad = ( 2 , 22 )

cat("p-valor =", format(p_valor, scientific = FALSE, digits = 4), "\n")

## p-valor = 0.06312

# Valor crítico al 95% de confianza F_critico <- qf(0.95, gl_grupos, gl_error) cat("F crítico (α=0.05) =", round(F_critico, 4), "\n")

## F crítico (α=0.05) = 3.4434

# Decisión if(F_calculado > F_critico) { cat("Decisión: Rechazar H₀ - Existen diferencias significativas entre grupos\n") } else { cat("Decisión: No rechazar H₀ - No hay evidencias de diferencias entre grupos\n") }

## Decisión: No rechazar H₀ - No hay evidencias de diferencias entre grupos

# Gráfico de cajas comparativo boxplot(valor ~ grupo, data = datos, col = c("lightblue", "lightgreen", "lightcoral"), main = "Comparación de grupos", xlab = "Grupo", ylab = "Valores")

# ------------------------------------------------------ # EJEMPLO 3: PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS (BARTLETT) # ------------------------------------------------------ cat("\n\n=== EJEMPLO 3: PRUEBA DE BARTLETT PARA HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS ===\n")

## ## ## === EJEMPLO 3: PRUEBA DE BARTLETT PARA HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS ===

# Realizar prueba de Bartlett bartlett_test <- bartlett.test(valor ~ grupo, data = datos) print(bartlett_test)

## ## Bartlett test of homogeneity of variances ## ## data: valor by grupo ## Bartlett's K-squared = 1.9961, df = 2, p-value = 0.3686

# El estadístico de Bartlett sigue aproximadamente una distribución chi-cuadrado, # pero se relaciona con la F en el contexto de comparación de varianzas # ------------------------------------------------------ # EJEMPLO 4: INTERVALO DE CONFIANZA PARA RAZÓN DE VARIANZAS # ------------------------------------------------------ cat("\n\n=== EJEMPLO 4: INTERVALO DE CONFIANZA PARA RAZÓN DE VARIANZAS ===\n")

## ## ## === EJEMPLO 4: INTERVALO DE CONFIANZA PARA RAZÓN DE VARIANZAS ===

# Calcular varianzas muestrales var_grupo1 <- var(grupo1) var_grupo2 <- var(grupo2) razon_varianzas <- var_grupo1 / var_grupo2 cat("Varianza grupo 1 =", round(var_grupo1, 4), "\n")

## Varianza grupo 1 = 4.0751

cat("Varianza grupo 2 =", round(var_grupo2, 4), "\n")

## Varianza grupo 2 = 4.4604

cat("Razón de varianzas (S1²/S2²) =", round(razon_varianzas, 4), "\n")

## Razón de varianzas (S1²/S2²) = 0.9136

# Grados de libertad gl1 <- length(grupo1) - 1 gl2 <- length(grupo2) - 1 # Intervalo de confianza del 95% para σ1²/σ2² F_inf <- qf(0.025, gl1, gl2) F_sup <- qf(0.975, gl1, gl2) LI <- razon_varianzas / F_sup LS <- razon_varianzas / F_inf cat("\nIntervalo de confianza del 95% para σ1²/σ2²:\n")

## ## Intervalo de confianza del 95% para σ1²/σ2²:

cat("[", round(LI, 4), ", ", round(LS, 4), "]\n")

## [ 0.2177 , 4.4065 ]

if(LI <= 1 && 1 <= LS) { cat("El intervalo contiene al 1 - No se rechaza igualdad de varianzas\n") } else { cat("El intervalo NO contiene al 1 - Evidencia de varianzas diferentes\n") }

## El intervalo contiene al 1 - No se rechaza igualdad de varianzas

Encontrar el valor crítico b usando la distribución F

# ====================================================== # CÁLCULO DE VALORES CRÍTICOS DE LA DISTRIBUCIÓN F # ====================================================== # Parámetros dados n1 <- 6 # Tamaño de la primera muestra n2 <- 10 # Tamaño de la segunda muestra prob <- 0.95 # Probabilidad deseada # Grados de libertad df1 <- n1 - 1 # Grados de libertad para S1² df2 <- n2 - 1 # Grados de libertad para S2² # Encontrar el valor crítico b usando la distribución F b <- qf(prob, df1 = df1, df2 = df2) # Mostrar el valor de b print(paste("El valor de b tal que P(S1²/S2² ≤ b) = 0.95 es:", round(b, 4)))

## [1] "El valor de b tal que P(S1²/S2² ≤ b) = 0.95 es: 3.4817"

# Verificar con la función de distribución acumulada prob_verificacion <- pf(b, df1 = df1, df2 = df2) print(paste("Verificación: P(F ≤", round(b, 4), ") =", round(prob_verificacion, 4)))

## [1] "Verificación: P(F ≤ 3.4817 ) = 0.95"

# Crear una secuencia de valores para la distribución F x <- seq(0, 5, length.out = 1000) # Calcular la densidad de la distribución F y <- df(x, df1 = df1, df2 = df2) # Graficar la distribución F plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue", xlab = "Valores de F = S1²/S2²", ylab = "Densidad", main = "Distribución F con (5, 9) grados de libertad") # Sombrear el área correspondiente a P(F ≤ b) x_shade <- seq(0, b, length.out = 1000) y_shade <- df(x_shade, df1 = df1, df2 = df2) polygon(c(0, x_shade, b), c(0, y_shade, 0), col = "lightblue", border = NA) # Añadir una línea vertical en el valor crítico b abline(v = b, col = "red", lty = 2, lwd = 2) # Añadir texto con el valor de b text(b, 0.1, paste("b =", round(b, 2)), pos = 4, col = "red", cex = 0.9) # Añadir leyenda legend("topright", legend = c("Distribución F", "Área sombreada (P(F ≤ b) = 0.95)"), col = c("blue", "lightblue"), lwd = 2, lty = c(1, NA), fill = c(NA, "lightblue"), border = NA)

# ------------------------------------------------------ # TABLA DE VALORES CRÍTICOS PARA DIFERENTES NIVELES # ------------------------------------------------------ cat("\n\n=== TABLA DE VALORES CRÍTICOS PARA F(5,9) ===\n")

## ## ## === TABLA DE VALORES CRÍTICOS PARA F(5,9) ===

niveles <- c(0.90, 0.95, 0.975, 0.99, 0.995) for(alpha in niveles) { valor_critico <- qf(alpha, df1 = df1, df2 = df2) cat("F", alpha, "(5,9) =", round(valor_critico, 4), "\n") }

## F 0.9 (5,9) = 2.6106 ## F 0.95 (5,9) = 3.4817 ## F 0.975 (5,9) = 4.4844 ## F 0.99 (5,9) = 6.0569 ## F 0.995 (5,9) = 7.4712

# ------------------------------------------------------ # RELACIÓN CON LA DISTRIBUCIÓN T-STUDENT # ------------------------------------------------------ cat("\n\n=== RELACIÓN CON T-STUDENT ===\n")

## ## ## === RELACIÓN CON T-STUDENT ===

# Para ν₂ = 9 y ν₁ = 1, se cumple: t²(9) = F(1,9) t_valor <- qt(0.975, df = 9) # t con 9 gl al 97.5% (dos colas 5%) F_equivalente <- t_valor^2 F_directo <- qf(0.95, df1 = 1, df2 = 9) cat("t(9, 0.975) =", round(t_valor, 4), "\n")

## t(9, 0.975) = 2.2622

cat("t² =", round(F_equivalente, 4), "\n")

## t² = 5.1174

cat("F(1,9, 0.95) =", round(F_directo, 4), "\n")

## F(1,9, 0.95) = 5.1174

cat("Verificación de la relación: t²(ν) = F(1,ν)\n")

## Verificación de la relación: t²(ν) = F(1,ν)

🎓 07. DISTRIBUCIONES MUESTRALES COMPLETAS

Teoremas fundamentales • Aplicaciones prácticas • Implementación en R • Bases para inferencia estadística

📅 D. TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA ESTADÍSTICA - TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

📊 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL (TLC) Y APLICACIONES PRÁCTICAS

El pilar fundamental de la inferencia estadística moderna y sus aplicaciones en contextos reales

⚡ 10. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL (TLC) - EL CORAZÓN DE LA ESTADÍSTICA

“El Teorema del Límite Central (TLC) es uno de los resultados más importantes en estadística y probabilidad. Establece que, bajo ciertas condiciones, la distribución de la media muestral de una muestra aleatoria se aproxima a una distribución normal, independientemente de la forma de la distribución de la población original, siempre que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande.”

🎯 Enunciado Matemático Formal

Sean $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ variables aleatorias i.i.d. con:

Media: $E[Y_i] = \mu$

Varianza: $Var[Y_i] = \sigma^2 < \infty$

\[ U_n = \frac{\bar{Y} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1) \]

Convergencia en distribución: $U_n \xrightarrow{d} N(0, 1)$ cuando $n \to \infty$

📈 Interpretación Práctica

Distribución de $\bar{Y}$: $\bar{Y} \approx N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

Independiente de la forma original: Aplica incluso para poblaciones no normales

Tamaño muestral: Generalmente $n \geq 30$ es suficiente

Error estándar: $\sigma_{\bar{Y}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ disminuye con $n$

Fundamento para inferencia: Intervalos de confianza, pruebas de hipótesis

🔬 10.3. EJEMPLO 6: ILUSTRACIÓN DEL TLC CON SIMULACIÓN

📊 Demostración Visual del TLC

Objetivo: Mostrar cómo la distribución de medias muestrales de una población exponencial (no normal) converge a normalidad conforme aumenta $n$.

📊

$n = 5$

Distribución claramente asimétrica

Forma similar a exponencial original

Poca aproximación a normal

Variabilidad alta

📈

$n = 30$

Mayor simetría

Inicio de forma campana

Buena aproximación práctica

Variabilidad moderada

📐

$n = 100$

Excelente aproximación normal

Forma campana perfecta

Curva teórica (roja) se ajusta

Variabilidad baja

💻 Código R para Simulación

# Parámetros de simulación set.seed(123) mu <- 1 # Media exponencial n_sim <- 1000 # Número de simulaciones sample_sizes <- c(5, 30, 100) # Función de simulación simulate_sample_means <- function(n) { sapply(1:n_sim, function(i) mean(rexp(n, rate = 1/mu))) } # Gráficos comparativos par(mfrow = c(1, 3)) for (n in sample_sizes) { sample_means <- simulate_sample_means(n) hist(sample_means, breaks = 30, freq = FALSE, main = paste("n =", n), xlab = "Media muestral", col = "lightblue", border = "white") # Curva normal teórica curve(dnorm(x, mean = mu, sd = mu/sqrt(n)), add = TRUE, col = "red", lwd = 2) }

Función para simular medias muestrales - Código en R para la ilustración:

# Parámetros set.seed(123) # Para reproducibilidad mu <- 1 # Media de la distribución exponencial n_sim <- 1000 # Número de simulaciones sample_sizes <- c(5, 30, 100) # Tamaños de muestra # Función para simular medias muestrales simulate_sample_means <- function(n) { sapply(1:n_sim, function(i) mean(rexp(n, rate = 1/mu))) } # Crear gráficos par(mfrow = c(1, 3)) # 1 fila, 3 columnas for (n in sample_sizes) { sample_means <- simulate_sample_means(n) hist(sample_means, breaks = 30, freq = FALSE, main = paste("n =", n), xlab = "Media muestral", col = "lightblue", border = "white") curve(dnorm(x, mean = mu, sd = mu/sqrt(n)), add = TRUE, col = "red", lwd = 2) }

🗳️ 10.5. EJEMPLO 8: APLICACIÓN EN ELECCIONES

🏛️ Problema de Campaña Electoral

Contexto: Candidato A necesita al menos 55% de votos en el Distrito I para ganar. Encuestas muestran que aproximadamente 50% de votantes le favorecen. Con $n = 100$ votantes esperados en el distrito, ¿cuál es la probabilidad de que gane?

📊 Modelado Estadístico

Variable: $Y =$ # votantes a favor

Distribución: $Y \sim B(100, 0.5)$

Representación: $Y = \sum_{i=1}^{100} X_i$

Indicadores: $X_i = 1$ (vota por A) o $0$ (no vota)

Proporción: $\frac{Y}{100} = \bar{X}$

🧮 Cálculo de Probabilidad

\[ \begin{aligned} P\left(\frac{Y}{100} \geq 0.55\right) &= P\left(\frac{\bar{X} - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \geq \frac{0.55 - 0.5}{\sqrt{0.25/100}}\right) \\ &= P\left(Z \geq \frac{0.05}{0.05}\right) = P(Z \geq 1) \\ &= 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587 \end{aligned} \]

Interpretación: Solo 15.87% de probabilidad de ganar

💡 Implicaciones Estratégicas

📉 Riesgo Alto

Probabilidad baja (15.9%)

Necesita 5% más del esperado

Margen muy estrecho

Estrategia de campaña crítica

🎯 Decisiones de Campaña

Intensificar campaña en distrito

Segmentar votantes indecisos

Aumentar tamaño muestral encuestas

Considerar alianzas estratégicas

🏫 10.6. EJEMPLO 6: EVALUACIÓN DE INSTITUCIONES EDUCATIVAS

🎓 Análisis de Desempeño Académico

Contexto: Pruebas estatales tienen media 60, varianza 64. Una preparatoria con $n = 100$ estudiantes obtiene media 58. ¿Es esta institución inferior al promedio estatal?

📚 Análisis Estadístico

\[ \begin{aligned} \text{Parámetros: } &\mu = 60, \sigma^2 = 64, n = 100 \\ \text{Error estándar: } &SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{10} = 0.8 \\ \text{Estadístico Z: } &Z = \frac{58 - 60}{0.8} = -2.5 \\ \text{Valor p: } &P(Z \leq -2.5) = 0.0062 \end{aligned} \]

Significancia: $p = 0.0062 < 0.05$ → Evidencia estadística fuerte

💻 Implementación en R

# Análisis de desempeño escolar mu_poblacion <- 60 var_poblacion <- 64 n <- 100 media_muestral <- 58 # Cálculos se <- sqrt(var_poblacion / n) # 0.8 z <- (media_muestral - mu_poblacion) / se # -2.5 p_valor <- pnorm(z) # 0.0062 # Conclusión estadística alpha <- 0.05 if (p_valor < alpha) { print("Rechazar H₀: La escuela es inferior") } else { print("No rechazar H₀: Sin evidencia de inferioridad") }

🎯 Implicaciones Educativas

📉 Hallazgos Estadísticos

Diferencia significativa (p = 0.0062)

La escuela está 2.5 SE por debajo

Probabilidad muy baja por azar (0.62%)

Evidencia sólida de inferioridad

🏫 Acciones Recomendadas

Revisar métodos de enseñanza

Capacitar profesores

Implementar tutorías

Monitorear progreso continuo

Asignar recursos adicionales

Distribución normal estándar y región de rechazo - Código en R:

# Parámetros dados mu_poblacion <- 60 # Media poblacional var_poblacion <- 64 # Varianza poblacional n <- 100 # Tamaño de la muestra media_muestral <- 58 # Media muestral # Error estándar de la media se <- sqrt(var_poblacion / n) # Estadístico de prueba Z z <- (media_muestral - mu_poblacion) / se # Valor p (prueba de una cola, cola inferior) p_valor <- pnorm(z) # Mostrar resultados print(paste("Estadístico de prueba Z:", round(z, 4)))

## [1] "Estadístico de prueba Z: -2.5"

print(paste("Valor p:", round(p_valor, 4)))

## [1] "Valor p: 0.0062"

# Conclusión alpha <- 0.05 # Nivel de significancia if (p_valor < alpha) { print("Rechazamos la hipótesis nula: La preparatoria es inferior.") } else { print("No rechazamos la hipótesis nula: No hay evidencia suficiente para afirmar que la preparatoria es inferior.") }

## [1] "Rechazamos la hipótesis nula: La preparatoria es inferior."

# Gráfica de la distribución normal estándar x <- seq(-4, 4, length.out = 1000) # Rango de valores para Z y <- dnorm(x) # Densidad de la distribución normal estándar # Crear la gráfica plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue", xlab = "Z", ylab = "Densidad", main = "Distribución normal estándar y región de rechazo") # Sombrear la región correspondiente al valor p (cola inferior) x_shade <- seq(-4, z, length.out = 1000) y_shade <- dnorm(x_shade) polygon(c(-4, x_shade, z), c(0, y_shade, 0), col = "lightblue", border = NA) # Añadir una línea vertical en el estadístico de prueba Z abline(v = z, col = "red", lty = 2, lwd = 2) # Añadir leyenda legend("topright", legend = c("Distribución normal", "Región de rechazo (Valor p)", "Estadístico Z"), col = c("blue", "lightblue", "red"), lwd = 2, lty = c(1, NA, 2), fill = c(NA, "lightblue", NA))

El enunciado en R

# Cargar librería para gráficos #install.packages("ggplot2") library(ggplot2) # Parámetros media_poblacion <- 60 desviacion_estandar <- 8 / sqrt(100) # Error estándar nivel_significancia <- 0.05 valor_critico <- qnorm(nivel_significancia) # Valor crítico Z # Crear un rango de valores para la distribución x <- seq(media_poblacion - 4 * desviacion_estandar, media_poblacion + 4 * desviacion_estandar, length.out = 1000) y <- dnorm(x, mean = media_poblacion, sd = desviacion_estandar) # Crear un data frame para ggplot datos <- data.frame(x = x, y = y) # Gráfico ggplot(datos, aes(x = x, y = y)) + geom_line(color = "blue", size = 1) + # Curva de la distribución geom_area(data = subset(datos, x <= media_poblacion + valor_critico * desviacion_estandar), aes(x = x, y = y), fill = "red", alpha = 0.5) + # Región de rechazo geom_vline(xintercept = media_poblacion + valor_critico * desviacion_estandar, color = "black", linetype = "dashed", size = 1) + # Línea del valor crítico annotate("text", x = media_poblacion + valor_critico * desviacion_estandar, y = 0.1, label = "Z crítico = -1.645", hjust = 1.2, color = "black") + # Etiqueta del valor crítico labs(title = "Región de rechazo para prueba de una cola (cola izquierda)", x = "Media muestral", y = "Densidad") + theme_minimal()

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0. ## ℹ Please use `linewidth` instead. ## This warning is displayed once every 8 hours. ## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was ## generated.

⏱️ 10.7. EJEMPLO 7: GESTIÓN DE SERVICIOS Y TIEMPOS DE ESPERA

🛒 Optimización de Atención al Cliente

Contexto: Tienda minorista con tiempos de espera promedio 1.5 minutos, varianza 1.0. ¿Cuál es la probabilidad de atender 100 clientes en menos de 2 horas (120 minutos)?

📊 Modelado del Problema

\[ \begin{aligned} \text{Datos: } &\mu = 1.5 \text{ min}, \sigma^2 = 1.0, n = 100 \\ \text{Tiempo total: } &T = \sum_{i=1}^{100} Y_i \\ \text{Objetivo: } &P(T \leq 120) = P\left(\frac{T}{100} \leq 1.2\right) \\ &= P(\bar{Y} \leq 1.2) \end{aligned} \]

Aplicación TLC: $\bar{Y} \approx N(1.5, 0.01)$

🧮 Cálculo de Probabilidad

\[ \begin{aligned} P(\bar{Y} \leq 1.2) &= P\left(Z \leq \frac{1.2 - 1.5}{1/\sqrt{100}}\right) \\ &= P\left(Z \leq \frac{-0.3}{0.1}\right) \\ &= P(Z \leq -3.0) = 0.0013 \end{aligned} \]

Interpretación: Solo 0.13% de probabilidad de éxito

💡 Recomendaciones Operativas

📉 Análisis de Riesgo

Probabilidad extremadamente baja (0.13%)

Meta prácticamente imposible

Necesita reducir tiempo promedio en 0.3 min

Requiere mejora significativa en procesos

🔄 Estrategias de Mejora

Aumentar personal en cajas

Implementar sistema de filas único

Automatizar procesos de pago

Capacitar personal en eficiencia

Rediseñar layout de tienda

🎓 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL: APLICACIONES EN CONTEXTOS REALES

Elecciones políticas • Evaluación educativa • Gestión de servicios • Toma de decisiones basada en evidencia estadística

📅 E. FUNDAMENTOS TEÓRICOS - ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POBLACIONALES

📊 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POBLACIONALES: FUNDAMENTOS Y PROPIEDADES

Teoría de estimación puntual, propiedades de estimadores y aplicaciones en inferencia estadística

🎯 11. FUNDAMENTOS DE LA ESTIMACIÓN POBLACIONAL

“El objetivo de la estadística es obtener una inferencia con respecto a la población basándose en la información contenida en una muestra. Como las poblaciones se describen mediante medidas numéricas denominadas parámetros, la mayoría de las investigaciones se conducen en deducir inferencias acerca de ellos. Los procedimientos de la inferencia estadística involucran ya sea la estimación o la Prueba de Hipótesis, las cuales tienen muchas aplicaciones prácticas.”

📈 Parámetros Poblacionales vs. Estadísticos Muestrales

Parámetro (θ): Característica numérica fija de la población

Estadístico (θ̂): Función de los datos muestrales que estima θ

Ejemplos comunes:

Media poblacional: μ → Media muestral: Ȳ

Varianza poblacional: σ² → Varianza muestral: S²

Proporción poblacional: p → Proporción muestral: p̂

Objetivo: Inferir θ desconocido usando θ̂ calculado de muestra

🔍 Principio Fundamental de Estimación

“Para que un estimador sea bueno, se desea que la varianza del estimador sea lo más pequeña posible, mientras que la distribución de muestreo debe concentrarse alrededor del valor del parámetro.”

Dualidad: Precisión (varianza baja) + Exactitud (centrado en θ)

📐 11.3. ESTIMADORES INSESGADOS: EL CORAZÓN DE LA INFERENCIA

🎯 Definición Matemática

Se dice que la estadística $\hat{\theta} = H(X_1, X_2, \dots, X_n)$ es un estimador insesgado del parámetro $\theta$ si:

\[ E(\hat{\theta}) = \theta \]

Interpretación: En promedio, a largo plazo, el estimador da el valor correcto

📊 Ejemplo Clave: Media Muestral

\[ \text{Sea } Y_1, Y_2, \dots, Y_n \sim \text{i.i.d. con } E(Y_i) = \mu \\ \text{Estimador: } \bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i \\ E(\bar{Y}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(Y_i) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu \]

Conclusión: Ȳ es estimador insesgado de μ

🎭 Sesgo vs. Insesgamiento

✅ Estimador Insesgado

$E(\hat{\theta}) = \theta$

Centrado en valor real

Precisión sistemática

Ejemplo: Ȳ para μ

❌ Estimador Sesgado

$E(\hat{\theta}) \neq \theta$

Sistemáticamente alto/bajo

Error sistemático

Ejemplo: S*² para σ²

📋 Tabla de Estimadores Insesgados Comunes

Parámetro θ Estimador θ̂ $E(θ̂)$ $V(θ̂)$

Media μ $\bar{Y}$ μ $\frac{σ²}{n}$

Proporción p $\hat{p} = Y/n$ p $\frac{pq}{n}$

Diferencia μ₁-μ₂ $\bar{Y}_1 - \bar{Y}_2$ μ₁-μ₂ $\frac{σ₁²}{n₁} + \frac{σ₂²}{n₂}$

Diferencia p₁-p₂ $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ p₁-p₂ $\frac{p₁q₁}{n₁} + \frac{p₂q₂}{n₂}$

🔍 11.5. DEMOSTRACIÓN CRÍTICA: VARIANZA SESGADA VS INSESGADA

📊 El Problema Fundamental de la Varianza

Contexto: ¿Por qué usamos $(n-1)$ en lugar de $n$ en el denominador de la varianza muestral? Esta demostración explica una de las decisiones más importantes en estadística inferencial.

❌ Varianza Sesgada: S*²

\[ S^{*2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \\ E(S^{*2}) = \frac{(n-1)\sigma^2}{n} \]

Propiedades:

Sesgo: $\text{Sesgo} = E(S^{*2}) - \sigma^2 = -\frac{\sigma^2}{n}$

Dirección: Subestima sistemáticamente σ²

Magnitud: Error relativo: $\frac{1}{n}$ del valor real

✅ Varianza Insesgada: S²

\[ S^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \\ E(S^{2}) = \sigma^2 \]

Propiedades:

Sesgo: $\text{Sesgo} = 0$ (exactamente insesgado)

Precisión: En promedio da el valor correcto

Corrección: Factor $n/(n-1)$ ajusta por pérdida de un grado de libertad

📈 Interpretación Gráfica del Sesgo

🎯 Por Qué Ocurre el Sesgo

Pérdida de libertad: Usar Ȳ (estimado) en lugar de μ (desconocido)

Restricción: $\sum (Y_i - \bar{Y}) = 0$ reduce variabilidad

Intuición: Muestra “se ajusta” a sus propios datos

Corrección Bessel: Factor $(n-1)$ compensa esta pérdida

📊 Implicaciones Prácticas

Muestras pequeñas: Sesgo más pronunciado (ej: n=5 → 20% subestimación)

Muestras grandes: Diferencia mínima (n=100 → 1% diferencia)

Estándar académico: Siempre usar S² en investigación

Software estadístico: Todos usan fórmula con (n-1) por defecto

Aqui lq prueba - Estimadores Insesgados y Sesgados

Sea $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ una muestra aleatoria con $E(Y_i) = \mu$ y $V(Y_i) = \sigma^2$. Demuestre que:

$S^{*2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2$ es un estimador sesgado para $\sigma^2$.

$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2$ es un estimador insesgado para $\sigma^2$.

Solución:

Paso 1: Expresamos $(Y_i - \bar{Y})^2$ como: \[ (Y_i - \bar{Y})^2 = Y_i^2 - 2Y_i \bar{Y} + \bar{Y}^2 \]

Paso 2: Sumamos sobre todas las observaciones: \[ \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 = \sum_{i=1}^n Y_i^2 - 2n \bar{Y}^2 + n \bar{Y}^2 = \sum_{i=1}^n Y_i^2 - n \bar{Y}^2 \]

Paso 3: Calculamos la esperanza: \[ E\left( \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \right) = E\left( \sum_{i=1}^n Y_i^2 - n \bar{Y}^2 \right) = \sum_{i=1}^n E(Y_i^2) - n E(\bar{Y}^2) \]

Paso 4: Recordamos que: \[ E(Y_i^2) = \sigma^2 + \mu^2 \quad \text{y} \quad E(\bar{Y}^2) = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \]

Paso 5: Sustituimos: \[ E\left( \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \right) = n(\sigma^2 + \mu^2) - n\left( \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \right) = (n-1)\sigma^2 \]

Paso 6: Por tanto: \[ E(S^{*2}) = \frac{1}{n} E\left( \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \right) = \frac{(n-1)\sigma^2}{n} \] Esto muestra que $S^{*2}$ es sesgado.

Paso 7: Para $S^2$: \[ E(S^2) = \frac{1}{n-1} E\left( \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \right) = \sigma^2 \] Por tanto, $S^2$ es insesgado.

📈 11.6. CONSISTENCIA: CONVERGENCIA A LA VERDAD

🔄 Propiedad de Consistencia

“Es razonable esperar que un buen estimador de un parámetro θ sea cada vez mejor conforme crece el tamaño de la muestra y la información se vuelve más completa. La distribución de muestreo de un buen estimador se encuentra cada vez más concentrada alrededor del parámetro θ.”

\[ \lim_{n \to \infty} \hat{\theta} = \theta \quad \text{o equivalentemente} \quad \lim_{n \to \infty} V(\hat{\theta}) = 0 \]

📊 Ejemplo: Media Muestral

\[ \text{Para } \bar{Y} \text{ como estimador de } \mu: \\ V(\bar{Y}) = \frac{\sigma^2}{n} \\ \lim_{n \to \infty} V(\bar{Y}) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2}{n} = 0 \]

Interpretación: A mayor n, menor varianza → mayor precisión

🎯 Implicaciones Prácticas

Diseño de estudios: Muestras más grandes → estimaciones más confiables

Ley de rendimientos decrecientes: Mejoras marginales decrecen con n

Criterio práctico: n suficiente para V(θ̂) aceptable

Relación costo-beneficio: Balance entre precisión y recursos

⚡ 11.7. EFICIENCIA: OPTIMIZANDO LA PRECISIÓN

📐 Definición de Eficiencia Relativa

Sean $\hat{\theta}_1$ y $\hat{\theta}_2$ dos estimadores insesgados de θ. Se dice que $\hat{\theta}_1$ es más eficiente que $\hat{\theta}_2$ si:

\[ V(\hat{\theta}_1) \leq V(\hat{\theta}_2) \quad \text{y} \quad e = \frac{V(\hat{\theta}_1)}{V(\hat{\theta}_2)} \]

Donde $e$ es la eficiencia relativa (0 ≤ e ≤ 1). Valores cercanos a 0 indican mayor eficiencia.

📊 Ejemplo: Media vs. Mediana

Para población normal:

Estimador 1 (Ȳ): $V(Ȳ) = \frac{\sigma^2}{n}$

Estimador 2 (Mediana): $V(\text{Med}) \approx \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sigma^2}{n}$

Eficiencia relativa: $e = \frac{V(Ȳ)}{V(\text{Med})} \approx \frac{2}{\pi} \approx 0.637$

Conclusión: La media es ~64% más eficiente que la mediana para distribuciones normales

🎯 Selección de Estimadores

Eficiencia asintótica: Comparación cuando n → ∞

Cota de Cramér-Rao: Límite inferior teórico para varianza

Estimador eficiente: Alcanza la cota de Cramér-Rao

MLE (Maximum Likelihood): Generalmente eficiente asintóticamente

Robustez vs. Eficiencia: Trade-off en presencia de outliers

🗳️ 11.9. EJEMPLO APLICADO: ENCUESTAS ELECTORALES

🏛️ Caso Real: Campaña del Candidato Gómez

Contexto: Encuesta de n = 1000 votantes muestra 560 a favor del candidato Gómez. Estimar la proporción poblacional p con límite de error.

📊 Estimación Puntual

\[ \text{Datos: } n = 1000, \quad Y = 560 \\ \hat{p} = \frac{Y}{n} = \frac{560}{1000} = 0.56 \\ E(\hat{p}) = p \quad (\text{insesgado}) \\ V(\hat{p}) = \frac{pq}{n} \]

Interpretación: Estimamos que 56% de votantes favorece a Gómez

🎯 Límite de Error con 95% Confianza

\[ \text{Error: } b = 2\sigma_{\hat{p}} = 2\sqrt{\frac{pq}{n}} \\ \text{Usando } \hat{p} \approx p: \\ b \approx 2\sqrt{\frac{(0.56)(0.44)}{1000}} = 2\sqrt{0.0002464} \\ = 2 \times 0.0157 = 0.0314 \approx 0.03 \]

Interpretación: Error máximo ≈ ±3% con 95% confianza

📊 F. PROBLEMA DE APLICACIÓN PRÁCTICA - SELECCIÓN DE MUESTRAS EN INVESTIGACIÓN CRIMINOLÓGICA

🏛️ PROBLEMA: DISEÑO DE INVESTIGACIÓN CON MUESTREO IRRESTRICTO ALEATORIO

Implementación de técnicas de muestreo para estudios estadísticos en criminología

📝 CONTEXTO DE INVESTIGACIÓN

“Un investigador criminológico necesita analizar la relación entre características antropométricas y patrones delictivos utilizando el dataset crimtab de R, que contiene 924 registros históricos. Debe seleccionar una muestra representativa de 30 casos utilizando diferentes métodos de muestreo y verificar la representatividad de cada muestra.”

A

MIA con R Base

B

dplyr sin reemplazo

C

Muestreo ponderado

D

Muestreo proporcional

E

Todas las anteriores

💻 IMPLEMENTACIÓN Y ANÁLISIS PASO A PASO

📊 Paso 1: Exploración del dataset crimtab

Análisis del dataset: • Total de registros: 924 casos históricos • Variables disponibles: Altura, perímetro torácico, frecuencia • Tipo de datos: Características antropométricas de individuos • Contexto histórico: Dataset clásico en estadística para demostración

El dataset crimtab es un conjunto de datos histórico que contiene medidas antropométricas de individuos, ampliamente utilizado en la enseñanza de técnicas estadísticas por su estructura clara y tamaño manejable.

🎯 Paso 2: Muestreo Irrestricto Aleatorio con R Base

Procedimiento MIA: • Configurar semilla para reproducibilidad • Especificar tamaño muestral: n = 30 casos • Seleccionar índices aleatorios sin reemplazo • Extraer observaciones correspondientes • Verificar representatividad de la muestra

Cada elemento de la población (924 casos) tiene igual probabilidad de ser seleccionado: 30/924 ≈ 3.25%. El muestreo sin reemplazo garantiza que no se repitan casos, asegurando independencia entre observaciones.

📦 Paso 3: Muestreo con dplyr - Método elegante

Ventajas del enfoque dplyr: • Sintaxis intuitiva y concisa • Integración perfecta con el operador pipe (%>%) • Funciones especializadas: sample_n() y sample_frac() • Facilidad para combinar con otras operaciones de manipulación • Mejor legibilidad del código

⚖️ Paso 4: Muestreo ponderado según frecuencia

Características del muestreo ponderado: • La variable “Freq” indica frecuencia de combinaciones idénticas • Combinaciones más comunes tienen mayor probabilidad • Útil para estudiar patrones prevalentes • Permite análisis de subgrupos con diferente representación • Aplicación en estudios de características típicas

En crimtab, la columna “Freq” representa cuántos individuos tienen combinaciones idénticas de altura y perímetro torácico. Este tipo de muestreo es particularmente útil cuando se desea estudiar características que aparecen con mayor frecuencia en la población.

📐 Paso 5: Muestreo por proporción (5% de la población)

Ventajas del muestreo proporcional: • Mantiene proporción constante respecto a la población • Adaptable a cambios en el tamaño poblacional • Ideal para estudios longitudinales • Permite comparaciones consistentes en el tiempo • Fácil implementación con sample_frac()

El muestreo proporcional es especialmente útil en investigaciones que se repiten periódicamente o cuando el tamaño de la población objetivo varía significativamente. Garantiza que la muestra mantenga una relación constante con la población total.

🔍 Paso 6: Verificación de representatividad

Métodos de verificación: • Comparación de medias y desviaciones estándar • Análisis de distribuciones por percentiles • Pruebas de hipótesis de igualdad de medias • Inspección visual de histogramas • Cálculo de diferencias relativas • Evaluación de sesgos potenciales

📈 Paso 7: Visualización comparativa de métodos

Técnicas de visualización: • Histogramas comparativos de diferentes muestras • Gráficos de densidad superpuestos • Diagramas de caja para comparar distribuciones • Gráficos Q-Q para evaluar normalidad • Visualización de intervalos de confianza • Representación de diferencias entre muestras

✅ Paso 8: Análisis de resultados y recomendaciones

Evaluación comparativa: • Comparación de estadísticos descriptivos • Análisis de diferencias entre métodos • Identificación del método más representativo • Consideración de objetivos de investigación • Evaluación de ventajas y limitaciones • Recomendaciones según contexto

📊 Paso 9: Conclusión y aplicación práctica

Resultados obtenidos:
1. MIA R Base: Enfoque fundamental con control total sobre el proceso de selección 2. dplyr sample_n: Método moderno con sintaxis elegante y alta legibilidad 3. Muestreo ponderado: Técnica especializada que considera frecuencias diferenciales 4. Muestreo proporcional: Enfoque adaptable para estudios longitudinales
Recomendación para investigación criminológica:
• Estudios exploratorios: Muestreo simple por simplicidad
• Datos con patrones repetidos: Muestreo ponderado para análisis de frecuencias
• Estudios longitudinales: Muestreo proporcional para consistencia temporal
• Máximo control: Método base para validación de procesos

Respuesta correcta:
Todas las anteriores

Opción E

Cada método tiene aplicaciones específicas según el contexto de investigación

Observación clave: En investigación criminológica, la selección del método de muestreo depende críticamente de los objetivos específicos del estudio. Para análisis exploratorio de relaciones entre variables, el Muestreo Irrestricto Aleatorio simple es generalmente adecuado. Si se buscan patrones de combinaciones específicas o características prevalentes, el muestreo ponderado es preferible. Para monitoreo continuo o estudios comparativos en el tiempo, el muestreo proporcional mantiene consistencia metodológica. Por lo tanto, todos los métodos presentados son válidos y aplicables en diferentes contextos de investigación criminológica, siendo la elección dependiente de las preguntas de investigación específicas.

📚 CONCEPTOS ESTADÍSTICOS APLICADOS

🎲 Muestreo Irrestricto Aleatorio

Cada elemento de la población tiene igual probabilidad de selección

Muestreo sin reemplazo garantiza elementos únicos en la muestra

Muestreo con reemplazo permite posibles repeticiones

Base fundamental para inferencia estadística válida

Garantiza representatividad cuando la población es homogénea

📦 Funciones para Muestreo

Función sample(): Método base para selección aleatoria de índices

Función sample_n(): Selección de tamaño fijo en el entorno dplyr

Función sample_frac(): Selección proporcional de la población

Función set.seed(): Garantiza reproducibilidad de resultados

Parámetro weight: Permite muestreo con probabilidades desiguales

⚖️ Muestreo Ponderado

Asigna probabilidades desiguales de selección a diferentes elementos

Útil para sobremuestrear subgrupos de interés específico

Considera frecuencias diferenciales en datos agregados

Implementado mediante el parámetro weight en funciones dplyr

Permite análisis focalizado en características particulares

🎯 RESUMEN Y RECOMENDACIONES PRÁCTICAS

📊

Resumen de técnicas implementadas

Muestreo Irrestricto Aleatorio con R Base: Enfoque fundamental utilizando la función sample() para selección aleatoria de índices con o sin reemplazo

Muestreo con dplyr mediante sample_n(): Método moderno que ofrece sintaxis elegante e integración perfecta con operaciones de manipulación de datos

Muestreo ponderado con weight: Técnica especializada que considera frecuencias diferenciales para análisis focalizado

Muestreo proporcional con sample_frac(): Enfoque adaptable que mantiene proporción constante respecto a la población total

Verificación de representatividad: Comparación sistemática de estadísticos descriptivos entre muestra y población

Mejores prácticas en muestreo:

• Reproducibilidad: Siempre establecer semilla aleatoria para garantizar replicabilidad
• Documentación: Registrar detalladamente el método de muestreo utilizado
• Verificación: Comparar estadísticos muestrales con parámetros poblacionales
• Selección contextual: Elegir método según objetivos específicos de investigación
• Validación: Evaluar representatividad mediante múltiples indicadores
• Transparencia: Reportar completamente el proceso de selección muestral

Aplicación criminológica específica:

Dataset histórico crimtab con 924 registros
Muestra representativa de 30 casos
Análisis de relaciones antropométricas
Estudio de características físicas
Investigación de patrones delictivos
Validación de hipótesis criminológicas

Conclusión clave: Este ejercicio demuestra la aplicación práctica de diferentes técnicas de muestreo en investigación criminológica. Cada método (Muestreo Irrestricto Aleatorio con R Base, dplyr, muestreo ponderado, muestreo proporcional) posee características distintivas y aplicaciones específicas según los objetivos del estudio. La verificación rigurosa de representatividad es esencial para garantizar la validez de las inferencias estadísticas. La respuesta correcta es que todas las técnicas presentadas son aplicables en contextos de investigación apropiados, siendo la selección óptima dependiente de las preguntas de investigación específicas y las características del conjunto de datos.

✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN E - TODAS LAS ANTERIORES

Muestreo Irrestricto Aleatorio • dplyr • Ponderado • Proporcional

Cada técnica posee aplicaciones específicas en investigación criminológica según los objetivos del estudio

En R

Paso 1: Exploración del dataset crimtab

crime<-data.frame(crimtab) dim(crime)

## [1] 924 3

Paso 2: Muestreo Irrestricto Aleatorio con R Base

#Selección de la muestra #Tamaño de la muestra n<-30 muestramia<- sample(1:nrow(crime),size=n,replace=FALSE) muestramia

## [1] 608 539 408 420 492 586 439 197 175 55 335 436 653 4 595 917 551 123 532 ## [20] 856 675 153 360 289 183 429 776 275 746 556

Asignar los elementos de la muestra al data frame de datos

#Asignar los elementos de la muestra al data frame de datos crimemuestramia<- crime[muestramia, ] head(crimemuestramia)

Paso 3: Muestreo con dplyr - Método elegante

library(dplyr)

## ## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats': ## ## filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base': ## ## intersect, setdiff, setequal, union

#Muestra sin reemplazo crimemuestramia2<- crime %>% sample_n(size=n,replace=FALSE) head(crimemuestramia2)

Paso 4: Muestreo ponderado según frecuencia

#Muestra con pesos crimemuestramia3<- crime %>% sample_n(size=n,weight=Freq) head(crimemuestramia3)

Paso 5: Muestreo por proporción (5% de la población)

#Muestra con una proporción de casos crimemuestramia4<- crime %>% sample_frac(0.05) head(crimemuestramia4);dim(crimemuestramia4)

## [1] 46 3

Parámetro θ	Estimador θ̂	\(E(θ̂)\)	\(V(θ̂)\)
Media μ	\(\bar{Y}\)	μ	\(\frac{σ²}{n}\)
Proporción p	\(\hat{p} = Y/n\)	p	\(\frac{pq}{n}\)
Diferencia μ₁-μ₂	\(\bar{Y}_1 - \bar{Y}_2\)	μ₁-μ₂	\(\frac{σ₁²}{n₁} + \frac{σ₂²}{n₂}\)
Diferencia p₁-p₂	\(\hat{p}_1 - \hat{p}_2\)	p₁-p₂	\(\frac{p₁q₁}{n₁} + \frac{p₂q₂}{n₂}\)

Mi Curso de Estadistica Inferencial - PARTE 2En construcción

Julio Hurtado Marquez - juliohurtado210307@gmail.com

Año 2026

SEMANA 3: DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL DE LA VARIANZA Y PROPORCIÓN

9. DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL: DISTRIBUCION CHI-CUADRADA

📐 9.1. DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL: DISTRIBUCION CHI-CUADRADA

🎯 Teorema Fundamental

📊 Ejemplo 1: Valor Crítico

🔬 Distribución de la Varianza Muestral

🏭 Ejemplo 2: Muestreo de Varianzas

📈 Ejemplo 3: Aplicación en Control de Calidad

📊 Ejemplo 1: Control de Variabilidad en Envasado

🏭 Ejemplo 2: Homogeneidad en Proceso Químico

⚕️ Ejemplo 3: Precisión en Equipo Médico

📏 Ejemplo 4: Control de Tolerancias Mecánicas

🔬 Ejemplo 5: Consistencia en Laboratorio

📊 EJERCICIO ORIGINAL: Control de Calidad

📊 EJERCICIO 1: Control de Variabilidad en Envasado

📊 EJERCICIO 2: Homogeneidad en Proceso Químico

📊 EJERCICIO 3: Precisión en Equipo Médico

🧪 Ejemplo 4: Intervalo de Confianza para la Varianza

📏 Ejemplo 5: Prueba de Hipótesis para la Varianza

9.2. Encontrar el valor crítico b usando la distribución chi-cuadrado - Usando R

9.3. Encontrar los valores críticos de la distribución chi-cuadrado - Usando R

9.4. Simulación de la distribución de la varianza muestral - Usando R

9.5. Simulación de la distribución de la vaIntervalo de confianza para la varianza - Usando R

9.6. Prueba de hipótesis para la varianza - Usando R

9.7. Aplicaciones en la vida real de la distribución chi-cuadrado y la varianza muestral

🏭 1. Control de Calidad en Manufactura

📊 2. Finanzas y Evaluación de Riesgos

🔬 3. Investigación Científica

📈 4. Estudios de Confiabilidad

🌡️ 5. Metrología y Calibración

🧪 6. Bioestadística y Ensayos Clínicos

Resumen de propiedades clave

📈 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN: TEORÍA Y APLICACIONES

🎯 FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

📊 Definición y Notación

📐 Parámetros de la Distribución

📈 10.2. APROXIMACIÓN NORMAL PARA MUESTRAS GRANDES

🎯 Condiciones de Aplicabilidad

📊 Propiedades para Muestras Grandes

🎯 10.3 EJEMPLOS PARA MUESTRAS GRANDES (np ≥ 10, n(1-p) ≥ 10)

🗳️ Ejemplo 1: Intención de Voto

🏭 Ejemplo 2: Defectos en Producción

🎓 Ejemplo 3: Aprobación Curso

📊 10.4. DISTRIBUCIÓN EXACTA: BINOMIAL Y ALTERNATIVAS PARA MUESTRAS PEQUEÑAS

📐 Distribución Binomial Exacta

📈 Métodos Alternativos para Muestras Pequeñas

🎯 10.5. EJEMPLOS PARA MUESTRAS PEQUEÑAS (np < 10 o n(1-p) < 10)

💊 Ejemplo 1: Efecto Secundario Raro

🏭 Ejemplo 2: Defectos Muy Raros

📱 Ejemplo 3: Encuesta Piloto

📊 10.6 COMPARACIÓN: MUESTRAS GRANDES vs PEQUEÑAS PARA PROPORCIONES

📈 Muestras Grandes (np ≥ 10, n(1-p) ≥ 10)

📉 Muestras Pequeñas (np < 10 o n(1-p) < 10)

📋 Tabla Comparativa: Métodos para Intervalos de Confianza

11. EJEMPLOS INTEGRADORES - AMBAS SITUACIONES

🎯 11.1. EJEMPLOS INTEGRADORES - AMBAS SITUACIONES

🗳️ Ejemplo Integrador 1: Referéndum

🏭 Ejemplo Integrador 2: Control Calidad

💊 Ejemplo Integrador 3: Estudio Clínico

📊 Tabla de Comparación General

11.2 RESUMEN Y CONCLUSIONES FINALES

📚 RESUMEN Y CONCLUSIONES FINALES

🎯 Puntos Clave Teóricos

🏭 Recomendaciones Prácticas

💡 Flujograma de Decisión para Análisis de Proporciones

📈 Importancia en Investigación y Toma de Decisiones

11.3 CÓDIGO R: DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN

💻 CÓDIGO R: DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN

📊 Ejemplo 1: Muestras Grandes - Aproximación Normal

11.3.2. Usando R

📊 Ejemplo 2: Muestras Pequeñas - Métodos Exactos

11.4.1. Usando R

📊 Ejemplo 3: Intervalos de Confianza Comparados

11.5.1. Usando R

📊 Ejemplo 4: Simulación de la Distribución Muestral

11.6.1. Usando R

📊 Ejemplo 5: Cálculo de Tamaño Muestral